二次根式加减法及混合运算
二次根式加减法及混合运算
同类二次根式的定义：几个二次根式化简成最简二次根式后，如果它们的被开方
数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式
合并同类二次根式的法则：只把系数相加减，根号部分不变
1.若最简二次根式1+a 与4–2a 是同类二次根式，则a 的取值范围是______
2._________．
3.下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ ）
A B C D ．18
4.，则它的周长是 cm ．
5.下列说法正确的是：
(A)最简根式一定是同类根式 (B)不是同类二次根式与31a a
(C)任何两个根式都可以化成同类二次根式 (D)任何两个根式都可以化为最简根式
6.已知x ，y 为实数，且满足y y x ---+1)1(1=0，那么x 2011﹣y 2011=
7.计算：①12545515
20+-- ② ③1827122+-
④3
2+3－22－33 ⑤50511221832++-
）+ ⑧9654+
⑩5
4540290+-
?+18－8－32 ?)27131(12-- ? 27–45–20+75
?2
127–2318–(43–412)， ?2a －3a 2b ＋54a －2b a 2b
，
?200320022323)()(+?- ? 21)+
?（35-）（5＋3）－（2＋6）2
二次根式混合运算(教案)
教学过程 一、复习预习 学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）?单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 新授课如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立． 整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 例1．计算: （1）（2）（）÷ 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运 算规律．解：（1） 解：（）÷÷÷ -3 2 二、知识讲解
考点1 1、几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 2、二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并． 3、在进行二次根式的混合运算时，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号再计算）。实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律等）在二次根式的运算中仍然适用。 易错点1 在进行二次根式的混合运算时，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里
面的（或先去括号再计算）。实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律等）在二次根式的运算中仍然适用。 三、例题精析 【例题1】 【题干】计算（1（2
二次根式加减法教学设计
二次根式的加减法 【学习目标】 1、熟练进行二次根式的化简。 2、了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式。 3、会利用二次根式的加减运算法则进行计算。 教学重难点及突破 重点：二次根式加减法运算。 难点：1、同类二次根式的概念及其判断方法 2、熟练进行二次根式加减法的运算。 突破：二次根式加减法运算的关键在于二次根式化简，在讲解过程中引入几个整式加减法的运算。 教学方法：启发引导，讲练结合为主，自主探究 教学准备： 教师准备：多媒体课件精选二次根式的加减的例题。 学生准备：复习最简二次根式，预习二次根式的加减运算法则。 教学步骤 （一）、明确目标: 学习二次根式化简的目的是为了能将一些最终能化为同类二次根式项相合并，从而达到化繁为简的目的，本节课就是研究二次根式的加减法．（二）、整体感知: 同类二次根式的概念应分二层含义去理解（1）化简后（2）被开方数还相同．通过正确理解二次根式加减法的法则来准确地实施二次根式加减法的运算，应特别注意合并同类二次根式时仅将它们的系数相加减，根式一定要保持不变，并可对比整式的加减法则以增加对合并同类二次根式的理解，增强综合运算的能力． 教学设计： 一、复习回顾最简二次根式、整式加减法等知识，引入二次根式加减法 1、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？ 2可以化简吗？ （学生回答）
A、判断是否为最简二次根式的两条标准： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2。 B可以化简 3、什么是同类项？ （https://www.wendangku.net/doc/d612991500.html,/view/313812.htm） 4、如何进行整式的加减运算？ https://www.wendangku.net/doc/d612991500.html,/view/b2f6351252d380eb62946d99.html （课件出示练习题让学生计算）（计算17题1、2小题） 5、计算：（1）2x-3x+5x （2） 22 23 a b ba ab +- （教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．） （教师提出问题）二次根式的加减运算与整式的加减运算有什么相似之处？这就是今天要探讨的问题——二次根式的加减运算 二、引出同类二次根式并让学生进行判断 1、自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： A、什么是同类二次根式？ B、判断是否同类二次根式时应注意什么？ （学生回答）：几个二次根式化成_______________后，如果它们的 ________相同，那么这几个二次根式称为同类二次根式。 判断是否同类二次根式注意问题： （1）被开方数相同。 （2）二次根式不能再化简。 （3）与二次根式的系数无关 （学生练习） 2、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：https://www.wendangku.net/doc/d612991500.html,/Math/Ques/Detail/5ecac9ed-127c-453b-b76a-a0acb7b 79d5b C、如何进行二次根式的加减运算？
人教版八年级下册数学第2课时 二次根式的混合运算教案与教学反思
16.3 二次根式的加减 师院附中李忠海 第2课时二次根式的混合运算 【知识与技能】 1.会进行二次根式的乘、除、加、减混合运算； 2.能用多项式的乘法公式进行二次根式的化简计算. 【过程与方法】 通过具体问题进一步体会有理数运算、二次根式的运算以及整式的运算之间的联系，掌握二次根式混合运算方法. 【情感态度】 通过多项式乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用，体验迁移、化归思想，使学生进一步形成符号感，提高数学应用意识. 【教学重点】 二次根式的混合运算. 【教学难点】 多项式的乘除法则及乘法公式在二次根式运算中的应用方法. 一、情境导入,初步认识 问题我们知道：（x+y）·xy=x·xy+y·xy=x2y+xy2， （2x2y+3xy2）÷xy=2x2y÷xy+3xy2÷xy=2x+3y， （x+y）（x-y）=x2-y2及（x+y）2=x2+2xy+y2，…… 试问：如果上述各式中的x，y分别代表着一个二次根式，我们会有哪些新的收获呢？ 【教学说明】引入上述关于多项式的乘除算式及乘法公式，进而提出新的问题的目的在于暗示二次根式的运算与多项式的运算之间的联系，激发学生的求知欲望和探究意识. 二、思考探究，获取新知
探究1由（x+y）·z=x·z+y·z=xz+yz，你能求出的值吗？你是怎样做的？ 探究2由，你能求出 的值吗？由此你有何发现？类似地，请解决以下几个小题. 【教学说明】让全班同学共同参与探究，相互交流，在类比的过程中尝试给出问题的答案.教师巡视，予以点拨，肯定学生的成绩，并引导学生完善对二次根式混合运算的初步认识，最后师生共同给出问题的结果. 【归纳结论】 1.二次根式的混合运算与整式的运算方法完全相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号. 2.在二次根式的运算中，多项式的乘法法则和乘法公式仍然适用. 三、典例精析，掌握新知 例1 计算下列各题：
二次根式混合计算练习(附答案)
二次根式混合计算 (2 ”「 _ _ _ _ _ _ 18 — 2 计算：(1 2)(1 一.. 2) .50 -2.32 .12 .3 ? 、2 . 2 ； 24 - 96 ；、： 1 27- . 48+ ； . 12+ 75 计算：（八）（2 + 3）+ -宀亠二°- 2 计算(兀-3)0- (J2+1)( J2 -1) + 屁十卜E_2 ___ 1 1 1 2014 ) ( 1 +—1 1 +V 2 J 2+J 3 + L 1 L +…+ ——” ” ) .3,4 . 2013 ,2014 计算: 9（ —X ；厂 1；8?2「3） 计算: 2 x ( 2 + l) - _8 V2 迈 扌-心- 31 十； 计算: ...6 ■： - ‘ 2 八』24 3 48. 10.计算: (1)「32 + 18 — 50; 3 2 5 (2)(5-2 .6 ) x ( .2- 3 ); 11.计算: (3)(1+ . 2 + ,3 )(1- .2 - ,3); (4)( J 12 -4 J — )(2 \8 ；4?). (1) C ■ 24 - 2 2.12 —--5.2 4 12、计算,(-2)2 -、、2(、2 -2) 6 <3 (1 ) 3 _27 + .. (-3)2 - 3 -1 13、计算： (1) ,8 3 (2) i ：7 5 ,3)C ，7 - . 5 - . 3) 14、 3 -27「；』0 -、1 3 0.125 3 V4 V _ 2+73 _ 2 15、 已知 x = 2 _ 3」=2 ■ 3，求值：2x 1-63 64 16、计算：⑴ V20+V5 「3xy 2y 2. -W2442｝⑵(爲)2 +(兀十V 3) 0 — V 27 +73—2 17、计算（「? ：「（2）（ 6 -3 :-. 1 / 12 1 .计算题 （1）-■ 1「辽心一、： 计算（
二次根式的加减
第三讲：二次根式的加减 二、二次根式的加减 1、同类二次根式的概念：化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这样的二次根式就叫做同类二次根式。 例1．当a ＝________时，最简二次根式12-a 与73--a 是同类二次根式． 2、二次根式加减法运算步骤：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 例2：计算： （1）483 2315311312--+ （2）)5.0420010 1(08.027252+-+ （3）a a a a a a a 1082 363273223-+-
(4) 2 + + - + a b b a b a a b 三、二次根式的混合运算： 注：1、在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍成立； 2、在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 例3：计算： （1） 2 2)3 2 2 3( )3 2 2 3(- - + （2） )7 5 3 )( 7 5 3 (- + + -
（3 ） 2 1 2 (π) --++-+ （4） ? ÷ - 4 8 ) 8 3 2 (3 x x x x （5） 101 10010 3 10 3） （ ） （- +．
《二次根式》全章复习与巩固 一、化简 1、无条件的（所有字母取正数） ① 2、有附加条件的 a＜ ①0)
② 5(03)x x --＜＜ 3、 有隐含条件的（有意义的字母的取值范围） ① 2+ ② - 4、 需要分类讨论的 ① -
二、因式分解（实数范围内） ① 4 a++ ② 2 x x +-- ③ 2 215 x+- 三、解方程（组）
人教版数学八年级下册 16.3 二次根式的混合运算 教案
《二次根式的混合运算》教案 教学目标 知识与技能： 1、使学生理解实数范围内的运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中仍然适用. 2、会利用乘法公式进行二次根式的乘法运算及分母有理化. 3、使学生会熟练进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 过程与方法 讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点. 情感态度与价值观 1、培养学生进行类比的学习思想和理解运算律、乘法公式的广泛意义. 2、激发学生的求知欲和提高学生的运算能力. 教学重点
二次根式的混合运算. 教学难点 利用乘法公式进行计算及分母有理化. 教学过程 一、复习引入 1、对于实数我们学过哪些运算定律？分别用式子表示出来. (1)加法交换律：a+b=b+a； (2)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； (3)乘法交换律：ab=ba； (4)乘法结合律：(ab)c=(ac)b； (5)乘法对加法的分配律：(a+b)c=ac+bc. 1、单项式乘以多项式的法则是什么？(a+b)c=ac+bc； 多项式乘以多项式的法则是什么？(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+b d. 2、二次根式的加减法怎样计算？乘除法怎样计算？(口述)
(1)加减法：先化简每一个二次根式，再把被开数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变. (2)乘除法：利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质. a ? b =ab (a ≥0.，b ≥0) a b =a b (a>0，b ≥0) 1、以前我们学过哪些乘法公式？ 平方差公式b a b a b a 22))((-=-+ 完全平方公式b a b a ab 2222)(+±=± 二、探究新知识 让学生阅读教材“做一做”，解决下面的问题. (1)在梯形面积的计算中，包含二次根式的哪几种运算？按什么顺序运算的？ (2)计算过程中，每一步的依据是什么？ (3)整个计算运算运用了哪些运算律和二次根式的哪些性质？引导学生归纳：二次根式的混合运算是根据实数的运算律和运算顺序进行的.
二次根式混合计算练习(附标准答案)
二次根式混合计算 (2 ”「 2 .计算:(1 、2)(1 _ ? 2) ? 50 _2、32 、12 ? 3 ?丄18 _、2 '. √2 4. 计算：(2— 3)(2+ 3)+ —f —'—扌 5 .计算(兀一3) — (V 2 +1)( 2—1) + J 12 + 1/3—2 1 +J2014) ( ------- T= + --- +— --------- +…+ ---- ) 1 +√ 2 J 2+J 3 %? +√ 4 √201^√'2014 2 × ( .2 + 1 ) — -1^ 8 √2 √2 舟S 迈-3|+7 12、计算,(-2)2 - .2( .2 -2) 6 √3 6、计算: 9( — 2 -A I f (2 2-3 9 ?计算: 6 2 、24“ 3 - 48. 10.计算: (1) 1 . 32+1 .8-丄.50; 3 2 5 (2)(5-2 6) × ( 2 - 3); 11.计算: (3)(1+ ,2+..3)(1- .-2-..3); (4)( 12一4」(2 (1) C-24 - 2 13、计算： (1) , 8 3 1 1 、、3 √ √τ (2) ^.7 .5 .3)C-7 - .5-^3) 1 3 0.125 3 1 - 63 4 ■ 64 _ 2+73 _ 2 _ √3 15、已知 X= 2 - 3 , 丫 = 2 3 ,求值：2χ2 - 3xy 2y 2 . (3J 6 — 4√2 fe√6 + 4√2 )⑵(√3)2 + (兀十 √3)0 —√27 + V 3 — 2 14 、 1) 16、计算：⑴ √20+√5 17、计算（I ） 「- × r（2）（6 ÷3 ：■. 1 / 1 2 1 .计算题 （1） -■ 1「辽心一、： 3 .摇S-岳弋 S _______ S ______________ A I _____________________ _______ ?.一 27*48+ 「12+ 75 2 7 ?计算（ 8.计算: (1)
二次根式混合化简计算题
二次根式混合化简计算题 1. 2484554+-+ 2. 233232 6-- 3. 21 4 181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+- +++-+-=x y y x x y y x x x y 6 )(102 1 32531 -??； 7 z y x 10010101??-． 8. 521312321?÷； 9. )(b a b b a 1223÷?． (() 2 771+--
16. 已知：24 20-=x ，求221x x +的值． 17. ()1 ()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b ()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 19.. 把根号外的因式移到根号内： ()1.-()(2.1x -
20. ( 231 ?++ ? 22. (() 2 771+-- 23. ((((2 2 2 2 1111- 24. 22 - 26. (选做
28. 已知：x y ==3243223 2x xy x y x y x y -++的值。 29. 已知：11a a +=221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 31. 已知()1 -1 -039 32 2y x x x y x ，求 =+-+-的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）； （3）1452 －242 ； （4）3c 2ab 5c 2÷325b 2a
二次根式的加减练习题
21.3二次根式的加减法 班级 座号 姓名 成绩 一、填空与选择（每小题4分，共40分）． 1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数 ，称这几个二次根式为同类二次根式． 2．二次根式的加减：①先把各个二次根式化成 ____________；②再把 _____________分别合并． 3．下列各式中，与2是同类二次根式的是 （ ）. A ．23 B ．6 C ．8 D ．10 4. 已知二次根式42-a 与3是同类二次根式，则的a 值可以是（ ）. A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 5．计算8－2的结果是（ ）. A ．6 B ．6 C ．2 D ．2 6． 下列计算正确的是（ ） A 3= B ．532=+ C ． = D ．224=- 7．化简：3＋（5－3）=_____________. 8 ．计算：计算：_____________ 9．如果两个最简二次根式3213+-a a 与能合并，那么=a ________ 10．如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所 示的折线从A →B →C 所走的路程为_______m ．（结果保留根号） 二、计算与解答（60分）． 11．（20分）计算： （1）481227+- （2） ()() 1515-+
（3）225213 32+- （4）22)2332()2332(--+ 12.（8x ，小数部分为y ，求xy 的值. 13. （10分）先化简再求值： 215),6()3)(3(+= --+-a a a a a 其中 14．（提升与拓展）（10分）计算 211+＋321+＋431+＋…＋100 991+ 15.（提升与拓展）（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝472,472-=+BD ，求菱 形的边长和面积.
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算 例1．设 3131+-的整数部分是a ，小数部分是b ，试求22a b +的值。 例2．若a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简()()+--+++22c b a c b a ()()22b a c a c b --+-- 例3若x 、y 为实数，且y ＞322+-+-x x ，求11--y y x 的值。 例4计算：(22－3)2011( 22＋3)2012. 例5若x ＝10－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值. 三． 【课堂练习】 ⑴(3＋22)× 6 ⑵(827－53)· 6 （3）(3－22)(33－2)
（4）( 2 2－3)(3＋2) （5）(25－32)(25＋32) （6）(3－2) 2 （7）(32－45)2 （8）(3－22)(22－3) （9）(a－b)2（10）(1－23)(1＋23)－(1＋3)2 练习 1. 计算12(2－3)＝. 2. 计算⑴(2＋3)(2－3)＝；⑵(5－2)2010( 5＋2)2011＝. 3. 计算： ⑴12(75＋31 3－48) ⑵( 1 327－24－3 2 3)·12 ⑶(23－5)(2＋3) ⑷(5－3＋2)(5＋3－2) ⑸(312－21 3＋48)÷2 3
4. 已知a ＝3＋2 ，b ＝3－2，求下列各式的值. ⑴a 2－b 2 ⑵1a －1b ⑶a 2－ab ＋b 2 5. 若x ＝3＋1，求代数式x 2－2x －3的值. 五【能力拓展训练】 1计算： ⑴. 11 2 21231548333+-- ⑵. ()1485423313??-÷+-+ ??? ⑶()()()2743743351+--- ⑷. ()()()()222212131213++-- 2已知：1 110a a +=+，求221 a a +的值。
(完整版)二次根式混合运算教学案
二次根式的混合运算教学案 教学内容：二次根式混合运算第一课 教学目标: 知识与技能 认识并掌握二次根式的混合运算与以前学习的整式的运算规则的 关系，能进行二次根式的混合运算。 过程与方法 新问题与旧方法通过比较，让学生把根式看作一个单项式而转变 问题，学会审题，寻求有效的计算方法。 情感态度与价值观 培养学生类比学习的思想，勤于动手细心计算的良好习惯。 教学重点：明确二次根式混合运算的先后顺序，正确使用乘法公式进行计算 教学难点：把二次根式化简和正确应用完全平方公式 学情分析：虽然学生前面学习了二次根式的加减乘除运算，但是对根式的化简仍然不熟练， 所以特别要加强巩固，设计了准备性练习，然后通过引发思考----自主探究，获取新方法，通过学生独立计算，交流合作，促进知识与能力的形成。 教学过程 1、指出本节课题及学习目标 （1）认识并掌握二次根式加、减、乘、除、乘方混合运算规则。 （2）正确运用乘法公式进行二次根式的有关运算。 ２、PPT 知识准备 二次根式乘除加减的运算法则 完成下列计算:=?714 27 2232141=÷ 2231481483316 122+=++- 742525 12 4 =? 3、ppt 新课导入 知识迁移 提出思考 整式乘法用的字母若代表一个二次根式，我们会 同样进行计算吗？ 请同学完成导学案”探究发现”的5个计算问题，然后学生在交流中发现问题，自我质疑，教师再根据学生反馈的情况进行强调。 探究发现 尝试完成下列计算 （一）利用乘法的分配律，仿照单项式乘多项式的法则 ( ÷ （二）利用整式乘法公式 ( )( )523 2-+ ( )( )353 5-+ () 2 252- 归纳结论：PPt 4、精讲点拔 教师讲解并PPt 展示。教师对各式分析，让学生去完成计算。 例题一 ： （1 ）?÷ ? ) 2 - （2 ( 2 +（3） ( ) 3 68? +
二次根式混合运算习题完整版本
● 二次根式的运算 ● 一、知识点 ● 1、二次根式有意义的条件： ● 2、二次根式的双重非负性： ● 3、二次根式的平方公式： ● 4、二次根式的开方公式： ● ● 5、二次根式的乘法公式： ● 6、二次根式的除法公式： ● 7、最简二次根式： ● 8、同类二次根式： ● 9、二次根式的加法运算步骤： （1）先 ● （2）再 ● 10、二次根式的乘、除法运算步骤：（1）先 ● （2）再 ● 11、二次根式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号里 面的。 ● 二、练习 ● 填空 ● 1、计算：() ._______)62 1 (_______;5 .222 =- =- ● 2、化简：4 1 6 = ，3532?= 。 ● 3、二次根式 2 1 2--x x 有意义时的x 的范围是＿＿＿＿＿＿。 ● 4、若2 2 )2()2(-=-x x ，则x 的范围是 。 ● 5、一个等腰直角三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的面积为 。 ● 6、代数式3- __________ 。 ● 7、计算： () _______)3(24=-÷-a a = 。 ● 8、把34 -的根号外的因式移到根号内得 。 ● 9． ● 10是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． ● 11．分母有理化