。 定理1’ 如果()A x f x x =→0
lim
（0≠A ），那么就存在着0x 的某一去心邻域()0x U 。
，当()
0x U x 。
∈时，就有
()2
A x f >
。
定理2 如果在0x 的某一去心邻域内()0≥x f （或()0≤x f ）
，而且()A x f x x =→0
lim ，那么0≥A （或
0≤A ）。
上述0x x
→时函数()x f 的极限概念中，x 是既从0x 的左侧也从0x 的右侧趋于0x 的。但有时只能
或只需考虑x 仅从0x 的左侧趋于0x （记作00-→x x
）的情形，或x 仅从0x 的右侧趋于0x （记作
00+→x x ）的情形。在00-→x x 的情形，x 在0x 的左侧，0x x <。在()A x f x x =→0
lim 的定义
中，把δ<-<00x x 改为00x x x <<-δ，那么A 就叫做函数()x f 当0x x →时的左极限，记
作
()A x f x x =-→0
0lim 或()A x f =-00。
类似地，在
()A x f x x =→0
lim 的定义中，把δ<-<00x x 改为δ
+<<00x x x ，那么
A 就叫做
函数
()x f 当0x x →时的右极限，记作
图1-7
()A x f x x =+→0
0lim 或()A x f =+00。
根据
0x x →时函数()x f 的极限的定义，以及左极限和右极限的定义，容易证明：函数()x f 当
0x x →时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即
()()0000+=-x f x f 。
因此，即使
()00-x f 和()00+x f 都存在，但若不相等，则()x f x x 0
lim →不存在。
例4
函数
()??
???>=<+-=000101x x x x x x f ，，，
当0→x 时()x f 的极限不存在。
证 当0→x
时()x f 的左极限()()11lim lim 0
-=-=-→-→x x f x x ，
而右极限
()()11lim lim 0
=+=+→+→x x f x x ，
因为左极限和右极限存在但不相等，所以()x f x 0
lim →不存在（图1-7）
小结：本节讲述了各种趋势下的极限的定义
作业：作业卡P3
第三节 无穷大与无穷小
教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量以及有
量之间的关系，掌握它们的性质
教学重点：无穷小量和无穷大量的概念 教学难点：无穷小量和无穷大量有关性质 教学内容：
前面我们研究了
∞→n 数列n x 的极限、
∞→x 函数()x f 的极限、
+∞→x 函数()x f 的极限、 -∞→x 函数()x f 的极限、 0x x →函数()x f 的极限、
+
→0x x 函数()x f 的极限、
-
→0
x x 函数
()x f 的极限，
这七种趋近方式。下面我们用→x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即
＊{}-
+
→→→-∞→+∞→∞→∞
→∈
0x x x x x x x x x n
定义 1 当在给定的
→x ＊下，()x f 以零为极限，则称()x f 是→x ＊下的无穷小量，即
()0lim =→x f x ＊
。
定义 2 当在给定的
→x ＊下，()x f 无限增大，则称()x f 是→x ＊下的无穷大量，记作
()∞=→x f x ＊
lim 。
显然，∞→n 时， 、、、32
n n n 都是无穷大量，
0→x 时，x x x x x x tan sin 22、、、、+都是无穷小量。
注：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。
关于无穷大、无穷小有如下一些结论： 定理1 在自变量的同一变化过程0x x
→（或∞→x ）中，具有极限的函数等于它的极限与一个
无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限。
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果
()x f 为无穷大，则
()
x f 1
为无穷小；反之，如果()x f 为无穷小，且
()0≠x f ，则
()
x f 1
为无穷大。 定理3 有限个无穷小的和也是无穷小。 定理4 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 定理5 如果()()B x g A x f ==lim lim ，，则()()[]x g x f ±lim 存在，且
()()[]()()x g x f B A x g x f lim lim lim ±=±=±。
在这里应该注意：
（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。
（2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。例如，当∞→n 时，n
1是无穷小，n 2个这种无
穷小之和的极限显然为2。
（3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当∞→n 时，2
n 是无穷大量，3
1n 是有界量，
显然01
32
→?
n
n
。 （4）→x ＊下，
()0>x f ，其极限()x f x ＊
→lim 未必大于0。例如，
()??
?=≠=0
82x x x x f ，， 显然
()0>x f ，但()0lim 0
=→x f x 。
（5）无穷多个无穷小量之积也未必是无穷小量。
小结：本节给出了无穷小量和无穷大量的概念和它们的相关性质，注意不要错误的利用这些性质
作业：作业卡P3
第四节 极限的简单计算
教学目的：掌握极限的性质及运算法则 教学重点：掌握不同类型的未定式的不同解法 教学难点：计算 教学内容：
在给定的趋势→x ＊下，()A x f =lim 和()B x g =lim 都存在的情况下，有如下运算法则成立
（1）()()[]()()B A x g x f x g x f +=±=±lim lim lim
（2）()()CA x f C x Cf ==lim lim
（3）()()()()AB x g x f x g x f =?=lim lim lim
()[]()[]n n
n
A x f x f ==lim lim
（4）()()()()()0lim lim lim
≠==B B
A
x g x f x g x f
这些极限的运算法则在实际运算中未必逐一使用，例如92
4
231232lim
3451=++++-→x x x x x x 是一目了然的，下面就将几种常用的方法总结一下。
1.
代入法：直接将0x x →的0x 代入所求极限的函数中去，若()0x f 存在，即为其极限，若
()0x f 不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。
例如，39
lim 23--→x x x 就代不进去了，但我们看出了这是一个
0型未定式，我们可以用以下的方法来求
解。
2. 分解因式，消去零因子法
例如，()63lim 39
lim
3
23=+=--→→x x x x x 。 3.
分子（分母）有理化法
例如，()(
)()
(
)()()
355125125123
535lim
5
1235lim
2
222
22
++++-
+++++-+=-+-+→→x x x x x x x x x x
424lim 22--=→x x x
()()()
2222lim
2--+=→x x x x 2=
又如，
()
011lim
1lim
2
2
=++=-++∞
→+∞
→x
x x x
x x
4. 化无穷大为无穷小法
例如，141
27
1
2lim 4273lim 2
222=+
--
+
=+--+∞→∞→x x
x x x x x x x x ，实际上就是分子分母同时除以2x 这个无穷大量。由此不难得出
???
????<∞>==++++++--∞→m
n m n m n b
a b x b x b a x a x a n n n m m m x ，，，0lim 00
110110 又如，
12111lim
2
1lim
=+
+
=+++∞
→+∞
→x
x
x x x x ，
（分子分母同除x ）。 再如，11531
52lim 5352lim -=+??
? ??-??? ??=+-∞
→∞→n n
n n n n n n ，（分子分母同除n
5）。 5.
利用定理求极限
例如，()01
31arctan lim
2=+++∞→x x x x x ，（无穷小量乘以有界量）。 6. 复合函数的极限运算
设函数()x u
?=当0x x →时的极限存在且等于a ，即()a x x x =→?0
lim ，但在点0x 的某去心邻域内
()a x ≠?，又()A u f a
u =→lim ，则复合函数()[]x f ?当0x x →时的极限也存在，且
()[]()A u f x f a
u x x ==→→lim lim 0
?
小结：本节介绍了不同类型的未定式的不同解法，要熟练掌握这些方法
作业：作业卡P3~P 5
第 5 节 两个重要极限、无穷小的比较
教学目的：掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限
的方法 教学重点：利用两个重要极限求极限
教学难点：利用第二重要极限求极限的方法 教学内容：
下面我们来介绍极限存在的两个准则：
1. 准则1 如果数列{}{}n n y x 、及{}n z 满足下列条件：
（1）
()...321，，=≤≤n z x y n
n n ，
（2），，a z a y n n n n ==∞
→∞
→lim lim
那么数列
{}n x 的极限存在，且a x n n =∞
→lim
。
准则2 单调有界数列必有极限 如果数列{}n x 满足条件 ≤≤≤≤≤≤+1321n n x x x x x ，就称数列{}n x 是单调增加的；如
果数列
{}n x 满足条件 ≥≥≥≥≥≥+1321n n x x x x x ，就称数列{}n x 是单调减少的。单调增加
和单调减少的数列统称为单调数列。
例 求???? ??++++++∞→n n n n n 2221211
1lim 解：
1
11
12
2
2
2
+<
++
++<+n n n n n n
n n
而11
lim
lim
2
2
=+=+∞
→∞
→n n
n
n n
n n
所以原式极限为1。
2. 第一个重要极限：1sin lim
0=→x
x
x
利用收敛准则1，我们容易证得第一个重要极限（详见教材） 注1 为了更好利用第一个重要极限求极限，应掌握好如下模型：
()()1sin lim
0)(=→x x x μμμ
成立的条件是在给定的趋势下，两个()x μ
应该是一模一样的无穷小量。
例如，3223sin
3lim 2
3sin 2lim =?=∞→∞→n
n n n n n 。
注2 第一个重要极限可以解决0
型，含三角函数的未定式。
自我练习：（1）x
x
x 3sin 2tan lim
→
（2）π
π
-→x x
x sin lim
（3）x x
x sin arctan lim
0→
（4）2
0cos 1lim x x
x -→
2．第二个重要极限：e n n
n =??
?
??+∞
→11lim
()e x x
x =+→1
1l i m
e x x
x =??
?
??+∞
→11l i m
注1 上述三种形式也可统一为模型
()()
e x x x =+→)
(10
)(1lim μμμ
成立的条件是在给定趋势下，两个()x μ
是一模一样的无穷小量。
注2 第二个重要极限解决的对象是∞
1型未定式。
例如，
()
()[]22
11
11
21
11lim 2lim e x x x x x x =?
??
???++=++-→+-→ 自我练习：（1）3
21lim +∞→?
?
?
??-+x x x x
（2）()
x
x x e x 2
lim
+→ （3）()
x
x x 2cot 0
cos lim
→
（4）()x
x x +→1ln lim 0 （5）
()[]x
x x x x 1
sin ln 1ln lim
2
-++∞
→
3. 无穷小的比较
当在给定的趋势下，变量α、β都是无穷小量，那么，它们谁趋近于零的速度更快呢，我们给出如下定义：
如果0lim
=α
β
，就说β是比α高阶的无穷小，记作()αβ0=；
如果∞=αβ
lim
，就说β是比α低阶的无穷小。 如果0lim ≠=c αβ
，就说β是和α同阶无穷小； 如果00lim >≠=k c k ，αβ
，就说β是关于α的k 阶无穷小。
如果1lim =α
β
，就说β与α是等价无穷小，记作βα~。 注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。
小结：本节讲述了两个极限的收敛准则，两个重要极限及利用两个重要极限求限的方法，对无穷小量进行了分类
作业：作业卡P5~P 7
第六节 函数的连续与间断
教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连续性和闭区
间上连续函数的性质，并会应用这些性质 教学重点：连续的定义，间断点的分类 教学难点：连续的定义，间断点的分类 教学内容： 1． 数的连续性
对
()
x f y =，当自变量从
x 变到
x
，称
x x x -=?叫自变量
x
的增量，而
()()00x f x x f y -+=?叫函数y 的增量。
定义 设函数
()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量0x x x -=?趋于零时，
对应的函数的增量()()00x f x x f y
-+=?也趋于零，那么就称函数()x f y =在点0x 连续。
它的另一等价定义是：设函数
()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果函数()x f 当0x x →时
的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00
lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在
点0x 连续。
下面给出左连续及右连续的概念。 如果
()()0lim 00
0-=-→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =-，就说函数()x f 在点
0x 左连续。如果()()0lim 00
0+=+→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =+，就说函数()x f 在点0x 右连续。
在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。
2． 数的间断点
设函数
()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一：
（1）在0x x
=没有定义；
（2）虽在0x x =有定义，但()x f x x 0
lim →不存在；
（3）虽在0x x
=有定义，且()x f x x 0
lim →存在，但()()00
lim x f x f x x ≠→；
则函数
()x f 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()x f 的不连续点或间断点。
下面我们来观察下述几个函数的曲线在1=x 点的情况，给出间断点的分类：
在1=x 连续。 在1=x 间断，1→x 极限为2。
在1=x
间断，1→x 极限为2。 在1=x 间断，
①
1
+=x y
②
1
1
2-+=
x x y ③
??
?≥<+=1111
x x x y ，，
④
??
?≥<+=111
x x x x y ，，
1
→
x左极限为2，右极限为1。
在0
=
x间断，0
→
x极限不存在。
像②③④这样在
x点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间
断的可补间断，此时只要令()2
1=
y，则在1
=
x函数就变成连续的了；④被称作第一类间断中的跳跃间断。⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥称作震荡间断。
就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果
x是函数()x f的间断点，但左极限()0
-
x
f及
右极限()0
+
x
f都存在，那么
x称为函数()x f的第一类间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点。
3．连续函数运算
由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即可得出下列定理。
定理1 有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数。
定理2 有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。
定理3 两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。
定理4 如果函数()x
f
y=在区间
x
I单调增加（或单调减少）且连续那末它的反函数x=φ(y)也在对应区间()
{}
x
y
I
x
x
f
y
y
I∈
=
=，上单调增加（或单调减少）且连续。
定理5 设函数()x
u?
=当
x
x→时的极限存在且等于a，即()a
x
x
x
=
→
?
lim，而函数()u f
y=
在点a
u=连续，那么复合函数()
[]x
f
y?
=当
x
x→时的极限也存在且等于()a f，即()
[]()a f
x
f
x
x
=
→
?
lim。
定理6 设函数()x
u?
=在点
x
x=连续，且()0
u
x=
?，而函数()u f
y=在点
u
u=连续，那么复合函数()
[]x
f
y?
=在点
x
x=也是连续的。
⑥
x
y
1
sin
=
高等数学函数极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
微积分第一章
高等数学教案 、
第一章 函数、极限与与连续 本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则，函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。具体的要求如下： 1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中 逐步加深理解，对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。 2． 掌握极限四则运算法则。 3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。 4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念。能够正确运用等价无穷小求极限。 5. 理解函数在一点连续的概念，理解区间内（上）连续函数的概念。 6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。 7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。 第一章共12学时，课时安排如下 绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1.4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1.4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时 绪论 数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。 关于数学应用和关于微积分的评价： 恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。 华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。 张顺燕：微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了（《数学通报》数学与文化2001.1.封二） 初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。
数学中的极限思想及其应用
摘要：本文对数学极限思想在解题中的应用进行了诠释，详细介绍了数学极限思想在几类数学问题中的应用，如在数列中的应用、在立体几何中的应用、在函数中的应用、在三角函数中的应用、在不等式中的应用和在平面几何中的应用，并在例题中比较了数学极限思想与一般解法在解题中的不同。灵活地运用极限思想解题，可以避开抽象、复杂的运算，优化解题过程、降低解题难度。极限思想有利于培养学生从运动、变化的观点看待并解决问题。 ：极限思想，应用关键词Abstract: In this paper, the application of in solving problems is the limit idea explained. What's more, the applications in several mathematic problems, such as the application in series of numbers, the application in solid geometry, the application in function, the application in trigonometric function, the application in inequalities, the application in plane geometry are introduced in detail. The mathematic limit idea is compared with a common solution in a example, showing their differences in solving a problem. Solving problem by applying the limit idea can avoid abstract and complex operation, optimize the process of solving problem and reduce difficulty of solving problem. Students will benefit from the limit idea, treating and resolving problems from views of the movement and the change.
高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
从极限到微积分
从极限到微积分 第一部分：极限 一、极限概念的发展 分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率□的。随着微积分学的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是含糊不清的，因此在数学界引起不少争论甚至怀疑。直到19世纪，由A.-L.柯西、K. (T.W.)外尔斯特拉斯等人的工作，才将其置于严密的理论基础。 之上，从而得到举世一致的公认。 凡本质上与极限概念有关的数学分支统称为分析数学，以区别于完全不用这一概念的代数学。几何学的各分支绝大部分也直接或间接地与极限概念密切相关。 极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。 首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式 An+10，存在正数M（>=a)，使得当x>M时有： |f(x)-A|<ε， 则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作 lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞) 举两个例子说明一下 1、0.999999 (1) 谁都知道1/3＝0.333333……，而两边同时乘以3就得到1＝0.999999……，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。 2、“无理数”算是什么数？ 我们知道，形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯。 结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想。 类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，物理可能才是真正的发展动力），比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移
高等数学竞赛极限与连续真题
高等数学竞赛极限与连续真题 1. 计算：22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 析： ),(08 21144 22 x x x x +-+=+ )(08 1 1124422x x x x +=+-+ 又)(02 3 )](01[)](0211[cos 2222224 x x x x x x e x x +-=++-+- =- 故22 2 sin )(cos 112lim 2x e x x x x x -+-+→ 121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022 22 24 40-=?+-+=??+-+=→→x x x x x x x x x x x x x x x 2.计算求n n n n n n n ln )ln ln ( lim -+∞→的值。 （选自广东省大学生高等数学竞赛试题） 析：n n n n n n n ln )ln ln (lim -+∞→=n n n n n n n n n n ln 2ln 2ln ])ln ln 21[(lim --∞→-+ 令,ln t n n =则原式.)11(lim 21 0e t t t t =-++ → 3.计算：)1)1(31211(lim 1n n n -∞→-+++- 析： )21 4121(12131121312112n n n S n +++--+++=- -+-= =n n n n n n ++++++=+++-++++1 2111)214121(22131211 =)11 211111(1n n n n n ++++++
极限思想的产生及发展
毕业论文 题目极限思想的产生与发展 专业数学教育 院系数学系 学号 131002145 姓名 指导教师 二○一三年五月
定西师范高等专科学校 2010 级数学系系毕业论文开题报告专业班级：数学教育姓名：指导教师：
目录 内容摘要： ............................................................................................................... (4) 关键词： (4) 引言： (5) 一、极限思想的产生 (6) 二、极限思想发展的分期 (6) （一）极限思想的萌芽时期 (6) （二）极限思想的发展时期 (8) （三）极限思想的完善时期 (8) 三、极限思想与微积分 (9) （一）微积分的孕育 (10) （二）牛顿与微积分 (11) （三）莱布尼茨与微积分 (12) （四）微积分的进一步发展 (13) 结束语 (14) 参考文献 (15) 致谢 (15)
内容摘要本文综述了极限思想的产生和发展历史。极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。 关键词极限；无穷；微积分
引言 极限思想作为一种哲学和数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论，其漫长曲折的演变历程布满了众多哲学家、数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照。 在数学的发展中，数学问题的来源和发展表现为多种多样的途径和极其复杂的情况。纵观极限思想的发展，首先哲学为其提供了直觉上的发展方向，数学家们依据这种直觉或直观进行应用和探索；其后悖论一次次地出现，又促使数学家们一次一次地进行探究求证，使这一思想不断得以发展和完善。而数学的求证又给予了哲学以实在的支持，为哲学更好地描述和论证世界提供了强有力的工具。从最初时期朴素、直观的极限观，经过了2000多年的发展，演变成为近代严格的极限理论，这其中的思想演变是渐进的、螺旋式发展的、相互推动的。 极限理论是微积分学的基础，极限方法为人类认识无限提供了强有力的工具，它从方法论上突出地表现了微积分学不同于初等数学的特点，是近现代数学的一种重要思想。极限思想蕴含着丰富的辩证法思想，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的极好应用。理清极限思想的发展脉络，揭示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史和数学哲学史上的一些问题将具有一定的理论意义。对于培养人的思维方法、思维品质，提高其分析问题和解决问题的能力都有极好的促进作用。
高等数学求极限的常用方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
微积分、极限思想推导圆周长、面积公式
圆周长公式推导 1.积分法 在平面直角坐标下圆的方程是x^2 + y^2 = r^2 这可以写成参数方程 x = r * Cos t y = r * Sin t t∈[0, 2π] 于是圆周长就是 C = ∫(0到2π)√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt （Q:此处x,y对t为什么都要导？ A: 将一个圆的周长分成n份，x'(t)=△x=xn-x(n-1), y'(t)=△y=yn-y(n-1).当n→∞，△x，△y→0时，可将每一份以直代曲，即每一份的长度C/n=√(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ).所以C就是√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )从0到2π的积分.虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了.） =∫(0到2π)√( (-rSint)^2 + (rCost)^2 ) dt =∫(0到2π) r dt = 2πr 2.极限法 在圆内做内接等n边形， 求等n边形周长：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形， 其底边长为 2*r*sin(π/n) ，所以等n边形周长为 n*2*r*sin(π/n) 这个周长对n→∞求极限 lim[n*2*r*sin(π/n)] 运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x 所以lim[n*2*r*sin(π/n)] =lim[n*2*r*π/n]=2πr. 圆面积公式推导 应用圆周长C = 2π r
1.可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形 并展开，在拼接起来，底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为πr，高为r的矩形。这是小学的推导法，但有微积分的思想在其中。 2.积分法 可将圆看成由无数个同心圆环组成. 设圆半径为R，里面的同心圆环半径为r，为自变量.设每个圆环厚度为dr→0，则圆环周长可看为2πr，圆面积为所有这些圆环的面积之和.所以S = ∫ 2πr dr,从0积到R. 所以S=2π[1/2(R^2-0^2)]= πR^2.(球体积公式推导方法中的“球壳法 Shell Method”与此法是类似的.) 不应用圆周长C = 2π r 1. 积分法 (1)圆方程为x^2+y^2=r^2.只需算出第一象限(0积到r)，然后乘以4.方法和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述. (2)我们回过头来看到上面周长推导中的Q和A. C/n=√(△x^2+△y^2)= √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 )，每份C/n与两条半径组成的扇形的底面曲边是可以以直代曲的，那每个小扇形可以看成以C/n为底、r为高的等边三角形，每个面积就是r* C/n*1/2=1/2*r*√(△x^2+△y^2)= 1/2*r*√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ). 于是圆的面积就是 S=∫(0到2π) 1/2*r*√( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt =1/2*r*∫(0到2π) √( (x'(t))^2 + (y'(t))^2 ) dt =1/2*r*C =1/2*r*2πr =πr^2. 2.极限法 类似于上面周长公式的极限法推导，在圆内做内接等n边形， 求等n边形面积：可以分割成n个以圆心为顶点的三角形，
高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc
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微积分-求极限的方法
求极限方法一：直接代入法 例一：（）=24 例二：（）= 类似这种你直接把x趋近的值代入到函数里面，就可以直接得到函数的极限了。 知识点1：当x趋近值代入后，分子为0，分母不为0时，函数极限等于0 知识点2：当x趋近值代入后，分子不为0，分母为0时，函数极限等于 方法二：因式分解法（一般是平方差，完全平方，十字相乘） 普通的就是分子分母约去相同的项，因为x是趋近值，所以上下是可以约去的，不用考虑0的问题。类似=（） 下面讲个例 知识点3：=(x-y)() 例三：== 方法三：分母有理化（用于分母有根式，分子无根式） 例四：= 方法四：分子有理化（用于分子有根式，分母无根式） 例五：==1 方法五：分子分母同时有理化（用于分子有根式，分母有根式） 例六：
知识点4：（使用这个知识点时，必须注意只能在x趋近于无穷时使用，且使用时只用看各项的最高次数，不用管其他） 例七：（）=（分子的最高次是两次，大于分母最高次一次，所以直接得出极限为无穷大） 例八：=0 （分子的最高次是一次，小于分母最高次两次，所以直接得出极限为零） ） 例九：（分子的最高次是一次，等于分母最高次一次，所以直接得出极限为分子最高次数项系数 分母最高次数项系数 方法六：通分法（若函数为两个分数相加减时，通常先同分再做处理，一般情况下同分后都要进行因式分解，然后分子分母约去相同的多项式） 例十：- 知识点5：当一个无穷小的函数乘以一个有界函数时，新函数的极限仍为无穷小。（有限个无穷小仍为无穷小=常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量） 例十一：（）=0 函数左边用知识点4得出是无穷小，右边3+cosx是有界函数，所以新函数极限为无穷小，即0 所有求极限的题中，代入x趋近值后，若出现或，都可以使用洛必达法则求解极限。
高等数学-求极限的各种方法
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x
例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ， 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．． ；
接触极限思想与微积分
热等效原理：在相同的电阻上分别通以直流电流和交流电流，经过一个交流周期的时间，如果它们在电阻上所消耗的电能相等的话，则把该直流电流（电压）的大小作为交流电流（电压）的有效值 接触极限思想与微积分 初步接触 早在小学数学课上，大家就开始接触极限与微积分的思想了：圆的面积。教材上推导圆的面积使用的方法是把圆均分成2n 个扇形，将n 个扇形按平移变换一字排开，扇尖朝下，形成向下锯齿形；类似地，再将另外n 个扇形一字排开，扇尖朝上。然后将两排扇形齿齿相合，形成一个“近似长方形”。圆的面积与该“近似长方形”的面积相等，若n 无限增大，则该“近似长方形”无限接近于长方形，此时该长方形的宽是圆的半径r ，长是圆的半周长πr ，所以该长方形面积（圆的面积）为πr 2。那时候，我对这种思想无限细分的思想产生了浓厚的兴趣，为以后的探索埋下了思想的根源。 激起兴趣 在初中阶段，我从书本上了解到我国家庭 电路的电压是220V ，并且是交流电（即大小随 时间作周期性变化的电压或电流）。这时候，我 看出了我国家庭电路的“矛盾”：电压是恒定的 （220V ），电压是变化的（交流电）。这种“矛 盾”激起了我刨根究底的好奇心，于是我翻阅 了大量资料，从中获知：我国家庭电路的交流 电是正余弦交流电，其有效值（根据热等效原 理*）是220V ，其峰值是220√2 V ，但为何峰 值与有效值相差√2倍呢？我暂不得而知。 到了初中阶段的尾声，我有意无意地阅读 到了人教版的物理教材中的某一版块（如图）， 我突然有种莫名的熟悉感。噢！这不正与小学 计算圆面积的方法有着异曲同工之妙！这种极 限与微积分的思想迫使我深究，于是乎，我类 比出：速度恰好等于“加速度-时间”曲线下方 的面积；冲量恰好等于“力-时间”曲线下方的 面积；功恰好等于“力-距离”曲线下方的面积， 电功恰好等于“功率-时间”曲线下方的面 积…… 深入学习 我把交流电的表达式功率表达式求出来了，并作出它的“功率-时间”曲线，却愁于求曲线下方的面积。于是我决心自学“微积分”。 学习微积分的过程并不容易，微积分的世界里处处都是抽象的概念，有时还会有有悖常理的思想。 例如：函数f(x)=1/x (x ≥1)，这个函数图像是我们熟悉的反比例函数图像的一部分。将该支曲线下方的面积绕x 轴旋转，形成一个旋转体。通过推论及计算，我们发现其体积是有限的，而其表面积是无限的。具体一点来讲：若这个旋转体是一个容器，那么它能装有限油漆，但表面需要刷无限的油漆。这样的例子有非常多，如：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”、“阿基里斯”悖论、“二分法”悖论……
高等数学同济大学版课程讲解函数的极限
课 时 授 课 计 划 课次序号： 03 一、课 题：§1.3 函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、授课效果 分析： 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．
定义1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）?A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）?A ． 例1 证明lim x 0． 证 0 -，故?ε＞00-＜εε， 即x ＞21 ε．因此，?ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 lim x ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞ =． 证 ?ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞ 10x ?0． 定义2 若?ε＞0，?X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞ f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限： f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）． 注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞ ===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线． 由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理． 定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞ f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1 x x x →∞--?1．
(完整版)极限与连续
第二章 极限与连续 本章教学内容 本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识． 微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的． 连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念． 在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象． 教学思路 1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益． 2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题． 3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明． 4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函
(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____
微积分求极限的方法2·完整版
专题一 求极限的方法 【考点】求极限 1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目,一般为2-3题１2-１8分左右,而用极限的概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则与利用定积分的概念求极限,使用这些方法时要注意条件,如等价量代换就是在几块式子乘积时才可使用,洛必达法则就是在0比０,无穷比无穷的情况下才可使用,运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则:归结准则(联系数列与函数)、夹逼准则(常用于数列的连加)、单调有界准则、子数列收敛定理(可用于讨论某数列极限不存在) 3、 要注意除等价量代换与洛必达法则之外其她辅助方法的运用,比如因式分解,分子有理化,变量代换等等。 4、 两个重要极限0sin lim 1x x x →= 101lim(1)lim(1)x x x x x e x →∞→+=+=,注意变形,如将第二个式子10lim(1)x x x e →+=中的x 变成某趋向于0的函数()f x 以构造“1∞”的形式的典型求极限题目。 5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结,如: （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限 （2） 函数在某点极限存在的充要条件就是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行 解题,如111lim x x e -→因左右极限不相等而在这点极限不存在。(当式子中出现绝对值与e 的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发) （3） 遇到无限项与式求极限时想三种方法: ①瞧就是否能直接求出这个与式(如等比数列求与)再求极限 ②夹逼定理 ③用定积分的概念求解。 (4)如果f(x)/g(x)当x →ｘ０时的极限存在,而当ｘ→x0时g(x)→０,则当x →x ０时f(x)也 →0 (５)一个重要的不等式:sin x x ≤(0x >) *其中方法②③考到的可能性较大。 6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。 7、 闭区间上连续函数的性质(最值定理、根的存在性定理、介值定理) 8、 此部分题目属于基本题型的题目,需要尽量拿到大部分的分数。 【例题精解·求极限的方法】 方法一:直接通过化简,运用极限的四则运算进行运算。 【例1】求极限 11lim 1 m n x x x →--
