思维方法_强烈推荐_刘未鹏博客

学习密度与专注力

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刘未鹏

– May 24, 2007Posted in: 学习方法, 思维改变生活

上次学校里面有一个免费的李阳英语讲座，好奇于是就去听了一下。对一句话印象比较深刻，大意是说许多人学了快10年的英语，其开口的时间还不如在集训的七天内开口的时间长。也就是说，尽管学习时间很长，但学习密度极低，结果乘起来还是低。其实这种情况不仅存在于英语学习中，而是一种普遍的现象。人太容易为各种各样的事情分心，要集中注意力做一件事情是非常难的，而正因为难，少有人做到，那些做到的，就都变成了牛。

其实，在大学期间，最不缺的就是业余时间，最缺的就是专注精神，非凡的注意力造就非凡的专家。而生活中太多的分散注意力的因素：游戏、篮球、选修课、女朋友… 要想集中注意力对一个单一的目标猛下功夫，其实还是相当有难度的。这个难度并非来自自制力，如果一个人要靠自制力去强迫自己不受干扰，那只能说还是寻常人(mediocre)。真正的效率源自于内心对一个东西强烈的热忱，也就是我们俗称的追求，这时候从表层意识到深层意识都关注在这件事情上面，脑细胞高度活跃，才能创造最大的效率。为什么作诗的时候要趁着酒兴，就是因为少了这种狂热的专注，效率就低下了，一首诗作个好几天顶多是个平庸之作，跟交家庭作业也差不到哪去了。很多人正是因为缺乏专注，所以虽然也和别人一样过来了大学四年，实质上四年里面利用的时间无形中少了不知多少。

专注力为什么会对学习效率造成这么大的影响。这来源于两个方面，一是专注于一件事情能让表层意识全功率运作，这个是显式的效率。第二点，也是更重要的，它还能够使你的潜意识进入一种专注于这件事情的状态。有过连续几天乃至一周或更长时间思考同一个问题的人想必都有一种感觉，就是在这个思考的期间，有时候虽然表层意识因为种种原因不在思考这个问题了（比如睡觉，比如被其它事情中断），但潜意识层面仍然保留着其“惯性”，也就是说，潜意识层面仍然在做思考的努力，从而虽然表层意识被其它事情占据，但潜意识仍然将时间无形中利用起来了。这种无形中的时间利用日积月累可以产生宏大的效应。关于后一点，著名的例子有我们熟知的那个睡觉中想出苯的化学分子式的老大。非著名的例子有老爸告诉我的两个事情，一是他在20岁左右，组装村子里第一台电视机的时候，装到最后关口，电视机总是不能工作，苦思冥想一整天不得要领，结果睡到半夜突然从梦里醒来，想到了答案，连夜就把电视机装好了。还有一次是妹妹拿一道高中数学题问他，也是想了一天多没答案，结果睡午觉的时候想到了。这些都很好的证明了潜意识能在你觉察不到的情况下产生效率。另一方面，潜意识也能在你觉察不到的情况下干扰你的注意力，我们平常就有这样的经验，一个球迷即使在表层意识专心工作的时候也会不知为何突然想起比赛的事情，一个焦虑某件事情的人即使在做其它事情的时候也会被突然涌上来的焦虑打断。也就是说表层意识在关注一件事情，但潜意识却在关注另一件事情，并且时不时来打扰表层意识，从而影响注意力和效率。所以，如果表层意识和潜意识都能专注同一件事情，也就是俗称的完全投入，这个时候的效率就能double。此外这种专注成了

一种习惯之后，就容易在很短时间之内把自己的潜意识带入到一种关注的“惯性”中，于是即便表层意识的注意力已经移开了，然而潜意识仍在继续关注原来的问题。比如你可能有这样的经历，学习一首歌曲，一开始的时候并没有完全学会，然后你就去忙别的事情了，一个星期之后想起这首歌曲，居然发现原来难学会的几个地方突然会哼了；或者思考一个问题，一开始的时候总有一个地方没有思考出来，然后你就先放着了，几天之后回想这个问题，突然发现一切都清晰了。这就是潜意识的效率，它能在你不知不觉中把时间利用起来。

了解专注力的作用不够，如何获得专注力才是更重要的问题。跟人身上的其它特质（性格、心态…）一样，专注力也是一种习惯。一个习惯于专注事情的人不管做什么事情都容易并迅速进入一种专注的状态。既然是一种习惯，就能够培养，金出武雄在《像外行一样思考，像专家一样实践——科研成功之道》里面提到“思维体力”的概念，所谓思维体力就是能够持续集中注意力的时间，注意力造就非凡专家，天才来源于长期的专注的训练。培养你的思维体力，是成为非凡专家的一个必要条件。除了培养专注的习惯之外，还可以通过另一个充分条件来实现专注力，即做自己喜欢做的事。我们从小对自己喜欢做的事情都是极其专注的，当然，即使长大了之后，仍然还是某种程度上保留了这种专注的能力，只不过因为种种外界因素，长久专注的能力反而削弱了，要考虑房子，要考虑业绩，要考虑小孩，要考虑医疗保险…这些让人焦虑的事情会积压在潜意识当中，总是在影响你专注做事，削弱你人生的效率。卡耐基用一整本《人性的优点》来介绍如何克服焦虑，可见焦虑的负面影响有多大。要使自己能像小的时候一样对喜欢的事情投入最大的专注，除了克服焦虑的负面影响之外，还有另一个条件就是不能放弃，今年的奥斯卡独立电影《阳光小美女》上，Frank和Dwayne在码头的那场Loser 对话，以及Richard决定把他老爸的遗体带走时说的：“世界上有两种人，赢家和失败者，两者的区别在于，赢家从不放弃…”。佛家说逆境是增上缘，课本说天降降大任于斯人必先苦其心智劳其筋骨…宗教里说经受磨难才能到达彼岸，说的都是同样的道理。不过我还是更欣赏Frank在码头说的那段话（摘自卓别灵的blog）：

“(普鲁斯特)是个法国作家。彻底的失败者。一生没工作，情事不断还是个同性恋。花20年写了一本没几个人看的小说。但他也许是莎士比亚之后最伟大的作家。晚年回首人生，他发现那些难熬的日子才是一生中最好的时光，因为那些日子造就了他。而快活的日子全是浪费时间，没有任何收获。你想一觉醒来就到

18岁，觉得这样可以跳过高中时期的痛苦。但高中是你一生中最重要的苦难时光，你不可能经历比这更好的苦难了。”

多好的心态啊。什么是黄金心态，这就是。其实过来人你我都有这样的体会。此外，如何不让生活中其它细节干扰也是一个重要的因素，除了那些你焦虑的事情之外，还有诸如收拾衣服、打扫房间、清理书桌、接孩子回家、瑜伽等等；对此史蒂芬柯维在《高效能人士的七个习惯》里面提到的第四代时间管理法则，即要事第一（指重要但不紧迫的事，即长远积累会对你今后人生产生重大影响的事）法则就非常有效。关注有两种关注法，主动关注和被动关注，许多人对琐事错误的采取了主动式关注，比如常常回到家就开始想“今天还有哪些事没做完”，实际上，让这些不重要的事情自己来找你就可以了，即中断式被动关注，后者可以防止空转轮询浪费的时间，从而把最集中注意力的时间利用在最重要的事情上。

最后，如何知道你已经获得了专注力。这样的现象太多了，比如本不想洗头却无意识把洗发露倒在手上结果不得不洗头，或者干脆把洗发露当沐浴露了。比如去食堂吃饭指着南瓜说黄瓜（因为南瓜是黄的），或者端了免费汤还拿卡出来打卡。至于像牛顿这样牛到顿的老大能把手感差异如此巨大的表当成鸡蛋煮了的阶段还远没达到，看来人家姓牛也不是白姓的:-)

跟波利亚学解题(rev#3)

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刘未鹏

– April 18, 2008Posted in: 思维改变生活, 算法

一些故事

波利亚在他著名的《How To Solve It》中讲了这么一个有趣的心理学实验：

用一个缺了一条边的正方形围栏围住一只动物（狗、黑猩猩、母鸡、人类婴儿），在围栏的另一侧放上一个被试很想要的物体（对动物来说是食物，对人类婴儿来说是有趣的玩具），然后观察他们各自的行为。发现，狗在扒着围栏吠了几声发现无法通过的时候，不久便学会了从围栏的缺口的那一边绕出去，母鸡则朝着围栏一个劲的扑腾，不会想到绕弯子。此外，人类婴儿很快就学会了绕过障碍；而黑猩猩也学得很快（黑猩猩是和人类最近的灵长类亲属）。这个实验有力的证明了，动物解决问题的能力是进化而来的、天生的、硬编码在大脑的神经元网络里

面的。

事实上，不仅解决问题方面是如此，人类整个认知系统中绝大部

分功能从本质上都是硬编码的，能在后天习得的只是“程度”的

不同，而不是“本质”的不同。《动机心理学》中有一个令人印

象深刻的一个例子：

先给小鼠喝某种甜味水（称为“可口水”），然后用X射线促使

其产生反胃感，能使小鼠形成对这种味道的水的厌恶和回避（经典条件反射）。但如果不是在水里面加味道，而是在它喝水的时候伴随强光刺激（即让它喝“光噪水”），然后同样刺激其反胃，却无法使它养成对“光噪水”的厌恶。另一方面，如果不是促使其反胃（身体不适），而是用电击惩罚，则它无法形成对“可口水”的厌恶，而是形成对“光噪水“的厌恶。显然，小鼠对事件之间的关联的归因也具有着某种硬编码好了的倾向。在这个例子中，老鼠的大脑里面硬编码了“将身体不适（内部事件）归因于食物而不是闪光”、”将电击（外部事件）归因于闪光而非食物” 这种逻辑。

而人类也有类似的归因倾向。金出武雄在《像外行一样思考，像专家一样实践》

中也提到，他认为人类的直觉实际上也是计算，捷径式的计算，

只不过由于我们目前还不了解人类大脑内神经元的全部结构（或

者说“感性”的物质基础）这才把“感性”当成人类所特有的；

金出武雄的这种观点跟心理学中的认知捷径不谋而合。实际上，

越是高等的动物，大脑中用于处理特定问题的硬编码神经元回路

就越是多和复杂。例如，达尔文早在《人类和动物的情绪表达》

中就先知先觉的提出了动物情绪的适应价值；《Mean Genes》列

出了用于解决生存繁衍问题的特定认知倾向；《决策与判断》里

面则列出了人类在解决更具一般性的决策问题中的一些系统性的、可预测的认知偏差；而《Predictably Irrational》更是把这个认识提高到方法论的层面，主张人类的非理性实际上是完全可预知的。事实上，所有这些观点都建立在一个基本事实的基础上，即人类大脑中的千亿神经元是由在漫长的进化过程中被塑造出来的分工明确的、ad hoc的一组子系统构成的。

越是高等的动物，解题能力越高，猩猩能够进行某种顿悟，在脑子里就构想出通过堆放墙角的箱子来帮助获取高高吊着的香蕉；而出于进化之树顶端的人类则具有非比寻常的大脑，在人类整个进化的过程中，解决问题的能力一直在进化，所以说人脑中的神经元最重要的部分是为了解题而存在的也不为过。不同的人只是在解题能力程度上不同，并没有本质上能与不能的差异。

波利亚在《How To Solve It》中另外还举了下面这个例子：

一个原始人站在一条小溪前，他想要越过这条小溪，但溪水经过昨天一夜，已经涨了上来；因此他面临一个问题：如何越过这条小溪。他联想起以前曾经从一棵倒下并横在河上的树木上走过去，于是他的问题变成了如何找到这样一颗倒下并横在溪流上的树木。他环顾四周，发现溪流上没有这样的横着的树木，但他发现周围倒是有不少生长着的树木；于是问题再次变成了：如何使这些树木躺到溪流上。

在这个想像的故事中我们看到了一个问题是如何被一步步归约的：首先，原始人通过对一个已知的类似问题的联想认识到一个重要的性质：如果

有一棵树横在河上，我就可以借助这棵树过河。这就将一个无法

直接解决的问题转化为了一个新的、已知的、并容易解决的问题。

值得注意的是这里“联想”是极其重要的一个环节，联想可以将

手上的问题与已知的类似问题联系起来，并从后者中吸取能够利

用的方法。联想也能够将与问题有关的定理或性质从大脑的知识

系统中提取出来。基本上，如果一个联想能够得到某个性质，而

这个性质能够或者将问题往上归约一层，或者将条件往下推导一

层，这个联想就是有用的。事实上，如果你仔细注意以下解题的过程，你也许会发现，所有的启发式思维方法（heuristics）实质上都是为了联想服务的，而联想则是为了从我们大脑的知识系统中提取出有价值的性质或定理，从而补上从条件到结论、从已知到未知之间缺失的链环。

一段历史

实际上，人类自从进入理性文明以来，不仅在不断的解题，还在不断的对自身的解题方法进行反省和总结。在这条路上，有一个真正光荣与辉煌的梦想，那就是发现人类解题的所有一般性法则，并借此建造出一台能够解决人类能够解决的所有问题的一般解题机。与物理中的建造永动机不一样，这个梦想并非遥不可及的，自从古希腊哲学家对人类心智的反省思考以来，许多著名的数学和哲学家为此建造了阶梯，Pappus，亚历山大学派最后一位伟大的几何学家，就曾在他恢弘的八卷本《数学汇编》中描述了其中的一种法则，他将它称为“分析与综合”，大意如下：

首先我们把需要求解的问题本身当成条件，从它推导出结论，再从这个结论推导出更多的结论，直到某一个点上我们发现已经出现了真正已知的条件。这个过程称为分析。有了这条路径，我们便可以从已知条件出发，一路推导到问题的解。

波利亚在他的三卷本中把这种做法叫做Working Backwards（倒过来解）。

笛卡尔也曾经试图将人类思维的规则总结为36条（最终完成了21条）。莱布尼兹，现代计算机实质上的发明者，也说到：

在我看来，没有什么能比探索发明的源头还要重要，它远比发明本身更重要。

再后来，捷克数学家波尔查诺也试图总结人类思维的本质规律，他在他的著作《科学的理论》中写道：

我根本不奢望自己能够提供任何超于其他天才所使用过的科学探索方法之外的新方法，从这个意义上，你别指望能在书中看到什么新的东西。但是，我会尽我的全力去总结所有伟大的思想者们共有的、思维的原则和方法，我认为即便是他们自己在思考的时候也未必全都意识到自己在使用什么方法。

再后来，就到了近代，随着科学技术的进步，心理学最活跃的子学科——认知科学——开始辉煌起来，人类开始向思维乃至自我意识的物质基础发起进攻。两位多才多艺的计算机科学家兼认知科学家，Herbert Simon（另外还是经济学家）和Allen Newell写出了世界上第一个一般性解题机的程序（GPS），虽然GPS

只能解决很狭窄的一类问题，但这是第一个将“问题解决策略”和“知识”分离开来的程序。显然，在知识之外，人类的思维是有着一些一般性的指导规则的。事实上，波利亚在《数学与猜想》中写道，欧拉是最重数学思维的教学的，欧拉认为如果不能把解决数学问题背后的思维过程教给学生的话，数学教学就是没有意义的。

一些方法

这些一般性的思维方法，就是波利亚用了整整三本书，五卷本

（《How To Solve It》、《数学的发现》、《数学与猜想》）来

试图阐明的。波利亚的书是独特的，从小到大，我们看过的数学

书几乎无一不是欧几里德式的：从定义到定理，再到推论。是属

于“顺流而下”式的。这样的书完全而彻底的扭曲了数学发现的

真实过程。举个例子，《证明与反驳：数学发现的逻辑》在附录一中讲了一个非常有趣的例子：柯西当年试图将函数的连续性从单个函数推广到无穷级数上面去，即证明由无穷多个连续函数构成的收敛级数本身也是一个连续的函数，柯西给出了一个巧妙的证明，似乎漂亮地解决了这个问题。然而傅立叶却给出了一个噩梦般的三角函数的收敛级数，它的和却并不是连续的。这令柯西大为头疼，以至于延迟了他的数学分析教程的出版好些年。后来，赛德尔解决了这个问题：原来柯西在他看似无懈可击的证明中非常隐蔽（他自己也不知觉的情况下）引入了一个潜在的假设，这个假设就是后来被称为的“一致收敛”条件。当时我看到这里就去翻我们的数学分析书，发现“一致收敛”这个概念第一次出现的时候是这样写的：定义：一致收敛…

所以说，从这个意义上，《数学，确定性的丧失》从历史的角度再现了真实的数学发展过程，是一本极其难得的好书。而事实上，从真实的数学历史发展的角

度去讲授数学，也是数学教学法的最佳方法。不过，《数学，确定性的丧失》的弱点是并没有从思维的角度去再现数学发现的思维过程，而这正是波利亚所做的。

总结波利亚在书中提到的思维方法，尤其是《How To Solve It》中的启发式思

考方法，有这样一些：

?时刻不忘未知量（即时刻别忘记你到底想要求什么，问题是什么。）

莱布尼兹曾经将人的解题思考过程比喻成晃筛子，把脑袋里面的东

西都给抖落出来，然后正在搜索的注意力会抓住一切细微的、与问

题有关的东西。事实上，要做到能够令注意力抓住这些有关的东西，

就必须时刻将问题放在注意力层面，否则即使关键的东西抖落出来

了也可能没注意到。

?用特例启发思考。一个泛化的问题往往给人一种无法把握、无从下手、或无法抓住里面任何东西的感觉，因为条件太泛，所以看起来哪个条件都没法入手。一个泛化

的问题往往有一种“不确定性”（譬如元素的个数不确定，某个变量不确定等等），

这种不确定性会成为思维的障碍，通过考虑一个合适的特例，我们不仅使得问题的

条件确定下来从而便于通过试错这样的手法去助探问题的内部结构，同时很有可能

我们的特例中实质上隐藏了一般性问题的本质结构，于是我们便能够通过对特例的

考察寻找一般问题的解。

?反过来推导。反过来推导是一种极其重要的启发法，正如前面提到的，Pappus在他的宏篇巨著中将这种手法总结为解题的最重要手法。实际上，反向解题隐含了解题

中至为深刻的思想：归约。归约是一种极为重要的手法，一个著名的关于归约的笑

话这样说：有一位数学家失业了，去当消防员。经过了一些培训之后，正式上任之

前，训练的人考他：如果房子失火了怎么办？数学家答出了所有的正确步骤。训练

人又问他：如果房子没失火呢？数学家答：那我就把房子点燃，这样我就把它归约

为了一个已知问题。人类思维本质上善于“顺着”推导，从一组条件出发，运用必然

的逻辑关系，得出推论。然而，如果要求的未知量与已知量看上去相隔甚远，这个

时候顺着推实际上就是运用另一个启发式方法——试错——了。虽然试错是最常用，又是也是最有效的启发法，然而试错却并不是最高效的。对于许多题目而言，其要

求的结论本身就隐藏了推论，不管这个推论是充分的还是必要的，都很可能对解题

有帮助。如果从结论能够推导出一个充要推论，那么实际上我们就将问题进行了一

次“双向”归约，如果原问题不容易解决，那么归约后的问题也许就容易解决了，通

过一层层的归约，让逻辑的枝蔓从结论上一节节的生长，我们往往会发现，离已知量越来越近。此外，即便是从结论推导出的必要非充分推论（“单向”归约），对问题也是有帮助的——任何不满足这个推论的方案都不是问题的解：譬如通过驻点来求函数的最值，我们通过考察函数的最值（除了函数边界点外），发现它必然有一个性质，即在这个点上函数的一阶导数为0，虽然一阶导数为0的点未必是最值点，但我们可以肯定的是，任何一阶导数不为0的点都可以排除，这就将解空间缩小到了有穷多个点，剩下的只要做做简单的排除法，答案就出现了。再譬如线性规划中经典的单纯形算法（又见《Algorithms》），也是通过对结论的考察揭

示出只需遍历有限个顶点便必然可以到达最值的。此外很多我们

熟知的经典题目也都是这种思路的典范，譬如《How To Solve It》

上面举的例子：通过一个9升水的桶和一个4升水的桶在河里取

6升水。这个题目通过正向试错，很快也能发现答案，然而通过

反向归约，则能够不偏不倚的命中答案。另一些我们耳熟能详的

题目也是如此，譬如：100根火柴，两个人轮流取，每个人每次

只能取1~7根，谁拿到最后一根火柴谁赢；问有必胜策略吗，有的话是先手还是后手必胜？这个问题通过试错就不是那么容易发现答案了。同样，这个问题的推广被收录在《编程之美》里面：两堆橘子，各为m和n个，两人轮流拿，拿的时候你只能选择某一堆在里面拿（即不能跨堆拿），你可以拿1~这堆里面所有剩下的个橘子，谁拿到最后一个橘子谁赢；问题同上。算法上面很多聪明的算法也都是通过考察所求结论隐藏的性质来减小复杂度的，譬如刚才提到的单纯形问题，譬如经典面试题“名人问题”、“和最小（大）的连续子序列”等等。倒推法之所以是一种极为深刻的思维方法，本质上是因为它充分利用了题目中一个最不易被觉察到的信息——结论。

结论往往蕴含着丰富的条件，譬如对什么样的解才是满足题意的解的约束。一般来说，借助结论中蕴含的知识，我们便可以更为“智能地”搜索解空间。举一个直白的例子，有人要你在地球上寻找一栋满足如下条件的建筑：__层高（填空自己填），__风格，__年代始建，… （省略若干约束条件）。对于这样一个问题，最平凡的解法是穷举地球上每一栋建筑，直到遇到一个满足条件的为止。而更“智能”的（或者说更“启发”的）方法则是充分利用题目里面的约束信息，譬如假若条件里面说要60层楼房，你就不会去非洲找，如果要拜占庭风格的，你估计也不会到中国来找，如果要始建于很早的年代的，你也不会去非常新建的城市里面去找，等等。倒推法是如此的重要，以至于笛卡尔当时认为可以把一切问题归结为求解代数方程组，笛卡尔的万能解题法就是首先将问题转化为代数问题，然后设出未知数，列出方程，最后解这组（个）方程。其中设未知数本质上就是一种倒推：通过设出一个假想的结论x，来将题目对x的需求表达出来，然后顺势而下推导出x。仔细想想设未知数这种手法所蕴含的深刻思想，也就难怪笛卡尔会认为它是那个解决所有问题的一般性钥匙了。

试错。试错估计是世界上被运用最广泛的启发法，你拿到一个题目，里面有一些条件，你需要求解一个未知量。于是你对题目这里捅捅那里捣捣，你用上所有的已知量，或使用所有你想到的操作手法，尝试着看看能不能得到有用的结论，能不能离答案近一步。事实上，如果一个问题的状态空间是有限的话，往往可以通过穷举所有可能性来找到那个关键的性质。譬如这样一个问题：有一个囚犯，国王打算处决他，但仁慈的国王给了他一个生还的机会。现在摆在他面前有两个瓶子，一个里面装了50个白球，一个装了50个黑球，这个囚犯有一个机会可以随便怎样重新分配这些球到两个瓶子中（当然，要保证不空），分配完了之后囚犯被蒙上眼睛，国王随

机取一个瓶子给他，他在里面摸出一个球（因为蒙着眼睛，所以也是随机抽取），如果白球，则活，否则挂掉。问，这个囚犯如何分配，才能最大化生还几率。结合特例和试错法，这个题目的答案是很容易发现的。这样的题目还有很多。实际上，历史上很多有名的发现也都是无意间发现的（可以看作是试错的一种）。

?调整题目的条件（如，删除、增加、改变条件）。有时候，通过调整题目的条件，我们往往迅速能够发现条件和结论之间是如何联系的。通过扭曲问题的内部结构，我们能发现原本结构里面重要的东西。譬如这样一个题目（感谢alai同学提供）：A国由1000000个岛组成，岛与岛之间只能用船作为交通工具，有些岛之间有船来往，从任意一个岛都可以去到另外任一个岛，当然其中可能要换船。现在有一个警察要追捕一个逃犯，开始时他们在不同的岛上，警察和逃犯都是每天最多乘一次船，但这个逃犯还有点迷信，每个月的13日不乘船，警察则不迷信。警察每天乘船前都知道逃犯昨天在哪个岛上，但不知道他今天会去哪个岛。请证明，警察一定可以抓到逃犯（即到达同一个岛）。通过拿掉题目中一个关键的条件，观察区别，然后再放上那个条件，我们就能“感觉”到题目的内在结构上的某种约束，进而得到答案。

?求解一个类似的题目。类似的题目也许有类似的结构，类似的性质，类似的解方案。

通过考察或回忆一个类似的题目是如何解决的，也许就能够借用一些重要的点子。

然而如何在大脑中提取出真正类似的题目是一个问题。所谓真正类似的题目，是指那些抽象结构一样的题目。很多问题表面看是类似的，然而抽象结

构却不是类似的；另一些题目表面看根本不像，然而抽象层面却是

一致的。表面一致抽象不一致会导致错误的、无效的类比；而表面

不一致（抽象一致）则会阻碍真正有用的类比。《Psychology of

Problem Solving》里面对此有详细的介绍。后面也会提到，为了便

于脑中的知识结构真正能够“迁移”，在记忆掌握和分析问题的时候

都应该尽量抽象的去看待，这样才能够建立知识的本质联系，才能

够最大化联想空间。

?列出所有可能跟问题有关的定理或性质。这个不用说，我们在最初学习解题的时候就是这么做的了。

?考察反面，考察其他所有情况。很多时候，我们在解题时容易陷入一种特定的手法，比如为什么一定要是构造式的来解这个题目呢？为什么不能是逼近式的？为什么一定要一步到位算出答案？为什么不能从一个错误的答案调整到正确答案？为什么这个东西一定成立？不成立又如何？等等。经典例子：100个人比赛，要决出冠军至少需要赛多少场。

?将问题泛化，并求解这个泛化后的问题。刚才不是说过，应该通过特例启发思考吗？

为什么现在又反倒要泛化呢？实际上，有少数题目，泛化之后更容易解决。即，解决一类问题，比解决这类问题里面某个特定的问题还要容易。波利亚称之为“发明者悖论”，关于“发明者悖论”，《数学与猜想》第一卷的开头有一个绝妙的例子，可惜这里空间太小，我就不摘抄了- _-|||

以上是我认为最重要的，也是最具一般性的、放之四海都可用的

思维法则。一些更为“问题特定”的，或更为现代的启发法，可

以参见《如何解题：现代启发式方法》以及所有的算法书。不过，

在结束这一节之前，还有两个有趣的启发法值得一提：

?下意识孵化法。这个方法有点像老母鸡孵小鸡的过程：我们先把问

题的吃透，放在脑子里，然后等着我们的下意识把它解出来。不过，不宜将这个方

法的条件拉伸过远，实际上，除非能够一直保持一种思索的状态（金出武雄所谓“思维体力”），或者问题很简单，否则一转头去做别的事情之后，你的下意识很容易就

把问题丢开了。据说庞加莱有一次在街上，踏上一辆马车的那一瞬间，想出了一个

重要问题的解。其他人也像仿效，结果没一个人成功。实际上，非但马车与问题无

关，更重要的是，庞加莱实际上在做任何事的时候除了投入有限的注意力之外，其

他思维空间都让给了那个问题了。同样，阿基米德从浴缸里面跳出来也是如此；如

若不是经过了极其痛苦和长时间的思索，也不会如此兴奋。如果你也曾经花过几天

的时间思考一个问题，肯定也是会有类似的经历的。

烫手山芋法。说白了，就是把问题扔给别人解决。事实上，在这个网络时代，这个方法有着无可比拟的优越性。几乎任何知识性的问题，都可以迅速搜索或请教到答

案。不过，如何在已知知识之外发掘出未知知识，如何解决未知问题，那就还是要

看个人的能力了。数学界流传一个与此有关的笑话：如果你有一个未解决问题，你

有两个办法，一，自己解决它。二，让陶哲轩对它感兴趣。

除了波利亚的书之外，陶哲轩的《Solving Mathematical Problems》

也对解题的启发式思路作了极有意义的介绍，他在书的第一章遵

循波利亚的思路从一个具体的题目出发，介绍了如何运用波利亚

在书中提到的各种启发式方法来对解题进行尝试。

总而言之，充分挖掘题目中蕴含的知识，是解题的最关键步骤。

本质上，所有启发式方法某种意义上都是为此服务的。这些知识，有些时候以联想的方式被挖掘出来，此时启发式方法充当的便是辅助联想的手段。有时候则以演绎和归纳的手法被挖掘出来，此时启发式方法则充当助探（辅助探索）工具。

一点思考

1. 联想的法则

人类的大脑是一个复杂而精妙的器官，然而某种程度上，人类的大脑也是一个愚蠢的器官。如果你总结过你解过的一些有意义的好题目，你会发现它们有一个共同点：没有用到你不知道的知识，然而那个最关键的、攸关成败的知识点你就是想不到。所以你不禁要问，为什么明明这个知识在我脑子里（也就是说，明明我是“能够” 解决这个问题的），但我就是没法想到它呢？“你是怎么想到的？”这是问题解决者最常问的一个问题。甚至对于熟练的解题者来说，这个问题的答案也并不总是很明确的，很可能他们自己也不清楚那个关键的想法是怎么“蹦”出来的。我们在思考一个问题的时候，自己能意识到的思维部分似乎是很少的，绝大多数时候我们能感知到的就是一个一个的转折点在意识层面显现，我们的意识就像一条不连续的线，在其上的每一段之间那个空档内发生了什么我们一无所知，往往我们发现被卡在一个地方，我们苦思冥想，然后一个知识（也许是一个性质，也许是一个定理）从脑子里冒了出来，或者说，被我们意识到，然后我们沿着这条路走一段，然后又卡住，然后又等待一个新的关键知识的出现。而至于这些知识是怎么冒出来的？我们可以对它们的“冒出来”提供怎样的帮助？我们可以在意识层面做一些工作，帮助我们的下意识联想到更多重要的知识吗？那些灵光一现的瞬间，难道只能等待它们的出现？难道我们不能通过一些系统化的

步骤去“捕获”或“生成”它们？又或者我们能不能至少做些什么工作以使得

它们更容易发生呢？

正如金出武雄在《像外行一样思考，像专家一样实践》中所说的，人类的灵感一定是有规律的，认知科学目前至少已经确认了人类思维的整个物质基础——神经元。而既然它们是物质，自然要遵循物质的运行规律。只不过我们目前还没有窥破它们，但至少我们可以确信的是，它们在那里。事实上，不需要借助于认知科学，单单是通过对我们自己思维过程的自我观察，也许就已经能够总结出一些重要的规律了，也许，对自身思维过程的反观真的是人有别于其它动物的本质区别。

《专注力》当中有这样一个例子：一天夜里，你被外面的吵闹声叫醒了，你出去一看，发现有一群人，其中有一个人开着很名贵的轿车，他跟你说他们正在玩一个叫“拾荒者”的游戏，由于一些原因，他必须要赢这个游戏，现在他需要一块1.5m*1m的木板，如果你能帮忙的话，愿以一万美元酬报。你怎么办？被测试的大多数人都没有想到，只要把门拆给他就可以了（如果你想到了，祝贺你:-)），也许你会说现在的门都是钢的，没关系，那你有没有想到床板、立柜的门、大桌子的桌面之类的？这个问题测试的就是心理学上所谓的“范畴陷阱”，“木板”这个名词在你脑子里的概念中如果是指“那些没有加工的，也许放在木材厂门口的，作为原材料的木板”的话，那么“木板”就会迅速在你的下意识里面建立起一个搜索范畴，你也会迅速的反应到“这深更半夜叫我上哪去找木板呢？”如果你一下就想到了，那么很大的可能性是“木板”这个概念在你脑子里的范畴更大，更抽象，也许包含了所有“木质的、板状的东西”。

这就是联想的法则。

我们的大脑无时无刻不在对事物进行归类，实际上，不仅是事物，一切知识，都在被自动的归类。在有关对世界的认知方面，被称为认知图式，我们根据既有的知识结构来理解这个世界，会带来很大的优势。实际上，模块化是一个重要的降低复杂性的手段。然而，知识是一把双刃剑，一方面，它们提供给了我们解决问题的无以伦比的捷径优势，“砖头是砌墙的”，于是我们遇到砌墙这个问题的时候就可以迅速利用砖头。然而另一方面，知识却也是思维的桎梏。思维定势就是指下意识遵循既有知识框架思考的过程。上面的那个木板的例子也是思维定势的例子。每一个知识都是一个优势，同时又是一个束缚。著名的科幻作家阿瑟·克拉克有一句名言：如果一位德高望重的老科学家说某个事情是不可能的，那么他很可能是错的。所以，如何在获取知识优势的同时，防止被知识束缚住，是一门技术。

掌握这门技术的钥匙，就是抽象。在吸收知识的时候进行抽象，同时在面对需要用到知识的新问题时也要对问题进行抽象。就以大家都知道的“砖头”有多少种用途为例，据说这道题目是用于测试人的发散思维的，能联想到的用途越多，思维定势就越小。实际上，借助于抽象这个利器，这类题目（乃至更广的一类问题）是可以系统性的进行求解的，我们只需对砖头从各个属性维度进行抽象。譬如，砖头是——长方形的（长方形的东西有什么用途？还有哪些东西也是长方形的，它们都有什么用途？）、有棱角的（问题同上）、坚硬的、固体、有一定大小的体积的、红色的、边界线条平直的、有一定重量的… 对于每一个抽象，我们不

妨联想还有其他什么物体也是具有同样抽象性质的，它们具有同样的用途吗？当然，除了抽象之外，还有“修改”，我们可以在各个维度上对砖头的属性进行调整，以期得到新的属性：譬如大小可以调整、固体可以调整为碎末、棱角可以打磨、重量也可以调整、形状也可以调整… 然后看看新的属性可以如何联想开去。

除了这个简单的例子之外，我们也不妨看一看一些算法上的例子，同样一个算法，不同的人来理解，也许你脑子里记得的是某个特定的巧妙技巧（也许这个技巧在题目的某步关键的地方出现，从而带来了最令人意外的转折点），然而另一人个记得得也许是“递归”这种手法，还有另外一个人记得的也许是“分治”这种更一般化的解题思路。从不同的抽象层面去掌握这道题目的知识信息，以后遇到类似的问题，你能够想起这道题所提供的知识的可能性是有极大的差异的。《Psychology of Problem Solving》的第11章举了这样一个例子：先让被试（皆为大学生）阅读一段军事材料，这个材料是说一小撮军队如何通过同时从几个不同方向小规模攻击来击溃一个防守严实的军事堡垒的。事实上这个例子的本质是对一个点的同时的弱攻击能够集聚成强大的力量。然后被试被要求解决一个问题：一个医生想要用X射线杀死一个恶性肿瘤，这个肿瘤只可以通过高强度的X射线杀死，然而那样的话就会伤及周围的良好组织。医生应该怎么办呢？在没有给出先前的军队的例子的被试中只有10%想到答案，这是控制基线。然后，在先前学习了军队例子的被试中，这个比例也仅仅只增加到30%，也就是说只有额外20%

的人“自动”地将知识进行了转移。最后一组是在提醒之下做的，达到了75%，即比“自动”转移组增加了45%之多。这个例子说明，知识的表象细节会迷惑我们的眼睛，阻碍我们对知识的运用，在这个例子中是阻碍问题之间的类比。

而抽象，则正是对非本质细节去枝减叶的过程，抽象是我们在掌握知识和解决问题时候的一把有力的奥卡姆剃刀。所以，无论是在解题还是在学习的过程中，问自己一个问题“我是不是已经掌握了这个知识最深刻最本质的东西”是非常有

益的。

2. 知识，知识

如果你是一个熟练的解题者，你也许会发现，除了一些非常一般性的、本质的思维法则之外，将不同“能力”的解题者区分开来的，实际上还是知识。知识是解题过程中的罗塞塔碑石。一道几何题为什么欧几里德能够做出来

我们不能，是因为欧几里德比我们所有人都更了解几何图形有哪

些性质，借助于一个性质，他很容易就能抵达问题的彼岸；反之，

对于不知道某个性质的我们，倒过来试图“发现”需要这样的性

质有时几乎是不可能的。有人说数学是在黑暗中摸索的学科，是

有道理的。并不是所有的问题都能够通过演绎、归纳、类比等手

法解出来的。这方面，费马大定理就是一个绝好的例子，《费马

大定理：一个困惑了世间智者358年的谜》一书描述了费马大定

理从诞生到被解决的整个过程，事实上，通过对费马大定理本身的考察，几乎是毫无希望解决这个问题的，我们根本不能推导出“好，这里我只需要这样一个性质，就可以解决它了”，也许大多数时候我们可以，但那或者是因为我们有已知的知识，或者这样的归约很显然。而对于一些致命的问题，譬如费马大定理，最重要的归约却是由别人在根本不是为了解决费马大定理的过程中得出来的。运气

好的话，我们在既有的知识系统中会有这样的定理可以用于归约，运气不好的话，就得去摸索了。

所幸的是，绝大多数问题并不像费马大定理这样难以解决。而且绝大多数问题需要用到的知识，在现有的知识系统里面都是存在的。我们只要掌握得足够好，就有希望联想起来，并用于解题。

当然，也有许多题目，求解它们的那个关键的知识可以通过考察题目本身蕴涵的条件来获得，这类题目就是测试思维本身的能力的好题目了。而如果这个性质根本无法通过对题目本身的考察得出来，那么这个题目测试的就是知识储备以及联想能力。

3. 好题目、坏题目

在我看来，好题目即测试一个人思维的习惯的题目（因为知识性的东西是更容易弥补的，尤其是在这样一个年代；而好习惯不是一朝一夕养成的），它应有这样一些性质：

?不需要用到未知的知识，或者

?需要用到未知的知识，但一个敏锐的解题者可以通过对题目的分析自行发现这些所需的知识。

?考察解题的一般性思路，而不是特定（ad hoc）的解题技巧，尤其是当这个技巧几乎不可能在短时间内通过演绎和试错发现的时候。譬如题目需要用到某种性质，而

这个性质对于不知道它的人来说几乎是无法从对题目的考察中得出来的。

?考察思维能力：联想能力、类比能力、抽象能力、演绎能力、归纳能力、观察能力、发散能力（思维不落巢臼的能力）。

?考察一般性的思维方法：通过特例启发思考、通过试错寻找规律、通过泛化试探更一般性命题、通过倒过来推导将问题进行归约、通过调整（分解、删除、增加等等）题目的条件来感知它们之间的联系以及和结论的联系、通过系统化的分类讨论来覆

盖每种可能性。

?好题目举例：烙饼排序问题（考察特例启发法以及观察能力）、Nim问题（还有简单版本的取火柴问题）（烙饼排序问题和Nim问题可参见《编程之美》）、9公升4公升水桶倒6公升水的问题（考察倒过来思考问题的能力）、9点连线问题、6根火柴搭出4个面的问题、“木板”问题（考察思维定势，此外《心理学与生活》的第九章也

有好几个经典的问题）、许多数论问题（观察能力、演绎能力、归纳能力）。此外，

我们最近也在讨论好题目。

而坏题目呢：

?好题目各有各的好，坏题目都是相似的。

?坏题目基本上就是指那些所谓的unfair questions，什么是unfair，举个例子：一个人住在一栋非常高的楼上，每天早晨他乘电梯下到一楼，出门上班。但晚上回来之

后却最多只能坐到一半高度的楼层，剩下一半只能走楼梯上去，除非是下雨天。问

为什么。这个例子据说不少人小时候在脑筋急转弯里面做过，但我很怀疑基本上任

何正常人是不是可能想出来。这个问题的问题在于他需要用到千百个有可能与问题

有关的性质中的一个，而且这个性质还根本无法通过对题目本身的考察得出来，只

可能某天我们碰巧遇到类似的场景也许才能想到。知道答案的人也许会说答案很显

然，但别忘了心理学上的事后偏见——一旦知道结果之后，所有指向结果的证据看

上去都那么显然和充分，而同时所有反结果的证据看起来都那么不显然和不充分。

譬如这题关键是要想到这人是矮子和雨天要带伞，也许你会说“只要考虑一下电梯的按钮面板就会发现了”，或者“看到下雨，那还不想到带伞么？”，然而这只是事后的合情推断。在不知道答案的情况下，这个故事中有数不清的因素可能会成为问题的

解释，除非某天我们碰到类似的问题，否则大致也只能一个个穷举了去使劲往上凑，譬如除了身高之外还有：是不是瞎子、是不是聋子、是不是哑子、男人女人、什么

牌子的电梯、大厦是哪种大厦？这些因素重要吗？不重要吗？最令人头疼的是，在

不知道答案的时候，我们也根本不知道他们重不重要，一个出谜语的人可能从任何

一个微小的地方引申出某个谜语来；更头疼的是，我们不知道我们不知道的那些因

素是不是也可能与题目的解有关，譬如这样一个问题：一个人走进酒吧，问酒保要

一杯水，酒保掏出一只枪，拉上扳机；这人说声“谢谢”，走了出去。这些题目固然

有趣，但几乎没有价值。

?值得注意的是，这样的问题跟著名的9点连线问题和6根火柴搭出4个面的问题（还有《如何解题：现代启发式方法》里面那个经典的“小球在盒内碰撞何时回到原轨迹”

的问题）不同，后者的条件都在眼前，并且解的搜索空间无论如何很小，就看思维

能不能突破某一个框框。而上面这些问题则是要人进行根本不可能的联想。9点问

题实际上是可以系统化思考解决的，但unfair question则像许多谜语一样，随便哪

个人都可以出一个另一个人根本无法想出来的谜语，因为从谜语隐含的信息加上人

可能从谜语中联想出来的信息，加起来也不足以构成解题的充分条件；这种情况下

除非你遇到出题人在出题时的心理或所处情况，否则是无法解的。

?最后，发散性思维其实是可以系统化的，参见前文“联想的规则”。

出题的误区：

?最大的误区就是把知识性的题目误当成能力型的题目。如果题目中需要用到某个重要的定理或性质，而对于一个原本不知道这个定理或性质的人来说是无法通过题目

本身到达这个性质的，那这就属于知识性的题目。

?虽然几乎所有题目归根到底都是知识性的，但有些题目更为知识性，尤其是当解题中需要用到的定理或性质并不那么trivial的时候。

?一个最好的题目就是问题明明白白，而且最终的解也没有用到什么神秘的定理，但要想获知到解，取决于你会不会思考一个问题（参见“好问题”）。譬如烙饼问题和

Nim问题，还有许许多多问题简洁明确但很锻炼思考的算法问题。

4. 一个好习惯

在解题的过程中，除了必要条件——知识储备——之外，对于一些并不涉及什么你不知道的定理的题，很大程度上就要看思维能力或者习惯了。而在思考一个问题的时候，最容易犯的一类错误就是忘了考虑某种可能性，不管这种可能性是另一种做法（譬如只顾着构造一个能一步得出结果的算法，没记得还可以从错误情况逼近。譬如只顾着正着推导，却忘了可以反过来推。只顾着反过来推，居然忘了可以考察简单特例。试了各种手法，却发现忘了考虑题目的某个条件。觉得试遍了所有可能性，已经走不下去了，然后其实在思维的早些时候就已经落入了思

维陷阱。等等）事实上，即便是一个熟练的解题者也容易犯顾此失彼的问题，因为我们一旦意识到一个看似能够得到结论的解法，整个注意力就容易被吸引过去，而由于推导的路径是很长的，所以很容易在一条路上走到黑，试图再往下走一步就得出解。却忘了回过头来看看再更高的层面上还有没有其它手法，思路上有没有其他可能性。

而对于像我这样目前尚不谙熟所有思维方法的人来说，则更容易犯这样的错误。为了避免这样的错误，一个有效的办法就是将自己的思考过程（中的重要环节）清晰的写在纸上（称为“看得见的思考”），这有如下几个好处：

?人在思考一个问题的时候，就像是在黑暗中打着电筒往前走（事实上，我们的工作记忆资源是有限的，有研究证明我们只能在工作记忆里面持有7加减2个项目；此

外认知负荷也是有极限的），每一步推导，每一步逻辑或猜测都将我们往前挪一步，

然而电筒的光亮能找到的范围是有限的，我们走了几步发现后面又黑了。有时候，

我们是如此努力地试图一下就走出很远，同时又老是怕忘记目前已经取得的进展和

重要结论，结果意识的微光就在一个很小的范围内打转，始终无法往前走出很远。

而将思维过程记录下来，则给了我们完全的回顾机会。如果你是经常做笔记的人，

你肯定会发现，有时候一个在脑子里觉得两句话就能说完不需要记下来的东西，一

旦开始往纸上写下来，你就自然而然能得出更多的结论和东西，越写越多，最终关

于你的问题的所有方面都被推导出来展现在你面前。

?思考问题时的注意力是自上而下控制大脑的神经处理过程的，当我们集中注意力在某一个过程上时，其它的过程就会受到抑制。我们平常都遇到过一些时候，由于集

中注意力从而忽略了周围发生的事情的时候（处理环境输入的神经回路受到抑制）。

所以，当我们竭尽全力将一些非常重要的因素控制在工作记忆里面的时候，实际上

很大程度上抑制了其余的思考——可以想见如果科比在跳投的瞬间集中注意力思考

跳投的各种技术要素的话会发生怎样的灾难。此外，这么做还占用了宝贵的工作记

忆空间，从这个意义上，借助于纸笔，将思考的东西写下来实际上就是扩充了我们

的工作记忆，增大了思维的缓存。注意，这倒不是说思考问题不需要集中注意力，

而是说由于将项目维持在工作记忆中需要很大的认知精力，使得我们的注意力无法

暂时移开去思考其它相关的子问题，而写到纸上的话我们就减轻了工作记忆的负担，可以转移注意力去集中思考某个子问题；同时我们又可以随时回过头来，重新将以

前想过的结论装入记忆（内存），完全不用费心去阻止它们被我们的工作记忆遗忘。

?一句话从嘴里说出来，或者写到纸上，被视觉或听觉模块接收，再认知；跟在心里默念所产生的神经兴奋程度是不一样的。我们都有过这样的经历：一句令人不愉快

的话，我们心里清楚，但就是不愿意自己也不愿意别人从嘴里说出来。同样，将思

考的过程写到纸上，能够激起潜在的更多的联想。为什么会这样的另一个可能的原

因是我们大脑中思维过程的呈现形式和纸上的表现形式是不一样的，既没有那么严

格、详细也没有那么多的符号（如数学符号）——再一次，工作记忆资源是很有限

的——而后者，作为视觉线索，可能激起更多对既有知识的回忆。

?我们在思考问题的过程中容易落入思维定势，不知不觉就走上来某条“绝大部分时候是如此”的思维捷径，对于一些问题而言这固然能够让我们快速得到解，但对于另一

些问题而言却是致命的。我们容易在逻辑的路径上引入想当然的假设，从而排除某

种不该排除的可能性或做法。通过将思路过程写到纸上，我们便能够回头细细考察

自己的思考过程，觉察到什么地方犯了想当然的毛病。

?我们在思维过程中的每一个关键的一步也许都有另一种可能性，一个问题越复杂，需要推导的步骤就越多，我们就越容易忽视过程中的其它可能性，容易一条路走到

黑。而将思维过程写下来，在走不下去的时候可以回过头看看，也许会发现另一种

可能性，另一条“少有人走的路”。

?最后，通过将思维过程写下来，我们就能够在解题完毕之后完整的回顾自己的整个思维过程，并从中再次体悟那些关键的想法背后所发生的心理活动过程，总结思考

中的重要的一般原则，分析思维薄弱的环节，等等。就算是最终发现并没有到达结

果的无效思路，也未必就没有意义，因为不是因为错误的思路，也不会知道正确的

思路，况且对一道题目用不上的思路，对其它题目未必用不上。通过对自己思维过

程的彻底反思，就能从每次解题中获得最多的收获。

5. 练习，练习

本质上，练习并不产生新能力。然而练习最重要的一个作用就是将外显记忆转化为内隐记忆。用大白话来说就是将平时需要用脑子去想（参与）的东西转化为内在的习惯。譬如我们一开始学骑自行车的时候需要不断提醒自己注意平衡，但随着不断的联系，这种技能就内化成了所谓的程序式记忆（内隐记忆的一种），从而就算你一边骑车一边进行解题这样需要消耗大量脑力的活动，也无需担心失去平衡（不过撞树是完全可能的，但那是另一回事）。

同样，对于解题中的思维方法来说，不断练习这些思维方法就能做到无意识间就能运用自如，大大降低了意识的负担和加快了解题速度。

不过，并非所有的练习方法都是等效的，有些练习方法肯定要比另一些更有效率。譬如就解题来说，解题是一项涉及到人类最高级思维机制的活动，其中尤其是推理（归纳和演绎）和联想。而后者中又尤数联想是最麻烦的，前面提到，绝大多数时候启发式方法实质上都是在为联想服务——为了能像晃筛子那样把你脑袋

里那个关键的相关知识抖落出来。并且，为了方便以后能够联想，在当初吸收知识的时候就需要做最恰当的加工才行，譬如前面提到的“抽象”加工，除此之外还有将知识与既有的知识框架整合，建立最多的思维连接点（或者说“钩子”）。对于知识的深浅加工所带来的影响，《找寻逝去的自我》里面有精彩的介绍（里面也提到了提取线索对回忆的影响——从该意义上来说运用启发式思维方法来辅助联想，其实就是进行策略性记忆提取的过程）。最后，人类的无意识思维天生有着各种各样的坏习惯，譬如前面提到的范畴陷阱就是创新思维的杀手，譬如根据表面相似性进行类比也是知识转移的一大障碍。更遑论各种各样的思维捷径了（我们平常进行的绝大多数思考和决策，都是通过认知捷径来进行的）。所以说，如果任由我们天生的思维方式发展，也许永远都避不开无意识中的那些陷阱，好在我们除了无意识之外还多出了一层监督机制——意识。通过不断反省思维本身，时时纠正不正确的思考方式，我们就能够对其进行淬炼，最终养成良好的思维习惯。反之被动的练习虽然也能熟能生巧，但势必花的时间更多，而且对于涉及复杂的思维机制的解题活动来说，远远不是通过钱眼往油壶里面倒油这样简单的活动所能类比的，倒油不像思维活动那样有形形色色的陷阱，倒油不需要联想和推理，倒油甚至几乎完全不需要意识的辅助性参与，除了集中注意力（而解题活动就算对于极其熟练的人来说也不断需要大量的意识参与）。所以对于前者，

良好的思维习惯至关重要，而反省加上运用正确的思维方法则是最终养成良好思维习惯的途径。

练习还有另外一个很重要的作用，就是增加领域知识（关于知识在问题解决中的作用，前面已经提到过）。我们看到很多人，拿到一道题目立即脑子里就反应出解法，这个反应快到他自己都不能意识到背后有什么逻辑。这是因为既有的知识（我们常说的“无他，实在是题做得太多了”）起到了极大的作用，通过对题目中几个关键元素或结构的感知，大脑中的相关知识迅速被自动提取出来。而对于知道但不熟悉相应知识（譬如很早我们就知道归纳法，但是很久以后我们才真正能够做到面对任何一道可能用归纳法的题目就立即能够想到运用归纳法），或者干脆就不知道该知识的人来说，就需要通过启发法来辅助联想或探索了。后者可以一定程度上代偿对知识的不够熟悉，但在一些时候知识的缺失则是致命的（参见上面第2点）。不过要注意的是，那种看到题目直接反应出答案的或许也不是纯粹的好事，因为这样的解题过程严重依赖于既有知识，尤其是做过的类似的题目，其思维过程绝大部分运用的是联想或类比，而非演绎或归纳。更重要的是，联想也分两种，被动联想和策略性联想（参考《找寻逝去的自我》），这里用的却是被动联想。所以，能直接反应出答案并不代表遇到真正新颖的题目的时候的解决能力，后者由于不依赖于既有领域知识，就真正需要看一个人的思维能力和习惯究竟如何了。

6. 启发法的局限性

首先肯定的是，启发法一定（也许很大）程度上是可以代偿知识的不足的（这里的知识主要是指大脑中的“联系”，下面还会提到另一种知识，即hard knowledge）。譬如，一道题目，别人直接就能通过类比联想到某道解过的题目，并直接使用了其中的一个关键的性质把题目给解出来了。你并没有做过那道题目，这导致两种可能的结果：一，你就是不知道那个性质。二，你虽然“知道”那个性质，但并没有在以前的解题经历中将那个性质跟你手头的这个问题中的“线索”联系起来，所以你还是“想不到”。后一种可以称为soft knowledge，即你“知道”，但就是联想（联系）不起来。所谓不能活学活用，某些时候就是这种情况，即书本上提供什么样的知识联系，脑子里也记住什么，而没有事后更广泛地去探索知识之间的本质联系（总结的作用）。前一种则可以称为hard knowledge，

即你就是不知道，它不在你的脑子里。

而启发式方法在两个层面上起作用：

辅助联想起soft knowledge：譬如，特例法是一种启发式思考方法，它通过引入一个简单的特例，特例中往往蕴含有更多的“线索”，通过这些线索，有可能就会激发

起对既有的知识的联想。另外一种强大的辅助联想办法就是对题目进行变形，变形

之后就产生了新的视觉和语意线索，比如式子的对称性、从直角坐标到极坐标从而

引发对后者的知识的联想等等。大量的启发式方法实际上的作用就是辅助联想，通

过对题目中的线索的发掘，激起大脑中已知相关知识的浮现。在这个意义上，相对

于那些能够直接联想到某个性质的人，那些不知道但可以通过启发式思维联想到的，启发式思维就提供了一种“曲径通幽”的策略性联想。还是以经典的例子来说：砖头

的用途。有人立即能够直接联想到“敲人”。有人也许不能。然而启发式联想策略“抽

象”就能够帮助后者也能够联想到“敲人”，因为“抽象”策略启发人去考虑砖头的各个性质维度，如“质地”，“形状”，当你考察到“质地坚硬”，“棱角”，离“敲人”的功能还会远么？本质上，能够直接联想到“敲人”功能的人是因为大脑中从砖头到敲人这两

个概念之间的神经通路被走过了很多遍（譬如由于经常拿砖头敲人），神经元之间的联系相当“粗”（形象的说法，严格的事实请参考《追寻记忆的痕迹》），而不经常拿

砖头敲人的人呢，这个联系就非常的弱，乃至于根本激不起一次神经冲动。那么为

什么通过启发式方法又能联想到呢？因为启发式方法相当于带入了一种新的神经调

控回路，首先它增加你联系到砖头的属性维度上的可能性，使得“质地坚硬”、“棱角”

这两个语意概念被激活起来（注意，如果没有启发式方法的参与，这是不会发生的），一旦后者被激活起来，从后者到“敲人”的联系就被激活起来了。从本质上，解题中

的启发联想方法做的也就是这个工作。而越是一般性的启发式方法就越是能对广泛

的问题有帮助（譬如《How to Solve It》中介绍的那些，譬如分类讨论、分治、乃至我认为很重要的一个——写下自己的思维过程，详细分解各个环节，考察思维路径

中有无其它可能性（我们很容易拿到一道题目便被一种冲动带入到某一条特定的思

路当中，并且遵循着“最可能的”推导路径往下走，往往不自觉的忽略其它可能性，

于是那些可能性上的联想就被我们的注意力“抑制”了。））。

?辅助探索出hard knowledge：倒推法是一种启发式思考方法，它将你的注意力集中到问题的结论中蕴含的知识上，一旦你开始关注可能从结论中演绎出来的知识，你

就可能得到hard knowledge，即并不是早先就存在你脑子里，但是可以通过演绎获

得的。上文中的最小和子序列中的倒推方法就是一个例子。

而启发式方法的局限性也存在于这两个方面：

?有些联系是不管怎样“启发”也想不起来的。譬如“当布被刺破了，干草堆就重要了”，你怎么解释这句话？如果有人提示一下“降落伞”，每个人都会恍然大悟。这是因为

从“布”到“降落伞”之间的单向联系是近乎不存在的。而且就算运用启发法，譬如，

考虑所有布做的东西，也基本绝无可能想到降落伞，因为同样，从“布做的东西”到“降落伞”之间的关联也是极其微弱的。我们脑子里只能保留那些最最重要的联系。（如

果一提到布，“降落伞”和“衣服”、“被单”、“窗帘”等日常物品以同等重要级别闪现，就乱套了。）那为什么从降落伞我们能想到布呢？我们实际上不能，我们为什么有些时候能，是因为譬如有人叫你“考虑降落伞的材料”，后者就激发了“降落伞之材料”

这个语意，后者又指导了我们去考察降落伞的材料构成，于是我们想到是布。否则“布”

是不会直接被激发起来的。那为什么在我们的这个问题中，一旦有人提到降落伞，

我们就能建立从布到降落伞的关联呢？这是因为“降落伞”和“布”这两个语意单元的

同时兴奋增大了它们之间关联的可能性，就好比是加大另一端的电压从而发生了“击穿”一样。从本质上，解数学题也是如此，费马大定理的求解过程是一个很好的例子，谷山志村猜想，就相当于那个“降落伞”的提示。我们还听到很多这样的故事（或者

自己经历）：苦思冥想一个问题不得要领，某一天在路上走，看到某个东西或听到某句话，然后忽然，一道闪电划破长空，那个问题解开了（阿基米德是因为躺在浴缸

里从而想到浮力原理的吗？）。我敢保证，如果一个人早就把那个问题从脑海里扔到九霄云外去了（不再处于兴奋状态了），那么就算线索出现，也是不可能发生顿悟的。

我们都知道，带着一个问题（使其在大脑中处于兴奋状态）去寻找答案更可能找到，即便不是有意去寻找，只要问题还在脑子里，任何周围的有可能与它相关的线索都

不会被大脑漏掉，因为“问题”和“周围的其他线索”同时的兴奋增大了关联的可能性。

如果问题早就被从大脑（意识或者潜意识）中撤下了，即便周围出现提示也不会被

捕捉到。

许多hard knowledge是不能被启发探索出来的。至少是不能被“直接命中目标”地探索出来的。一个问题有可能跟三角函数有关，也许你只能带着问题去探索三角函数

的所有性质，从而最终发现那个关键的性质。费马大定理与椭圆方程有关，也许只

能去探索椭圆方程的所有性质，这个过程一定程度上是盲目的，试错的，遍历的。

而不是直接面向目标的。再聪明的人也无法从费马大定理直接反推到谷山志村猜想。

在这些时候，启发式方法最多只能提供一个探索的大致方向：譬如，探索三角函数

的性质，并随时注意其中哪个可能对我这个问题有帮助。譬如，探索模运算的性质，

看看哪些性质可能会有用。譬如，探索椭圆曲线的性质…等等。启发式方法并不能

使我们的探索精准地命中目标。而只能划定一个大致的范围。也难怪有人说数学是

盲目的。

但话说回来，启发式方法的局限性并不能否认在大量场合启发式方法的巨大帮助，许多时候，单靠启发式方法就能带来突破。而且，一旦知识性的

东西掌握的是一样多的，能否运用更优秀的思维方法就决定了能

力的高下。有很多介绍思维方法的书。

7. 总结的意义

解题练习的最重要目的不是将特定的题目解出来，而是在于反思

解题过程中的一般性的，跨问题的思维法则。简单的将题目解出

来（或者解不出来看答案，然后“恍然大悟”），只能得到最少的东西，解出来固然能够强化导致解出来的那个思维过程和方法，但缺少反思的话便不能抽取出一般性的东西供更多的题目所用。而解不出来，看答案然后“哦”的一声更是等同于没有收获，因为“理解”和“运用”相差何止十万八千里。每个人都有过这样的经历：一道题目苦思冥想不得要领，经某个人一指点其中的关键一步，顿时恍然大悟——这是理解。但这个理解是因为别人已经将新的知识（那个关键的一步）放到你脑子里了，故而你才能理解。而要运用的话，则需要自己去想出那关键的一步。因此，去揣测和总结别人的思维是如何触及那关键的一步，而你自己的思维又为什么触及不到它，有一些一般性的原则可以指导你下次也能想到那个“关键的一步”吗，是很有意义的。我们很多时候会发现，一道题目，解不出来，最终在提示下面解出来之后，发现其中并没有用到任何自己不知道的知识，那么不仅就要问，既然那个知识是在脑子里的，为什么我们当时愣是提取不出来呢？而为什么别人又能够提取出来呢？我怎么才能像别人那样也提取出相应的

知识呢？实际上这涉及到关于记忆的最深刻的原理，实际上文中

已经提到了一些。（有兴趣的建议参考以下几本书：《追寻记忆

的痕迹》，《找寻逝去的自我》，《Synaptic Self》，《Psychology

of Problem Solving》）一般性的思维法则除了对于辅助联想（起

关键的知识）之外，另一个作用就是辅助演绎/归纳（助探），一

开始学解题的时候，我们基本上是先读懂题目条件，做可能的一

些显然的演绎。如果还没推到答案的话，基本就只能愣在那里等

着那个关键的步骤从脑子里冒出来了。而所谓的启发式思维方法，

就是在这个时候可以运用一些一般性的，所有题目都适用的探索手法，进一步去探索问题中蕴含的知识，从而增大成功解题的可能性。启发式的思维方法有很多，

从一般到特殊，最具一般性的，在波利亚的《How to Solve It》中已经基本全部都介绍了。一些更为特殊性的（譬如“如果全局搜索空间没有递归结构，那么考虑分割搜索空间”，譬如那些“看到XX，要想到YY”的联系），则需要自己在练习中不断抽象总结。

一句结尾

“我想我就在这里结束”——如果你知道我在说什么的话:-)

学习与记忆

By

刘未鹏

– June 5, 2008Posted in: 学习方法, 思维改变生活

正儿巴经学习算法算起来也有快两个月了，之前作为计算机工科生虽然算法和数据结构是必修课，但实际上只是停留在“理解”的层面，相当肤浅，更遑论举一反三灵活运用了。因此，所谓“正儿巴经”学习算法，意即开始对算法思想的本质进行归根究底的过程、对思维方法论进行归纳抽象的过程、对各种解题技巧进行一般化的过程、通过不断练习来让记忆内隐化的过程..

在“正儿巴经”学习算法之前，我曾经有大半年时间都在用业余时间“正儿巴经”地学习心理学和认知神经科学。所以在开始正经思考算法问题之前做的第一件事情就是仔细琢磨一直令我困惑的问题——那些看似抓不到摸不着的灵感到底是

怎么来的。

现代心理学的一个最伟大的原则就是：所有的心理活动同时都是生理活动。——实际上，“心理活动”只不过是“大脑神经活动”的通俗称呼。虽然大脑的结构极度复杂，然而许多人不知道的是，现代神经科学对大脑功能从高层原则上的认识已经可以说是相当完备了，而对于记忆和学习这块更加是因为Eric Kandel

的突破性工作变得相当清晰。可以说剩下的工作主要就是补充细节了。于是乎，借助于三本关于记忆和学习的书，一本专门论述解题心理学的书，wikipedia，

波利亚的三卷解题书，以及自己在思考有限多的问题的过程中对自己的思维过程的反省和总结，我试着对解题的心理学做了一个思考和总结（《跟波利亚学解题》）。——这听起来很奇怪，一个本身只会初级算法的人又如何去思考涵盖所有问题解决的思维过程呢？还是引用波利亚著名的发明者悖论吧：有时候，一个一般性的问题反而要比它的一个特例更好解决。

然而，一般性的问题思考清楚了，清楚解题思维的本质了，并不代表我就万能了，就立即擅长解决所有算法问题了。解题不是光靠思维的，巧妇难为无米之炊。事实上，在《跟波利亚学解题》中总结的一个非常关键的要点就是：启发法固然可贵，然而知识的重要性是不可替代的。不存在通用的、万能的知识，要不然我们

也不必到今天还在不断探索物质世界的规律了。此外，获得知识的过程——学习——本质上是个体力活（尽管是有一定方法的体力活），这个体力活大致分为两步：

?将外界（书本上的）知识转化为外显记忆。

?通过不断练习，将外显记忆转化为内隐记忆。

（关于什么是外显记忆什么是内隐记忆请参考wikipedia或者《跟波利亚学解题》）

而第二步又包含两个过程：

?将关于思维方法的知识转化为内隐记忆从而不知不觉就遵循。

?将关于事实知识（例如“定理”、“性质”）的提取线索们转化为内隐记忆从而看到XX就能想到YY。（参考《找寻逝去的自我》第二章“记忆

的建构：对现在和过去的编码和提取”）

关于第一点有本不错的书——《学习的艺术》。

关于第二点有一个不错的例子，最初从李笑来老师的blog上读到的（《把时间

当作朋友》）：

我李敖看的书很少会忘掉，什么原因呢？方法好。什么方法？心狠手辣。剪刀美工刀全部下来，把书给分尸掉了，就是切开了。这一页我需要，这一段我需要，我把它分类分出来了。那背面有怎么办呢？把它影印出来，或者一开始就买两本书，把两本书都切开以后排出来，把要看的部分切开。结果一本书看完了，这本书也被分尸掉了。这就是我的看书方法。

那分类怎么分呢？我有很多自己做的夹子，夹子我写上字，把资料全部分类。一本书看完以后，全部进入我的夹子里面了。我可以分出几千个类来，分的很细。好比说按照图书馆的分类，哲学类，宗教类；宗教类再分佛教类、道教类、天主教类。我李敖分的更细了，天主教还可以分，神父算一类。神父还可以细分，神父同性恋就是一类，神父还俗又是一类。修女同性恋是一类，修女还俗这又是一类。

任何书里有关的内容都进入我的资料里来。进入干什么呢？当我要写小说的时候，需要这个资料，打开资料，只是写一下就好了。或者发生了一个什么事件，跟修女同性恋有关系，我要发表对新闻的感想，把新闻拿过来，我的资料打开，两个一合并，文章立刻就写出来了。

换句话说，我这本书看完之后，被我大卸八块，五马分尸。可是被我勾住了，这些资料我不凭记忆来记它，我凭用细部的很耐心的功夫把它勾紧，放在资料夹子里。我的记忆力只要记这些标题就好了。标题是按照我的习惯来分，基本上都翻译成英文字，用英文字母排出来，偶尔也有些中文的。

小学数学思维训练的八种类型

小学数学思维训练的八 种类型 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

小学数学思维训练的八种类型 《九年制义务教育全日制小学数学教学大纲》中指出：“学生初步的逻辑思维能力的发展，需要有一个长期的培养和训练过 程，要有意识地结合教学内容进行。”怎样在教学中，对小学生进行思维训练，许万明老师认为主要有以下八种类型。 1.求异型 这是在同一来源中产生各种各样的为数众多的输出的分析性的 思维形式，而教师可以引导学生从不同的方面探索问题的多种 答案。如16—10，可以启发学生用不同的叙述方式表述这道算式。如①16 减去10 等于几？②16减去10 还剩多少？③16 与 10 的差是多少？④10 与什么数的和是16？⑤16比10 多多少？ ⑥10 比16 少多少？⑦16 减去什么数等于10？⑧10 加上什么数 等于16？这样，既使学生透彻理解了数量关系，又训练了口头表达能力，更重要的是锻炼了学生的思维能力。其它如“一题多解”、“一题多变”等就不赘述了。 2.求同型 这是一种进行综合、概括的思维形式。如上例，教师亦可以用 几种不同的叙述方法提出几个问题，让学生归纳出16—10 的算式来。此外，还可以通过一些异中有同的习题来训练学生的抽 象概括思维能力。如：

①甲乙两人接到加工54 只零件任务，甲每天加工10 只，乙每 天加工8只，几天后完成任务？ ②一件工程，甲独做10 天完成，乙独做15 天完成，两人合作 几天完成？ ③像这些形异质同的问题，要引导学生自己总结出：工作总量 ÷工作效率=工作时间。只有这样，学生才能以不变应万变，解一题会多题，可以起到减轻学生负担的作用。 ④3.递进型 ⑤ ⑥这是一种属于逻辑判断、推理的思维形式。例如，教师在讲 授“已知一个数的百分之几是多少，求这个数。”一类题时，叮以引导学生用已掌握的“已知一个数几倍是多少，求这个数”的解题规律去进行逻辑推理，让学生自己发现新出现的百分数应用题的解题规律。教师不要越俎代疱，否则吃力不讨好，反而妨碍了学生思维能力的提高。 ⑦4.逆反型 ⑧这是一种敢于和善于突破习惯性思维束缚的反向思维形式。 在数学教学中，可供训练的材料比比皆是，如加减、乘除、通分约分、正反比例等，问题是教师如何善于运用它。如教验算时，16-10=6，学生习惯地用16-6=10 ⑨

从思维的形式来看思维三种形式

从思维的形式来看，思维以下三种： 抽象思维：抽象思维是运用概念、判断、推理等来反映现实的思维过程，亦称逻辑思维。 抽象思维具有两个重要特征，一是抽象性，抽象思维撇开事物的具体形象而提取其本质，因而具有抽象性的特征。二是逻辑性，抽象思维的过程，是合理展开、科学抽取事物本质的过程，因而具有逻辑性。 形象思维：形象思维是借助于具体形象来展开的思维过程，亦称直感思维。由于艺术家、文学家在进行创造活动时较多地运用形象思维，所以也有人称之为艺术思维。形象思维有以下三个特征： (一)以具体形象为基础，形象思维是以事物的具体形象为基础的。(二)运用想象。形象思维必须从客观世界获取材料并且运用想象。 (三)相似性。形象思维不像抽象思维中的归纳和演绎那样直接，它的过程可能比较复杂。 灵感思维：是在不知不觉之中突然迅速发生的特殊思维形式，亦称顿悟思维或直觉思维。灵感思维有以下两个征： (一)突发性。灵感思维总是突然发生的，没有预感或预兆。 (二)与潜意识密切相关。灵感突发之前有一个酝酿过程，往往要用艰苦的脑力劳动来孕育。有的学者提出，灵感的孕育不在意识的范围内，而在意识之前的、可以称为潜意识的阶段。灵感出现之前，先在潜意识范围内酝酿，一旦成熟，立即以灵感思维的形式涌现出来。潜意识不仅能进行信息的存贮与提取，甚至能在意识之外进行信息处理和加工，似乎存在一个独立的系统。这就是“多一个自我”学说。总之，灵感思维比形象思维更复杂，是一种三维的“体型”思维。 思维分类和七种重要思维： 1.潜意识思维和有意识思维 ?三、思维的分类 ? 1.潜意识思维和有意识思维 ? 2.直观动作思维、具体形象思维和抽象逻辑思维 ? 3.经验思维和理论思维 ? 4.直觉思维和分析思维 ? 5.聚合思维和发散思维 ? 6.再现思维和创造思维 ?相关资料：有关创造性思维

辩证思维方法与现代科学思维方法

恩格斯说：“一个民族想要站在科学的最高峰，就一刻也不能没有辩证思维。”现代科学研究高度分化和高度综合相统一的时代特征，使辩证思维与科学研究的相互依赖性更加密切。 一方面，辩证思维方法是现代科学思维方法的方法论前提。首先，辩证思维的基本精神渗透在现代科学研究方法之中，广泛作用于现代科学研究，以致离开辩证思维方法，科学研究就寸步难行；其次，辩证思维方法不仅是实现经验知识向科学理论转化的必要工具，而且已成为沟通跨学科研究的必要桥梁；再次，辩证思维方法为科学创新提供了理论支撑和动力，推动科研工作者以动态和发展的眼光去解决科学认识活动中的新问题，不断开拓创新。 另一方面，现代科学研究方法及其成果丰富和深化了辩证思维方法，从各个方面充实了辩证思维中的世界图景；现代科学思维以其特有的方式证实和丰富了马克思主义哲学辩证思维的观点，并进一步促使辩证思维方法具体化、精确化。当代科学技术的突飞猛进，使哲学思维和科学思维的相互结合日益重要。我们要在马克思主义哲学的指导下，把辩证思维方法与现代科学思维方法有机地统一起来，更加自觉地运用辩证思维方法指导科学研究。 辩证思维的作用：首先，辩证思维具有统帅作用。辩证思维是高级思维活动。它根据唯物辩证法来认识客观事物，能够反映事物的本来面目，揭露事物内部的深层次矛盾。它从哲学的高度为我们提供世界观和方法论，所以，它在更高层次上对其它思维方式有指导和统帅

作用。其次，辩证思维具有突破作用。在活动中经常遇到困难，不是发现不了主要问题，就是因提供不出解决问题的有效方案而导致“僵局”，往往在此时，辩证思维就成了我们打破僵局的有力武器。最后，辩证思维具有提升作用。人类对事物的认识总有一个由浅入深，有感性认识到理性认识的过程，上升为理论，这就需要辩证思维帮助我们全面总结思维成果，提升成果的认识价值。 辩证法是关于对立统一、斗争和运动、普遍联系和变化发展的哲学学说。辩证法的核心是斗争论（矛盾论）。或者说，辩证法就是矛盾论。现在用于包括思维、自然和历史三个领域中的一种哲学进化的概念，也用来指和形而上学相对立的一种世界观和方法论。世界上只有两种世界观，一种是辩证法，一种是形而上学，辩证法和形而上学是从根本上对立的两种世界观。辩证法的基本特点是认为：斗争与联合相联结。这个思想也是辩证法作为方法论的基本思想.形而上学基本特点是认为：斗争与联合相脱离。它或者只见斗争，不见联合，或者只见联合，不见斗争。 不同时期的哲学家对辩证法有不同的认识，古希腊哲学认为它是论证和分析命题中的矛盾、揭露谈话的矛盾及克服矛盾的方法。德国哲学家G.黑格尔认为，辩证法研究对象本质的自身矛盾，不仅是一种思维方法，而且是一种宇宙观。马克思主义批判地继承了黑格尔的思想，认为辩证法是客观世界本身固有的规律，思维中的辩证法是客观规律在人的头脑中的反映，辩证法是关于普遍联系和发展的学说。辩证法有三种基本的历史形式：古代朴素的辩证法，以黑格尔为代表

如何培养小学生的数学思维能力

如何培养小学生的数学思维能力思维是人脑对客观事物的一般特性和规律的一种间接的、概括的反映过程。进行思维训练，培养学生的思维能力，是小学数学教学的主要任务之一，是实施素质教育开发学生智能，提高学生素质的重要措施。下面就如何培养学生的思维能力谈几点粗浅的看法。 一、进行类比迁移，培养思维的深刻性 思维的深刻性是指思维活动达到较高的抽象程度和逻辑水平，表现在能善于深入地思索问题，从纷繁到复杂的现象中，抓住发现事物的本质规律。小学生的认知结构往往缺损，他们不善于将知识纳入 原有的认知结构之中，因而考虑问题缺乏深度，因此，在教学中应抓以下三点： 1、培养学生对数的概括能力。 数的分解能力，是数的概括的核心。如教20以内的加法，利用直观教具，让学生了解某数是由几个部分组成和如何组成的，引导他们将20以内的数比较实际意义，认识大小，顺序、进行组合与分解练习。 2、让儿童逐步掌握简单的推理方法。 根据教材的内在联系，引导儿童进行类比推理。例如：在乘法口诀教学中，先通过一环紧扣一环的步骤，让学生展示“生动”的思维过程，使学生认识2—4的乘法口诀的可信性，还

了解每句乘法口诀形成的过程。然后利用低年级学生模仿性强的特点，让他们模仿老师的做法去试一试，推导出5—6的乘法口诀。生模仿获得成功后，就与他们一起总结几个步骤： ①摆出实物；提供思维材料； ②列出加法式子的结果； ③列出乘法式子，说明它的结果就是加法式子结果； ④用乘法式子的已知数和结果构造口诀。让他们按步骤来独立地推导7—8的乘法口诀。 在这过程中，针对不同学生不同阶段的不同情况，进行多寡不同的提示和点拨，使独立思维逐步发展。到推导9的乘法口诀时，有的学生已经几乎完全能进行推导了，而大多数学生的思维的能力都表现出不同程度的提高。 3、培养掌握应用题结构的能力。 各科教学问题，都有一个结构问题。狠抓结构训练，使学生掌握数学问题的数量关系，而不受题中具体的情节干扰，是培养思维深刻性的重要一环。由于低年级学生受年龄和知识水平的限制，他们的思维往往带有很大的局限性。为此，我在数学教学中采取多种方法。如：补充条件和问题，不变题意而改变叙述方法，根据问题说所需条件，扩题训练，拆应用题缩题训练，审题训练，自编应用题训练等等，拓展学生思维活动，训练学生思维的深刻性。

创意思维训练的九种方法

创意思维训练的九种方法 想像与联想思维训练 想像和联想思维在视觉艺术思维中是不可缺少的重要成分，是决定艺术创作成功与否的重要条件之一。视觉艺术思维的训练首先要从想像和联想的训练人手。艺术家的想像力除了天赋之外，后天的训练也是举足轻重的。因此，要让艺术家积极地开动脑筋，针对艺术创作中的主题、类型、手法、思想内涵、形式美感和色彩表现等方面，充分展开想像的翅膀，发挥艺术创作的想像能力，不拘束于个别的经验和现实的时空，而让自己的思维遨游于无限的未知世界之中。爱因斯坦说：“想像力比知识更重要，因为知识是有限的，而想像力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉”。与科学一样，没有想像力的艺术创作，是不可能有永恒的艺术生命力和艺术感染力的。 我们在作画时注重视觉对象与周围环境关系的处理，这种知觉选择性与知觉对象的转化关系在现代视觉艺术的平面艺术中称为图(视觉对象)地(周围环境)反转。这是对视觉艺术家普遍进行的思维训练方法之一。最早研究图地转化关系的鲁宾(E. Rubin)，他的著名的“Rubin之杯”(图)图形表现的是在一个长方形画面中画着一只对称的黑色杯，如果仔细观察杯子的左右空白部位，则发现是相对着的两人侧面像。随着视觉的转换，杯和人的侧面像相互交替出现，形成特殊的画面。这类图形在视觉艺术作品中被广泛地应用。如染织美术中的“千鸟纹”，广告、装演艺术中的各种画面等。图地反转变化的理论强调了人们的感觉不是孤立存在的，它要受到周围环境的影响。因此，利用这个方法加以训练，有助于丰富我们的艺术想像力。在此基础上，要求被训练者表达出与众不同、具有独创性的见解。在视觉艺术领域里，这样的训练是培养人们充分发挥艺术想像力而进行创作的必不可少的环节之一。 联想是人的头脑中记忆和想像联系的纽带。由人对事物的记忆而引发出思维的联想，记忆的许多片段通过联想形式进行衔接，转换为新的想法。主动的、有意识的联想能够积极而有效地促进人的记忆与思维。 美学家王朝闻说：“联想和想像当然与印象或记忆有关，没有印象和记忆，联想或想像都是无源之水，无本之木。但很明显，联想和想像，都不是印象或记忆的如实复现。”在艺术创作的过程中，联想与想像是记忆的提炼、升华、扩展和创造，而不是简单的再现。从这个过程中产生的一个设想导致另外一个设想或更多的设想，从而不断地设计创作出新的作品。 视觉艺术思维中的想像离不开联想这个心理过程。联想是通过赋予若干对象之间一种微妙的关系，从中展开想像而获得新的形象的心理过程。人们在日常生活中对事物产生的美感形成了特有的印象，而对视觉形象的记忆又随着人的思维活动形成了知觉与感觉形象的联系。因此，当某个对象出现时，人们的大脑会立即兴奋起来，随着它进行一系列的联想。例如，由“速度”这个概念，人们头脑中会闪现出呼啸而过的飞机、奔驰的列车、自由下落的

小学三年级数学：4种数学思维训练+对应练习题,给孩子看看

小学三年级数学：4种数学思维训练+对应练习题，给孩子看看 很多学生反映数学复杂难懂，其实数学学习不是要死记硬背，而是要掌握方法。数学思维的训练需要一套完成的训练方法，经过思维的训练，数学成绩一定可以大大提高。今天老师就来教你4招： 1 转化型 这是解决问题遇到障碍，受阻时把问题由一种形式转换成另一种形式，使问题变得更简单、更清楚，以利解决的思维形式。在教学中，通过该项训练，可以大幅度地提高学生解题能力。 2 系统型

这是把事物或问题作为一个系统从不同的层次或不同的角度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题以外还可编制许多智力训练题来培养学生系统思维能力。 3 激化型 这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。教师可通过速问速答来训练练学生。 如问：3 个5 相加是多少？学生答：5＋5＋5=15 或5×3=15。教师又问：3 个5 相乘是多少？学生答：5×5×5=125。紧接着问：3 与5 相乘是多少？学上答：3×5=15，或5×3=15。通过这样的速问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，越来越准确。 4 类比型

这是一种对并列事物相似性的同实质进行识别的思维形式。这项训练可以培养学生思维的准确性。如： ①金湖粮店运来大米6吨。比运来的面粉少1/4吨、运来面粉多少吨？ ②金湖粮店运来大米6吨，比运来的面粉少1/4，运来面粉多少吨？ 以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，可以点拨学生自己辨析。通过训练，学生今后碰到类似的问题便会仔细推敲，这样就大大地提高了解题的准确性。 练习题 1、父亲和儿子今年共有60负，又知4年前，父亲的年龄正好是儿子的3倍，儿子今年是多少岁？

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常用思维方法有哪些创意练习方法 六种常用的思维方法 (1) 相似法。现实世界中，从宇宙星系到原子内部运动都存在着种种相似之处。例如，植物界普遍存在构造与功能相似的叶绿素;动物界普遍存在构造与功能相似的血红素。而叶绿素与血红素之间又有相似之处，即都是叶啉络合物。叶绿素是叶啉结合了镁元素，而血红素是叶啉结合了铁元素。这种相似的根源来源于植物的共同祖先核前生物体。请看，因为相似关系竟将表面看来毫无关联的不同事物连成一个完整的封闭性系统了。又如，人类科技发展史和社会发展史很相似。许多民族都不约而同地经过了石器时代、陶器时代、铜器时代、铁器时代，同时这些民族的社会也经过原始公社、奴隶社会、封建社会、资本主义社会，几乎完全同步前进。 再如，科学理论方面也存在着相似内容。物理学、化学、生物学、天文学、遗传学、声学等学科，因内部构成都起源于量子，于是产生量子学的各种不同分支：量子物理学、量子化学、量子生物学、射电天文学、量子遗传工程学、量子声学等等。 但是，相似不等于相同。相似是客观事物存在的相同和变异的矛盾的统一。因此，我们在学习过程中，既可以通过相似法中的相同部分看到事物前后之间的承袭关系，又可以通过变异部分看到事物前后之间的差异及发展关系。 (2)相反法。事物之间不仅存在着相似现象，而且还存在着相反现象。有大必有小;有强必有弱;有虚必有实;有吸收必有排泄;有吸引必有排斥;有聚合必有分离;有守恒必有不守恒等等。在学习过程中，许多问题都可以从反而去剖析、反证、推理、理解、概括、设想、加深、巩固和扩展对下面知识领域的认识与把握。 (3)破析法。任何一门科学知识都有它的逻辑性、系统性，往往给初学者带来很大的思想压力。这么厚一大本书，怎么读呀?或者，这么多公式、定律、规律、原理，怎么记得住呀?这时，我们就应该运用破析法去对付它们。

智慧树知到《创造性思维与创新方法》2020章节测试答案

智慧树知到《创造性思维与创新方法》2020章节测试答案第一章单元测试 1.【单选题】（2分） 依照赫曼全脑模型划分，沙和尚属于 A.表现型 B.逻辑型 C.空想型 ●D.纪律型 2.【单选题】（2分） 以下哪一项不是创新型人才的特点？ A.具有创新精神和创新能力 ●B.力求稳妥，拒绝冒险 C.精力充沛、坚持不懈 D.个性灵活、开放 3.【单选题】（2分） 创造是指人们首创或改进某种思想、理论、方法、技术和产品的活动。我们可以将人类的创造分为第一创造性和第二创造性，下列属于第二创造性的是（）。 A.四大发明 B.勾股定理

●C.LED显示屏 D.菱因斯坦的相对论 4.【单选题】（2分） 社会在我们的不断创造中快速发展，那么我们不断实现各种突破性的创造的根本动因是（）。 A.创造性动机 ●B.创造性需求 C.创造性目标 D.创造性行为 5.【单选题】（2分） 创新方法的三阶段不包括 ●A.疑问法 B.试错法 C.尝试法 D.头脑风暴法 6.【单选题】（2分） 早上起来，推开窗子发现地面全都湿了，你推断昨天夜里一定下雨了。这是思维的（） A.合理性

●B.间接性 C.整体性 D.概括性 7【判断题】（2分） 右脑是创造力的源泉。 A.错 ●B.对 8.【单选题】（2分） 依照赫曼全脑模型划分，孙悟空属于（） A.象限B:有条理的，循序渐进的，重规则的，重细节的工作 B.象限C:善交际的，重感觉的，重运动感觉的，情绪主导的 ●C.象限D:善于用直觉的，整体的，演绎推理的认识与处理问题 D.象限A:逻辑性强，好分析，重事实，善于强调量化。 第二章单元测试 1.【单选题】（2分） 长期按照相同的思维方式去解决问题，这就是我们所说的“习惯成自然”，但在很多方面对问题的解决起了不好的影响，我们把这叫做（）。 ●A.思维定势 B.思维方式 C.思维模式

辩证思维方法主要包括

辩证思维方法主要包括 以下是为大家准备的辩证思维方法主要包括，希望大家喜欢!辩证思维方法主要包括(一)归纳演绎归纳和演绎是最初也是最基本的思维方法。 归纳是从个别上升到一般的方法，即从个别事实中概括出一般的原理。 演绎是从一般到个别的方法，即从一般原理推论出个别结论。 归纳和演绎的客观基础是事物本身固有的个性和共性、特殊和普遍的关系。 归纳和演绎是方向相反的两种思维方法，但两者又是互相依赖、互相渗透、互相促进的。 归纳是演绎的基础，作为演绎出发点的一般原理往往是归纳得来的;演绎是归纳的前提，它为归纳提供理论指导和论证。 在实际的思维过程中，归纳和演绎是相互推移、交替使用的。 归纳和演绎都具有局限性，单纯的归纳或演绎还不能揭示事物的本质和规律，需要运用更为深刻的其他思维方法。 分析综合这是更深刻地把握事物本质的思维方法。 分析是在思维过程中把认识的对象分解为不同的组成部分、方面、特性等，对它们分别加以研究，认识事物的各个方面，从中找出事物的本质;综合则是把分解出来的不同部分、方面按其客观的次序、结构组成一个整体，从而达到认识事物的整体。

分析和综合的客观基础是事物整体与部分、系统与要素之间的关系。 分析和综合是两种相反的思维方法，但它们又是统一的，相互联系、相互转化、相互促进。 分析是综合的基础，没有分析就没有综合;综合是分析的完成，离开了综合就没有科学的分析。 分析和综合的统一是矛盾分析法在思维领域中的具体运用。 抽象具体抽象和具体是辩证思维的高级形式。 抽象是对客观事物某一方面本质的概括或规定;思维具体或理性具体是在抽象的基础上形成的综合，它不同于感性具体，感性具体只是感官直接感觉到的具体，而理性具体则是在感性具体基础上经过思维的分析和综合，达到对事物多方面属性或本质的把握。 由抽象上升到具体的方法，就是由抽象的逻辑起点经过一系列中介，达到思维具体的过程。 逻辑指的是理性思维或抽象思维，它以理论的形态反映客观事物的规律性。 历史包括两层意思：一是指客观现实的历史发展过程，二是指人类认识的历史发展过程。 真正科学的认识是现实历史发展的反映，要求思维的逻辑与历史的进程相一致。 历史是逻辑韵基础和内容，逻辑是历史在理论上的再现，是“修正

小学数学思维训练题及答案解析一

小学数学思维训练题及答案解析一 1、有黑、白棋子一堆，黑子个数是白子个数的2倍。现在从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，待到若干次后，白子已经取尽，而黑子还有16个。求黑、白棋子各有多少个？（假设思维） 【分析与解答】假设每次取出的黑子不是4个，而是6个（6=3×2），也就是说每次取出的黑子个数也是白子的2倍。由于这堆棋子中黑子个数是白子的2倍，所以，待取到若干次后，黑子、白子应该都取尽。但是实际上当白子取尽时，（留下）黑子还有16个，这是因为实际每次取黑子是4个，和假定每次取黑子6个相比，相差（留下的是）2个。由此可知，一共取的次数是：16÷2=8（次）。白棋子的个数为：3×8=24（个）。黑棋子的个数为24×2=48（个）。 2、小华解答数学判断题，答对一题给4分，答错一题扣4分，她答了20道判断题，结果只得56分。小华答对了几题？（假设思维） 【分析与解答】假设小华全部答对：该得4×20=80（分），现在实际只得了56分，相差8 0-56=24（分），因为答对一题得4分，答错一题扣4分，这样，一对一错相比，一题就差8分（4+4=8），根据总共相差的分数以及做错一题相差的分数，就可以求出做错的题数：24÷8=3（题），一共做20题，答错3题，答对的应该是：20-3=17（题）4×17=68（分）（答对的应得分）4×3=12（分）（答错的应扣分）68-12=56（分）（实际得分） 3、一个化肥厂计划在50天内生产一批化肥，从前24天的生产情况看，每天实际生产的化肥没有达到原计划每天产量指标，因此工厂决定停产3天进行整顿。整顿之后，每天比整顿前多生产化肥25吨，结果只用了49天（包括停产整顿所用的3天时间）就完成了原计划50天的生产任务。已知整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，问整顿前后各生产化肥多少吨？（因果关系） 【分析与解答】我们容易算出整顿后生产的天数是：49-24-3=22（天）。由于整顿后每天比整顿前多生产化肥25吨，所以，一共多生产化肥22×25=550（吨）。可题目中却说整顿后比整顿前一共多生产化肥400吨，这岂不是“自相矛盾”吗？ 究竟“矛盾”出在哪里呢？原来，我们刚才算出的“550吨”是整顿后22天比整顿前22天多生产的化肥；而题目中告诉我们的“400吨”是整顿后22天比整顿前24天多生产的化肥。这完全是两码事，所以“550吨”与“400吨”并不矛盾。从上面的比较中，我们看出：“550吨”与“4 00吨”的差150吨正好是整顿前2天的产量，因此，整顿前每天生产化肥150÷2=75（吨）。从而，75×24=1800（吨）就是整顿前产的化肥；1800+400=2200（吨）就是整顿后产的化肥。 4、红星机械厂十一月份计划生产一批机器，实际每天比计划多生产80台，结果25天就完成了全月计划。这个厂十一月份计划生产多少台机器？（因果关系） 【分析与解答】这道整数应用题，我们无论是从条件想起，还是从问题想起，都不容易找到

解决问题的三大思维和通用方法

解决问题的三大思维和通用方法 《解决问题的三大思考工具》中有一个很有意思的关于分巧克力的问题。 （1）分9块巧克力给4人问题 你去访问你的一个朋友，离开时他给了你9块大小相同的巧克力。而你有4个活泼的儿子，为了避免争吵，你如何把巧克力平均地分配给4个孩子呢？ 请思考一下你会如何进行分配呢？停下来好好想一想（如图1所示）。 解决问题的三大思维和通用方法 图1 四个孩子如何分9块巧克力 甲的想法：每个人先分2块，然后把最后一块平均切成四块，然后每人分一块，这样每个孩子就有2+1/4块（如图2所示）。 解决问题的三大思维和通用方法 图2 纵向思维一块切四份后每人2+1/4块

乙的想法：9块巧克力不好分，那么把巧克力融化，平均倒入4个杯子中，每人一杯，这样每个孩子就得到了9/4块巧克力（如图3所示）。 解决问题的三大思维和通用方法 图3 横向思维融化后每人9/4块 丙的想法：取出一块巧克力不分，剩下的8块巧克力每人分2块。因为孩子们并不知道有巧克力，即使得到2块也比1块都没有要高兴（如图4所示）。 解决问题的三大思维和通用方法 图4 纵向思维拿出1块后每人2块

根据三大思维的特点进行简单分类，甲属于逻辑思维（纵向思维），乙属于横向思维，丙属于批判性思维。甲使用的是逻辑思维最常用的方法：拆分，也称为分而治之，把问题拆分到可以解决的最小单元。乙使用的是横向思维的联想，通过联想到平均分酒的方法，将巧克力融化后平均分配。丙的使用的是批判性思维的追本溯源，溯源到为什么非要分9块，从而得到分8块也行。 （2）曹冲称象 下边我们来看一个大家耳熟能详的故事：曹冲称象，看看三大思维会给你怎样的启发。 在距离现在一千七百多年前，中国是处于魏、蜀、吴三强鼎立的三国时代。 有一天，吴国的孙权送给魏国领袖曹操一只大象，长久居住在中原的曹操从来没有看过这种庞然大物，好奇地想知道这个大怪物的体重到底有多重。于是，他对着臣子们说："谁有办法把这只大象称一称？" 在场的人七嘴八舌地讨论着，有的说："得造一杆大秤，砍一棵大树做秤杆。"有的说："有了大秤也不行啊，谁有那么大的力气提得起这杆大秤呢？"也有的说："办法倒有一个，就是把大象宰了，割成一块一块的再称。"可是在场的人觉得太残忍了，而且曹操喜欢大象可爱模样，不希望为了秤重失去它。 就在大家束手无策正想要放弃的时候，曹操7岁的儿子曹冲，突然开口说："我知道怎么秤了！"他请大家把大象赶到一艘船上，看船身沉入多少，在船身上做了一个记号。然后又请大家把大象赶回岸上，把一筐筐的石头搬上船去，直到船下沉到刚刚画的那一条线上为止。接着，他请大家把在船上的石头逐一称过，全部加起来就是大象的重量了！

辩证思维的主要方法

辩证思维的主要方法 （一）辩证思维方法是人们正确地认识世界的中介，是理论思维的工具 人类对辩证思维的认识有一个从自发到自觉的发展过程。马克思主义辩证法和认识论在思维领域中的运用表明了人类的辩证思维具有完整的、科学的形态，从而能够正确 揭示辩证思维方法的性质。辩证思维方法 是人们正确认识世界的中介，是主体观念 地把握客体的一种认识工具，是人们正确 进行理论思维的方法。它是由一系列方法 所组成的整体。 （二）辩证思维的主要方法 1. 归纳与演绎 归纳是从个别上升到一般的方法。演绎是从一般性原则推出个别性结论的方法。 2. 分析与综合 分析是把事物分解为各个部分、方面、要素，然后逐个加以研究的思维方法。综合是在把整体分解为各个部分、方面、要素的基础上，再把它们组合成一个整体的思维方法。分析与综合的关系是辩证的，分析是综合的基础，而综合是分析的完成，只有把二者结合在一起，才能构成一个完整的科学的认识。 3. 抽象与具体（常考点） 抽象作为一种思维方法，是指在思维中把对象的某种属性、因素抽取出来而暂时舍弃其他属性、因素的一种方法。具体是多种规定性的综合。有两种具体：一是“感性具体”，它是感觉多样性的综合，是感官能直接感觉到的具体；二是“理性具体”即思维具体，它是在抽象的基础上形成的各种规定性的综合，是具体在思维中更深刻的再现

人的认识在思维运动中走着两条方向相反的道路：一条是从具体到抽象，另一条是从抽象到具体。对于辩证思维来说，更重要的是从抽象到具体的方法，这是一个以抽象为逻辑起点，通过各种形式的逻辑中介，达到以思维具体为逻辑终点的思维运行过程。 4. 逻辑与历史相统一（常考点） 所谓逻辑与历史的统一，是指理论体系的逻辑顺序是客观历史发展顺序的反映。逻辑与历史之所以能够统一，是因为历史是逻辑的基础，逻辑是历史在理论上的再现，是由历史的东西派生出来的。历史是逻辑的基础，逻辑是对历史的修正。 （三）辩证思维方法与现代科学思维方法 现代科学思维方法是一个巨大的方法群，包括控制方法、信息方法、系统方法、结构一功能方法、模型化方法、理想化方法等。现代科学思维方法与辩证思维方法的关系是：其一，辩证思维方法应该从现代科学思维方法中吸取营养，以丰富自身的方法系统；其二，现代科学思维方法应该把辩证思维方法作为自己的方法论基础和前提，以推动自己更深刻地进行思维。总之，哲学思维与科学思维、哲学方法与科学方法应该是相互促进的。 辩证思维方法与现代科学思维方法（2009-07-16 00:42:50） 标签：杂谈分类：文摘辩证思维方法是人们正确进行理性思维的方法。主要有归纳与演绎、分析与综合、 抽象与具体、逻辑与历史相统一等。 归纳与演绎是人类思维从个别到一般，又由一般到个别的最常见的推理形式。归纳 是从个别事件中概括出一般结论，是一种由个别性前提过渡到一般性结论的推理形式。演绎是从一般原理走向个别结论的思维方法，是由一般性原则推导个别结论的推理形式。归纳和演绎两种方法处于不可分割的联系之中。一方面，归纳和演绎互为前提。归纳是演绎的基础， 演绎为贵乃提供理论依据，指明归纳的目的和方向。另一方面，归纳和演绎相互补充。归纳虽然能概括出同类事物的共性，但不能区分本质属性和非本质属性，不能摒弃片面性和表面性，所得结论还不是充分可靠的，因此，归纳必须靠演绎来补充和修正。演绎以事物共性和 个性的统一为基础，共性只大致地包含个性，因此，从共性出发不能揭示个别事物多方面的 属性，要了解事物本身的多样性，就得进一步分析归纳。 和归纳与演绎相比，分析与综合是一种更为深刻的思维方法。所谓分析，就是思维 中把认识对象分解为各个部分、方面、要素，以便分别加以研究的思维方法。通过分析研究从中找出构成这一认识对象的基础部分。本质的方面。综合是同分析相对应的方法。综合通常被看做是在把整体分解为各个因素的基础上，在组合成一个整体的思维活动，但是综合绝

小学数学思维训练方法集锦

小学数学思维训练方法集锦 绩一定可以大大提高: 1.转化型 这是解决问题遇到障碍受阻时把问题由一种形式转换成另一种形式，使问题变得更简单、更清楚，以利解决的思维形式。在教学中，通过该项训练，可以大幅度地提高学生解题能力。如:某一卖鱼者规定，凡买鱼的人必须买筐中鱼的一半再加半条。照这样卖法，4 人买了后，筐中鱼尽，问筐中原有鱼多少条?该题对一些没有受过转化思维训练的学生来说，会感到一筹莫展。即使基础较好的学生也只能复杂的方程。 但经过转化思维训练后，学生就变得聪明起来了，他们知道把买鱼人转换成1人，显然鱼1条;然后转换成2人，则鱼有3条;再3人，则7条;再4人，则15条。 2.系统型 这是把事物或问题作为一个系统从不同的层次或不同的角度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题以外还可编制许多智力训练题来培养学生系统思维能力。如:1 2 3 4 5 6 7 8 9在不改变顺序前提下(即可以将几个相邻的数合在一起成为一个数，但不可以颠倒)，在它们之间划加减号，使运算结果等于1OO。象这道题就牵涉到系统思维的训练。教师可引导学生把10 个数看成一个系统，从不同的层次去考虑、第一层次:找100

的最接近数，即89 比100 仅少11。第二个层次:找11 的最接近数，很明显是前面的12。第三个层次:解决多l 的问题。整个程序如 下:12+3+4+5-6-7+89=100 3.激化型 这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。教师可通过速问速答来训练练学生。如问:3 个5 相加是多少?学生答:5+5+5=15 或5×3=15。教师又问:3 个5 相乘是多少?学生答:5×5×5=125。紧接着问:3 与5 相乘是多少?学上答:3×5=15，或5×3=15。通过这样的速问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，越来越准确。 4类比型 这是一种对并列事物相似性的个同实质进行识别的思维形式。这项训练可以培养学生思维的准确性。如: ①金湖粮店运来大米6吨。比运来的面粉少1/4吨、运来面粉多少吨? ②金湖粮店运来大米6吨，比运来的面粉少1/4，运来面粉多少吨? 以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，可以点拨学生自己辨析。通过训练，学生今后碰到类似的问题便会仔细推敲，这样就大大地提高了解题的准确性。

世界上顶尖的几种人类思维方式

世界上顶尖的几种人类思维方式 一、做运营时，常用的点状、线状、面状、立体思维方式是什么？ 二、辩证思维和逻辑思维是什么？ 三、为什么成功人士都用唯物主义一元化思维？怎样运用到新媒体运营中？ 四、怎样利用这些思维方式改变我们的人生？ 一、做运营时，常用的点状、线状、面状、立体思维方式是什么？ 1、点状思维 拘于事务的细节，不能从一件事情的整体宏观作为出发点，遇到事情总是想到现在的一个点上。着眼于解决目前的困难，今朝有酒今朝醉，没有长远发展的眼光分析问题，只能是只见树木，不见森林，缺乏整体观念。 比如运营公众号——包括内容运营，用户运营，产品运营。这三个环节是互相平行的，由三个人分别负责，每个人运用的就是点状思维。 2、线性思维 可以在两点之间寻找一种逻辑关系，然后串成一条线，两点之间，总会有某种关系存在的，而且这种关系是固定的，从一点出发，沿着一个方向或者相反的方向出发，也会出现相应的线状思维。 这里面的点，在做运营时典型的就是——利益关系。 比如写文章——怎么获取信息？怎么整理信息？怎么写成主题性的文章？使用的就是——线性思维。 3、面状思维： 很多个两个点之间，必然会组合成很多条线。这些线条有很多种组合方式。如果多条线的关系是平行并列的关系，我们称之为面状思维。 比如运营公众号——当内容、涨粉、推广三个运营环节都出现问题时，运营总监使用面状思维同时或逐一解决各个问题。 4、立体思维： 立体思维是面和面的交叉。通常都是面状思维解决不了某个环节时，这意味着三个环节发生了交叉问题。通常都是总监级以上的人才具备这种思维。 比如小公举我这个号想赚钱——只做一件事，写干货。通过写干货，产生蝴蝶效应，逐一解决涨粉、推广、赚钱三大问题。 具备立体思维的人，可以在某个项目10个问题里找到最关键的问题，破解其他99个问题。 5、拿写文章这事情来说，就适用这四种思维方式 点状思维：我该怎样把文章写完？ 线性思维：我该怎样写出一篇不错的文章？ 面状思维：我该怎样写出一篇能涨粉的文章？ 立体思维：我该怎样把客户的广告，变成能涨粉的文章（原生广告）？ 6、如何提升思维能力？ 需要迅速找到共同利益，立体思维的核心，是为所有关系创造利益。 比如——做公众号写文章 ?文章对用户有帮助（文章有用） ?文章对用户有帮助，用户转发（文章有料）

辩证的思维方法包括哪些

辩证的思维方法包括哪些 辩证的思维主要方法 马克思主义辩证法与认识论和方法论是一致的，辩证法也就是认识论和方法论。辩证法作为认识论和方法论就成为辩证思维方法，它是人们把握客观事物的一种认识工具。邓小平要求我们“照辩证法办事”，就是要求我们把辩证法转化为认识论和方法论，转化为辩证思维方法。辩证思维方法是人们正确认识世界的中介，是人们正确进行理性思维的方法。辩证思维方法是一个整体，它是由一系列既相区别又相联系的方法所组成的，其中主要有：归纳演绎 归纳和演绎是最初也是最基本的思维方法。归纳是从个别上升到一般的方法，即从个别事实中概括出一般的原理。演绎是从一般到个别的方法，即从一般原理推论出个别结论。归纳和演绎的客观基础是事物本身固有的个性和共性、特殊和普遍的关系。归纳和演绎是方向相反的两种思维方法，但两者又是互相依赖、互相渗透、互相促进的。归纳是演绎的基础，作为演绎出发点的一般原理往往是归纳得来的;演绎是归纳的前提，它为归纳提供理论指导和论证。在实际的思维过程中，归纳和演绎是相互推移、交替使用的。归纳和演绎都具有局限性，单纯的归纳或演绎还不能揭示事物的本质和规律，需要运用更为深刻的其他思维方法。 分析综合

这是更深刻地把握事物本质的思维方法。分析是在思维过程中把认识的对象分解为不同的组成部分、方面、特性等，对它们分别加以研究，认识事物的各个方面，从中找出事物的本质;综合则是把分解出来的不同部分、方面按其客观的次序、结构组成一个整体，从而达到认识事物的整体。分析和综合的客观基础是事物整体与部分、系统与要素之间的关系。分析和综合是两种相反的思维方法，但它们又是统一的，相互联系、相互转化、相互促进。分析是综合的基础，没有分析就没有综合;综合是分析的完成，离开了综合就没有科学的分析。分析和综合的统一是矛盾分析法在思维领域中的具体运用。 抽象具体 抽象和具体是辩证思维的高级形式。抽象是对客观事物某一方面本质的概括或规定;思维具体或理性具体是在抽象的基础上形成的综合，它不同于感性具体，感性具体只是感官直接感觉到的具体，而理性具体则是在感性具体基础上经过思维的分析和综合，达到对事物多方面属性或本质的把握。由抽象上升到具体的方法，就是由抽象的逻辑起点经过一系列中介，达到思维具体的过程。 辩证的思维主要方法（二） 逻辑历史 由抽象上升到具体的逻辑思维过程同客观事物的历史过程和认识的历史过程应当符合，也就是逻辑和历史的统一。逻辑指的是理性思维或抽象思维，它以理论的形态反映客观事物的规律性。历史包括两层意思：一是指客观现实的历史发展过程，二是指人

小学数学思维训练题一

小学数学思维训练题（一） 1、小明原来有图书35本，后来，爸爸买给他18本，小姨又送给他12本。 小明的图书比原来增加了多少本 [分析与解答]一般解法：①爸爸买给他18本后小明有图书多少本 35+18=53（本）；②小姨送给他12本后小明有图书多少本53+12=65（本）； ③小明的图书比原来增加了多少本65-35=30（本）。这道应用题用一般方 法解答，既麻烦又费时。可运用方法简便的“华罗庚法”解，只需一两步 就可以解答出来。华罗庚法：小明的图书比原来增加的本数就等于爸爸和 小姨送给他图书的本数的和。18+12=30（本） 2、比较下面两个积的大小A○B。 ×× [分析与解答]由“分配律”×ד两数的和一定时，两数的差越小积越 大，相等时积最大”—— [分析与解答] 4、看谁能最快指出下面四道题中哪两道的计算结果相同。 ①48×6÷4×7×4÷8 ②128×9＋72×9 ③48×4÷6×7×6÷8×8 ④342×9－9×142 [分析与解答]题目要我们找出哪两题计算结果相同，那我们就可以找一 找哪两题形式相同，然后再仔细比较一下，它们在计算结果上会有什么不 同的地方，这样就可以初步估算出计算结果是否相同了。例如，第①、③ 两题，都是48与4、6、7、8几个数相乘、除，我们把这两题中相同的数 以及相同的运算符号划去。①48×6÷4×7×4÷8、③48×4÷6×7×6÷8

×8；结果第①题只剩下“÷4”，第③题剩下“÷6”和“×8”可见这两道题的计算结果是不相同的。而第②题和第④题都是9的倍数的计算，第②题是128个9加上72个9，一共是200个9；第④题是342个9减142个9，得200个9。所以这两道题计算结果是相同的。 5、今有甲乙丙丁四人在晚上都要从桥的左边到右边。此桥一次最多只能走两人，而且只有一支手电筒，过桥是一定要用手电筒。四人过桥最快所需时间如下为：甲：2 分钟；乙：3 分钟；丙：8 分钟；丁 10分钟。走的快的人要等走的慢的人，请问如何走法才能在 21 分钟让所有的人都过桥 [分析与解答]先是甲和乙一起过桥，然后将乙留在对岸，甲独自返回。甲返回后将手电筒交给丙和丁，让丙和丁一起过桥，丙和丁到达对岸后，将手电筒交给乙，让乙将手电筒带回，最后甲和乙再次一起过桥。则所需时间为：3+2+10+3+3=21分钟。 6、六位数□4321□能被4321整除，这个六位数是多少 [分析与解答]这道题目初看起来似乎难度较大。如果我们采用“假设 ──计算──排错──验证”的方法，问题就会很快得解。假设六位数为943219，那么943219÷4321＝218…1241，由于余数大于9，所以不合题意。假设六位数为843219，则有843219÷4321＝195…64，余数大于9，也不合题意。假设六位数为743219，则有743219÷4321＝172…7，余数小于9，由此可见符合条件的六位数为743219－7＝743212。当六位数的首位数分别为6、5、4、3、2、l时，经计算可知均不合题意。综上分析可知，要求的六位数只能为743212。

创意思维的九种方法

挑战自我创意思维训练的九种方法 想像与联想思维训练 想像和联想思维在视觉艺术思维中是不可缺少的重要成分，是决定艺术创作成功与否的重要条件之一。视觉艺术思维的训练首先要从想像和联想的训练人手。艺术家的想像力除了天赋之外，后天的训练也是举足轻重的。因此，要让艺术家积极地开动脑筋，针对艺术创作中的主题、类型、手法、思想涵、形式美感和色彩表现等方面，充分展开想像的翅膀，发挥艺术创作的想像能力，不拘束于个别的经验和现实的时空，而让自己的思维遨游于无限的未知世界之中。爱因斯坦说：“想像力比知识更重要，因为知识是有限的，而想像力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉”。与科学一样，没有想像力的艺术创作，是不可能有永恒的艺术生命力和艺术感染力的。 我们在作画时注重视觉对象与周围环境关系的处理，这种知觉选择性与知觉对象的转化关系在现代视觉艺术的平面艺术中称为图(视觉对象)地(周围环境)反转。这是对视觉艺术家普遍进行的思维训练方法之一。最早研究图地转化关系的鲁宾(E. Rubin)，他的著名的“Rubin之杯”(图)图形表现的是在一个长方形画面中画着一只对称的黑色杯，如果仔细观察杯子的左右空白部位，则发现是相对着的两人侧面像。随着视觉的转换，杯和人的侧面像相互交替出现，形成特殊的画面。这类图形在视觉艺术作品中被广泛地应用。如染织美术中的“千鸟纹”，广告、装演艺术中的各种画面等。图地反转变化的理论强调了人们的感觉不是孤立存在的，它要受到周围环境的影响。因此，利用这个方法加以训练，有助于丰富我们的艺术想像力。在此基础上，要求被训练者表达出与众不同、具有独创性的见解。在视觉艺术领域里，这样的训练是培养人们充分发挥艺术想像力而进行创作的必不可少的环节之一。 联想是人的头脑中记忆和想像联系的纽带。由人对事物的记忆而引发出思维的联想，记忆的许多片段通过联想形式进行衔接，转换为新的想法。主动的、有意识的联想能够积极而有效地促进人的记忆与思维。 美学家王朝闻说：“联想和想像当然与印象或记忆有关，没有印象和记忆，联想或想像都是无源之水，无本之木。但很明显，联想和想像，都不是印象或记忆的如实复现。”在艺术创作的过程中，联想与想像是记忆的提炼、升华、扩展和创造，而不是简单的再现。从这个过程中产生的一个设想导致另外一个设想或更多的设想，从而不断地设计创作出新的作品。 视觉艺术思维中的想像离不开联想这个心理过程。联想是通过赋予若干对象之间一种微妙的关系，从中展开想像而获得新的形象的心理过程。人们在日常生活中对事物产生的美感形成了特有的印象，而对视觉形象的记忆又随着人的思维活动形成了知觉与感觉形象的联系。因此，当某个对象出现时，人们的大脑会立即兴奋起来，随着它进行一系列的联想。例如，由“速度”这个概念，人们头脑中会闪现出呼啸而过的飞机、奔驰的列车、自由下落的重物等，随之还会产生“战争”、“爆炸”、“闪光”、“粉碎”等一系列联想，这些联想引导我们去体验它的力度、色彩和线条的组合。以图形创意训练为例，我们选取自然界中的一片树叶作为创作题材，通过艺术家的观察、思考和一系列的联想，创作出众多别具特色的艺术造型。由叶产生形的联想，如手、花、小鸟和山脉等；由叶的质感产生意的联想，如轻柔、双逸、旋转、甜美、润泽和生命等。