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7、不等式及其性质-学生版

知识点1 不等式的概念及其性质

1.不等式的概念

不等式：表示不等关系的式子叫做不等式.

不等式是用不等号“＜”、“＞”、“≠”或“≥”、“≤”将两个式子或数连接而成的.

例1请指出下列各式哪些是不等式：

①x+y=y+x ②4+x ＞5 ③-3＜0 ④a+b≤c+b ⑤a≠0 ⑥2x-7=5x+4

例题2：用不等式表示：

（1）x 的4倍减去y 的2倍的差不小于1；

（2）a 与-3的差不小于2；

（3）x 的3倍与8的和比y 的2倍小；

（4）a 的2倍与－5的和是非负数.

练习：用不等式表示：

（1）m 的一半与n 的3倍的和是非负数；

（2）某数的三分之一减去6不小于该数；（3）x 的70%加上x 的绝对值的和是正数；

（4）a 与b 的平方和不大于它们的和的平方.

2.不等式的性质：

（1）不等式性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变.

可用符号表示为：若a ＞b ，则c a ± c b ±

（2）不等式性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变.

可用符号表示为：若a ＞b ，c ＞0，则c a ? c b ?，或c a c

b （3）不等式性质3: 不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向要改变.

可用符号表示为：若a ＞b ，c ＜0，则c a ? c b ?，或c a c

b 例题：1.如果a>b,且ca

2.若x≤y,则-2x+3______-2y+3

【课内练习】

1．（1）用“＞”号或“＜”号填空，并简说理由。

① 6+2 -3+2； ② 6×（-2） -3×（-2）；

③ 6÷2 -3÷2； ④ 6÷（-2） -3÷（-2）

（2）如果a ＞b ，则

2．利用不等式的基本性质，填“＞”或“＜”：

（1）若a ＞b ，则2a+1 2b+1;

（2）若＜10，则y -8；

（3）若a ＜b ，且c ＞0，则ac+c bc+c ；

（4）若a ＞0，b ＜0， c ＜0，（a-b ）c 0。

3. 按照下列条件，写出仍能成立的不等式，并说明根据。

（1）a ＞b 两边都加上-4；（2）-3a ＜b 两边都除以-3；

（3）a≥3b 两边都乘以2；（4）a≤2b 两边都加上c ；

4、设a ＞b .用“＜”或“＞”号填空.

（1）a －3 b －3; （2）2a 2b

;

（3）－4a －4b ; （4）5a 5b ;

（5）当a ＞0, b 0时，a b ＞0; （6）当a ＞0, b 0时，a b ＜0;

（7）当a ＜0, b 0时，a b ＞0; （8）当a ＜0, b 0时，a b ＜0.

5．当x 取何值时，不等式3x ＜5x+1成立（）

A.-

B.-1

C.0

D.-3.5

6．下列不等式的变形中，正确的是（）

A.若2x ＜-3，则x ＜- ,

B.若- x ＜0，则x ＞0

C.若- ，则x ＞y 。

D.若- ，则x ＜-6

7．若关于x 的不等式ax ＞b （a≠0），有x ＜ ,那么a 一定是（）

A.正数

B.负数

C.非正数

D.任何数

8．若a ＞b 且a≠0,b≠0，则（）

A. B.

C.a ＞b ＞0时，b ＜a ＜0时，，

D.a 、b 同号时， ,a 、b 异号时，

知识点2 不等式的解集及求不等式的整数解

1.不等式的解集：

（1）在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.

（2）不等式的解的全体叫做不等式的解集.

（3）求不等式的解集的过程叫做解不等式.

（4）在数轴上表示不等式的解集：先画数轴，再定界点，后定方向.大于向右，小于向左，含等号画实心圆，没等号画空心圆.

例题：已知不等式57.5x ->.

（1）x 的下列这些值：-5、-3.5、-2.5、0、1.5中，哪些是不等式57.5x ->的解？哪些不是？

（2）利用不等式的基本性质求出不等式的解，并把它的解集表示在数轴上.

练习

1.下列说法中错误的是（）.

A.0是不等式12043

x x +->的解 B.2x <的解有无数个 C.2x <的整数解有无数个 D.2x <的正数解只有有限多个

2.如图所示的不等式的解集是（）.

A.14x <<

B.14x ≤<

C.14x ><

D.14x <≤

3.解不等式3(3)64(25)x x ++>+，并把它的解集在数轴上表示出来.

2.求不等式的整数解：

求不等式的整数解，要先求出这个不等式的解集，然后根据解集再求出整数解.

例题

1.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（）

A.4

B.5

C.6

D.无数个

2.不等式4x －4

1141+

练习

1.已知12x A +=，315

x B +=，求当A 不小于B 时的最大整数x .

2.已知关于x 的方程2165()3

x m x m -=+-的解为非负数，求m 的取值范围.

知识点3 一元一次不等式及一元一次不等式的简单应用

1.一元一次不等式

（1）一元一次不等式：只含一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式.

（2）一元一次不等式的解法：求解方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而得解集.

解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并，化成ax b >（或ax b <）的形式（其中0a ≠）；（5）两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集. 例1：解不等式

521123

x x ++-≤，并把解集在数轴上表示出来.

例2：解不等式3112x x --

≤-，并在数轴上表示它的解集.

练习

1.在数轴上表示不等式的解集：

（1）1x >-，（2）1x ≤，（3）122x <，（4）314

x ≥-.

2.已知关于x 的不等式23x a ->-的解集如图所示，求a 的值.

2. 一元一次不等式的简单应用

一元一次不等式的应用与列方程解应用题类似，根据某个量所满足的不等关系，列出不等式，从而求出这个量的取值范围.

1. 爆破施工时，导火索燃烧的速度是0.8cm/s，人跑开的速度是5m/s，为了使点火的战士在施工时能跑到100m以外的安全地区，导火索至少需要多长？

2.一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天完成了60土方，现在要比原计划至少提前两天完成，则以后平均每天至少要比原计划多完成多少方土？

3.已知李红比王丽大3岁，又知李红和王丽年龄之和大于30且小于33，求李红的年龄。

4.某工人计划在15天里加工408个零件，最初三天中每天加工24个，问以后每天至少要加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？

※知识点4 拓展部分

1.含字母系数的一次不等式

含字母系数的一次不等式的解题步骤和普通一次不等式相同.但是，当为了把“化未知数的系数为1”而将不等式两边同乘以（或除以）一个含字母的式子时，要注意是否会引起不等号方向改变.因此，要对未知数的字母系数进行分类讨论.

例题：求关于x 的不等式ax b x ab +≥+的解.

练习

1.关于x 的方程5－a(1－x)＝8x －(3－a)x 的解是负数，则a 的取值范围是( )

A 、a ＜－4

B 、a ＞5

C 、a ＞－5

D 、a ＜－5

2.已知－4是不等式ax ＞9的解集中的一个值，试求a 的取值范围.

3.已知不等式2x

－1＞x 与ax －6＞5x 同解，试求a 的值.

4.如果关于x 的不等式－k －x ＋6＞0的正整数解为1，2，3，正整数k 应取怎样的值？

5.不等式a (x －1)>x +1－2a 的解集是x <－1,请确定a 是怎样的值.

巩固练习

一．填空题

1.把“x 的3倍与b 的和是负数”用不等式表示为 .

2.如果x y <，且mx my >，则m ；若a b <，则31a -+ 31b -+.

3.如果0x m +≥的解集是4x ≥，那么m = ；不等式15

43x ->的解集为 .

4.当x 时，2313x x ++≥；当x 时，2(3)6x +-的值是负的.

5.不等式310x -<的负整数解为；23

x x +<的最小整数解是 . 6.如果一个工人每小时装配12个零件，那么至少需要个工人才能使一小时装配的零件不少于130个.

7.不等式(1)(0)a x x a a +≥+<的解是 .

8.根据数轴比较下列各式的大小：

（1）a c - b c -；（2）ac bc ；（3）2b b -；（4）

a c

a -. 9.不等式45mx x -<的解是2x >-，则字母m 的非负整数值是 .

10.若3553x x -=-，则x 的取值范围是 .

※11.若不等式ax b >的解为任何数，则a 、b 应满足 .

二．选择题

1.下列各数中不是不等式54x +<的解的是（）.

A.-5

B.-3

C.-2

D.-1

2.若不等式(3)1a x ->的解集是13

x a <-，则a 应满足的条件是（）. A.3a < B.3a > C.4a > D.4a <

3.已知a b >，则下列不等式必定成立的是（）.

A.ac bc >

B.22a b >

C.32a a b >

D.22a a b b ->-

4.当0a <时，不等式ax b >的解集是（）.

A.b x a >

B.b x a <

C.b x a >-

D.b x a

<- 5.如果120ax +=的解是3x =，则不等式(2)8a x +>-的解集是（）.

A.4x >-

B.4x >

C.4x <-

D.4x <

三．简答题

1.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：

（1）2(23)5(1)x x -<-；（2）315(3)4148x x -+-<+.

2.已知关于x 的方程236m x -=的解是正数，试求m 的取值范围.

四．解答题

1.a 取何值时，关于x 的方程6151632

x a a x ---=-的解大于1？

2.k 为何整数时，关于x 的不等式643x k ->仅有9个正整数解？

家庭作业：

一、填空题

1、用不等式表示下列关系：(1)x 的3倍与8的和比y 的2倍小：；

(2)a 的2倍与－5的和是非负数；

2、当x_____时,代数式－3x+5的值不大于2．

3、不等式x+2<1的解是_____________

4、不等式2x －1<3的非负整数解是．

5、关于x 的方程x+3k=1的解是负数,则 k 的取值范围是_______.

6、当a 时，不等式(a —1)x ＞1的解集是x ＜1

1-a . 7、小明借到一本有72页的图书,要在10天之内读完,开始2天每天只读5页，那么以后几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天要读x 页,所列不等式为______________ .

8、请你写出一个解集为1-≤x 的一元一次不等式：。

9、小于100的两位正整数，它的十位数比个位数大4，这样的两位数有_________个.

二、选择题：

10、若y x <成立，则下列不等式成立的是（）

A ．y x 33-<-

B ．22+-<+-y x

C ．)2()2(--<--y x

D ．22-<-y x

11、下列不等式解法正确的是（）

A ．如果221>-

x ，那么1-

223->，那么0x ． D ．如果0311<-x ，那么0>x ． 12、下列说法正确的是（）

A ．x=-1是不等式1->x 的一个解

B ．不等式1->x 的解是 x=-1

C ．x=0是不等式1->x 的一个解

D ．不等式1->x 的解是x=0

13、三个连续自然数的和小于11，这样的自然数组共有（）组

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

14、不等式13≥-x 的解集是（）

A 、 3-≥x

B 、 3-≤x

C 、31

-≥x D 、 31

-≤x

15、使不等式x-5>4x-1成立的最大整数是（）

A.2

B.-1

C.-2

D.0

16、如图所示的不等式的解集是 ( )

A ．ａ>2

B ．a<2

C ．a≥2

D ．a≤2 三、解答题

17、解不等式165

10213-+≤-y y ,并把它的解表示在数轴上

18、解下列不等式：

（1）10－4(x －3)<2(x －1) （2） )1(5)32(2+<+x x

（3）()()()2131+≥-+x x x （4） 0)7(319≤+-x

19、解不等式221141x

x -->-，并写出它的最大整数解.

20、某工人一天能生产25个零件，每生产一个零件，合格品得工钱5元，

不合格品罚款1元。问至少每天要生产几个合格品才能使日收入超过100元？

21．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是？

22.x 取何值时,代数式的值不小于的值?

113x +-12

9+-x

人教版不等式的基本性质说课稿

不等式的基本性质各位老师，同学：大家好！今天我说课的内容是人教版九年义务教育七年级下册第九章第一课时第二小节《不等式的基本性质》。（板书题目）接下来我将从教材分析，学情分析，学法教法，教学过程，板书设计五个方面来说说我对本节课的理解与教学设计。一、教材分析教材是我们教学活动的主要依据，透彻的了解教材也是上好一节课的关键。首先来说说本节课的教材。我将从教材的地位与作用，教学目标，教学重点与难点三个方面对本节课的教材进行说明。（一）教材的地位与作用。不等式是初中代数的重要内容之一，而不等式的性质又是重中之重。一方面，它是初中阶段最基础、最重要的一个转折；而另一方面，学好不等式的性质能帮助学生从整体认识整式性质与不等式性质的区别；在此基础上，可以使学生对生活中的数学问题有新的认识，从而扩大学生的认知结构。同时，不等式的性质还蕴含着丰富的数学思想和方法。因此这也是前后数学知识衔接的桥梁和纽带。因此学好本节课有着非常重要的作用。教学目标根据新课改的要求及教材的特点，我确定了如下的教学目标：知识目标掌握不等式的三个基本性质并且能正确应用；能力目标经历探索不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生分析问题、解决问题的能力；情感目标开展研究性学习，使学生初步体会学习不等式基本性质的价值。情感态度与价值观的培养，是学生全面发展的需要，该目标具体到本节课为通过让学生学习用不等式的基本性质解决相关问题获得成功体验，增强学好数学的信心。教学重点难点根据教材内容的特点，结合新课程改革的基本要求，我认为本节课的重点是：理解不等式的三个基本性质。由于在探究的过程中，需要采用类比的方法来得出结论，对学生的抽象思维能力要求较高，但对于七年级的学生而言，其形象思维能力占主导地位，在探究的过程中难免会遇到困难。根据学生的这一特征，我认为本节课的难点为：对不等式的基本性质3的重点认识。二、学情分析学生是课堂的主人，只有了解学生才能有针对性的教学。接下来说说学生。我们知道，现在的学生几乎不存在学不会的情况，而是没有掌握正确的学习

人教版七年级数学下册《不等式的性质》拔高练习

《不等式的性质》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若a＜b，则下面可能错误的变形是（） A．6a＜6b B．a+3＜b+4C．ac+3＜bc+3D．﹣ 2．（5分）已知a＜b，则下列不等式变形不正确的是（） A．4a＜4b B．﹣2a+4＜﹣2b+4 C．﹣4a＞﹣4b D．3a﹣4＜3b﹣4 3．（5分）下列式子一定成立的是（） A．若ac2＝bc2，则a＝b B．若ac＞bc，则a＞b C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＜b，则a（c2+1）＜b（c2+1） 4．（5分）已知a＜b，则下列不等式一定成立的是（） A．a﹣b＞0B．a+b＜0C．2﹣a＜2﹣b D． 5．（5分）若a＞b，则下列不等式变形正确的是（） A．a+7＜b+7B．C．﹣5a＞﹣5b D．9a﹣2＞9b﹣2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）某数学兴趣小组在研究下列运算流程图时发现，取某个实数范围内的x作为输入值，则永远不会有输出值，这个数学兴趣小组所发现的实数x的取值范围是． 7．（5分）已知a＞b，则﹣4a+5﹣4b+5．（填＞、＝或＜） 8．（5分）若x＞y，则﹣x﹣2﹣y﹣2（填“＜”、“＞”或“＝”）9．（5分）比较大小：如果a＜b，那么2﹣3a2﹣3b．（填“＞”“＜”或“＝”） 10．（5分）非负数a，b，c满足a+b＝9，c﹣a＝3，设y＝a+b+c的最大值为m，

最小值为n，则m﹣n＝．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？ 12．（10分）阅读下列材料：解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．又∵x＞1，∴y+2＞1．即y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0．…① 同理得：1＜x＜2．…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2 ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2 请按照上述方法，完成下列问题：已知x﹣y＝3，且x＞2，y＜1，则x+y的取值范围． 13．（10分）根据不等式的基本性质，把﹣2x＜15化成“x＞a”或“x＜a”的形式． 14．（10分）若x＜y，比较2﹣3x与2﹣3y的大小，并说明理由． 15．（10分）根据不等式的性质，将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．（1）10x﹣1＞7x；（2）﹣x＞﹣1．