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最新最全的文档下载微积分 第1章 函数与极限
第一章 函数与极限
第1节 函数
教学目的：理解函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备 教学重点：函数的概念，函数的各种性态 教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解 教学内容：
1.
函数的定义：设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集，如果对于给定的每个数D x ∈，变量
y 按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记作)(x f y =，数集D 叫做这个函数
的定义域，x 叫做自变量，y 叫做因变量。y 的取值范围叫函数的值域。
2. 定义域的求法原则
（1）分母不为零 （2）
0≥x x ，
（3）ln ,
0x x >
（4）arcsin ,
arccos ,11x x x -≤≤
（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集
例1 求
()1
ln 422-+-=x x y 的定义域
解：042≥-x 且012≥-x
22≤≤-x 且1-
∴定义域为
[)(]2112，，-?--
3.
分段函数
用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数 如
()?
?
?<-≥+=1111x x x x x f ，， 1=x 称为分段点
4.
复合函数
若
()()x u u f y ?==，当()x ?的值域落在()u f 的定义域内时
称
()[]x f y ?=是由中间变量u 复合成的复合函数。
例2 x u u y s i n 2+==可复合成x y sin 2+= 注意：
2sin -==x u u y 就不能复合。
例3
x
y 2
arctan =可以看作是
x v u u y v ===，，2arctan 复合成的复合函数。
5.
反函数
设函数的定义域为f D ，值域为f V 。对于任意的f V y ∈，在f
D 上至少可以确定一个x 与y 对应，
且满足
()x f y =。如果把y 看作自变量，x 看作因变量，就可以得到一个新的函数：()y f x 1-=。我
们称这个新的函数()y f x
1-=为函数()x f y =的反函数，而把函数()x f y =称为直接函数。
应当说明的是，虽然直接函数()x f y =是单值函数，但是其反函数()y f x 1-=却不一定是单值的。
例如，()2x x f y
==的定义域为R D f =，值域[)∞+=，0f V 。
任取非零的f V y ∈，则适合2
x y =的x 的数值有两个：y x y x -==21，。所以，直接函数2x y =的反函数()y f x 1-=是多值函
数：y x
±=。
如果把x 限制在区间[)∞+，0上，则直接函数2
x y =，[)∞+∈，0x 的反函数y x =是单值的。并称y x =为直接函数2x y =，R x ∈的反函数的一个单值分支。显然，反函数的另一个
单值分支为y x
-=。
一个函数若有反函数，则有恒等式()[]f D x x x f f ∈≡-，1。
相应地有
()[]
f
V y y y f f ∈≡-，1。
例如，直接函数
()R x x x f y ∈+=
=，34
3
的反函数为()()R y y y f x ∈-==-，33
41
，并
且有
()[]x x x f f ≡??
????-??? ??+=
-3343341，()[]
()y y y f f ≡+??????-=-3334431
。 由于习惯上x 表示自变量，y 表示因变量，于是我们约定()x f
y 1
-=也是直接函数()x f y =的反
函数。
反函数()y f x 1-=与()x f y 1-=，这两种形式都要用到．应当说明的是函数()x f y =与它的反
函数
()y f x 1-=具有相同的图形。而直接函数()x f y =与反函数()x f y 1-=的图形是关于直线
x y =对称的。
6. 函数的性质
（1）有界性
若有正数M 存在，使函数
()x f 在区间I
上恒有
()M x f ≤，则称()x f 在区间I
上是有界函数；
否则，
()x f 在区间I
上是无界函数。
如果存在常数M （不一定局限于正数），使函数()x f 在区间I
上恒有f(x)≤M ，则称
()x f 在区间I
上有上界，并且任意一个M N ≥的数N 都是
()x f 在区间I
上的一个上界；如果存在常数m ，使
()
x f 在区间I 上恒有
()m x f ≥，则称()x f 在区间I
上有下界，并且任意一个m l
≤的数l 都是()x f 在区
间I 上的一个下界。
显然，函数
()x f 在区间I
上有界的充分必要条件是
()x f 在区间I
上既有上界又有下界。
（2）单调性 设函数
()x f 在区间I
上的任意两点21
x x <，都有()()21x f x f <（或()()21x f x f >）
，则称()x f y =在区间I
上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数。
如果函数()x f 在区间I
上的任意两点
21x x <，都有()()21x f x f ≤（或()()21x f x f ≥）
，则称
()x f y =在区间I
上为广义单调增加（或广义单调减少）的函数。广义单调增加的函数，通常简称为
单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。
例如，函数2x y =在区间()0，
∞-内是严格单调减少的；在区间()∞+，0内是严格单调增加的。 而函数
3x y x y ==、在区间()∞+∞-，内都是严格单调增加的。 （3）奇偶性 若函数
()x f 在关于原点对称的区间I
上满足
()()x f x f =-（或()()x f x f -=-）
则称()x f 为偶函数（或奇函数）。
偶函数的图形是关于y 轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。
例如，
()()x x x g x x f sin 2==、在定义区间上都是偶函数。而()x x F =、()x x x G cos =在
定义区间上都是奇函数。
（4）周期性 对于函数
()x f y =，如果存在一个非零常数T
,对一切的x 均有
()()x f T x f =+，则称函数()
x f 为周期函数。并把T 称为
()x f 的周期。应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。
对三角函数而言，x y x y cos sin ==、都是以π
2为周期的周期函数，而
x y tan =、x
y cot =则是以π为周期的周期函数。
关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。
7. 初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。
（1）幂函数
()R a x y a ∈=
它的定义域和值域依a 的取值不同而不同，但是无论a 取何值，幂函数在
()+∞∈,0x 内总有定义。当N
a ∈或
N n n a ∈-=
，1
21
时，定义域为R 。常见的幂函数的图
形如图1-1所示。
（2）指数函数 ()10≠>=a a a y x ，
它的定义域为
()∞+∞-，，值域为()∞+，0。指数函数
的图形如图1-2所示．
（3）对数函数
()10l o g ≠>=a a x
y a ，
定义域为()∞+，0，值域为()∞+∞-，。对数函数x y a log =是指数函数x a y =的反函数。其图
形见图1-3。
在工程中，常以无理数e ＝2.718 281 828…作为指数函数和对数函数的底，并且记
x x x e e x ln log exp ==，，而后者称为自然对数函数。
（4）三角函数 三角函数有正弦函
x y sin =、余弦函数
数
x y cos =、正切函数x y tan =、余切函数x y cot =、正割函数
x y sec =和余割函数x y csc =。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。
图
1-1
图
1-2
图1-3
（5）反三角函数
反三角函数主要包括反正弦函数
x y a r c s i n
=、反余弦函数
x y a r c c o s =、反正切函数x y a r c t a n =和反余切函数x a r c y c o t =等．它们的图形如图1-5所
示。
（6）常量函数为常数 c y =（c 为
常数）
定义域为()∞+∞-，，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。
图
1-5
图1-4
通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。
例如，
()()32sin 13sin 4sin ln x y x e y x y x =+=+=，，，…都是初等函数。初等函数虽然
是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数，取整函数[]x y =等
分段函数就是非初等函数。
在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。
小结：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态，
为后继课的学习作好准备
作业：作业卡 P1~P2
第2节 极限
教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备 教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系 教学难点：极限概念的理解 教学内容： 1. 数列的极限
极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。
设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为
1A ；再作内接正十二边形，其面积记为2A
；再作
图1-6
内接正二十四边形，其面积记为3A ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正126-?n 边形的面积记
为
()N n A n ∈。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：
，
，，，，， n A A A A 321 它们构成一列有次序的数。当n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以n A 作为圆面积的近似值
也越精确。但是无论n 取得如何大，只要n 取定了，
n A 终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因
此，设想无限增大（记为∞→n ，读作n 趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时
n A 也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。
这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列），，，，，， n A A A A 321当∞→n 时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。
在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。
先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数1x ，第二个数2x ，…这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数n 有一个确定的数n x ，那么，这列有次序的数
，，，，，n x x x x 321
就叫做数列。
数列中的每一个数叫做数列的项，第n 项n x 叫做数列的一般项。例如：
()()
，，，，，；，，，，，；，，，，，；，，，，；，，，，，n
n n n
n n n n 1
113421211112
181412128421433221-+-+--+
都是数列的例子，它们的一般项依次为
()()n n n n n n n n 1
1112
121-+-+-+，，，，。
以后，数列
，，，，，n x x x x 321
也简记为数列{}n x 。
如果数列n x ，当n 无限增大时，数列n x 的取值能无限接近常数l ，我们就称l 是n x 当∞→n 时的极限，记作
，l x n n =∞
→lim
它的解析定义是：
如果数列n x 与常数a 有下列关系：对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得对于N
n
>时的一切n x ，不等式
ε<-a x n
都成立，则称常数a 是数列n x 的极限，或者称数列n x 收敛于a ，记为
，a x n n =∞
→lim
或
()∞→→n a
x n 。
如果数列没有极限，就说数列是发散的。 显然
。，11lim 01
lim
=+=∞→∞→n n n
n n
收敛数列有下述3个性质 性质1（极限的唯一性） 数列
{}n x 不能收敛于两个不同的极限。
性质2（收敛数列的有界性） 如果数列
{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界。
性质3（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列{}n x 收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛，且
极限也是a 。
2. 函数当∞→x 时的极限
我们知道，当∞→x 时
()x
x f 1=
越来越接近零。如果函数
()x f 当x 无限增大时，()x f 取值和
常数l 要多接近就有多接近，此时称l 是
()x f 当∞→x 时的极限，记作
()l x f x =∞
→lim 。
它的解析定义是： 设函数
()x f 当x 大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小）
，总存在着
正数
X
，使得对于适合不等式
X x >的一切x ，对应的函数值()x f 都满足不等式()ε<-A x f ，
那么常数
A 就叫做函数()x f 当∞→x 时的极限，记作
()A x f x =∞
→lim 或()A x f →（当∞→x ）。
注：若()l x f x =∞
→lim
（1）l 是唯一的确定的常数；
（2）∞→x 既表示趋于∞+，也表示趋于∞-。 如果+∞→x 时，()x f 取值和常数l 要多接近就有多接近，
我们称l 是()x f 当+∞→x 时的极限，记作
()l x f x =+∞
→lim 。
如果-∞→x 时，()x f 取值和常数l 要多接近就有多接近，我们称l 是()x f 当-∞→x 时的极限，
记作
()l x f x =-∞
→lim 。
显然，()x f x ∞
→lim
存在的充分必要条件是
()()x f x f x x -∞
→+∞
→=lim lim
3. 函数当0x x →时的极限
满足
δ<-0x x 的x 的范围称作以0x 为中心的δ邻域，满足δ<-<00x x 的范围称作以0x 为
中心，以δ为半径的去心邻域，记作()0x U 。
现在考虑自变量x 的变化过程为0x x →。如果在0x x →的过程中，对应的函数值()x f 无限接近
于确定的数值
A ，那么就说A 是函数()x f 当0x x →时的极限。当然，这里我们首先假定函数()x f 在
点0x 的某个去心邻域内是有定义的。
它的解析定义是： 设函数
()x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小）
，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-<
00x x 的一切x ，对应的函数值()x f 都满足不等式
()ε<-A x f ，
那么常数
A 就叫做函数()x f 当0x x →时的极限，记作
()A x f x x =→0
lim 或()A x f →（当0x x →）。
注：若
()l x f x x =→0
lim 极限存在时
（1）l 是唯一的确定的常数； （2）0x x
→表示从0x 的左右两侧同时趋于0x ；
（3）极限l 的存在与()x f 在0x 有无定义或定义的值无关。
显然，
()。，
3
21lim 523lim 21
=+=+→→x x x x x
关于函数的极限有如下定理： 定理1（极限的局部保号性） 如果
()A x f x x =→0
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