中档大题规范练2(数列)
2.数 列
1.(2017·湖北部分重点中学联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a 2＝8，a 3＝24，{a n ＋1－2a n }为等比数列，n ∈N *.
(1)求证：????
??
a n 2n 是等差数列；
(2)求证：S n ≥2.
证明 (1)∵a 2－2a 1＝4，a 3－2a 2＝8， ∴a n ＋1－2a n ＝4×2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n
2
n ＝1， ∴????
??
a n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)可得a n
2n ＝1＋(n －1)×1＝n ，
∴a n ＝n ×2n ，
∴S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， ① 2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，
②
由①－②得－S n ＝(1－n )×2n ＋1－2， ∴S n ＝(n －1)×2n ＋1＋2. ∵n ∈N *，∴S n ≥2.
2.(2017届黑龙江虎林一中月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设等比数列{b n }的前n 项和为T n ，若q >0且b 3＝a 5，T 3＝13，求T n ； (3)设c n ＝1
a n a n ＋1
，求数列{c n }的前n 项和S n .
解 (1)?
????
a 3＝a 1＋2d ＝5，
S 3＝3a 1＋3×2
2d ＝9，解得?????
a 1＝1，
d ＝2，
所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.
(2)由题意可知，b 3＝a 5＝9，T 3＝13，所以公比q ＝3，从而b 1＝1， 所以T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－3n )1－3＝12(3n
－1).
(3)由(1)知，a n ＝2n －1.
所以c n ＝1
a n a n ＋1＝1
(2n －1)(2n ＋1)
＝12? ????
12n －1－12n ＋1， 所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n
＝12????
??????1－13＋????
13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1 ＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1
. 3.(2017·广东七校联考)设数列{a n }的前n 项之积为T n ，且log 2T n ＝n (n －1)2，n ∈N *.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝λa n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项之和为S n .若对任意的n ∈N *，总有S n ＋1>S n ，求实数λ的取值范围.
解 (1)由log 2T n ＝n (n －1)2
，n ∈N *
，得T n ＝(1)
22n n -，
所以T n －1＝(1)(2)
2
2
n n --(n ∈N *，n ≥2)，
所以a n ＝T n
T n －1
＝
(1)2
(1)(2)
2
22
n n n n ---＝(1)(1)(2)
22
2n n n n ----＝2n －1，n ∈N *，n ≥2.
又a 1＝T 1＝20＝1， 所以a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由b n ＝λa n －1＝λ2n －1－1， 得S n ＝λ·1－2n
1－2
－n ＝()
2n
－1λ－n ，
所以S n ＋1>S n ?()2n ＋1－1λ－(
)n ＋1>()
2n
－1λ－n ?2n λ>1?λ>12
n ，
因为对任意的n ∈N *，12n ≤1
2
，
故所求的λ的取值范围是???
?1
2，＋∞. 4.(2017·湖北黄冈质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n ，n )，b ＝(9n －7，2)，且a 与b 共线.
(1)求数列{}a n 的通项公式；
(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，
92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m
项和T m .
解 (1)a 与b 共线，S n ＝n (9n －7)2＝92n 2－7
2n ，
a 1＝1，a n ＝S n －S n －1＝9n －8，n ≥2， 所以a n ＝9n －8，n ∈N *. (2)对m ∈N *，若9m ＜a n ＜92m ， 则9m ＋8＜9n ＜92m ＋8. 因此9m －1＋1≤n ≤92m －1. 故得
b m ＝92m －1－9m －1. 于是T m ＝b 1＋b 2＋…＋b m
＝(9＋93＋…＋92m －1)－(1＋9＋…＋9m －1) ＝9(1－81m )1－81－1－9m 1－9
＝9×92m ＋1－10×9m
80.
5.(2017·河北衡水中学调研)设S n 为各项不相等的等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3a 5＝3a 7，S 3＝9.
(1)求数列{}a n 的通项公式；
(2)设T n 为数列????
??1a n a n ＋1的前n 项和，求T n
a n ＋1的最大值.
解 (1)设{a n }的公差为d ，
则由题意知，???
()a 1
＋2d ()a 1
＋4d ＝3()a 1
＋6d ，
3a 1
＋3×2
2
d ＝9，
解得????? d ＝0，a 1＝3(舍去)或?
????
d ＝1，
a 1＝2，
∴a n ＝2＋()
n －1×1＝n ＋1. (2)∵
1
a n a n ＋1
＝
1
()n ＋1()
n ＋2＝
1
n ＋1－1n ＋2
， ∴T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3
＋…＋1
a n a n ＋1
＝????12－13＋????13－14＋…＋? ????1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2()
n ＋2
， ∴
T n
a n ＋1＝n 2()
n ＋2
2
＝
n 2(
)
n 2
＋4n ＋4
＝
1
2?
???n ＋4＋4
n ≤1
2?
??
?
4＋2n ·4n ＝
116
， 当且仅当n ＝4
n ，即n ＝2时“＝”成立，
即当n ＝2时，T n a n ＋1
取得最大值1
16.
6.(2017·广西柳州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 4＝7，且a n ＋1＝a n ＋λn . (1)求λ的值及数列{}a n 的通项公式；
(2)设b n ＝1
a n ＋1－1，数列{}
b n 的前n 项和为T n ，证明：
T n ＜2.
(1)解 ∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋λn ， ∴a 2＝1＋λ，a 3＝1＋3λ，a 4＝1＋6λ， 由a 4＝1＋6λ＝7，∴λ＝1， 于是a n ＋1＝a n ＋n ，
∴a 1＝1，a 2＝a 1＋1，a 3＝a 2＋2，a 4＝a 3＋3，…， a n ＝a n －1＋(n －1)，n ≥2，
以上各式累加得a n ＝1＋1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)
＝1＋(n －1)(1＋n －1)2＝n 2－n ＋22，n ≥2，
又a 1＝1＝12－1＋2
2，
∴a n ＝n 2－n ＋22
，n ∈N *.
(2)证明 b n ＝1
a n ＋1－1＝2
n (n ＋1)＝2?
????
1n －1n ＋1，
∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝2????1－12＋2????12－13＋2????13－14＋…＋2? ????1n －1n ＋1＝2? ????1－1n ＋1， ∴T n ＜2.