广州市2014届高三年级调研测试(理数)
广州市2014届高三年级调研测试
数 学（理 科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
锥体体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高．
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知为虚数单位， 则复数的模等于
A ．
B ．
C ．
D ． 2．设集合，，则等于
A ．
B ．
C ．
D ． 3．已知向量，，，若，则实数的值为
A ．
B ．
C ．
D ． 4．定义在上的函数满足则的值为
A ．
B ．2
C ．
D ．4
5．函数（，，）的部分图象如图1所示，则函数对应的解析式为 A ． B ． C ．
D ．
6．执行如图2的程序框图，如果输入的的值是6，那么输出的的值是
A ．15
B ．105
C ．120
D ．720
7．若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有
O x
y 1
π
6 11π12
图1
是
否 开始 输出 图2
输入 结束
A．1条B．2条C．3条D．4条
8．对于实数a和b，定义运算“*”：*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9．在等比数列中，若，则．
10．若，满足约束条件则的最大值为_______．
11．如图3，设是图中边长为4的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．在内随机取一点，则该点落在中的概率为．
12．已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是．
13．有4名优秀学生，，，全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有种．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（几何证明选讲选做题）
如图4，为⊙的直径，，弦交于点．
若，，则的长为．
15．（坐标系与参数方程选讲选做题）
若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
17．（本小题满分12分）
空气质量指数 (单位:)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：
日均浓度0～35 35～75 75～115 115～150 150～250 ＞250
空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．
（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；（2）在甲城市这15个监测数据中任取个，设为空气质量类别为优或良
3 2 0 4
5 5
O x
y
2
4
-2
图3
A
B
C
O
M
N
图4
的天数，求的分布列及数学期望．
18．（本小题满分14分）
在如图6的几何体中，平面为正方形，平面为等腰梯形，∥，，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本小题满分14分）
已知数列{a n}满足，，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，
成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
设函数，.
（1）若曲线与在它们的交点处有相同的切线，求实数，的值；
（2）当时，若函数在区间内恰有两个零点，求实数的取值范围；
（3）当，时，求函数在区间上的最小值．
21．（本小题满分14分）
如图7，已知椭圆的方程为，双曲线的两条渐近线为．
过椭圆的右焦点作直线，使，又与交于点，设与椭圆的两个交点由上至下
依次为，．
（1）若与的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，
求椭圆的方程；
（2）求的最大值．
O x
y
B
A
F
P
l1
l
l2
图7
图6
A B
C
D
E F
数学（理科）参考答案及评分标准
说明：1．参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A D A B C A
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满
分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．
题号9 10 11 12 13 14 15
答案 3 4 36 1
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
解：（1）在△中，．………………………………………………………………1分
所以…………………………………………………………………………2分
．………………………………………………………………………3分所以……………………………………………………………………………5分
．………………………………………………………………………………………7分
（2）因为，，，
由余弦定理，………………………………………………………………9分
得．……………………………………………………………………………………11分
解得．……………………………………………………………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．…………………………………………………………………………………………………1分所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分
（2）的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分
因为，………………………………………………………………………5分 ，……………………………………………………………………………7分 ．…………………………………………………………………………9分 所以的分布列为：
1
所以数学期望．…………………………………………………12分
18．（本小题满分14分） （1）证明1：因为，，
在△中，由余弦定理可得．……………………………………………………2分
所以．
所以．………………………………………………………………………………………3分 因为，，、平面，
所以平面．………………………………………………………………………………4分 证明2：因为，设，则．
在△中，由正弦定理，得．…………………………………………1分 因为，所以．
整理得，所以．…………………………………………………………………2分
所以．………………………………………………………………………………………3分 因为，，、平面，
所以平面．………………………………………………………………………………4分
（2）解法1：由（1）知，平面，平面，
所以．
因为平面为正方形，所以．
因为，所以平面．……………………………………………………6分 取的中点，连结，， 因为是等腰梯形，且，，
所以．所以△是等边三角形，且．…………………………7分
取的中点，连结，，则．………8分 因为平面，，所以．
因为，所以平面． ……………9分
所以为直线与平面所成角． ……………10分
因为平面，所以．…………………11分 因为，，…………………………………………12分
在△中，．……………………………………………………13分
所以直线与平面所成角的正弦值为．………………………………………………14分 解法2：由（1）知，平面，平面，
所以．
因为平面为正方形，所以．
因为，所以平面．……………………………………………………6分 所以，，两两互相垂直，
……………………10分
M
N A B
C
D
E
F
E
F
z
建立如图的空间直角坐标系．………………………7分
因为是等腰梯形，且，
所以．
不妨设，则，，，
，，
所以，，．………………………………………9分
设平面的法向量为，则有即
取，得是平面的一个法向量．………………………………………11分
设直线与平面所成的角为，
则．……………………………13分
所以直线与平面所成角的正弦值为．………………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）因为，所以．…………………………………………………1分
所以．…………………………………………………………………………3分
因为，则．…………………………………………………………………………4分
所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………………………………………5分
（2）由（1）知，，所以．……………………………………7分
假设存在互不相等的正整数，，满足条件，
则有……………………………………………………………………9分
由与，
得．……………………………………………………10分
即．……………………………………………………………11分
因为，所以．……………………………………………………………12分
因为，当且仅当时等号成立，
这与，，互不相等矛盾．……………………………………………………………………13分所以不存在互不相等的正整数，，满足条件．……………………………………………14分20．（本小题满分14分）
解：（1）因为，，
所以，.…………………………………………………………………1分
因为曲线与在它们的交点处有相同切线,
所以,且。
即,且,………………………………………………………………2分
解得.……………………………………………………………………………………3分
（2）当时，，
所以．…………………………………………………4分
令，解得．
当变化时，的变化情况如下表：
0 0
↗极大值↘极小值↗
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．………………5分
故在区间内单调递增，在区间内单调递减．………………………………6分
从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当………………………7分
即解得．
所以实数的取值范围是．……………………………………………………………………8分 （3）当，时，．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
由于，，所以．……………………………………………9分
①当，即时，………………………………………………………………………10分 ．……………………………………………………………………11分 ②当时，
．……………………………………………………………………………12分 ③当时，在区间上单调递增，
．……………………………………………………………………13分 综上可知，函数在区间上的最小值为
……………………………………………14分
21．（本小题满分14分） 解：（1）因为双曲线方程为，
所以双曲线的渐近线方程为．……………………………………………………………1分 因为两渐近线的夹角为且，所以．
所以．……………………………………………………………………………2分 所以． 因为，所以， 所以，． 所以椭圆的方程为．…………………………………………………………………4分
（2）因为，所以直线与的方程为，其中．………………………5分
因为直线的方程为，
联立直线与的方程解得点．………………………………………………………6分 设，则．………………………………………………………………………7分 因为点，设点， 则有．
解得，．………………………………………………………………8分 因为点在椭圆上， 所以． 即．
等式两边同除以得……………………………………10分
所以………………………………………………………11分
．……………………………………12分
所以当，即时，取得最大值．…………………………13分
故的最大值为．………………………………………………………………………14分
O
x y B
A
F P l 1 l l 2