勾股定理经典例题详细讲解
勾股定理经典例题详解
知识点一：勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：
c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab
知识点二：用面积证明勾股定理
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.
方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用
1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；
3．用于证明平方关系的问题； 4．利用勾股定理，作出长为的线段。
2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．
如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13, CD=12
∴AC2 =AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB= 4
∴AB的长是4.
类型二：勾股定理的构造应用
2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作
于D，则有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而
求出BC的长.
解析：作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在中，
.
根据勾股定理，在中，
.
∴.
总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用. 当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.
思路点拨: 图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样，实际上就得到了4个直角三角形. 那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.
解析：连结BM，根据勾股定理，在中，
.
而在中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵（已知），
∴.
在中，根据勾股定理有
，
∴.
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=
类型三：勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走
了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
思路点拨：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。
解析：（1）过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
（2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°的方向
总结升华：本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半)，
OD＝0.8米（卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD＝＝＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
解析：设正方形的边长为1，则图（1）、图（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3
图（3）中，在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝及勾股定理得：
EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．