高二数学竞赛班二试数论讲义-不定方程-10有答案
高二数学竞赛班二试讲义
第10讲 不定方程
班级 姓名
一、知识要点：
不定方程（组）是指未知数多于方程个数的方程（组）。数论问题中，经常讨论的是在整数（或正整数）范围内求解不定方程（组）。
1．二元一次方程
定义 形如(,,,,ax by c a b c Z a b +=∈不同时为零)的方程称为二元一次方程。
定理 当(,)|a b c 时，先求二元一次方程(,,)ax by c a b c Z +=∈的特解00x x y y =??=?
，则通解为00(,)()(,)b x x t a b t Z a y y t a b ?=+??∈??=-??
；当(,)|a b c /时，方程无解。 2．不定方程问题的常见类型
（1）求不定方程的解；（2）判断不定方程是否有解；（3）判断不定方程解的数量。
3．不定方程问题的常见方法
（1）公式法；（2）奇偶分析法；（3）数或式的分解法；（4）不等式估计法；
（5）选择特殊模的方法；（6）构造法；（7）换元法；（8）费尔马无穷递降法。
二、例题精析
例1．求不定方程3710725x y +=的整数解。
例2．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程
111x y n
+=恰有2011组满足x y ≤的正整 数解(,)x y ．
例3．试求出所以的正整数,,a b c ，其中1a b c <<<，且使得(1)(1)(1)a b c ---是1abc -的约数。
例4．求出所有满足81517x y z +=的正整数三元组(,,)x y z 。
三、精选习题
1．求不定方程231725x y -=的整数解。
2．求所有的有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有解都是整数。
3．(2013华约自主招生）已知x 、y 、z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(xy -1)(yz -1)(zx -1)，求x 、y 、z 的所有可能的值。
4．求方程3361x y xy -=+的正整数解
5．求所有正整数,m n ，使23m n +为平方数。
高二数学竞赛班二试讲义
第7讲 不定方程
例1．650107()22537x t t Z y t
=-+?∈?=-?，先求3710725x y +=的一组特解。为此对37,107用辗转相除法。10723733=?+，371334=?+，33841=?+，将上述过程回填。 13384338(37133)933837=-?=-?-?=?-?
9(107237)83791072637=?-?-?=?-?
故1126,9x y =-=是方程371071x y +=的一组特解，
于是002625650,925225x y =-?=-=?=是方程3710725x y +=的一组特解。 例2．解：由题设，20()()xy nx ny x n y n n --=?--=．所以，除了x=y=2n 外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x , y )．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010．
设11k k n p p αα=，其中1,,k p p 是互不相同的素数，1,
,k αα是非负整数．故2n 的小于n 的正约数个数为
1(21)(21)12k αα++-， 故1(21)(21)4021k αα++=．
由于4021是素数，所以1k =，1214021α+=，12010α=．
所以，2010n p =，其中p 是素数．
例3．令1,1,1x a y b z c =-=-=-，则1x y z ≤<< 又因为(1)(1)(1)1(1)(1)(1)2x y z x y z xyz xyz
+++-+++≤
< 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)4123
x y z =+++≤+++= 所以(1)(1)(1)12x y z xyz
+++-=或3 （1）当(1)(1)(1)12x y z xyz +++-=时，则1111111x y z xy yz zx
+++++= 显然1x ≠，若3x ≥，则4,5y z ≥≥，从而
11111111111159134512201560
x y z xy yz zx =+++++≤+++++=，矛盾 因此，2x =，此时，111111222
y z y yz z ++++= 易知35y ≤≤（当6y ≥时，7z ≥，上式不成立）。仅当4y =时，14z =为整数，故仅有一组整数解(2,4,14)
（2）当(1)(1)(1)13x y z xyz +++-=时，则1111112x y z xy yz zx +++++=
同理可判断
11111111111122346128
x y z xy yz zx +++++≤+++++< 故2211y z yz
++= 易知23y ≤≤，仅当3y =时，7z =为整数，故仅有一组整数解(1,3,7) 综上所述，满足题意的正整数(,,)a b c 为(3,5,15),(2,4,8) 例4．先取模4，得(1)1(mod 4)y -≡，故y 为偶数，设112,y y y N *=∈ 再取模7，得32(mod7)z ≡，
因为当1,2,3,4,5,6,7,z =???时，33,2,6,4,5,1,3(mod7)z ≡???，
根据周期性，可设1162,z z z N =+∈，
所以1126281517y z x ++=，
再取模3，得81(mod3)x ≡，即(1)1(mod3)x -≡，所以x 为偶数，设112,x x x N *=∈， 所以111226281517x y z ++=，则1111131316(1715)(1715)2z y z y x +++-=，
设11111313161715217
152z y t
z y x t ++-?-=?+=?，则1131622172(12)z x t t +-?=+，故1t =， 对方程113117152z y +-=，考虑模9，
当12y ≥时，1150(mod9)y ≡，则131(1)2(mod9)z +-=无解
当11y =时，10z =，11x =，所以2,2,2x y z ===
所以原方程只有一组解(2,2,2)。
三、精选习题
1．7517()22523x t t Z y t
=+?∈?
=+? 解：对23,17用辗转相除法。231176=?+，17265=?+，6151=?+，将上述过程回填。
16156(1726)3617=-?=--?=?-3(2317)17323417=?--=?-? 故113,4x y ==是方程23171x y -=的一组特解，
于是0032575,425100x y =?==?=是方程3710725x y +=的一组特解。
2．当0r =时，方程10x -=，它的根1x =是整数。
当0r ≠时，方程是关于x 的一元二次方程，若它的整数根12,x x （不妨设12x x ≥）， 则121211
1x x r x x r
?+=-????=-??，消去r 得12122x x x x --=，即12(1)(1)3x x --=，
由此可得121311x x -=??-=?或12
1113x x -=-??-=-?，解得124,2x x ==或120,2x x ==-， 从而求得17
r =-或1 综上所述，17
r =-或1或0时，方程所有解都是整数。 3．
4．显然x y >，于是332261()()3()xy x y x y x xy y x y xy +=-=-++>-
若2x y -≥，则有615xy >，故61(2)5
xy y y >≥+，解得2y ≤，将1,2y =代入方程，易得无解；
若1x y -=，代入方程，解得6x =，5y =。
5．利用同余工具解题。设223()m n k k N *+=∈ ①
易见2|k ，3|k ，对①式两边取模3得2(1)1(mod3)m k -≡≡，故m 为偶数。 设12m m =1()m N *∈，则124
3m n k += ② 对②式两边取模4得2(1)1(mod 4)n k -≡≡，故n 也应为偶数。 设12n n =1()n N *∈，则1124
9m n k += ③ 则③式化为1112(3)(3)2
n
n m k k -+= 故13n k -和13n k +都是2的非负整数次幂，但11(3)(3)2n n k k k -++=，不是4的倍数， 所以11121
32,32n n m k k --=+=，从而1122213m n -=+，即11111(21)(21)3m m n ---+=， 因为两连续奇数互素，故111112
11,213m m n ---=+=，
求得12m =及11n =，于是4,2m n ==。
2018年上海市高三数学竞赛试题含答案解析
2018年上海市高三数学竞赛试题 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x =． 3．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532 A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i = （单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++ =． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ， 则M m -=． 7．在三棱锥P ABC -中，已知1,AB AC PB PC ===则22ABC PBC S S ??+的取值范围是． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为21(1,2,,2018)4k a k = ，这里12201812018a a a >>>= ，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k = ，则1a =． 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =? ． （1）求证：1()2 A B C A B C ≥++ （这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数． 11．设,,, abcd 是实数，求2222a b c d ab ac ad bc bd cd a b c d +++++++++++++的 最小值．
2013年全国高中数学联赛、广西高一、高二数学竞赛获奖情况
2013年全国高中数学联赛、广西高一、高二数学竞赛获奖情况通报2013年全国高中数学联赛、2013年广西高一、高二数学竞赛结果已揭晓，现将我市考生获奖 情况通报如下（合浦县自治区、市级奖情况由合浦教研室另行通报），请各有关学校查阅。 附件一：2013年全国高中数学联赛获奖名单 附件二：2013年广西高二数学竞赛获奖名单 附件三：2013年广西高一数学竞赛获奖名单 北海市数学学会 二O一三年十一月 附件一：2013年全国高中数学联赛获奖名单 全国二等奖（7名） 叶太智（北海中学）罗乃荣（廉州中学）吴钟豪（廉州中学）叶发科（廉州中学） 何文栋（北海中学）吴文龙（石康中学）易阳德（廉州中学） 自治区三等奖（30名） 戴霖（北海中学）刘亚佩（北海二中）何丹昀（北海中学）陈颖睿（北海中学） 苏玮钊（北海中学）向凌君（北海中学）陈梓宁（北海中学）劳显东（北海中学） 赖柏君（北海中学）邱天怡（北海七中）庞坤振（北海中学）陶威宏（北海中学） 钟云肖（北海中学）冯歆骅（北海中学）刘颖（北海七中）陈昱蓉（北海中学） 蒋裕园（北海二中）黄春梅（南康中学）马月晗（北海九中）林益民（北海中学） 符开亮（北海中学）何汉铭（北海中学）刘振涛（北海中学）陈达武（北海二中） 杜苹苹（南康中学）袁崇恩（北海二中）李秋荷（北海七中）黄永吉（北海七中） 黄以胜（北海七中）叶佳朋（北海二中） 北海市三等奖（12名） 朱定诚（北海七中）苏文富（北海七中）郑可新（国发高中）付艳芳（国发高中） 钟世军（北海五中）裴文璇（北海九中）李鸿羽（国发高中）黄群芳（国发高中） 李艳鸿（国发高中）潘小芳（北海五中）文永芳（北海五中）许晖（北海五中） 附件二：2013年广西高二数学竞赛获奖名单 自治区一等奖（16名） 陈星寰（北海中学）郑蕾（北海七中）王田源（北海七中）郭鑫（北海七中） 黄安民（北海七中）杨有杰（北海七中）张俊滔（北海中学）欧连云（北海二中）
2018年上海市高三数学竞赛试题
2018年上海市高三数学竞赛试题 时间：2小时，满分：120分 姓名 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是 ． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x = ． 3．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则 ABF ?面积的最大值为 ． 4．设集合 111111{,,,,,}2711131532A =的非空子集为1263,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i =（单元数集的元素积是这个元素本身），则 1263p p p +++= ． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ， 则M m -= ． 7．在三棱锥P ABC - 中，已知1,AB AC PB PC ====，则22ABC PBC S S ??+的 取值范围是 ． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为21(,)4k k k A a a ，半径为 21(1,2,,2018)4k a k =，这里12201812018a a a >>>=，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017) k =，则1a = ． 二、解答题（本大题满分60分，每小题15分） 9．已知三个有限集合,,A B C 满足A B C =?． （1）求证：1()2A B C A B C ≥++（这里，X 表示有限集合X 的元素个数）； （2）举例说明（1）中的等号可能成立． 10．求不定方程25x y z w +++=的满足x y <的正整数解(,,,)x y z w 的组数．
上海市高三数学竞赛解答 供参考
2017年上海市高三数学竞赛（）解答（供参 考） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2－x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[，，，]2 πlg ∞(，- 【提示】求定义域：]10(∈2(2 ，－x)x ，求值域： ]2 π 0(∈2arcsin(2 ，－x)x . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ， n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。 计算可得：
归纳得：a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2（数学归纳法证明 / 代入检验略）。 （方法二）严格推导（注意舍去增根） 原方程变形可得：a n +12－(2a n ＋18)a n +1＋a n 2－18a n ＋81 = 0 ； 由求根公式可得：2 1+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ； 开方可得：|3±|=1+n n a a ； 计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49，
由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N *时，3±= 1+n n a a ， 进而3=1+＋n n a a ， （小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。 3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6＋ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9 ，从中任意
2019年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题(附解答)
2019年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷 （2019年3月22日 星期日 上午8：30~10：30） 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,, ,(1,)a a a ∈+∞，则 1210 1210 20092009 2009 2009log log log log a a a a a a +++的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈，且1 2121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解 析式是y = 。 3. 已知函数2 ()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。 4. 满足方程2 2 22 13log [2cos ()]2cos ()4 xy y y xy + =-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2 [tan ]2sin x x =的解是 。 6. 不等式22 3242x x ≤?+?的解集是 。 7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2, ,2009}A =，集合L A ?， 且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意 ,[0,1],x y x y ∈≤，都有22( )(1)()()2 x y f a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。 10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2 214 x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN 这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P 11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的 子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。 12. （本题满分16分）设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --++ +≤对一切
高二数学竞赛试题及答案
高二年级学科知识竞赛数学试卷 第I 卷（选择题） 一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．命题:p 方程 11 52 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53<
2017年上海市高三数学竞赛解答(供参考)
2017年市高三数学竞赛（2017.03.26）解答 （供参考） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2 －x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 【答案】]121(∪)021-[，，，]2 πlg ∞(，- 【提示】求定义域：]10(∈2(2 ，－x)x ，求值域：]2 π 0(∈2arcsin(2 ，－x)x . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12 ＋a n 2 ＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ， n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 【答案】a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 【提示】（方法一）找规律＋数学归纳法 / 代入检验。 归纳得：a n = (3n －4)2 或者 (3n －2)2 （数学归纳法证明 / 代入检验略）。 （方法二）严格推导（注意舍去增根） 原方程变形可得：a n +12 －(2a n ＋18)a n +1＋a n 2 －18a n ＋81 = 0 ；
由求根公式可得：21+)3±(=6±9=n n n n a a a a ＋ ； 开方可得： |3±|=1+n n a a ； 计算可得：a 2 = 4或者16，当a 2 = 4，a 3 = 25；当a 2 = 16，a 3 = 49， 由已知数列{}n a 是递增数列，所以当n ≥ 3，n ∈N * 时，3±=1+n n a a ， 进而 3=1+＋n n a a ， （小根不满足“数列{}n a 是递增数列”因此舍去）； 可证数列n a 从第三项开始等差数列，验证可得前两项也符合，本题有两解。 3、用一正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 【答案】2 2 6＋ 【提示】将正四棱锥的四条侧棱剪开，把四个侧面分别沿着各自的底边翻折下来，使得四个侧面等边三角形和底面正方形共面，那么能包住此“侧面展开图”图形的最小正方形即符合题意。 4、一个口袋中有10卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________ . 【答案】1260 253 【提示】分类讨论：第一位是0，第一位是1，第一位是2（2013～2016）。
2016年上海市高中数学竞赛试题及答案
2016年上海市高中数学竞赛试题及答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 的图象与函数()f x 的图象关于y 轴对称，函数()2f x 的图象与函数()1f x 的图象关于直线1y =对称，则函数 ()2f x 的解析式为 ． 答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+ 解 在函数()y f x =的表达式中用x -代替x ，得()2 1f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =的 表达式中用2y -代替y ，得()2 2 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2 22 3w z z =-在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程是 ． 答案：2 2 1.25 y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则22 1a b +=， ()()()() ()()()()()2 2 2 2 2 2 22 2222 333210. a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b abi -+=+- =+- ++-=+--=-+ 从而2 2 ,10x a b y ab =-=，于是()22 2 22224 1.25 y x a b a b +=-+= 3.关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 答案：2log x = 解 因为( )()tan arctan 2tan arctan 2221x x x x --?=?=，所以arctan 2arctan 22 x x π -+= ， 解得arctan 2,arctan 23 6 x x π π -= = ，则22log x x == 4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6，则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 答案：48．
高二数学竞赛试题Word版
高二数学试题 一,选择题(每题5分) 1.在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是 ( ) (A) 74 (B) 121 (C) －74 (D) －121 2.若(1-2x )9 展开式的第3项为288，则∞→n lim (n x x x 1112?++)的值是 ( ) （A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）52 3.整数组﹛X1,X2,X3,X4﹜适合0
2016年上海市高三数学竞赛试卷答案
2016年上海市高三数学竞赛试卷 2016年3月27日上午9：30～11：30 【说明】解答本试卷不得使用计算器．解答请写在答题纸上. 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1． 已知函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，a 、b 、c 均为常数),函数f 1(x )的图像和函数f (x )的图像关于y 轴对称，函数f 2(x )的图像和函数f 1(x )的图像关于直线y=1对称，则函数f 2(x )的分析式是 ． 2．复数z 满足|z |=1, w=3z 222 z -在复平面上对应的动点W 所表示曲线的普通方程为 ． 3. 关于x 的方程arctan 2arctan 26 x x π --= 的解是 ． 4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为1,2,3,4,5,6；则同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能． 5. 已知函数f (x)=cos(),x πg (x )=2x a 1 2 - (a ≠0);若存在1x 、2x ∈[0,1],使f (1x ) =f (2x )成立，则实数a 的取值范围为 ． 6. 如图，有16间小三角形的房间.甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角形的房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是 ．（用分数表示） 7. 在空间，四个不共线的向量OA 、OB 、 OC 、OD ,它们两两间的夹角都是α，则α的大小是 ． 8.已知a >0,b >0,a 3+b 3=1,则a +b 的取值范围为 ． 二、解答题（本大题满分60分） 9．（本题满分15分）如图，已知五边形A 1B 1C 1D 1E 1内接于边长为1的正五边形ABCDE ； A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 E 1
上海市高中数学竞赛
上海市高中数学竞赛 说明：解答本试题不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分,前4小题每题7分,后4小题每题8分） 1.方程组2 71211x x y x y ++?=??+=??的解集为 . 2.在平面直角坐标系中,长度为1的线段AB 在x 轴上移动（点A 在点B 的左边）,点P 、Q 的坐标分别为(0,1)、(1,2),则直线AP 与直线BQ 交点R 轨迹的普通方程为 . 3.已知M 是椭圆x 216+y 29=1在第一象限弧上的一点,MN ⊥y 轴,垂足为N ,当△OMN 的面积最大时,它的内切圆的半径r = 4.已知△ABC 外接圆半径为1,角A 、B 、C 的平分线分别交△ABC 外接圆于A 1、B 1、C 1,则 AA 1cos A 2+BB 1cos B 2+CC 1cos C 2sin A +sin B +sin C 的值为 . 5.设f (x )=a sin[(x +1) π]+b 3x －1+2,其中a 、b 为实常数,若f (lg5)=5,则f (lg20)的值为 . 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A (3,a ),B (3,b )使∠AOB =45°,其中a 、b 均为整数,且a b >,则满足条件的数对(a ,b )共有 组. 7.已知圆C 的方程为x 2+y 2－4x －2y +1=0（圆心为C ）,直线y =(tan10°)x +2与圆C 交于A 、B 两点,则直线AC ,BC 倾斜角之和为 . 8.甲、乙两运动员乒乓球比赛在进行中,甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获 胜.若甲、乙两人每局取胜的概率都为12,则甲最后获胜的概率是 . 二、解答题： 9.（本题满分为14分）对于两个实数a 、b ,min{a ,b }表示a 、b 中较小的数,求所有非零实数x , 使min{x +4x ,4}≥8·min{x ,1x }. 10. （本题满分为14分）如图,在△ABC ,Q 为BC 中点,点M ,N 分别在边AB ,AC 上,且
2018年上海市高三数学竞赛试题
2018年上海市高三数学竞赛试题
2018年上海市高三数学竞赛试题 时间：2小时，满分：120分 姓名 一、填空题（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．集合22{(,)100,x y x y +≤且,}x y Z ∈的元素个数是 ． 2．设函数()f x 是R R →的函数，满足对一切R x ∈，都有()(2)2f x xf x +-=，则()f x 的解析式为()f x = ． 3．已知椭圆2222 1(0)x y a b a b +=>>，F 为椭圆的右焦点，AB 为过中心O 的弦，则ABF ?面积的最大值为 ． 4．设集合111111{,,,,,}2711131532A =的非空子集为1263 ,,,A A A ，记集合i A 中的所有元素的积为(1,2,,63)i p i =（单元数集的元素积是这个元素本身），则1263p p p +++= ． 5．已知一个等腰三角形的底边长为3，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是 ． 6．设实数,,a b c 满足2221a b c ++=，记ab bc ca ++的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -= ． 7．在三棱锥P ABC -中，已知3,1,2AB AC PB PC ====则22ABC PBC S S ??+的取值范围是 ． 8．在平面直角坐标系xoy 中，有2018个圆：⊙1A ，⊙2A ，…，⊙2018A 其中⊙k A 的圆心为2 1(,)4k k k A a a ，半径为2 1 (1,2,,2018)4k a k =，这里12201812018a a a >>>=，且⊙k A 与⊙1k A +外切(1,2,,2017)k =，则1 a = ．
高中数学竞赛讲义(全套)
高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不
2012年全国高中数学联赛、广西高一、高二数学竞赛获奖情况通报
2012年全国高中数学联赛、广西高一、高二数学竞赛获奖情况通报 2012年全国高中数学联赛、2012年广西高一、高二数学竞赛结果已揭晓，现将我市考生获奖情况通报如下（合浦县自治区、市级奖情况由合浦教研室另行通报），请各有关学校查阅。 附件一：2012年全国高中数学联赛获奖名单 附件二：2012年广西高二数学竞赛获奖名单 附件三：2012年广西高一数学竞赛获奖名单 北海市数学学会 二O一二年十二月 附件一：2012年全国高中数学联赛获奖名单 全国二等奖（10名） 邓亮（廉州中学）李国卫（廉州中学）何意（北海中学）林新强（北海中学） 沈小英（廉州中学）唐略钧（北海中学）朱家良（北海中学）吴毓俭（北海中学） 苏振杰（廉州中学）叶柏宁（北海中学） 自治区三等奖（37名） 黄子睿（北海中学）罗圣治（北海中学）陈天浩（北海中学）张洪瑞（北海中学） 荣靖（北海中学）廖秋衡（北海中学）张峻琦（北海中学）邱凌峰（北海中学） 黎昌昊（北海中学）陈思含（北海中学）冯敏（北海中学）王永健（北海中学） 陈文凯（北海中学）柳炎（北海二中）陈毓（北海中学）李世科（北海七中） 伍开庆（北海七中）欧业宝（南康中学）李晓东（国发高中）周蒲淞（北海七中） 周子民（北海二中）陈汉南（北海七中）江基政（北海七中）阮永林（北海七中） 陈凤（南康中学）陈德康（南康中学）何德焱（北海七中）苏永宝（北海七中） 谭燕玲（南康中学）谭维仁（北海七中）林兆铭（北海七中）冯钻（北海二中） 张宝森（北海二中）苏小玲（北海五中）欧祥华（南康中学）罗翠（国发高中） 邓振玲（国发高中） 北海市三等奖（7名） 钟德明（南康中学）李建钊（南康中学）罗勉（北海二中）郑朝仁（北海五中） 李豪（北海五中）黄居岸（北海五中）杨萍（北海九中） 附件二：2012年广西高二数学竞赛获奖名单 自治区一等奖（17名） 何丹昀（北海中学）黄锟（北海七中）蔡丽蓉（南康中学）叶愈林（北海中学） 李泽受（北海中学）卜兴淳（北海中学）何泽维（南康中学）龙恒（北海中学） 苏显东（北海中学）赖柏君（北海中学）邱天怡（北海七中）赖雄健（北海中学） 刘颖（北海七中）李世靖（北海七中）裴耀建（北海中学）毛远华（北海中学） 李艳鸿（国发高中）
上海市高中数学竞赛试题及参考答案
上海市高中数学竞赛 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 . 2.已知正整数1210,, ,a a a 满足: 3 ,1102 >≤<≤j i a i j a ,则10a 的最小可能值是 . 3.若17tan tan tan 6αβγ++=，4 cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17 cot cot cot cot 5βγγα++=-，则()tan αβγ++= . 4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解，则实数k 的取值范围是 . 5．如图，?AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形，已知 90∠=?AEF ，,,==>AE a EF b a b ，则=x . 6．方程1233213+?-+=m n n m 的非负整数解(),=m n . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22+++=== -=++n n n n n a a a a a n n n .若 2011 22012 >+ m a ，则正整数m 的最小值为 . E1 C D 1
二、解答题 9．（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x =，1BC =，对角线AC 与BD 的夹角45BOC ∠=?，记直线AB 与CD 的距离为()h x ． 求()h x 的表达式，并写出x 的取值范围． 10．（本题满分14分）给定实数1a >，求函数(sin )(4sin ) ()1sin a x x f x x ++=+的最小 值． 11．（本题满分16分）正实数,,x y z 满足94xyz xy yz zx +++=，求证： （1）4 3 xy yz zx ++≥ ； （2）2x y z ++≥． O D C B A
2017年上海市高三数学竞赛真题(打印版)
2017年上海市高三数学竞赛 （2017.03.26） 一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1、函数y = lg[arcsin(2x 2 －x )] 的定义域是__________，值域是__________ . 2、数列{}n a 是递增数列，满足：a n +12＋a n 2＋81 = 18(a n ＋a n +1) ＋ 2a n a n +1 ，n = 1，2，……，而且a 1 = 1，则数列{}n a 的通项公式a n = __________ . 3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的 正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________ . 4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4张，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________ . 5、设1 211=)(2＋＋＋x x x f ，则)°89(tan )°2(tan )°1(tan f f f ＋＋＋ = __________ . 6、设集合A = {a 1，a 2，a 3}是集合{1，2，……，16}的子集， 满足a 1＋7 ≤ a 2＋4 ≤ a 3，则这样的子集A 共有__________个。 7、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，3)，B (2，3)，及圆C ： 2 15=)1()(222a y a x ＋＋＋－，若线段AB （包括端点A ，B ）在圆C 的外部，则实数a 的取值范围是__________ .
高二趣味数学竞赛试卷
崇信三中高二趣味数学竞赛试题 班级 姓名 考号 一、选择题(9×3分=27分) 1、猩猩最讨厌什么线（ ） A 中位线 B 平行线 C 角平分线 D 射线 2、衣柜里有6只白色袜子，6只黑色袜子。它们除颜色不同之外，其它都一样。如果身处漆黑中，由衣柜取出两只颜色相同的袜子，最少要从衣柜中拿出几只袜子，才能确保其中有两只袜子颜色相同呢？（ ）A 1次 B 2次 C 3次 D 4次 3、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论。到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础上。就在人们认为数学的基础已经很牢固的时候，集合论出现了一系列自相矛盾的结果，即悖论！于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。请选出下面哪个选项不属于悖论（ ） A 有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？” B 英国数学家罗素构造了一个集合S ：S 由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S 是否属于S 呢？ C “今天天气很好，是不是？” D 一天，萨维尔村理发师挂出了一块招牌：村里所有不是自己理发的男人都由我给他们理发。于是有人问他：“您的头发谁给理呢？”理发师顿时哑口无言。 4、勾股定理还有一种叫法（ ） A 毕达哥拉斯定理 B 孙子定理 C 欧拉定理 D 祖冲之定理 5、祖冲之是我国古代伟大的数学家，他在公元前400多年计算出了圆周率π的近似值，这个近似值精确到小数的7位，这个记录直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。祖冲之还给出了π的分数形式，那么下面那个是他给的分数形式（ ） A 10 3 B 333107 C 355113 D 10399333102 6、数学史上曾经发生过三次数学危机，其中第3题中的集合悖论的发现称之为第三次危机，那么前两次危机时什么（ ） A 第一次危机是无理数的出现，第二次危机是十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，也就是无穷小到底是不是0 B 第一次危机是无理数的出现，第二次危机是π能不能用分数表示 C 第一次危机是费马提出的猜想：当n>2()n N ∈时，方程n n n x y z +=没有正整数解，第二次危机是十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，也就是无穷小到底是不是0 7、你目前有27枚金币，但有一枚较轻的伪币混在其中，现在想要用天平秤出伪币。最少用天枰称几次就可以确定伪币（ ） A 2次 B 3次 C 4次 D 5次 8、、某地有两个村庄王庄和李庄，王庄的人在星期一、三、五说谎，李庄的人在星期二、四、 六说谎。在其他日子他们说实话。一天，外地来的游客来到这里，见到两个人，分别向他们提 出关于日期的问题，两个人都回答说，“前天是我说谎的日子。” 已知被问的两个人分别来自王庄和李庄，以下哪项判断是对的（ ） A 这一天是星期五或星期日 B 这一天是星期二或星期四 C 这一天是星期一或星期三 D 这一天是星期四或星期五 9、有一个两人做的游戏：轮流报数，报出的数不能超过8（也不能是0），把两个人报出的数连加起来，谁报数后使和为88，谁就获胜。如果让你先报数，你第一次应该报几才能一定获胜（ ） A ．5 B ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ 二、填空题（8×4分=32分） 10、猜数学名词： （1）考试不作弊： （2）剑穿楚霸王： （3）一分钱一分货： （4）坐船须知： 从下面备选数学名词中，选择合适的一个词填入上面的横线中： 恒等 运算 绝对值 配方 真分数 公差 分母 乘法 对顶角 通项 11、有只兔子掉进30公尺深的干井里。它并不习惯待在这种地方，因此决定奋力往上爬。但兔子爬墙的能力不太好，它发现自己努力往上爬了一天，上升了3公尺却又滑下2公尺。休息了一夜之后，它又继续努力，结果一样。它要几天才能爬出干井？ 答： 12、在横线中填入适当的数。定义一种对应关系：“ ”， 1 5 2 50 3 500 4 5000 5 13、4张牌算24点！只能用加减乘除，每张牌只能用一次。请计算如何由下面这些数计算得到24（在横线上写出计算过程）： 5， 5， 5， 1 计算过程： 14、下面加法竖式中的每一个汉字都代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当他们各代表什么数字时，算式成立？将答案写在右边的横线上。 北京奥运 京奥运 奥运 + 运 2 0 0 8 答： 15、小明是位热心人，常常在空闲的时间，帮人修理钟表。有一次，因为有急事，把时针当成分针，纷争当成时针装在钟上。这样一来，这只钟就不准了。不过，这只钟并不是绝对不准，也有准的时候。 （1）那么在什么情况下，装错了的针的钟是准的？ （2）如果正当12点时，这只钟对准了标准时间，24小时内，它将有几次和标准时间是一致的？
高中数学竞赛考试大纲
高中数学竞赛大纲（修订稿） 在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入了一个新的阶段。为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的全日制中学“数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养......，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理： 在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
上海市高中数学竞赛(新知杯)
2008上海市高中数学竞赛（新知杯） 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分） 1．已知恒等式43223144322314)1()1()1()1(b x b x b x b x a x a x a x a x ++++++++=++++ 则用a 1、a 2、a 3、a 4来表示b 3，有= b 3 。 2．有一个19×19的正方形棋盘，从中任取2条水平线，2条垂线，围成的图形恰好是正方 形的概率是 。 3．一条长为4的线段AB 在x 轴正半轴上移动，另一条长为2的线段CD 在y 轴正半轴上移 动，如果两条线段的4个端点A 、B 、C 、D 四点共圆，那么这个圆的圆心的轨迹是 。 4．已知a ，b 是实数，n 是正整数，则函数) )(())(()(2222n n n n x b a x x b a x x f ++--=的最大值是 。 5．如图，正方形ABCD 所在平面与正方形ABEF 所在平面构成45°的二面角，则异面直线 AC 与BF 所成角的大小为 。 6．数列 ,2,1,22,3,1:}{1221=+-===++n a a a a a a n n n n 定义如下，则它的前n 项和 为 。 7．直角坐标平面上4个点A （1，2），B （3，1），C （2，3），D （4，0）到直线kx y =的距 离的平方和为S ，当k 变化，S 的最小值为 。 8．正整数n 使得集合{1，2……，2008} 的每一个n 元子集都有2个元素（可以相同），它 们的和是2的正整数幂，则n 的最小值是 。 二、解答题（共60分） 9．（本题满分14分）已知数列}{n a 的通项为：,.21+∈+++=N n n a n 把此数列中所有的3的倍数依次取出，构成一个新的数列求数列,,,,,21 m b b b 求数列}{m b 的前2m 项和b 2m 。 10．（题满分14分）△ABC 中，BC=a ，CA=b ，以边AB 为一边长向外作正方体ABEF ，O 为正方形ABEF 的中心，M ，N 分别为边BC 、CA 的中点。当∠BCA 变化时，求OM+ON 的最大值。
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