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微积分 第1章 函数与极限

第一章 函数与极限

第1节 函数

教学目的:理解函数的概念,掌握函数的各种性态,为研究微积分做好准备 教学重点:函数的概念,函数的各种性态 教学难点:反函数、复合函数、分段函数的理解 教学内容:

1.

函数的定义:设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于给定的每个数D x ∈,变量

y 按照一定法则总有确定的数值和它对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =,数集D 叫做这个函数

的定义域,x 叫做自变量,y 叫做因变量。y 的取值范围叫函数的值域。

2. 定义域的求法原则

(1)分母不为零 (2)

0≥x x ,

(3)ln ,

0x x >

(4)arcsin ,

arccos ,11x x x -≤≤

(5)同时含有上述四项时,要求使各部分都成立的交集

例1 求

()1

ln 422-+-=x x y 的定义域

解:042≥-x 且012≥-x

22≤≤-x 且1-x

∴定义域为

[)(]2112,,-?--

3.

分段函数

用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数 如

()?

?

?<-≥+=1111x x x x x f ,, 1=x 称为分段点

4.

复合函数

()()x u u f y ?==,当()x ?的值域落在()u f 的定义域内时

()[]x f y ?=是由中间变量u 复合成的复合函数。

例2 x u u y s i n 2+==可复合成x y sin 2+= 注意:

2sin -==x u u y 就不能复合。

例3

x

y 2

arctan =可以看作是

x v u u y v ===,,2arctan 复合成的复合函数。

5.

反函数

设函数的定义域为f D ,值域为f V 。对于任意的f V y ∈,在f

D 上至少可以确定一个x 与y 对应,

且满足

()x f y =。如果把y 看作自变量,x 看作因变量,就可以得到一个新的函数:()y f x 1-=。我

们称这个新的函数()y f x

1-=为函数()x f y =的反函数,而把函数()x f y =称为直接函数。

应当说明的是,虽然直接函数()x f y =是单值函数,但是其反函数()y f x 1-=却不一定是单值的。

例如,()2x x f y

==的定义域为R D f =,值域[)∞+=,0f V 。

任取非零的f V y ∈,则适合2

x y =的x 的数值有两个:y x y x -==21,。所以,直接函数2x y =的反函数()y f x 1-=是多值函

数:y x

±=。

如果把x 限制在区间[)∞+,0上,则直接函数2

x y =,[)∞+∈,0x 的反函数y x =是单值的。并称y x =为直接函数2x y =,R x ∈的反函数的一个单值分支。显然,反函数的另一个

单值分支为y x

-=。

一个函数若有反函数,则有恒等式()[]f D x x x f f ∈≡-,1。

相应地有

()[]

f

V y y y f f ∈≡-,1。

例如,直接函数

()R x x x f y ∈+=

=,34

3

的反函数为()()R y y y f x ∈-==-,33

41

,并

且有

()[]x x x f f ≡??

????-??? ??+=

-3343341,()[]

()y y y f f ≡+??????-=-3334431

。 由于习惯上x 表示自变量,y 表示因变量,于是我们约定()x f

y 1

-=也是直接函数()x f y =的反

函数。

反函数()y f x 1-=与()x f y 1-=,这两种形式都要用到.应当说明的是函数()x f y =与它的反

函数

()y f x 1-=具有相同的图形。而直接函数()x f y =与反函数()x f y 1-=的图形是关于直线

x y =对称的。

6. 函数的性质

(1)有界性

若有正数M 存在,使函数

()x f 在区间I

上恒有

()M x f ≤,则称()x f 在区间I

上是有界函数;

否则,

()x f 在区间I

上是无界函数。

如果存在常数M (不一定局限于正数),使函数()x f 在区间I

上恒有f(x)≤M ,则称

()x f 在区间I

上有上界,并且任意一个M N ≥的数N 都是

()x f 在区间I

上的一个上界;如果存在常数m ,使

()

x f 在区间I 上恒有

()m x f ≥,则称()x f 在区间I

上有下界,并且任意一个m l

≤的数l 都是()x f 在区

间I 上的一个下界。

显然,函数

()x f 在区间I

上有界的充分必要条件是

()x f 在区间I

上既有上界又有下界。

(2)单调性 设函数

()x f 在区间I

上的任意两点21

x x <,都有()()21x f x f <(或()()21x f x f >)

,则称()x f y =在区间I

上为严格单调增加(或严格单调减少)的函数。

如果函数()x f 在区间I

上的任意两点

21x x <,都有()()21x f x f ≤(或()()21x f x f ≥)

,则称

()x f y =在区间I

上为广义单调增加(或广义单调减少)的函数。广义单调增加的函数,通常简称为

单调增加的函数或非减函数;广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。

例如,函数2x y =在区间()0,

∞-内是严格单调减少的;在区间()∞+,0内是严格单调增加的。 而函数

3x y x y ==、在区间()∞+∞-,内都是严格单调增加的。 (3)奇偶性 若函数

()x f 在关于原点对称的区间I

上满足

()()x f x f =-(或()()x f x f -=-)

则称()x f 为偶函数(或奇函数)。

偶函数的图形是关于y 轴对称的;奇函数的图形是关于原点对称的。

例如,

()()x x x g x x f sin 2==、在定义区间上都是偶函数。而()x x F =、()x x x G cos =在

定义区间上都是奇函数。

(4)周期性 对于函数

()x f y =,如果存在一个非零常数T

,对一切的x 均有

()()x f T x f =+,则称函数()

x f 为周期函数。并把T 称为

()x f 的周期。应当指出的是,通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。

对三角函数而言,x y x y cos sin ==、都是以π

2为周期的周期函数,而

x y tan =、x

y cot =则是以π为周期的周期函数。

关于函数的性质,除了有界性与无界性之外,单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质,而不是每一个函数都一定具备的。

7. 初等函数

幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。

(1)幂函数

()R a x y a ∈=

微积分 第1章 函数与极限

它的定义域和值域依a 的取值不同而不同,但是无论a 取何值,幂函数在

()+∞∈,0x 内总有定义。当N

a ∈或

N n n a ∈-=

,1

21

时,定义域为R 。常见的幂函数的图

形如图1-1所示。

(2)指数函数 ()10≠>=a a a y x ,

它的定义域为

()∞+∞-,,值域为()∞+,0。指数函数

的图形如图1-2所示.

(3)对数函数

()10l o g ≠>=a a x

y a ,

定义域为()∞+,0,值域为()∞+∞-,。对数函数x y a log =是指数函数x a y =的反函数。其图

形见图1-3。

在工程中,常以无理数e =2.718 281 828…作为指数函数和对数函数的底,并且记

x x x e e x ln log exp ==,,而后者称为自然对数函数。

微积分 第1章 函数与极限

微积分 第1章 函数与极限

(4)三角函数 三角函数有正弦函

x y sin =、余弦函数

x y cos =、正切函数x y tan =、余切函数x y cot =、正割函数

x y sec =和余割函数x y csc =。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。

1-1

1-2

图1-3

微积分 第1章 函数与极限

(5)反三角函数

反三角函数主要包括反正弦函数

x y a r c s i n

=、反余弦函数

x y a r c c o s =、反正切函数x y a r c t a n =和反余切函数x a r c y c o t =等.它们的图形如图1-5所

示。

(6)常量函数为常数 c y =(c 为

常数)

定义域为()∞+∞-,,函数的图形是一条水平的直线,如图1-6所示。

1-5

图1-4

微积分 第1章 函数与极限

通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数,称为初等函数。

例如,

()()32sin 13sin 4sin ln x y x e y x y x =+=+=,,,…都是初等函数。初等函数虽然

是常见的重要函数,但是在工程技术中,非初等函数也会经常遇到。例如符号函数,取整函数[]x y =等

分段函数就是非初等函数。

在微积分运算中,常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究,学会分析初等函数的结构是十分重要的。

小结:本节复习了中学学过的各种函数,应该熟记六种基本初等函数的性态,

为后继课的学习作好准备

作业:作业卡 P1~P2

第2节 极限

教学目的:理解极限的概念,理解左右极限的概念,为研究微积分作好工具准备 教学重点:各种趋势下的极限定义,左右极限存在与极限存在的关系 教学难点:极限概念的理解 教学内容: 1. 数列的极限

极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如,我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术,就是极限思想在几何学上的应用。

设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为

1A ;再作内接正十二边形,其面积记为2A

;再作

图1-6

内接正二十四边形,其面积记为3A ;循此下去,每次边数加倍,一般地把内接正126-?n 边形的面积记

()N n A n ∈。这样,就得到一系列内接正多边形的面积:

,,,,, n A A A A 321 它们构成一列有次序的数。当n 越大,内接正多边形与圆的差别就越小,从而以n A 作为圆面积的近似值

也越精确。但是无论n 取得如何大,只要n 取定了,

n A 终究只是多边形的面积,而还不是圆的面积。因

此,设想无限增大(记为∞→n ,读作n 趋于无穷大),即内接正多边形的边数无限增加,在这个过程中,内接正多边形无限接近于圆,同时

n A 也无限接近于某一确定的数值,这个确定的数值就理解为圆的面积。

这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数(所谓数列),,,,,, n A A A A 321当∞→n 时的极限。在圆面积问题中我们看到,正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。

在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法,已成为高等数学中的一种基本方法,因此有必要作进一步的阐明。

先说明数列的概念。如果按照某一法则,有第一个数1x ,第二个数2x ,…这样依次序排列着,使得对应着任何一个正整数n 有一个确定的数n x ,那么,这列有次序的数

,,,,,n x x x x 321

就叫做数列。

数列中的每一个数叫做数列的项,第n 项n x 叫做数列的一般项。例如:

()()

,,,,,;,,,,,;,,,,,;,,,,;,,,,,n

n n n

n n n n 1

113421211112

181412128421433221-+-+--+

都是数列的例子,它们的一般项依次为

()()n n n n n n n n 1

1112

121-+-+-+,,,,。

以后,数列

,,,,,n x x x x 321

也简记为数列{}n x 。

如果数列n x ,当n 无限增大时,数列n x 的取值能无限接近常数l ,我们就称l 是n x 当∞→n 时的极限,记作

,l x n n =∞

→lim

它的解析定义是:

如果数列n x 与常数a 有下列关系:对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于N

n

>时的一切n x ,不等式

ε<-a x n

都成立,则称常数a 是数列n x 的极限,或者称数列n x 收敛于a ,记为

,a x n n =∞

→lim

()∞→→n a

x n 。

如果数列没有极限,就说数列是发散的。 显然

。,11lim 01

lim

=+=∞→∞→n n n

n n

收敛数列有下述3个性质 性质1(极限的唯一性) 数列

{}n x 不能收敛于两个不同的极限。

性质2(收敛数列的有界性) 如果数列

{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。

性质3(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{}n x 收敛于a ,那么它的任一子数列也收敛,且

极限也是a 。

2. 函数当∞→x 时的极限

我们知道,当∞→x 时

()x

x f 1=

越来越接近零。如果函数

()x f 当x 无限增大时,()x f 取值和

常数l 要多接近就有多接近,此时称l 是

()x f 当∞→x 时的极限,记作

()l x f x =∞

→lim 。

它的解析定义是: 设函数

()x f 当x 大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小)

,总存在着

正数

X

,使得对于适合不等式

X x >的一切x ,对应的函数值()x f 都满足不等式()ε<-A x f ,

那么常数

A 就叫做函数()x f 当∞→x 时的极限,记作

()A x f x =∞

→lim 或()A x f →(当∞→x )。

注:若()l x f x =∞

→lim

(1)l 是唯一的确定的常数;

(2)∞→x 既表示趋于∞+,也表示趋于∞-。 如果+∞→x 时,()x f 取值和常数l 要多接近就有多接近,

我们称l 是()x f 当+∞→x 时的极限,记作

()l x f x =+∞

→lim 。

如果-∞→x 时,()x f 取值和常数l 要多接近就有多接近,我们称l 是()x f 当-∞→x 时的极限,

记作

()l x f x =-∞

→lim 。

显然,()x f x ∞

→lim

存在的充分必要条件是

()()x f x f x x -∞

→+∞

→=lim lim

3. 函数当0x x →时的极限

满足

δ<-0x x 的x 的范围称作以0x 为中心的δ邻域,满足δ<-<00x x 的范围称作以0x 为

中心,以δ为半径的去心邻域,记作()0x U 。

现在考虑自变量x 的变化过程为0x x →。如果在0x x →的过程中,对应的函数值()x f 无限接近

于确定的数值

A ,那么就说A 是函数()x f 当0x x →时的极限。当然,这里我们首先假定函数()x f 在

点0x 的某个去心邻域内是有定义的。

它的解析定义是: 设函数

()x f 在点0x 的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小)

,总存在正数δ,使得对于适合不等式δ<-<

00x x 的一切x ,对应的函数值()x f 都满足不等式

()ε<-A x f ,

那么常数

A 就叫做函数()x f 当0x x →时的极限,记作

()A x f x x =→0

lim 或()A x f →(当0x x →)。

注:若

()l x f x x =→0

lim 极限存在时

(1)l 是唯一的确定的常数; (2)0x x

→表示从0x 的左右两侧同时趋于0x ;

(3)极限l 的存在与()x f 在0x 有无定义或定义的值无关。

显然,

()。,

3

21lim 523lim 21

=+=+→→x x x x x

关于函数的极限有如下定理: 定理1(极限的局部保号性) 如果

()A x f x x =→0

lim ,而且0>A (或0

x 的某一去心邻域,当x 在该邻域内时,就有

()0>x f (或()0

。 定理1’ 如果()A x f x x =→0

lim

(0≠A ),那么就存在着0x 的某一去心邻域()0x U 。

,当()

0x U x 。

∈时,就有

()2

A x f >

定理2 如果在0x 的某一去心邻域内()0≥x f (或()0≤x f )

,而且()A x f x x =→0

lim ,那么0≥A (或

0≤A )。

上述0x x

→时函数()x f 的极限概念中,x 是既从0x 的左侧也从0x 的右侧趋于0x 的。但有时只能

或只需考虑x 仅从0x 的左侧趋于0x (记作00-→x x

)的情形,或x 仅从0x 的右侧趋于0x (记作

00+→x x )的情形。在00-→x x 的情形,x 在0x 的左侧,0x x <。在()A x f x x =→0

lim 的定义

中,把δ<-<00x x 改为00x x x <<-δ,那么A 就叫做函数()x f 当0x x →时的左极限,记

()A x f x x =-→0

0lim 或()A x f =-00。

类似地,在

()A x f x x =→0

lim 的定义中,把δ<-<00x x 改为δ

+<<00x x x ,那么

A 就叫做

函数

()x f 当0x x →时的右极限,记作

微积分 第1章 函数与极限

图1-7

()A x f x x =+→0

0lim 或()A x f =+00。

根据

0x x →时函数()x f 的极限的定义,以及左极限和右极限的定义,容易证明:函数()x f 当

0x x →时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等,即

()()0000+=-x f x f 。

因此,即使

()00-x f 和()00+x f 都存在,但若不相等,则()x f x x 0

lim →不存在。

例4

函数

()??

???>=<+-=000101x x x x x x f ,,,

当0→x 时()x f 的极限不存在。

证 当0→x

时()x f 的左极限()()11lim lim 0

-=-=-→-→x x f x x ,

而右极限

()()11lim lim 0

=+=+→+→x x f x x ,

因为左极限和右极限存在但不相等,所以()x f x 0

lim →不存在(图1-7)

小结:本节讲述了各种趋势下的极限的定义

作业:作业卡P3

第三节 无穷大与无穷小

教学目的:理解无穷小量和无穷大量的概念,掌握无穷小量、无穷大量以及有

量之间的关系,掌握它们的性质

教学重点:无穷小量和无穷大量的概念 教学难点:无穷小量和无穷大量有关性质 教学内容:

前面我们研究了

∞→n 数列n x 的极限、

∞→x 函数()x f 的极限、

+∞→x 函数()x f 的极限、 -∞→x 函数()x f 的极限、 0x x →函数()x f 的极限、

+

→0x x 函数()x f 的极限、

-

→0

x x 函数

()x f 的极限,

这七种趋近方式。下面我们用→x *表示上述七种的某一种趋近方式,即

*{}-

+

→→→-∞→+∞→∞→∞

→∈

0x x x x x x x x x n

定义 1 当在给定的

→x *下,()x f 以零为极限,则称()x f 是→x *下的无穷小量,即

()0lim =→x f x *

定义 2 当在给定的

→x *下,()x f 无限增大,则称()x f 是→x *下的无穷大量,记作

()∞=→x f x *

lim 。

显然,∞→n 时, 、、、32

n n n 都是无穷大量,

0→x 时,x x x x x x tan sin 22、、、、+都是无穷小量。

注:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。

关于无穷大、无穷小有如下一些结论: 定理1 在自变量的同一变化过程0x x

→(或∞→x )中,具有极限的函数等于它的极限与一个

无穷小之和;反之,如果函数可表示为常数与无穷小之和,那么该常数就是这函数的极限。

定理2 在自变量的同一变化过程中,如果

()x f 为无穷大,则

()

x f 1

为无穷小;反之,如果()x f 为无穷小,且

()0≠x f ,则

()

x f 1

为无穷大。 定理3 有限个无穷小的和也是无穷小。 定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 定理5 如果()()B x g A x f ==lim lim ,,则()()[]x g x f ±lim 存在,且

()()[]()()x g x f B A x g x f lim lim lim ±=±=±。

在这里应该注意:

(1)无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。

(2)无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。例如,当∞→n 时,n

1是无穷小,n 2个这种无

穷小之和的极限显然为2。

(3)无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如,当∞→n 时,2

n 是无穷大量,3

1n 是有界量,

显然01

32

→?

n

n

。 (4)→x *下,

()0>x f ,其极限()x f x *

→lim 未必大于0。例如,

()??

?=≠=0

82x x x x f ,, 显然

()0>x f ,但()0lim 0

=→x f x 。

(5)无穷多个无穷小量之积也未必是无穷小量。

小结:本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质,注意不要错误的利用这些性质

作业:作业卡P3

第四节 极限的简单计算

教学目的:掌握极限的性质及运算法则 教学重点:掌握不同类型的未定式的不同解法 教学难点:计算 教学内容:

在给定的趋势→x *下,()A x f =lim 和()B x g =lim 都存在的情况下,有如下运算法则成立

(1)()()[]()()B A x g x f x g x f +=±=±lim lim lim

(2)()()CA x f C x Cf ==lim lim

(3)()()()()AB x g x f x g x f =?=lim lim lim

()[]()[]n n

n

A x f x f ==lim lim

(4)()()()()()0lim lim lim

≠==B B

A

x g x f x g x f

这些极限的运算法则在实际运算中未必逐一使用,例如92

4

231232lim

3451=++++-→x x x x x x 是一目了然的,下面就将几种常用的方法总结一下。

1.

代入法:直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去,若()0x f 存在,即为其极限,若

()0x f 不存在,我们也能知道属于哪种未定式,便于我们选择不同的方法。

例如,39

lim 23--→x x x 就代不进去了,但我们看出了这是一个

0型未定式,我们可以用以下的方法来求

解。

2. 分解因式,消去零因子法

例如,()63lim 39

lim

3

23=+=--→→x x x x x 。 3.

分子(分母)有理化法

例如,()(

)()

(

)()()

355125125123

535lim

5

1235lim

2

222

22

++++-

+++++-+=-+-+→→x x x x x x x x x x

424lim 22--=→x x x

()()()

2222lim

2--+=→x x x x 2=

又如,

()

011lim

1lim

2

2

=++=-++∞

→+∞

→x

x x x

x x

4. 化无穷大为无穷小法

例如,141

27

1

2lim 4273lim 2

222=+

--

+

=+--+∞→∞→x x

x x x x x x x x ,实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。由此不难得出

???

????<∞>==++++++--∞→m

n m n m n b

a b x b x b a x a x a n n n m m m x ,,,0lim 00

110110 又如,

12111lim

2

1lim

=+

+

=+++∞

→+∞

→x

x

x x x x ,

(分子分母同除x )。 再如,11531

52lim 5352lim -=+??

? ??-??? ??=+-∞

→∞→n n

n n n n n n ,(分子分母同除n

5)。 5.

利用定理求极限

例如,()01

31arctan lim

2=+++∞→x x x x x ,(无穷小量乘以有界量)。 6. 复合函数的极限运算

设函数()x u

?=当0x x →时的极限存在且等于a ,即()a x x x =→?0

lim ,但在点0x 的某去心邻域内

()a x ≠?,又()A u f a

u =→lim ,则复合函数()[]x f ?当0x x →时的极限也存在,且

()[]()A u f x f a

u x x ==→→lim lim 0

?

小结:本节介绍了不同类型的未定式的不同解法,要熟练掌握这些方法

作业:作业卡P3~P 5

第 5 节 两个重要极限、无穷小的比较

教学目的:掌握两个极限的存在准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限

的方法 教学重点:利用两个重要极限求极限

教学难点:利用第二重要极限求极限的方法 教学内容:

下面我们来介绍极限存在的两个准则:

1. 准则1 如果数列{}{}n n y x 、及{}n z 满足下列条件:

(1)

()...321,,=≤≤n z x y n

n n ,

(2),,a z a y n n n n ==∞

→∞

→lim lim

那么数列

{}n x 的极限存在,且a x n n =∞

→lim

准则2 单调有界数列必有极限 如果数列{}n x 满足条件 ≤≤≤≤≤≤+1321n n x x x x x ,就称数列{}n x 是单调增加的;如

果数列

{}n x 满足条件 ≥≥≥≥≥≥+1321n n x x x x x ,就称数列{}n x 是单调减少的。单调增加

和单调减少的数列统称为单调数列。

例 求???? ??++++++∞→n n n n n 2221211

1lim 解:

1

11

12

2

2

2

+<

++

++<+n n n n n n

n n

而11

lim

lim

2

2

=+=+∞

→∞

→n n

n

n n

n n

所以原式极限为1。

2. 第一个重要极限:1sin lim

0=→x

x

x

利用收敛准则1,我们容易证得第一个重要极限(详见教材) 注1 为了更好利用第一个重要极限求极限,应掌握好如下模型:

()()1sin lim

0)(=→x x x μμμ

成立的条件是在给定的趋势下,两个()x μ

应该是一模一样的无穷小量。

例如,3223sin

3lim 2

3sin 2lim =?=∞→∞→n

n n n n n 。

注2 第一个重要极限可以解决0

型,含三角函数的未定式。

自我练习:(1)x

x

x 3sin 2tan lim

(2)π

π

-→x x

x sin lim

(3)x x

x sin arctan lim

0→

(4)2

0cos 1lim x x

x -→

2.第二个重要极限:e n n

n =??

?

??+∞

→11lim

()e x x

x =+→1

1l i m

e x x

x =??

?

??+∞

→11l i m

注1 上述三种形式也可统一为模型

()()

e x x x =+→)

(10

)(1lim μμμ

成立的条件是在给定趋势下,两个()x μ

是一模一样的无穷小量。

注2 第二个重要极限解决的对象是∞

1型未定式。

例如,

()

()[]22

11

11

21

11lim 2lim e x x x x x x =?

??

???++=++-→+-→ 自我练习:(1)3

21lim +∞→?

?

?

??-+x x x x

(2)()

x

x x e x 2

lim

+→ (3)()

x

x x 2cot 0

cos lim

(4)()x

x x +→1ln lim 0 (5)

()[]x

x x x x 1

sin ln 1ln lim

2

-++∞

3. 无穷小的比较

当在给定的趋势下,变量α、β都是无穷小量,那么,它们谁趋近于零的速度更快呢,我们给出如下定义:

如果0lim

β

,就说β是比α高阶的无穷小,记作()αβ0=;

如果∞=αβ

lim

,就说β是比α低阶的无穷小。 如果0lim ≠=c αβ

,就说β是和α同阶无穷小; 如果00lim >≠=k c k ,αβ

,就说β是关于α的k 阶无穷小。

如果1lim =α

β

,就说β与α是等价无穷小,记作βα~。 注:求极限过程中,一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替,但只能在因式情况下使用,和、差情况不能用。

小结:本节讲述了两个极限的收敛准则,两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法,对无穷小量进行了分类

作业:作业卡P5~P 7

第六节 函数的连续与间断

教学目的:理解函数连续的概念,会判断函数间断点的类型,了解初等函数的连续性和闭区

间上连续函数的性质,并会应用这些性质 教学重点:连续的定义,间断点的分类 教学难点:连续的定义,间断点的分类 教学内容: 1. 数的连续性

()

x f y =,当自变量从

x 变到

x

,称

x x x -=?叫自变量

x

的增量,而

()()00x f x x f y -+=?叫函数y 的增量。

定义 设函数

()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义,如果当自变量的增量0x x x -=?趋于零时,

对应的函数的增量()()00x f x x f y

-+=?也趋于零,那么就称函数()x f y =在点0x 连续。

它的另一等价定义是:设函数

()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义,如果函数()x f 当0x x →时

的极限存在,且等于它在点0x 处的函数值()0x f ,即()()00

lim x f x f x x =→,那么就称函数()x f y =在

点0x 连续。

下面给出左连续及右连续的概念。 如果

()()0lim 00

0-=-→x f x f x x 存在且等于()0x f ,即()()000x f x f =-,就说函数()x f 在点

0x 左连续。如果()()0lim 00

0+=+→x f x f x x 存在且等于()0x f ,即()()000x f x f =+,就说函数()x f 在点0x 右连续。

在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续。

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。

2. 数的间断点

设函数

()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义。在此前提下,如果函数()x f 有下列三种情形之一:

(1)在0x x

=没有定义;

(2)虽在0x x =有定义,但()x f x x 0

lim →不存在;

(3)虽在0x x

=有定义,且()x f x x 0

lim →存在,但()()00

lim x f x f x x ≠→;

则函数

()x f 在点0x 为不连续,而点0x 称为函数()x f 的不连续点或间断点。

下面我们来观察下述几个函数的曲线在1=x 点的情况,给出间断点的分类:

微积分 第1章 函数与极限

微积分 第1章 函数与极限

在1=x 连续。 在1=x 间断,1→x 极限为2。

微积分 第1章 函数与极限

微积分 第1章 函数与极限

在1=x

间断,1→x 极限为2。 在1=x 间断,

1

+=x y

1

1

2-+=

x x y ③

??

?≥<+=1111

x x x y ,,

??

?≥<+=111

x x x x y ,,