平面向量数量积运算的解题策略

平面向量数量积运算的解题策略

发表时间：2016-03-31T10:21:15.123Z 来源：《素质教育》2016年2月总第195期作者：钱周年[导读] 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积。

平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现，而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量，因此要注意数量积运算和实数运算律的差异，本文仅举例求解向量数量积运算的方法和策略。

一、利用定义直接求解

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

平面向量的数量积及运算律测试题

平面向量的数量积及运算律同步练习 一、选择题： 1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( ) A.－６ B.６ C.３ D.－３ 2．若AP 31 = PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( ) A ．41 B ．43 C ．34 D ．3 4- 3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120?，则-|a b|等于 （ ） A ．36 B ．12 C ．6 D ．36 4．若| |＝2sin15°，| |＝4cos375°、 ， 夹角为30°，则 · 为（ ） A ． 2 3 B ．3 C ．32 D ．21 5．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16，0 D ．4，0 7．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 8．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=?=? （ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．6 5π 10．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 11．设)4 1,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ，且,2 0,||π θ<

高中数学必修四之知识讲解_平面向量的数量积_基础

平面向量的数量积 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 【要点梳理】 要点一： 平面向量的数量积 1. 平面向量数量积(内积)的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ?，即有 ()cos 0a b a b θθπ?=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释： 1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ?；今后要学到两个向量的外积a b ?，而a b ?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若0a ≠，且0a b ?=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ?=，不能推出 0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0?时投影为b ；当θ=180?时投影为b -. 要点二：平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ?的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中 1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11|| a OB OB a =? ． 事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <； 当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当0 0θ=时，由于cos 1θ=，所以

平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用 突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题 意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”． 突破点(二) 平面向量数量积的应用 的关系 平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)．

平面向量数量积及运算基础练习题

精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]

求解平面向量数量积的三种方法

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/d615414228.html, 求解平面向量数量积的三种方法 作者：谢伟杰 来源：《读写算》2018年第34期 摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。 关键词平面向量数量积；解法 中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01 做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。 一、原题呈现 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则 的值为（） 二、解法展示与对比 解法一：如图1， 解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。则，， 解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故 作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相 反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。

平面向量的数量积运算

考点71 平面向量的数量积运算 1．（13天津T12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ?∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE = , 则AB 的长为 . 【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算. 【难易程度】简单 【参考答案】 12 【试题解析】用,AB AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC =AD AB + ，12 BE BC CE AD AB =+=- ， ∴AC BE =221122 AD AB AD AB AD AB -+- 211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ? =+-= ，（步骤1） ∴1 2 AB = .（步骤2） jxq59 2.（13新课标Ⅰ T13）已知两个单位向量,a b 的夹角为60 ，c ＝t a ＋(1－t )b 若b c ＝0，则t ＝__________. 【测量目标】平面向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】2t = 【试题解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b c ＝t a b ＋(1－t )|b |2.（步骤1） 又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60 ，b ⊥c ，∴0＝t |a | |b |cos 60 ＋(1－t )， 0＝ 1 2 t ＋1－t .∴t ＝2.（步骤2） 3.（13江西T12）设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π 3 ,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________. 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】 52

平面向量的数量积习题(精品绝对好)

平面向量的数量积(20131119)作业 姓名 成绩 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－1 2 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.???? 79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79 ，－7 3 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－3 2 B ．－23 C.23 D.3 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的 夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

平面向量数量积运算专题(附标准答案)

平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( )

A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________.

平面向量的数量积的求法

平面向量的数量积的求法 一、知识储备 1．向量的夹角 已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角 的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积 3.平面向量数量积的性质 设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ?a ·b ＝0. (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b |a ||b | .(5)|a ·b |≤|a ||b |. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到： (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0. [方法与技巧] 1．计算数量积的五种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义、基向量法、极化公式法，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用． 2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算的解题方法与策略 平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法 上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数 量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举 数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。 1.利用数量积运算公式求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛, 即(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ·b ＋b ２ 上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中 可以直接应用. 例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ·b ＋b ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３ ∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ·b ＋b ２＝2２－2×（－3） ×５２＝35， ∴｜a －b ｜＝35． 例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°). 解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ·b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜·｜b ｜ｃｏ ｓθ＋｜b ｜ ２ ∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２， ∴ｃｏｓθ＝40 23，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y ) 又（xa +yb ）⊥a ?(xa +yb )·a ＝０?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0 即25x +24y ＝０ ① 又｜xa +yb ｜=1?｜xa +yb ｜２＝１?（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１ 整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ② 由①②有24xy +25y ２＝１ ③ 将①变形代入③可得：y =±7 5 再代回①得：??? ????=-=???????-==75 3524753524y x y x 和

高中数学——平面向量数量积的教学设计

《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。

2.学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律； ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的

平面向量的数量积运算

平面向量的数量积运算

考点71 平面向量的数量积运算 1．（13天津T12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ? ∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE =, 则AB 的长 为 . 【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算. 【难易程度】简单 【参考答案】12 【试题解析】用,AB AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC =AD AB +，12 BE BC CE AD AB =+=-， ∴AC BE =2 211 22 AD AB AD AB AD AB - +- 211122AB AD AB =+-2111cos601 22 AB AD AB ? =+-=，（步骤1） ∴12 AB =.（步骤2） jxq59 2.（13新课标Ⅰ T13）已知两个单位向量,a b 的夹角为60，c ＝t a ＋(1－t )b 若b c ＝0，则t ＝

__________. 【测量目标】平面向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】2t = 【试题解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b c ＝ta b ＋(1－t )|b |2.（步骤1） 又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60＋(1－t )， 0＝12t ＋1－t .∴t ＝2.（步骤2） 3.（13江西T12）设1 e ,2 e 为单位向量.且1 e ,2 e 的夹角 为π3 ,若1 2 3=+a e e ,1 2=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________. 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】52 【试题解析】1 2 1 (3)2||cos ||||||||2 θ+===e e e a b a b a a a b b 21 12 π 2611cos 2653. 2 2 2 +???+= ==e e e 4．(13福建T7)在四边形ABCD 中，(1,2)AC =， (4,2) BD =-，则四边形的面积为 （ ） A ．5 B ．25 C ．5

“三法”解决平面向量数量积问题

“三法”解决平面向量数量积问题 L ——> > ［典例］ 已知在△ ABC 中，AB = 4 ,AC = 6, BC =■ 7,其外接圆的圆心为 0,则AO -BC 偲路点拨］ 本题如果直接利用向量数量积的定义求解，计算复杂，过程较长?我们可以从以下三 种思路着手： (1) 利用数量积的几何意义，及数形结合思想，可以巧妙解决该题； (2) 选择——t ,——？为基底，利用向量基本定理，将——6 ?——？转化到两个基底之间的运算, 问题自然就能顺利解决. ⑶设D 是边BC 的中点，根据题意可知 0D 丄BC ,因此方便建立平面直角坐标系，利 用坐标运算解答问题. ［方法演示］ 法一：投影法 如图，作0D 丄BC ,垂足为D ，贝U D 是线段BC 的中点. 作AE 丄BC ,垂足为E. 则——0在——6 的方向上的投影为 -- 6 --------- 6 ---- 6 |AO | c os 〈 AO , BC 〉= |ED ——> |, 所以——0 -B 0 =|——°| |——°| cos 〈——0 ,——？> = |ED ——o | |——°|. 在厶 ABC 中，AB = 4, AC = 6, BC = 7, AB 2+ BC 2- AC 2 __ 13 2AB BC =- 8.7. 所以 cos/ ABE = cos( —/ ABC) = 13 , 8寸7 所以 BE = AB cos/ ABE =_13. 2^7 所以 |ED ——o |= BE + BD = 13 +；7 207 2 因为 |1B C |= 7, -- 6 -- 6 ---------------- 6 所以 AO - BC = |ED ——-61 | BC |= 10. 由余弦定理，得 cos/ ABC =

平面向量的数量积及运算律经典练习题

第十一教时 教材：平面向量的数量积及运算律 目的：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。 过程： 一、复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。 它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。 二、导入新课： 1．力做的功：W = |F|?|s|cosθ θ是F与s的夹角 2．定义：平面向量数量积（内积）的定义，a?b = |a||b|cosθ， 并规定0与任何向量的数量积为0 。? 3． 4．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1?两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定。 2?两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b， 而ab是两个数量的积，书写时要严格区分。 3?在实数中，若a≠0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a≠0，且a?b=0， 不能推出b=0。因为其中cosθ有可能为0。这就得性质2。 4?已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc ? a=c。但是c 如右图：a?b = |a||b|cosβ = |b||OA| b?c = |b||c|cosα = |b||OA| ?ab=bc但a≠c 5?在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c≠a(b?c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般 a与c不共线。 5．例题、P116—117 例一（略） 三、投影的概念及两个向量的数量积的性质： 1．“投影”的概念：作图 定义：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影。 注意：1?投影也是一个数量，不是向量。 2?当θ为锐角时投影为正值； 当θ为钝角时投影为负值； 当θ为直角时投影为0； 当θ = 0?时投影为|b|； 当θ = 180?时投影为-|b|。 2．向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积。 3．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 1?e?a = a?e =|a|cosθ 2?a⊥b?a?b = 0 3?当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = -|a||b|。 特别的a?a = |a|2或a a a? =| | C θ = 0? θ = 180? O O B B A A O O B O B1 O a b θ A O O B O B1 O a b θ A O O B O (B1) O a b θ

微专题9平面向量数量积的常见求法答案

微专题9 例题 答案：(1)135°；(2)194 ；(3)60°. 解析：(1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－54212×9＝－22 ，∵0°＜θ＜180°，∴θ＝135°. (2)由题意a ·b ＝|a ||b |cos120°＝4×2×)2 1(-＝－4，∵(a ＋k b )⊥(5a ＋b )， ∴(a ＋k b )·(5a ＋b )＝0，即5a 2＋(5k ＋1)a ·b ＋k b 2＝0， ∴5|a |2＋(5k ＋1)·(－4)＋k |b |2＝0，∴5×16－(20k ＋4)＋4k ＝0，∴k ＝194 . (3)因为a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，∴? ??（a ＋3b ）·（7a －5b ）＝0，（a －4b ）·（7a －2b ）＝0， ? ?7a 2＋16a · b －15b 2＝0①，7a 2－30a · b ＋8b 2＝0 ②， ①－②得：2a ·b ＝b 2③，将③代入①得a 2＝b 2即|a |＝|b |.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝12b 2|b |2＝12 .又∵0°＜θ＜180°， ∴θ＝60°. 变式联想 变式1 答案：)21,7(--∪),2 1(+∞-. 解析：因为向量k a ＋b ，a －2b 的夹角为钝角，所以(k a ＋b )·(a －2b )＜0且排除k a ＋b ，a －2b 共线反向． (k a ＋b )·(a －2b )＝k a 2－2b 2＋(1－2k )a ·b ＝4k －32＋4(1－2k )＜0，所以k ＞－7. 设k a ＋b ＝λ(a －2b )，所以λ＝k ＝－12.所以实数λ的取值范围是)21,7(--∪),2 1(+∞-.. 变式2 答案：2. 解析：由题意可知AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝AD →＋1λ AB →，又AE →· AF →＝1，所以)31(+·)1(λ +＝1，即 )311(λ+AB →·AD →＋1λAB →2＋13AD →2＝1，即)311(λ+×2×2×)21(-＋1λ ×4＋13×4＝1，解之得λ＝2.

平面向量坐标运算及其数量积习题

平面向量坐标及数量积练习 1. 已知e 1→,e 2→是一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( ) A. e 1→, e 1→+e 2→ B. e 1→—2e 2→, e 2→—2e 1→ C. e 1→—2e 2→, 4e 2→—2e 1→ D. e 1→+e 2→, e 1→—e 2→ 2. 若a →,b →不共线且λa →+μb →=0→(λ , μ ∈ R), 则 ( ) A. a →=0→,b →=0→ B. λ=μ=0 C. λ=0, b →=0 D. a →=0→, μ=0 3. 如图1，ΔABC 中，M, N, P 顺次是AB 的四等分点, CB →=e 1→, CA →=e 2→, 则下列正确的是( ) A. CN →=12e 1→+12e 2→, CM →=14e 1→+34e 2→ B. AB →=e 1→—e 2→, CP →=14e 1→+34 e 2→ C. CP →=34e 1→+14e 2→, AM →=14(e 1→+e 2→) D. AM →=14 (e 1→—e 2→), AB →=e 1→+e 2→ 4. 若|a →|=1,|b →|=2,c →=a →+b →且c →⊥a →, 则向量a →与b →的夹角为 ( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知单位向量i →与j →的夹角为60°,则2j →—i →与i →的关系为 ( ) A. 相等 B. 垂直 C. 平行 D. 共线 6 下列命题中真命题的个数为 ( ) ①|a →·b →|=|a →|·|b →|；②a →·b →=0 ? a →=0→或b →=0; ③ |λa →|=|λ|·|a →|; ④ λa →=0→ ? λ=0或a →=0→ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 设a →,b →,c →是单位向量，且a →·b →=0，则(a →—c →)·(b →—c →)的最小值为 ( ) A. —2 B. 2—2 C. —1 D. 1— 2 8. 若点A 的坐标是(x 1, y 1)，向量AB →的坐标为(x 2, y 2)，则点B 的坐标为 ( ) A ．(x 1—x 2, y 1—y 2) B ．(x 2—x 1, y 2—y 1) C ．(x 1+x 2, y 1+y 2) D ．(x 2—x 1, y 1—y 2) 9. 已知M(3，—2), N(—5,—1)，且MP →=2MN →, 则MP → = ( ) A ．(—8，1) B ．(—4, 12) C ．（—16, 2） D ．(8, —1) 10 与a →=(3,4)垂直的单位向量是 ( ) A. (45, 35) B. (—45, —35) C. (45, —35)或(—45, 35) D. (45, 35)或(—45, —35) 11. A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以ΔABC 为 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 12.已知A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形ABCD 为 ( ) A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形 13.已知a →=(—3,4),b →=(5,2),c →=(1,—1), 则(a →·b →)·c →等于 ( ) A. —14 B. —7 C. (7,—7) D. (—7,7) 14.已知A(—1,1),B(1,2),C(3, 12) , 则AB →·AC →等于 ( ) A. 52 B. 152 C. —52 D. —152 15已知|m →|=6 ,n →=(cos θ,sin θ), m →·n →=9, 则m →, n →的夹角为 ( ) A.150o B.120 o C.60 o D.30 o 16.若a →=(—2,1)与b →=(—1,—m 5 )互相垂直，则m 的值为 ( ) A. —6 B.8 C. —10 D. 10 17. 已知M(3, —2), N(—5,—1)，且MP → = 12 MN →，则P 点的坐标 ( ) A ．(—4, 12) B ．(—1, —32 ) C ．(—1, 32 ) D ．(8, —1) 18. 已知a → = (3, —1), b → = (—1, 2), c → = 2a → + b →, 则 c → = ( ) A ．（6，—2） B ．（5，0） C ．（—5，0） D ．（0，5） 19. 已知a →=(—6, y ), b →=(—2, 1), 且a →与b →共线，则x = ( ) A ．—6 B ．6 C ．3 D ．—3 20. 已知A(2,—1),B(3,1), 与AB →方向相反的向量a →是 ( ) A ．a →=(1, 12) B ．a →=(—6,—3) C ．a →=(—1,2) D ．a → =(—4,—8)

平面向量数量积教学反思

平面向量数量积教学反思 一、本节课的设想与基本流程：本节课主要是研究向量与向量的内积的问题，也就是向量的数量积。因为之前刚学习了向量的线性运算，所以我就直接从向量的线性运算引入了数量积这一概念，请同学来回答数量积的概念，在此过程中特别强调了夹角的概念，强调要共起点。这是学生简易出问题的地方，因此后面安排的例题就特意考察了这一问题；另外还强调了两个向量的数量积不是一个向量，而是一个数量，这也是它与之前的线性运算的区别；接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。 二、我的体会：通过本节课的教学，我有以下几点体会： （1）让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。 （2）鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择适合的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。 （3）注重学生数学思维的培养本节通过分外到大凡进行观察归纳、合情推理，探求定义、性质和几何意义。在整个探求过程中，充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。 我感觉不够的有：（1）教师应该如何确凿的提出问题在教学中，教师提出的问题要详尽、确凿，而不应该模棱两可。（2）教师如何把握“收”与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考 1/ 2