有一组数据(如下),分别为二维向量,这四个数据对应的协方差矩阵是多少
解答:
由于数据是二列(X的列数),所以协方差矩阵是一个2*2的矩阵,矩阵的每个元素为:
元素(i,j) = (第 i 维所有元素 - 第 i 维的均值) * (第 j 维所有元素 - 第 j 维的均值) 除以(第 i or j 维元素个数(X的行数)-1)。
其中「*」代表向量内积符号,即两个向量求内积,对应元素相乘之后再累加。
我们首先列出第一维:
D1: (1,3,4,5) 均值:
D2: (2,6,2,2) 均值:3
下面计算协方差矩阵第(1,2)个元素:
元素(1,2)=,,,*(2-3,6-3,2-3,2-3)/3=-1/3=
类似的,我们可以把X对应的协方差矩阵各个元素都计算出来:
总结一下协方差矩阵的特点:
协方差矩阵是对称阵。
对角线元素(i,i)为数据第 i 维的方差。
非对角线元素(i,j)为第 i 维和第 j 维的协方差。