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(精校版)2018年北京理数高考试题文档版(含答案)

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(理)(北京卷)

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合A ={x ||x |<2},B ={–2,0,1,2},则A

B =

(A ){0,1}

(B ){–1,0,1} (C ){–2,0,1,2}

(D ){–1,0,1,2}

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(2)在复平面内,复数

1

1i

-的共轭复数对应的点位于 (A )第一象限

(B )第二象限 (C )第三象限

(D )第四象限

(3)执行如图所示的程序框图,输出的s 值为

(A )

12

(B )

56 (C )76

(D )

7

12

(4)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出

半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为 学&科网 (A )32f

(B )322f (C )1252f (D )1272f

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(5)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为

(A )1

(B )2 (C )3

(D )4

(6)设a ,b 均为单位向量,则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的

(A )充分而不必要条件

(B )必要而不充分条件

(C )充分必要条件

(D )既不充分也不必要条件

(7)在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线20x my --=的距离,当θ,m 变化时,d 的

最大值为 (A )1

(B )2 (C )3

(D )4

(8)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则

(A )对任意实数a ,(2,1)A ∈

(B )对任意实数a ,(2,1)A ? (C )当且仅当a <0时,(2,1)A ?

(D )当且仅当3

2

a ≤

时,(2,1)A ? 第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。

(9)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________.

(10)在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切,则a =__________.

(11)设函数f (x )=πcos()(0)6x ωω->,若π

()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为__________.

(12)若x ,y 满足x +1≤y ≤2x ,则2y ?x 的最小值是__________.

(13)能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立,则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命

题的一个函数是__________.

(14)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>:,双曲线22

221x y N m n

-=:.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四

个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为__________;双曲线N 的离心率为__________.

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题13分)

在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =–1

7

. (Ⅰ)求∠A ;

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(Ⅱ)求AC 边上的高. 16)(本小题14分)

如图,在三棱柱ABC ?111A B C 中,1CC ⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为1AA ,AC ,11AC ,1BB 的中点,AB=BC =5,AC =1AA =2. (Ⅰ)求证:AC ⊥平面BEF ; (Ⅱ)求二面角B?CD ?C 1的余弦值; (Ⅲ)证明:直线FG 与平面BCD 相交.

电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率

0.4

0.2

0.15

0.25

0.2

0.1

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;

(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢,“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k =1,2,3,4,5,6).写出方差1D ξ,2D ξ,3D ξ,4D ξ,5D ξ,6D ξ的大小关系.

(18)(本小题13分)

设函数()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x .

(Ⅰ)若曲线y= f (x )在点(1,(1)f )处的切线与x 轴平行,求a ; (Ⅱ)若()f x 在x =2处取得极小值,求a 的取值范围.

已知抛物线C :2y =2px 经过点P (1,2).过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ,B ,且直线P A 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N . (Ⅰ)求直线l 的斜率的取值范围;

(Ⅱ)设O 为原点,QM QO λ=,QN QO μ=,求证:1

1

λ

μ

+

为定值.

(20)(本小题14分)

设n 为正整数,集合A =12{|(,,

,),{0,1},1,2,

,}n k t t t t k n αα=∈=.对于集合A 中的任意元素

12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=,记

M (αβ,)=111122221

[(||)(||)(||)]2

n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+

++--.

(Ⅰ)当n =3时,若(1,1,0)α=,(0,1,1)β=,求M (,αα)和M (,αβ)的值;

(Ⅱ)当n =4时,设B 是A 的子集,且满足:对于B 中的任意元素,αβ,当,αβ相同时,M (αβ,)是奇数;当,αβ不同时,M (αβ,)是偶数.求集合B 中元素个数的最大值;学.科网 (Ⅲ)给定不小于2的n ,设B 是A 的子集,且满足:对于B 中的任意两个不同的元素,αβ, M (αβ,)=0.写出一个集合B ,使其元素个数最多,并说明理由.

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题 (1)A (2)D (3)B (4)D (5)C (6)C (7)C (8)D

二、填空题 (9)63n a n =-

(10)12+

(11)

23

(12)3

(13)()f x =sin x (答案不唯一)

(14)312-

三、解答题 (15)(共13分)

解:(Ⅰ)在△ABC 中,∵cos B =–

17,∴B ∈(π2,π),∴sin B =243

1cos 7

B -=. 由正弦定理得sin sin a b A B =?7sin A =8

437

,∴sin A =3

2

∵B ∈(

π2,π),∴A ∈(0,π2),∴∠A =π3

. (Ⅱ)在△ABC 中,∵sin C =sin (A +B )=sin A cos B +sin B cos A =31143()2727?-+?=33

14

如图所示,在△ABC 中,∵sin C =h BC ,∴h =sin BC C ?=3333

7142

?=,

∴AC 边上的高为

33

2

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(16)(共14分)

解:(Ⅰ)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, ∵CC 1⊥平面ABC , ∴四边形A 1ACC 1为矩形. 又E ,F 分别为AC ,A 1C 1的中点, ∴AC ⊥EF .

∵AB =BC . ∴AC ⊥BE , ∴AC ⊥平面BEF .

(Ⅱ)由(I )知AC ⊥EF ,AC ⊥BE ,EF ∥CC 1. 又CC 1⊥平面ABC ,∴EF ⊥平面ABC . ∵BE ?平面ABC ,∴EF ⊥BE . 如图建立空间直角坐标系E -xyz .

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由题意得B (0,2,0),C (-1,0,0),D (1,0,1),F (0,0,2),G (0,2,1).

∴=(201)=(120)CD CB u u u r u u r ,,,,,, 设平面BCD 的法向量为()a b c =,,

n , ∴00

CD CB ??=?

??=??uu u r uur n n ,∴2020a c a b +=??+=?,

令a =2,则b =-1,c =-4,

∴平面BCD 的法向量(214)=--,

,n , 又∵平面CDC 1的法向量为=(020)EB u u r

,,, ∴21

cos =21||||

EB EB EB ?=-

uu r

uu r uu r n n n . 由图可得二面角B -CD -C 1为钝角,所以二面角B -CD -C 1的余弦值为21

21

-

. (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面BCD 的法向量为(214)=--,,n ,∵G (0,2,1),F (0,0,2),

∴=(021)GF -u u u r ,,,∴2GF ?=-uu u r n ,∴n 与GF uuu r

不垂直,

∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内,∴GF 与平面BCD 相交. (17)(共12分)

解:(Ⅰ)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50. 故所求概率为

50

0.0252000

=.学科%网 (Ⅱ)设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”, 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”. 故所求概率为P (AB AB +)=P (AB )+P (AB ) =P (A )(1–P (B ))+(1–P (A ))P (B ). 由题意知:P (A )估计为0.25,P (B )估计为0.2. 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35. (Ⅲ)1D ξ>4D ξ>2D ξ=5D ξ>3D ξ>6D ξ. (18)(共13分)

解:(Ⅰ)因为()f x =[2(41)43ax a x a -+++]e x ,

所以f ′(x )=[2ax –(4a +1)]e x +[ax 2

–(4a +1)x +4a +3]e x

=[ax 2–(2a +1)x +2]e x . f ′(1)=(1–a )e .

由题设知f ′(1)=0,即(1–a )e=0,解得a =1. 此时f (1)=3e ≠0. 所以a 的值为1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f ′(x )=[ax 2

–(2a +1)x +2]e x =(ax –1)(x –2)e x .

若a >

12,则当x ∈(1

a

,2)时,f ′(x )<0; 当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0. 所以f (x )在x =2处取得极小值. 若a ≤

12,则当x ∈(0,2)时,x –2<0,ax –1≤1

2

x –1<0, 所以f ′(x )>0.

所以2不是f (x )的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是(1

2

,+∞). (19)(共14分)

解:(Ⅰ)因为抛物线y 2=2px 经过点P (1,2),

所以4=2p ,解得p =2,所以抛物线的方程为y 2=4x . 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0, 设直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0). 由241

y x y kx ?=?=+?得22(24)10k x k x +-+=. 依题意22(24)410k k ?=--??>,解得k <0或0

24k x x k -+=-

,1221

x x k =. 直线P A 的方程为1

12

2(1)1

y y x x --=--. 令x =0,得点M 的纵坐标为111121

2211

M y kx y x x -+-+=+=+--. 同理得点N 的纵坐标为221

21

N kx y x -+=

+-. 由=QM QO λu u u r u u u r ,=QN QO μu u u

r u u u r 得=1M y λ-,1N y μ=-.

所以2212121212122224112()111111=2111(1)(1)11

M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+

---++=+=+=?=?

------. 所以

1

1

λ

μ

+

为定值.学科*网

(20)(共14分)

解:(Ⅰ)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以 M (α,α)=

1

2

[(1+1?|1?1|)+(1+1?|1?1|)+(0+0?|0?0|)]=2, M (α,β)=

1

2

[(1+0–|1?0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1. (Ⅱ)设α=(x 1,x 2,x 3,x 4)∈B ,则M (α,α)= x 1+x 2+x 3+x 4. 由题意知x 1,x 2,x 3,x 4∈{0,1},且M (α,α)为奇数, 所以x 1,x 2,x 3,x 4中1的个数为1或3.

所以B ?{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.

将上述集合中的元素分成如下四组:

(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).

经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M(α,β)=1.

所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.

所以集合B中元素的个数不超过4.

又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,

所以集合B中元素个数的最大值为4.

(Ⅲ)设S k={( x1,x2,…,x n)|( x1,x2,…,x n)∈A,x k =1,x1=x2=…=x k–1=0)}(k=1,2,…,n),S n+1={( x1,x2,…,x n)| x1=x2=…=x n=0},

则A=S1∪S1∪…∪S n+1.

对于S k(k=1,2,…,n–1)中的不同元素α,β,经验证,M(α,β)≥1.

所以S k(k=1,2 ,…,n–1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.

所以B中元素的个数不超过n+1.

取e k=( x1,x2,…,x n)∈S k且x k+1=…=x n=0(k=1,2,…,n–1).

令B=(e1,e2,…,e n–1)∪S n∪S n+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.

故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.