届全国大联考高三第二次联考数学试卷

2007届全国大联考高三第二次联考数学试卷

第Ⅰ卷 (选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合M={y| y=x+1}，N={(x ，y)|x 2 +y 2

=1}，则M N 中元素的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．多个

2．已知复数1z =a+i ，z 2=1+a 2 i ，若1

2z z 是实数，则实数a 的值等于 A ．1 B ．－1 C ．－2 D ．2

3．函数()x log a x f a x +=在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为4

1-，最大值与最小值之积为8

3-，则a 等于 A ．2 B ．

21 C ．2或21 D ．32 4．若函数f (x)= e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为

A ．2

π B ．0 C ．钝角 D ．锐角 5．已知实数a 、b 满足等式b log a log 32=，下列五个关系式：

① 0

其中不可能成立的关系式有

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6．函数f (x)为奇函数且f (3x+1)的周期为3，f (1)=－1，则f (2006)等于

A ．0

B ．1

C ．一1

D ．2

7．设f (x)的定义域为R 且存在反函数，若f (2x －1)与()1x f

1+-互为反函数，且已知()x f lim 1x -+∞→存在，则()x f lim 1x -+∞

→)等于 A ．1 B ．21 C ．2 D ．2

3 8．函数()

2ax x log y 2a +-=在[2，+∞]上恒为正数，则实数a 的取值范围是 A ．0

5 D ． 2θ 的概率

是

A ．21

B ．31

C ． 127

D ． 12

5 10．已知函数f (x)是定义在(－3，3)上的奇函数，当0

时，f(x)

的图象如图所示，则不等式f (x) cosx<0的解集是

A ．(－3，－2π) (0，1) (2

π，3) B ．(－2π，一1) (0，1) (2

π，3) C ．(－3，－1) (0，1) (1，3) D ．(－3，－

2π) (0，1) (1，3)

第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上

11．在平面直角坐标系中，x 轴的正半轴上有4个点，y 轴的正半轴上有5个点，这9个点

任意两点连线，则所有连线段的交点落入第一象限的最多有______个.

12．已知函数()()()()???≥<-+-=1x a

1x 2

a 7x 1a 2x f x 在(－∞，+∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是_________________. 13．若()

()()()()11112210921x a 1x a 1x a a 2x 1x -++-+-+=-+ ，则 ()()=+++-+++2104221131a 10a 4a 2a 11a 3a ______(用数字作答).

14．如图正六边形ABCDEF 中，AC ∥y 轴．从六个顶点中任取三点，使这三点能 确定一条形如y=ax 2

+bx+c (a ≠0)的抛物线的概率是

_______________.

15．购买手机的“全球通”卡，使用时须付“基本月租费”

(每月须交的固定月租费)50元，在市区通话时每分钟另收

话费0.4元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，

但市区内通话时每分钟另收话费0.6元．若某用户每月手机

费预算为120元，则在这两种手机卡中，购买__________卡

较合算.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

16．(本小题满分12分)

二次函数f (x)满足f (x+1)－f (x)=2x ，且f (0) =1.

(1) 求f (x)的解析式；

(2) 在区间[－1，1]上，y=f (x)的图象恒在y=2x 十m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围．

17．(本小题满分12分)

小张有一只放有a 个红球，b 个黄球，c 个白球的箱子，且a+b+c =6 (a ，b ，c ∈N)，小刘有一只放有3个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时小张胜，异色时小刘胜.

(1) 用a 、b 、c 表示小张胜的概率；

(2) 若又规定当小张取红、黄、白球而胜的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求小张得分的期望的最大值及此时a 、b 、c 的值.

18．(本小题满分14分)

已知函数f (x) = (x －a)(x －b)(x －c).

(1) 求证：()x 'f = (x －a)(x －b)+(x －a)(x －c)+(x －b)(x —c)；

(2) 若f (x)是R 上的增函数，是否存在点P ，使f (x)的图象关于点P 中心对称? 如果存在，请求出点P 坐标，并给出证明，如果不存在，请说明理由．

19．(本小题满分14分)

某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售．第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件．第二年，商场开始对该商品征收比率为p ％的管理费(即销售100元要征收p 元)，于是该商品的定价上升为每件100

p 170-元，预计年销售量将减少p 万件. (1) 将第二年商场对该商品征收的管理费y(万元)表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；

(2) 要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p ％的范围是多少?

(3) 第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少?

20．(本小题满分14分)

已知函数y= f (x)对于任意实数x ，y 都有f (x+y) =f (x)+f (y)+2xy .

(1) 求f (0)的值；

(2) 若f (1)=1，求f (2)，f (3)，f (4)的值，猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论(n ∈N *)；

(3) 若f (1)≥1，求证：021f n >??

?

?? (n ∈N *)． 21．(本小题满分14分) 定义在(－1，1)上的函数f (x)满足：对任意x ，y∈(－1，1)都有 ()()???

? ??++=+xy 1y x f y f x f (1) 求证：函数f (x)是奇函数；

(2) 若当x ∈(－1，0)时，有f (x)>0，求证：f (x)在(－1，1)上是减函数；

(3) 在(2)的条件下解不等式：0x 11f 21x f >??? ??-+??? ??

+．