数学物理方程习题解答案
数学物理方程习题解
习题一
1，验证下面两个函数：
(,)(,)sin x u x y u x y e y ==
都是方程
0xx yy u u +=
的解。
证明：（1
）(,)u x y =
因为322
2
22
2222
2222
22
322
222
2222
2222
222222
222222
1
1()22
()
2()()11()22()2()()0()()
x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y
u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-?
?=-
+++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++
所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。
（2）(,)sin x
u x y e y = 因为
sin ,sin cos ,sin x x x xx x
x
y yy u y e u y e u e y u e y
=?=?=?=-?
所以
sin sin 0x
x
xx yy u u e y e y +=-=
(,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。
2，证明：()()u f x g y =满足方程
0xy x y uu u u -=
其中f 和g 都是任意的二次可微函数。
证明：因为
()()u f x g y =
所以
()(),()()()()
()()()()()()()()0
x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??=
得证。
3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。
解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ=
所以2
(),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=?
(),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2
(43)()0f λλξ''-+=
因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2
-430 λλ+=从而12 =3,1λλ=，
故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有
12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。
4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相
同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于
[,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应
变）分别是
(,)u x t x ??与(,)u
x x t x
?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u
SE x x x x t x
?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u
SE x x x x t SE x x t x x
??+?+?-??
且合力的正向与坐标轴相同，设x 为微元质心的坐标，则质心处的加速度为22(,)u
x t x
??，
由牛顿第二定律有：
()()()()()22(,),,, u u u
x s x x t sE x x x x t sE x x t x x x x
x x x
ρ??????=+?+?-<<+????约去s ，并对右端应用中值定理，得
()()22(,)[], 01x x x u u
x x x t E x x x x x
θρθ=+???????=?<
约去x ?，并令0x ?→，即得：
()()u u x E x t t x x ρ????????
=????????????
由于弹性杆是均匀的，()x ρρ=（常数），()E x E =（常数）
从而22
222
u u a t x ??=??，其中2
E a ρ=（E 是杨氏模量，ρ是体密度）。
5， 一均匀细杆直径为l ，假设它的同一横截面上温度是相同的，杆的表面和周围介质发生
热交换，服从规律 11()dQ K u u dSdt =-
记杆的体密度为ρ，比热为C ,热传导系数为K .试导出此时温度u 满足的微分方程。 解：取杆轴为x ，考察杆位于[]12,x x 段在[]12,t t 时间区间上的热平衡，在[]12,t t 时间内，
[]12,x x 段的侧面流入的热量为：
22
1
1
111()t x t x Q K u u ldxdt π=
--??
在点1x ，2x 处截面流入该段的热量为：
2
21
1
22
2132(,),(,)44
t t t t u l u l Q K x t dt Q K x t dt x x ππ??=-=???
?
所以
2
2
221
1
11
22
123112(,)()4
t x t x t x t x u l Q Q Q Q K x t dxdt K u u ldxdt x ππ?=++=--??
?
??
温度升高所吸收的热量：
()[]2
1
2
2
112211
212()(,)(,) 4x x t x t x t x t x Q C x x S u x t u x t dx
u
c s
dxdt t l u c dxdt
t
ρρπρ=-?=
??=??????
由能量守恒定律得：
22
1
1
222112[
()]044
t x t x l c u
U l K K u u l dxdt t x πρππ??-?+-=????
由1212,,,x x t t 的任意性，有
21
124()k u k u u u t c x c l
ρρ??=--??。 6,设某溶质在溶液中扩散，它在时刻t 溶液中点(,,)x y z 处的浓度用函数(,,,)u x y z t 表示，试导出u 所满足的微分方程。 解：由Nernst 定律得
(,,)
u
dm D x y z dsdt n
?=-? 上式中u 表示扩散物质浓度，dm 为在dt 时间内经过面ds 扩散物质的量，(,,)D x y z 为扩散系数。
在[]12,t t 时段内通过边界曲面S 流入区域Ω的质量为
2
12
12
1
222222 [
()()()] ()t t s
t t t t u m D
dsdt n
u u u
D D D dxdydzdt x x y y z z
u u u
D dxdydzdt x y z Ω
Ω
?=???????=++?????????=++????
???????
??? 从时刻1t 到2t ，Ω中该物质质量的增加为：
2
1
2
1
[(,,,)(,,,)]t t u x y z t u x y z t dxdydz
u
dtdxdydz t
Ω
Ω
-?=????????
从而，由质量守恒定律有
2
21
1222222()t t t t u u u
u D dxdydzdt dtdxdydz x y z t ΩΩ
????++=?????
???????
交换积分次序可得：
2
1
222222 [()]0t t u u u u
D dxdydzdt x y z n Ω
????++-=?????
??? 由于1t ，2t 在区域Ω都是任意的，可以得到
222222()u u u u
D t x y z
????=++???? 7,一根均匀杆原长l ，一段固定，另一端拉长ε而静止，然后突然放手任其振动，试写出其
定解问题。
解：设点在0x =处固定，在x l =处拉长ε而静止，然后突然放手任其振动，则方程为
2,0,0tt xx u a u x l t =<<>。
边界条件为：0
0,0x x l
u u x ==?==?； 初始条件为：00
,0t t
t u
x u l
ε
===
=。
8，长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是()
2
x l x -，试写出其定解问题。 解：侧面绝热，方程为
2
,0,0t xx u a u x l t =<<>
边界条件为 0
0,,0x x
x l
q
u u t k
====
> 初始条件为 0()
,02
t x l x u
x l =-=
<< 9，长度为l 的均匀细杆，初始温度为0℃，端点0x =处保持常温0u ，而在x l =处和杆的侧面热量可以散发到周围介质中去，设周围介质的温度为0℃。试列出杆上的温度分布函数
(,)u x t 所满足的定解问题。
解：类似第5题，可得方程22
,0,0t xx u a u b u x l t =-<<>。其中
2
k a c ρ
=
，2
14k b c l ρ=
边界条件为: 0
0,(
)0x x l u
u u hu x
==?=+=? 初始条件为：0
0t u
==
10，设函数1(,)u x t 和2(,)u x t 分别是定解问题
200012,0,0,0,0,(),()tt xx t t t x x l u a u x l t u u u t u t ??====?=<<>?==??==?和201020,0,0,(),(),0,0
tt xx t t t x x l u a u x l t u x u x u u ψψ====?=<<>?==??==? 的解，试证明函数12u u u =+是定解问题
20102012,0,0,(),(),(),()
tt xx t t t x x l u a u x l t u x u x u t u t ψψ??====?=<<>?
==??
==? 的解。 证明：
利用叠加原理Ⅰ得,1,2i i Lu f i ==，其中0i f =。因为()1,u x t 是定解问题一得解，
()2,u x t 是定解问题二的解。所以2
1
i i i u c u ==∑必满足2tt xx u a u =。
又因为对定解问题一有
1010
1
11
20,0,
(),()
t t
t x x l
u u u t u t ??========，
对定解问题二有
20120
22
2
(),(),
0,0
t t t x x l
u x u x u u ψψ========
所以0
1
2
1()t t t u
u u x ψ====+=；
同理可得1u 与2u 的边界条件与初始条件累加均满足定解问题三。得证。
11，设函数1(,)u x t 和2(,)u x t 分别是定解问题
2000,0,0,0,t xx t x x l u a u x l t u u u u ?===?=<<>?=??==?（Ⅰ）和200(,),0,0,
00,0
t xx t x x l u a u f x t x l t u u u ===?=+<<>?=??==?（Ⅱ） 的解，试证明函数12u u u =+是定解问题
2000
(,),0,0,0,t xx t x x l u a u f x t x l t u u u u ?
===?=+<<>?
=??
==?（Ⅲ） 的解。
证明：利用叠加原理得,1,2i i Lu f i ==，其中（Ⅰ）式f =0，（Ⅱ）式的f 为(),f x t 。 因为()1,u x t 是定解问题一得解，()2,u x t 是定解问题二的解。所以它们的线性组合
21
i i i u c u ==∑必满足方程2
1
i i i Lu c f ==∑，即12u u u =+是方程2(,)t xx u a u f x t =+的解。
又因为对定解问题（Ⅰ）有1
t u ?==，1
100,x x l
u u u ====；对定解问题（Ⅱ）有2
0t u ==，2
2
0,0x x l
u u ====。所以0
1
02
t t t u
u u ?====+=，同理可得1u 与2u 的边
界条件与初始条件累加均满足定解问题三。得证。
习题二
1，
用分离变量法解齐次弦振动方程
2tt xx U a U =， 0x l <<， 0t >
的下述混合问题：
（1）(,0)0,(,0)(),(0,)(,)0t U x U x x l x U t U l t ==-==
（2）2
(,0)2,(,0)0,(0,)(,)0t x U x x lx U x U t U l t =-===
（3）3(,0)sin(
),(,0)(),(0,)(,)0t x
U x U x x l x U t U l t l
π==-== 解：（1）第一，求()X x 与()T t 所满足的常微分方程
设满足方程和齐次边界条件的特解形式为(,)()()U x t X x T t =，代入方程得 2
()()()()X x T t a X x T t ''''= 即
2
()()
()()
T t X x a T t X x λ''''==- 所以得到()X x 与()T t 所满足的两个常微分方程：
2()()0T t a T t λ''+=
()()0X x X x λ''+=
第二，解特征值问题
为了要特解形式满足边界条件，必须有 (0,)(0)()0U t X T t ==
(,)()()0U l t X l T t ==
因为()T t 不能恒为零，所以(0)()0X X l ==