2020-2021学年河北定兴三中高二上学期期中数学(理)试卷

2020-2021学年河北定兴三中高二上学期期中数学（理）试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{|(1)(3)0}A x x x =--<，{|24}B x x =<<，则A

B =（ ） A ．()1,3 B ．()1,4

C ．()2,3

D ．()2,4 2．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）

A ．167

B ．137

C ．123

D ．93

3．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）

A ．()22-，

B ．()40-，

C ．()44--，

D ．()08-，

4．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）

A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B.若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行

C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D.若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面

5．设x ∈R ，则“|x ∈2|<1”是“x 2∈x ∈2>0”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 6．下列命题中是假命题的是( )

A ．∈x∈(0，2

π)，x>sinx B ．∈x 0∈R ，sinx 0＋cosx 0＝2

C ．∈x∈R ，3x >0

D ．∈x 0∈R ，lgx 0＝0

7．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．向边长分别为3、4、5的三角形区域内随机投一点M ，则该点M 与三角形三个顶点距离都大于1的概率为（ ）

A ．118π-

B ．112π-

C ．19π-

D ．14

π-

92，则其侧面与底面的夹角为

A ．3π

B ．4π

C ．6π

D ．12

π 10．若样本数据1x ，2x ，???，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，???，1021x -的标准差为（ ）

A.8

B.15

C.16

D.32

11．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A.1 B.

21

11 C.2110 D.215 12．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN =（ ） A ．2

B ．8

C ．4

D ．10

二、填空题

13．命题p:有一个素数含有三个正因数，则p ?为___________

14．用秦九韶算法计算多项式f(x)=5x 5+4x 4+3x 3+2x 2+x +1当x =4时的值时，乘法运算的次数为_．

15．已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个正方体的对角线长_____

16．已知椭圆22:91C x y +=,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点

A ，

B ，线段AB 的中点为M .则直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为_____

三、解答题

17．抽样调查某大型机器设备使用年限x 和该年支出维修费用y （万元），得到数据如下

部分数据分析如下 5125i i y

==∑， 51112.3i i i x y ==∑， 5

2190i i x ==∑ 参考公式：线性回归直线方程为y bx a =+，1221n

i i

i n i i x y nx y b x

nx

==-=-∑∑ （1）求线性回归方程；

（2）由（1）中结论预测第10年所支出的维修费用.

18．已知p ：，，q ：，，

（1）若q 是真命题，求m 的范围；

（2）若为真，求实数m 的取值范围．

19．在三棱锥ABC S -中，ABC ?是边长为的正三角形，平面⊥平面，2==SC SA ，、分别为、的中点

.

（Ⅰ）证明：⊥；

（Ⅱ）求三棱锥CMN B -的体积.

20．某学校对任课教师的年龄状况和接受教育程度（学历）做调研，其部分结果（人数分布）如表： 学历

35岁以下 35～50岁 50岁以上 本科

80 30 20 研究生

x 20 y

（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；

（2）若按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为

，求x 、

y 的值.

21．已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=.

（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；

（2）若定点P （1，1）分弦AB 为12

AP PB =，求此时直线l 的方程.

22．点(),M x y 与定点()1,0F 的距离和它到直线:2l x =的距离的比为

2， （Ⅰ）求点M 的轨迹.

（Ⅱ）是否存在点M 1

y +=的距离最大？最大距离是多少？

参考答案

1．C

【分析】

根据不等式的解法可得{|13}A x x =<<，从而由集合的交集运算可求得结果.

【详解】

根据题意，{|13}A x x =<<，则{|23}(2,3)A B x x ?=<<=.

故本题正确答案为C.

【点睛】

本题考查集合的基本运算和简单不等式的解法，认真计算是关键，属基础题.

2．B

【解析】

试题分析：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60， ∈该校女教师的人数为77+60=137，

考点：收集数据的方法

3．B

【解析】

试题分析：程序执行中的数据变化如下：1,1,0,0,2,0,2,1,x y k s t x y k ======== 13,2,2,s t ≥=-= 2,2,2,23,4,0,4,0,3,33x y k s t x y k =-==≥=-==-==≥成立，输出()40-，

考点：程序框图

4．D

【解析】

试题分析：由于α，β垂直于同一平面，则α与β平行，利用正方体的两个相邻侧面不满足题意，故①不对；

若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行，可能相交也可能平行也可以异面，故②不对； 若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线，利用正方体中点侧面与底面，侧面的上底面的棱与下底面的棱，能够找到平行线，所以③不正确；

若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面，如果两条直线垂直同一个平面，则两条直线平行，所以④正确．

考点：命题的真假判断与应用

5．A

【分析】

根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，

由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，

即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，

故选A ．

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．

6．B

【解析】

试题分析：sin cos sin cos 4x x x x x π???+=+∴+∈ ????

，所以∈x 0∈R ，sinx 0＋cosx 0＝2

不成立

考点：命题真假的判定

7．B

【解析】

试题分析：程序执行的数据变化如下：

111,0,1,,1,1,2,21,2,1,1122

a k

b a k a k a ====--===--====成立，输出2k = 考点：程序框图

8．B

【解析】

试题分析：由题意三角形ABC 为直角三角形，面积为12

×3×4=6

离三个顶点距离都不大于1的地方恰好为半径为1的半圆，面积为1 2

π，如图

所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为

2

1=1

612

P

π

π

=--；

考点：几何概型

9．A

【解析】

试题分析：设正四棱锥V-ABCD的底面边长为a，高为VO=h，斜高为VE，如图，∠VEO为侧面与底面所成锐二面角的平面角．

对角面S△VAC=

1

2

×AC×VO=

1

2

2a×h=

2

2

ah

侧面 S△VBC=

1

2

BC×VE=

1

2

×a

2

2

4

a

h+

6

2

2

26

2

4

h

a

h

=

+

化简整理得h=

3

2

a，tanVEO= 3

2

h

a

=VEO=

3

π

考点：二面角的平面角及求法

10．C

【解析】

试题分析：样本数据

1

x，

2

x，???，

10

x的标准差为8，所以方差为64，由()()

214

D X D x

-=

可得数据

1

21

x-，

2

21

x-，???，

10

21

x-的方差为464

?46416

?=

考点：方差与标准差

11．C

【解析】

试题分析：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有215105C =；

∴基本事件总数为105；

设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A ；

则A 包含的基本事件个数为1110550C C =；

∴P （A ）= 501010521

= 考点：古典概型及其概率计算公式

12．C

【详解】 由已知得321143AB k -=

=--，27341

CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为AC 中点(1,2)-，半径为长为AC 52，所以外接圆方程为

22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =C ． 考点：圆的方程．

13．每一个素数都不含三个正因数

【解析】

试题分析：特称命题的否定全称命题，并将结论加以否定，所以p ?为：每一个素数都不含三个正因数

考点：全称命题与特称命题

14．5

【解析】

试题分析：多项式f(x)=5x 5+4x 4+3x 3+2x 2+x +1=（（（（5x+4）x+3）x+2）x+1）x+1不难发现要经过5次乘法5次加法运算

考点：秦九韶算法

15．5

【解析】

试题分析：设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，由题意可知622211a b c ab bc ac ++=?

?

++=?①②， 由①的平方减去②可得22225a b c ++=，

这个长方体的一条对角线长为：5

考点：长方体的特征

16．-9

【解析】

试题分析：设直线方程为y kx b =+，()()1122,,,A x y B x y 由2291y kx b x y =+??+=?

得()2229210k x kbx b +++-= 1222299M kb kb x x x k k ∴

+

=-∴=-++ 299M M b y kx b k ∴=+=+ 99OM l b K K k kb

∴==-- 考点：直线与椭圆相交的综合问题

17．（1） 1.230.08y x =+（2）12.38

【解析】

试题分析：（1）借助于表格数据得到点的坐标，经其代入公式可求得,b a 的值，从而得到回归方程；（2）在回归方程中令10x =可求得维修费用

试题解析：（1）由题意得

，，

所以

即线性回归方程为

（2）当x=10时，

（万元）

即估计使用10年时维修费用是12.38万元.

考点：回归方程

18．（1）m≥－2 （2）m＜－2

【解析】

试题分析：（1）根据根的判别式求出m的范围即可；（2）分别求出p为真，￢q为真时的m 的范围，得到关于m的不等式组，解出即可

试题解析：（1）若q：∈x0∈R，x02＋2x0－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，∈4＋4（m＋1）≥0，∈m≥－2.

（2）2x＞m（x2＋1）可化为mx2－2x＋m＜0.

若p：∈x∈R, 2x＞m（x2＋1）为真.

则mx2－2x＋m＜0对任意的x∈R恒成立.

当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立；

当m≠0时，有∈m＜－1.

：m＜-2

又为真，故p、?q均为真命题.∈m＜－2.

考点：复合命题的判断，二次函数的性质

3

19．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（1）取AC 中点D，连接SD，DB，证明AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC ⊥SB；（2）由V B-CMN=V N-CMB，即可求得三棱锥B-CMN的体积

试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取中点，连结，.

∵，∴.

又∵是正三角形，∴.

∵，

∴⊥平面

又在平面内，∴⊥.

（Ⅱ）∵是的中点，

∴

∵平面⊥平面，，∴平面.

又∵，，∴，即点到平面的距离为1. ∵是的中点，∴点到平面的距离为

∴

考点：直线与平面垂直的性质及棱锥体积

20．（1）

7

10

（2）x＝40，y＝5

【解析】

试题分析：（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人，研究生2人，由此利用列举法能

求出从中任取2人，至少有l人的学历为研究生的概率.（2）由题意得：105

39

N

，由此能

求出N，从而能求出x，y的值

试题解析：（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，∈，解得m＝3.

∈抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，

分别记作S1、S2；B1、B2、B3.

从中任取2人的所有基本事件共10个：

（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）.

其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），

（S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2）.

∈从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为

（2）依题意得：，解得N ＝78. ∈35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.

∈,解得x ＝40，y ＝5.∈x ＝40，y ＝5.

考点：古典概型及其概率计算公式

21．（1）相交（2）0x y -=或20x y +-=.

【解析】

试题分析：（1）由圆的方程得到圆心坐标和半径，然后由点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，利用不等式放缩后得到圆心到直线的距离和半径的关系，从而得到答案；（2）把线段的长度比转化为两个想两件的关系，由向量的坐标运算得到A ，B 两点横坐标间的关系，联立直线与圆的方程化为关于x 的一元二次方程，由根与系数关系得到A ，B 两点横坐标的和，求出其中一点的横坐标，最后再代入关于x 的方程得到关于m 的方程，求解得到m 的值，则直线方程可求

试题解析：（1）圆的圆心为，半径为。

∴圆心C 到直线的距离

∴直线与圆C 相交； （2）设，由得， ∴，化简的………① 又由消去得……（*） ∴ …………②

由①②解得，带入（*）式解得，

∴直线的方程为0x y -=或20x y +-=.

考点：与直线有关的动点轨迹方程；直线与圆的位置关系

22．（Ⅰ）点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为22,2的椭圆（Ⅱ）

2363+ 【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先设(),M x y ，由题意可得到关于M 点的关系式，代入坐标可求得轨迹方程，从而判断出其轨迹；（Ⅱ）做已知直线的平行线，当平行线与椭圆相切时，切点到直线的距离取得最大值和最小值

试题解析：满足条件M 的集合

得化简得

所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为22,2的椭圆.

（Ⅱ）设直线平行于直线，，联立椭圆方程

令关于y 方程

的根的判别式为零解得

结合图像可知当时直线m 与椭圆的交点到直线l 的距离最远

考点：动点的轨迹及直线与椭圆的综合问题