经典力学中的对称性与守恒定律

毕业论文

题目经典力学中的对称性与守恒定律学生姓名郭俊明学号 1110014028 所在院(系) 物理与电信工程学院

专业班级物理1101班

指导教师王剑华

2015年5月10日

陕西理工学院毕业论文

经典力学中的对称性和守恒定律

郭俊明

（陕理工物理与电信工程学院物理学专业1101班，陕西汉中 723001）

指导老师:王剑华

[摘要]对称性和守恒定律在物理学中具有非常重要的意义,因此近几个世纪以来对于它的研究引起了物理学家的高度关注。本文首先从经典力学中的变分原理出发,导出拉格朗日方程,利用拉格朗日函数中的物理信息,找出对称性与守恒定律之间的关系,就此举出生活中守恒定律的应用实例,最后得出守恒定律是由对称性或某种基本量不可观察—不可测量所导致的。

[关键词]变分原理; 拉格朗日函数;对称性;守恒定律

引言

人类在认识自然界时,经常会观察其对称性,而对称性是自然界的所有物质和过程都存在或者产生它的对应,是物理规律经过某种变换后的不变性。所谓的对应指的是形态上的对应、现象中的相同、物质的正反、结构上的重复、规律的不变性和性质的一致等等。从对称性出发能解释自然界相互联系中的不变性、一致性和共同性。所以,对称性是物理学家探索自然规律的基本依据和出发点。物理学中动量守恒、能量守恒和角动量守恒在任何时间和任何地点都相同,并且与空间的取向无关。所以,对称性与守恒定律之间必然存在特定的关系。

以前有很多物理学家都在寻找物理规律中的对称性和守恒定律之间的关系。1918年,德国的女数学家诺特（Amalie Emmy Nother,1882-1935）在她获得讲课的权力之后,发表了关于对称性和守恒定律内禀关系,即为著名的“诺特定理”,它的精髓是如果运动规律在不依赖时间的变换下具有不变性,那么必定相应地存在一个守恒定律和守恒量[2]。虽然对称性和守恒定律的关系是从经典力学推导出来的,但它实际的应用领域却远远超出了牛顿力学的范畴,比如,微观领域中动量守恒定律在康普顿效应中的应用[3]．现在的科学家着眼于力学系统与守恒量的研究,并且渗透到数学、力学、物理学等各个领域。众多科学家寻求典型力学系统的守恒量,并且研究与守恒量相应的Noether 对称性和Lie 对称性,受到了许多分析力学专家关注。

20世纪六七十年代Currie 等对Lagrange 对称性的最早探索是对不同自由度Lagrange 函数等价问题的研究。上世纪70 年代末到90 年代,Lutzky 等对力学系统的Lagrange 函数等价问题做了一系列的研究, 后来将这种Lagrange 函数等价关系叫做为Lagrange 对称性,Lagrange 对称性现逐渐被推广到Hamil- ton 等系统。近些年来,科学家在约束力学系统三种对称性及其导致守恒量的研究方面取得了许多重要成果[4-11]。在我们的生活中，守恒定律有许多应用，使生活中的现象更具科学化[14]。

本文将从经典力学中的变分原理入手,接着以拉格朗日函数为基础进行讨论,找出函数中的对称关系及其成立的条件,最终推导三种对称性与守恒量之间的关系,就此举出生活中的实例,并且进行解释说明,最后进行总结。

1.由变分原理到拉格朗日方程

变分法是研究泛值函数的一种数学理论,它是力学中最速落径问题的诱导而发展起来的。由伊凡?贝努力提出来的最速落径是这样一个问题:A、B不是位于同一铅直线上的两个

点。在连接A 、B 的所有曲线中找出一条光滑曲线C,使初速度为零的质点在重力的作用下,沿着C 由A 滑落到B 所用的时间最短。

对于某个已知的函数形式()y y x f ',,,作x 的定积分

()dx y y x f J x x ?'=2

1,,, （1.1） J 的值依赖于函数()x y ,是()x y 的泛函。J 取极值时所对应的曲线()x y 被称为泛函()[]x y J 的极值曲线。由于曲线()x y y =必须通过()11,y x 和()22,y x 两点,所以有

()11y x y =,()22y x y =. （1.2） 在极值曲线()x y 的附近可以作出它的近旁曲线。我们把近旁曲线表示为 ()()()x x y x x y αη+=,, （1.3） 式中的()x η是x 的任意函数,α则是任意的小参数。α取不同的值,便可得到极值曲线()x y y =不同的近旁曲线。由于自变量x 的增量dx 引起函数y 的增量dy ,被称为y 的微分。可是,在自变量x 不变时,由于参数α的改变也会引起函数值的变化。α的增量δα时,函数的增量记为y δ,被称为函数()x y 的变量。变分是由于函数结构的改变而引起的增量。由变分的定义可知 ()()()x x y x y y δαηδ=-=, （1.4） 从（1.1）式可以看出,函数()x y 的变分y δ将引起()y y x f ',,的变分f δ和泛函J 的变分J δ,即为哈密顿原理,在相同的时间、相同的初末位置和相同的约束条件下,完整保守系统的真实运动对应于作用量的极值,即对应于

()0,,2

1=?t t dt t q q L ααδ . （1.5） 我们从哈密顿原理出发,导出拉格朗日方程。研究s 个自由度的完整保守系的运动,对任意的两个时刻1t 、2t 均有

()()??==21

2

1,,,,t t t t dt t q q L dt t q q L S ααααδδδ , （1.6） 由于是等时变分,即0=t δ,故求变分得 dt q L q q L S t t s ?∑???? ????+??==211ααααδδ 21211t t s t t q q L dt q q L dt d q L ∑?=???? ????+?????????? ????-??=αααααα

δδ （1.7） 哈密顿原理指出,对于质点系的真实运动,0=S δ,即上式的积分为零。由于积分区间是任意的,故知被积函数为零。又因αδq 彼此独立,所以αδq 的s 个系数应全为零,于是得到拉

格朗日方程 0=??-???

? ????ααq L q L dt d ()s ，，

3,21=α. （1.8） 这就说明,只要质点系的运动()t q q αα=使0=S δ,则()t q q αα=必满足拉格朗日方程。哈密顿原理与牛顿方程、拉格朗日方程是等价的,可以用它作为最高原理来表述整个经典力学。

2.拉格朗日函数中包含的物理信息及其对称性。

受有理想约束的完整系拉氏方程如下, σσσQ q T q T dt d =??-???

? ???? ()f ，，

2,1=σ （2.1） 拉氏方程在上式的广义坐标σq 以时间t 为变量的f 个二阶微分方程。物理上是体系实

际运动遵循的规律。式中()t q

q T ,, 是以广义坐标、广义速度及时间表示的体系在惯性系中测量的动能。()q V 是以σq 表示的在惯性系中测得的主动有势力的势能。()t q q

Q ,, σ是与σq 相关的广义力。

定义()V T t q

q L -=,, ,是一标量函数,体系的特征量。保守系的所有动力学信息都包括其中了。由L 及拉氏方程和初始条件,就可以完全确定完整保守体系的运动。L 称为拉格朗日函数或拉氏函数。完整系拉氏方程用一简单算符σΛ表示,可写为

σσQ T =Λ ()f ，， 2,1=σ, （2.2）

其中σΛ表示σσq q dt d ??-???? ???? 。拉式方程中项的意义:σσP q T =?? -----与广义坐标σq 共轭的广义动量。当σq 是线量时,σp 是线动量分量；当σq 是角量时,σp 是角动量分量。???? ????σq

T dt d -----广义动量的时间变化率。 当σq 是线量时,???? ????σq T dt d 是力的分量；当σq 是角量时,???

? ????σq T dt d 是力矩分量。σq T ??----称为拉格朗日力,是常数≠??x q σ（选取曲线坐标作广义坐标）时出现的惯性力。σQ -----是与σq 相应的广义力。

在研究保守系的拉氏方程时,对于保守力系,广义力

σQ =()σ

q q V ??-. （2.3） 将σQ 与拉格朗日函数()()()q V t q q T t q

q L -=,,,, 代入完整系拉氏方程得, 0=??-???? ????σσq L q

L dt d ()f ，， 2,1=σ （2.4）

或 0=ΛL σ ()f ，， 2,1=σ, （2.5） 称为完整保守拉氏方程,常简称为拉氏方程。

速度相关势(广义势)下的拉氏方程,设U 依赖于广义速度,()σσq

q U U ,=是速度相关势,相应的广义力为 ???

? ????+??-=σσσq U dt d q U Q ()f ，，

2,1=σ, （2.6） 代入完整系拉氏方程,得与（2.5）相同形式的拉氏方程,只是其中的拉氏函数U T L -=。 同时存在有势力和非有势力的拉氏方程的情况,广义力为 σσ

σQ q V Q '+??-= ()f ，， 2,1=σ, （2.7） 其中σ

Q '包含作用于质点系但未隐含与位能中的所有的主动力i F '。拉氏方程为 σσσσQ q V q T q T dt d '+??-=??-???

? ???? ()f ，， 2,1=σ, （2.8） 即 σ

σσQ q L q

L dt d '=??-???? ???? ()f ，， 2,1=σ （2.9）或 σσQ L '=Λ ()f ，， 2,1=σ. （2.10）

为什么物理体系中的运动会遵守一定的定律?我们知道的动量守恒、能量守恒等守恒定律,它们又是什么原因呢?现代理论物理研究科学工作者运用科学的研究方法证明了,物理定律的决定因素是物理体系所赖以存在的空间、时间属性。物理规律通常具有一定的对称性,在数学形式上,这种对称性表现为运动方程对于一定的数学变换具有不变性,但其根源乃是拉格朗日函数在一定的数学变换方面具有不变性。一种不变性必然对应着一种守恒定律。比如；电荷守恒定律是拉格朗日函数的规范不变性导致的；动量守恒定律和能量守恒定律是拉格朗日函数对于空时坐标移动的不变性导致的；角动量守恒定律是空间转动的不变性导致的；宇称守恒定律是空间坐标反射具有不变性导致的等等。由此可知,运用拉格朗日形式可以得出空间、时间的属性与物理运动的规律之间所存在的密切联系,研究的意义重大。

3. 时空平移对称性与能量守恒

物理学中的对称性就是物理定律在某种变换下的不变性。人们认识物理规律,更多地注重对其中所包含的对称性的认识。对称性对作用量的形式有制约的作用,但是物理学家并不可能提前知道这个世界所涉及到的所有对称性,而已经确定知道的对称性又不足够完全确定作用量的形式。虽然作用量可能具有的形式已经大大受到限制,但是它们还是可以具有多种可能的对称形式。依据诺特定理——作用量的一种对称性就对应一个守恒定律,有一个守恒量。对称和守恒的联系是非常紧密的。而且,现代物理学已有证明,每一种对称性就对应着一个守恒定律,这就是二者之间的关系。

物理实验的过程和结果不会随着它在什么时间做的改变,也就是说物理规律具有时间平移不变性。不管是昨天、今天和明天的物理定律都应该是相同的,即物理定律不随时间变化,时间平移不变性又称时间平移不变性或时间均匀性。时空平移对称与能量守恒相对应。 质量为m 的一个粒子,在势能V(x,t)场中做一维运动,其受力为F, dx x

v Fdx x x x x ????-==A 2

121, （3.1） 一般情况 dt v dx t x v dv ??+??=

, （3.2） 将（3.2）代入（3.1）中得 ???+-=A 21x x dt t

V dV , （3.3） 再由动能定理12-E E =A ,（3.3）式变为

()()dt t v V x x ???=

+E +E 211122V -. （3.4） 若热能函数不随时间t 变化时,

即 0t

v =??, （3.5） 则恒量=+E =+E 1122V V 。

综上所述,如果势能函数对时间平移具有不变性,那么能量就具有守恒性。用对称性原理表述,如果有势能对时间平移的不变性,那么就必然有能量守恒性。所以,假如物理定律随时间变化,例如,如果重力法则随时间变化,那么就可以利用重力会随时间变化的性质,当重力变弱时,把水提升到蓄水池中,所需要做的功就会变少；利用水利发电的过程中,在重力变强的时候,把蓄水池中的水泄放出来,释放出较多的能量,发的电也就更多。如果这样的发电机存在的,那么这是一架不折不扣的能创造出能量的第一类永动机,能量守恒定律也就不成立了,这就很好地说明了时间平移对称性与能量守恒定律之间的联系。

4.空间平移对称性与动量守恒

在实验条件相同的前提下,在两个不同地点做相同的实验,所做的的实验结果都相同,也就是说物理实验与它所处的空间位置没有关系。所以,物理规律具有空间平移不变性。空间平移不变性也称空间平移对称性或空间均匀。空间平移对称性与动量守恒相对应。

一个质量为m 的粒子在势能为V （x,t ）的场中做一维运动,用p 表示粒子的动量函数,其运动由下面的方程决定 x

V F dt dp ??-==. （4.1） 若位置x 不影响空间势能函数V, 即

0=??x V , （4.2） 则恒量=p 。

综上所述,如果势能函数对空间平移具有不变性,那么动量就具有守恒性。也就是说有势能对空间平移的不变性,就会有动量的守恒性。例如,依两个质点组成的系统为例,用U 表示它们的相互作用能,U 作为这两个质点位置21r r 、的函数()21r r 、,由物理定律具有空间平移

不变性可知,质点的绝对位置是一个不可观测量,质点间的相互作用势能决定于质点间的相对位置,即为()21r r U -。如果把质点1和质点2移动相同的小量,相互作用能不会发生变化,那么相互作用力所做功的总和就为零。因为位移相同,所以系统相互作用力之和为零,即两个质点间的作用力与反作用力大小是相同的,方向相反,并且在一条直线上,而这刚好是牛顿第三定律。我们知道,在力学范围内,牛顿第三定律与动量守恒定律的关系是互为因果的。可见,空间平移对称性与能量守恒之间的联系是对应的,即只要空间平移对称,能量就守恒。

5.空间转向对称性与角动量守恒

在实验条件相同的前提下,物理实验与空间的取向没有关系,即使把实验装置转换一个方向,并不会影响实验过程和结论。所以,物理规律具有空间转向不变性,空间转向不变性也叫空间转向对称性或空间同向性,空间转向对称性与角动量守恒相互对应。

质量为m 的一个粒子在势能为),,(t y x v 的场中做的是二维运动,并且绕着Z 轴转动,假

设用极坐标()θ，r 代替笛卡尔坐标）（y x ,,那么粒子的转动方程为:

θθ??-==V rF dt dL Z , （5.1） 其中L 为角动量。

当势能函数()t r V ,θ，不随着空间方向变化时,即

0=??θ

V , (5.2) 则恒量=Z L 。

综上所述,如果势能函数对空间转向具有不变性,那么角动量就具有守恒性。也就是说,只要有有势能的空间转向不变性,就必然有角动量的守恒性。 6.守恒定律在科学技术及生活中的应用

卫星运行是我们现代科技发展的一个重要体现，那么卫星是怎样一直围绕着地球运行的，而不会脱离地球或者掉下来。我们运用守恒定律来解释这一现象。地球对卫星有吸引力，会产生加速度，这时速度与力垂直，合力不做功，按动能定理，动能守恒。轨道高度越高，卫星能够停留在轨道中的时间越长。因为在较高高度的太空近似与真空，卫星受到的的摩擦阻力很小，可以近似看成仅受保守力的作用。因此机械能守恒，他应该永远转下去。

在体育运动中,人体的空翻过程,经过分析受力情况,我们知道只受重力作用于质心。 所以通过质心的任一轴线,重力力矩为零。如果不计空气阻力,那么人体所受到的合外力矩就为零。就可以得到通过质心的任一轴线的角动量c L 守恒,即

w I w mk w mk L c C ===202

0 （k 为回转半径） （6.1） 分析（6.1）式可知 2k I c ∝,所以当人体的四肢伸开或靠拢时,就会引起c L 的改变,改变角速度w 的大小。在上升的过程中,四肢伸展,处在远离质心的位置,回转半径k 增大,转动惯量C I 也增大;当到达最高点时,尽量收拢四肢,处在靠近质心的位置,这时回转半径 k 减小,转动惯量C I 大为减小,从而转动角速度w 大为增大;当快完成翻转时,再次充分伸展四肢到远离质心的位置,以增大回转半径 k 而增大转动惯量C I ,使旋转角速度w 减小至停止翻转,平稳着地。这些完美的动作,都是在应用角动量守恒的基础上完成的。

7.结论

综上可知, 由对称性或某种基本量不可观察或不可测量会导致相应的量守恒。我们可以看出各种不可能测量中,一部分是真正测量不到的,而有一些实际上是可以被测量的,只是由于当前测量技术限制,而不能测出。如果将来这些不可测量被测到,那么相应的守恒定律就不再守恒。被测量也会受局域的影响,在一个局域能被测量, 而在另一个局域却不能测到。在对应的领域内,守恒定律的成立就要对应局域。为了求得理学的更加科学性和完整性,物理学家有两个重要的任务,一个是要找出更多的对称性及其相应的守恒定律, 另一个是要尽可能地找出一切实际上能够被观察的量。

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The symmetries and conservation laws of classical

mechanics

Junming Guo

(Grade11,Class1,Major Physics ,Physics Dept., Shaanxi University of Technology, Hanzhong

723001, Shaanxi)

Tutor: Jianhua Wang

Abstract:The symmetry and conservation laws in physics has a very important significance, therefore

recent centuries for its research attracted the attention of physicists。Firstly, from the variational principles of classical mechanics, export Lagrange equation, Lagrange function of the physical information, find out the relationship between symmetry and conservation law, this life application examples include conservation law, the conclusion that the law of conservation by symmetry or some basic unobservable amount - caused unmeasurable。

Key words:Variation principle; Lagrange function; symmetry; conservation law

物理学中的对称性

目录 摘要 (1) Abstract (1) 1 引言 (1) 2 对称性 (1) 2.1镜像对称 (2) 2.2 转动对称 (2) 2.3平移对称 (2) 2.4置换对称性 (2) 3 物理定律的对称性 (3) 3.1物理定律的空间平移对称性 (3) 3.2物理定律的转动对称性 (3) 3.3物理定律对时间的平移对称性 (3) 3.4物理定律对于匀速直线运动的对称性 (3) 4 对称性与物理定律的关系 (3) 5 对称性在物理学中的应用 (4) 6结论 (5) 参考文献 (5)

物理学中的对称性 摘要：从自然界中的对称性开始，讲解了物理学中转动对对称性开始称，平移对称，置换对称；还讲解了物理定律中的空间平移对称性，转动对称性，时间平移对称性，匀速直线运动的对称性；进而说明了物理定律与对称性的关系和对称性在物理学中的应用，以及对称性导致物理问题发生和解决。 关键词：对称性；物理定律；守恒 Discuss the Symmetry Secondary Physics Abstract:From the nature of the symmetry of the begining, explain the physics rotation on symmetry started to call, translational symmetry, permutation symmetry; also explained the laws of physics in the spatial translational symmetry, rotational symmetry, time translation symmetry, the symmetry uniform motion in a straight line; then describes the physical laws and symmetry and symmetry in the application of Physics, as well as symmetry leads to physical problems and solutions. Key words:symmetrical; the laws of physicsl; conservation 1引言 对称性是自然界最普遍、最重要的特性[1]。近代科学表明，自然界的所有重要的规律均与某种对称性有关，甚至所有自然界中的相互作用，都具有某种特殊的对称性——所谓“规范对称性”。实际上，对称性的研究日趋深入，已越来越广泛的应用到物理学的各个分支：量子论、高能物理、相对论、原子分子物理、晶体物理、原子核物理，以及化学（分子轨道理论、配位场理论等）、生物和工程技术。 2对称性 什么是对称性？对称性首先来源于生活，对称式自然界中十分普片的现象，从总星系到星系团，从银河系到太阳系，地球，从原生物到各种动植物，都具有不同程度

对称性与守恒定律

第七章 对称性与守恒定律 * §7.1 守恒量的平均值和测量取值几率 ⒈ 力学量平均值随时间变化的方程 在本征态中，如果测量力学量F ，则每时刻都可测得确定值。而在任意状态(),x t ψ中测量，力学量F 一般不显含时间t ，则在每一时刻测量结果一般没有确定值。但(),x t ψ可以按F 的本征态系n φ做完全展开，所以测量F 本征值的几率是确定的，有确定的分布。这样，每一时刻在任意态(),x t ψ下，力学量F 有确定的平均值。在定态下，不显含时间t 的力学量算符F 的平均值不随时间变化。 (),x t ψ：t 时刻的任意状态（归一化的） F ()()?,,x t F x t ψψ=()()*?,,x t F x t dx ψψ=? 其中(),x t ψ和?F 都可能是时间的函数，则F 也可以是时间的函数。 量子力学中，讨论力学量随时间的变化是通过讨论力学量的平均值随时间的变化来反映 的。?F F ψψ= dF dt () ?? F F t t ψψψψ??=+? ? ???F F F t t t ψψψψψψ?????= ++ ?????? 利用含时薛定谔方程 1?H t i ψψ?= ? ?11????F H F F H i i t ψ ψψψψψ ?=++ ? ?11????F H F FH i i t ψψψψψψ?=-++? 利用?H 的厄密性??H H ψ?ψ?=

? 11????F HF FH i i t ψψψψψψ?=-++? ( ) ?1????F HF FH i t ψψψψ?=-+? 1??,F F H t i ???= +??? 即 1??,dF F F H dt i t ???=+? ?? 力学量平均值随时间变化的方程。 ⒉ 守恒量 ⑴ 定义：在任意状态下，力学量的平均值不随时间变化，即为与时间无关的常量。 数学： 0dF dt = （F 与t 无关的常量） ⑵ 力学量守恒的条件 0F t ?=?说明?F 不显含时间t （?0F t ?=?）（?F 不显含t ， ?0F t ?=?而?dF dt 不一定为0） 不特别声明，一般?0F t ?=?，如?r ， ?p ，?L F F F F dF dx dy dz dt x y z t ????= +++???? ??,0F H ??=?? 即?F 与?H 对易，也可以作为守恒量的定义 ⑶ 性质特点 ① 体系在任意状态下，平均值不随时间变化。这是守恒量物理上的定义。 ② 体系在任意状态下，测量力学量（不显含t ）取值的几率分布不随时间变化。 证明：F 为守恒量，因为??,0F H ??=? ? ，所以?F 、?H 有共同完全本征函数系{}n φ，则有?n n n H E φφ=和?n n n F f φφ= 对任意态(),r t ψ (),r t ψ()()n n n c t r φ=∑ ()()(),n n c t r r t φψ=

对称性与守恒定律论文-最新范文

对称性与守恒定律论文 [摘要]本文对在量子体系下的对称变换代写及其性质作了简单的介绍,详细的分析了对称变换与守恒量以及不可测量量的关系,并且对时空对称性导致动量、角动量、能量守恒作了详细分析,并给出了现在物理学中一些重要的对称性和守恒律的简介。 [关键词]量子体系对称性守恒定律 一、引言 对称性是自然界最普遍、最重要的特性。近代科学表明,自然界的所有重要的规律均与某种对称性有关,甚至所有自然界中的相互作用,都具有某种特殊的对称性--所谓”规范对称性”。实际上,对称性的研究日趋深入,已越来越广泛的应用到物理学的各个分支：量子论、高能物理、相对论、原子分子物理、晶体物理、原子核物理,以及化学(分子轨道理论、配位场理论等)、生物(DNA的构型对称性等)和工程技术。 何谓对称性?按照英国《韦氏国际辞典》中的定义：”对称性乃是分界线或中央平面两侧各部分在大小、形状和相对位置的对应性”。这里讲的是人们观察客观事物形体上的最直观特征而形成的认识,也就是所谓的几何对称性。 关于对称性和守恒定律的研究一直是物理学中的一个重要领域,对称性与守恒定律的本质和它们之间的关系一直是人们研究的重要内容。在经典力学中,从牛顿方程出发,在一定条件下可以导出力学量

的守恒定律,粗看起来,守恒定律似乎是运动方程的结果.但从本质上来看,守恒定律比运动方程更为基本,因为它表述了自然界的一些普遍法则,支配着自然界的所有过程,制约着不同领域的运动方程.物理学关于对称性探索的一个重要进展是诺特定理的建立,定理指出,如果运动定律在某一变换下具有不变性,必相应地存在一条守恒定律.简言之,物理定律的一种对称性,对应地存在一条守恒定律.经典物理范围内的对称性和守恒定律相联系的诺特定理后来经过推广,在量子力学范围内也成立.在量子力学和粒子物理学中,又引入了一些新的内部自由度,认识了一些新的抽象空间的对称性以及与之相应的守恒定律,这就给解决复杂的微观问题带来好处,尤其现在根据量子体系对称性用群论的方法处理问题,更显优越。 在物理学中,尤其是在理论物理学中,我们所说的对称性指的是体系的拉格朗日量或者哈密顿量在某种变换下的不变性。这些变换一般可分为连续变换、分立变换和对于内禀参量的变换。每一种变换下的不变性,都对应一种守恒律,意味着存在某种不可观测量。例如,时间平移不变性,对应能量守恒,意味着时间的原点不可观测;空间平移评议不变性,对应动量守恒,意味着空间的绝对位置不可观测;空间旋转不变性,对应角动量守恒,意味着空间的绝对方向不可观测,等等。在物理学中对称性与守恒定律占着重要地位,特别是三个普遍的守恒定律--动量、能量、角动量守恒,其重要性是众所周知,并且在工程技术上也得到广泛的应用。因此,为了对守恒定律的物理实质有较深刻的理解,必须研究体系的时空对称性与守恒定律之间的关系。

对称性与守恒定律自学报告

自学报告 第七章对称性与守恒定律 一．对称性思想方法的重要意义 1.对称性是科学理论必须具备的基本特征。 2.对称性体现了物理学简单、和谐、统一的审美原则。 3.对称性原理和方法为解决具体的物理问题带来了很多方便。 二．举例并解释物理定律的空间旋转对称性、空间 平移对称性、空间反射对称、时间平移对称性。 1.物理定律的空间旋转对称性：指空间各个方向的物理性质相同， 没有哪一个方向比其他方向更优越。例如：地球上不同纬度所测得的单摆周期相同。 2.物理定律的空间平移对称性：空间各个位置的物理性质相同，没 有哪一点比其余各点跟优越。例如：一条无限延长的直线沿自身方向平移的对称性。 3.空间反射对称性：如果在镜像世界里物理现象不违反已知的物理 定律，我们就说支配该过程的物理定律是镜像对称的。例如：人的左手和右手镜像对称，无论旋转或平移，均不能实现而之间的变换。 4.物理定律的时间平移对称性：时间的均匀性，指无论过去、将来、 现在，物理定律不随时间流逝发生变化，物理实验可以在不同时间重复。例如：一个静止或匀速直线运动的物体对任何时间间隔t 的时间平移对称性。

三．举例阐述对称性原理 例如：抛物运动估计 过程条件：物体所受重力G，物体初速度V. 对称性：G与V决定一个铅直平面，体系运动的全部原因在此平面内，对给平面镜像反映对称。 结果：物体的轨道至少具有对上述铅直平面的镜像对称性，不可能像某个侧面倾斜。所以抛物运动一定在上述前铅直平面内运动。四．从物理上进行说明动量，角动量，能量守恒定律各与什么时空对称性相关。 1.动量守恒定律与空间平移对称性相关 2．角动量守恒定律与空间旋转对称性相关。 3.能量守很定律与时间平移对称性相关。 五．对称性破却的含义 原来具有较高对称性的系统，其对称程度自发下降，出现不对称因素叫做对称性自发破缺。

2量子力学与热力学中的随机性

2、量子力学与热力学中的随机性 戴维斯指出，在宇宙学情况下，初始奇点的随机性（即“分子混沌”）导致宇宙的时间不可逆性，混沌粒子运动是大爆炸过程中光滑宇宙流体的一个特点。如果宇宙重新收缩，终极奇点态是混沌的或随机的而不是高度有序的（块状的），这与安置在一个假想的霍金盒子中的黑洞的情形相反，在那里奇点的随机形成和随即消失带来的是时间的对称性，这种黑洞奇点的随机性是内在随机的。在宇宙学的情况下，终极奇点被赋予由宇宙动力学支配的奇点，所以塌缩到视界内的宇宙不是黑洞。但是，宇宙终极奇点如何不同于黑洞奇点，以及宇宙是否真的象戴维斯所期望的那样振荡不息，这是一个没有澄清的问题。我们认为，只有搞清各种势在决定量子波函数演化过程中如何影响从过去向未来演化的提供波ψ(t)和从未来像过去倒转演化的确认波ψ*(-t)的几率幅；特别是在各种奇点附近，由魏尔曲率决定的引力势如何影响量子波在时间两个方向上的演化几率，才能解决宇宙演化的最后结局。 引力论与量子论相统一的理论还遥遥无期，宇宙论和量子论的时间之矢已然浮现，但远未被澄清。但是，对热力学第二定律的理解却在进一步深化，这特别归功于以普里高津为首的布鲁塞尔学派的工作。普里高津提出的耗散结构论对热力学第二定律提出了新的理解：（1）热力学第二定律并不是在经典动力学基础之上的宏观近似，而是动力学的基本原理，可以从它开始建立动力学的更一般的形式体系；（2）热力学第二定律并不意味着热力学系统的单向退化，它也是进化的原动力，熵最大状态只是演化的终态，而在演化过程中，不可逆性导致自组织的出现。在远离平衡态的非线性体系中，通过耗散机制可以导致类似生命现象的复杂结构出现。走向复杂化的进化过程在一定范围内与热力学不可逆过程一致。 普里高津指出，不可逆理论的构建方式有：（1）存在着不可逆理论，它们出于描述观察到的宏观不可逆性的明显目的而被构建出来，如热力学，扩散理论等等。（2）通过引入隐含不可逆性的几率假定，从可逆的动力学方程中推导出不可逆性的理论。例如，在处理具有大数目的系统时，人们抛弃了动力学观点，而把碰撞事件或一系统状态的改变看作是马尔代夫类型的随机过程，即在某种瞬间发生的事件只依赖于那个瞬间的状态而根本不依赖于过去的历史。于是，粒子碰撞造成的不稳定性动力学关联在微观状态被打破，抹去了粒子过去运动的信息。分子运动论和统计力学就是这样构建出来的。（3）还有一些理论，它们基于时间反演不变的理论，但通过引入初始条件或通过t的拉普拉斯变换，从而成为不可逆理论，宇宙学的时间箭头就是这样引入的。 普里高津认为，几率分布允许我们在动力学描述的框架内把相空间复杂的微观结构包括进去。因此，它包含附加的信息，此种信息在个体轨道的层次上不存在。因为对于具有对初始条件敏感性的不稳定系统，个体轨道变得不可计算，只能给出多种运动形式的几率分布。于是，在分布函数ρ的层次上，我们得到一个新的动力学描述，它允许我们预言包含特征时间尺度的系统的未来演化，这在个体轨道层次上是不可能的。个体层次与统计层次间的等价性被打存了。而对于稳定体系，“个体”层次（对应于单个轨道）和“统计”层次（对应于系统）是等价的。在不可积动力学体系中，个体的某一轨道可以对应于不同的系统分布ρ，而同一系统分布ρ可以对应不同的个体轨道，过去和未来的不对称性在系统层面上涌现出来，它意味着时间反演的初始系统分布是低几率的。普里高津认为宏观的时间方向是一种突现现象，同时又主张寻求微观不可逆过程的理论描述。 概率随机性被引入物理学，第一次是热力学，第二次是量子力学。然而，这两次引入却被认为具有非常不同的含义。在热力学中，随机性被认为是主观引入的，而在量子力学中，随机性被认为是客观的，具有不可还原的终极意义。将热力学第二定律作为一个基本的事实，意味着微观层次的随机性也应该是客观而非主观的，终极的非表面的。普里高津坚决反对熵和

对称性原理在物理学中的表现形式

对称性原理在物理学中的表现形式 在近代科学的开端，哥白尼对日心说的数学结构做了美学说明和论证，他从中看到令人惊异的“对称性”与“和谐联系”——这可以说是科学美学的宣言书.开普勒醉心于宇宙的和谐，他在第谷的庞杂数据中清理出具有美感的行星运动三定律，并由衷地感到难以置信的狂喜和美的愉悦.伽利略对落体定律的揭示，在纷繁的事实多样性中求得统一的定律.牛顿的严整而简单的力学体系把天地间的万物运动统摄在一起，他推崇和倡导节约原理，并认为上帝最感兴趣的事情是欣赏宇宙的美与和谐.这一切，谱写了近代科学的美的协奏曲.以相对论和量子力学为代表的现代科学，更是把科学审美发挥到了极致.撇开这些理论的抽象的理性美和雅致的结构美不谈，令人叫绝的是，数学实在和物理实在之间的（神秘的）一致是由群的关系保证的，科学理论中审美要素的存在是由群的真正本性决定的——对称性或不变性（协变性，invariance）之美跃然纸上！ (1)经典物理学中的对称性原理 在原始的意义上，对称是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性.物理是研究客观世界的最基本规律的一美科学，而它们在很多方面存在着对等性，例如：正电荷和负电荷、电荷的负极与正极、光速的可逆性、空间与时间、正功与负功、质子与中子、电子与正电子等均具有对称性.万有引力公式F=GMm/r2与静电力公式F=KQ1Q2/r2，弹性势能公式E=0.5kx2与动能公式E=0.5mv2，凸透镜成象公式1/u+1/v=1/f与并联电阻公式1/R1+1/R2=1/R、弹簧串联公式1/k1+1/k2=1/k，欧姆定律公式I=U/R与压强公式P=F/S、密度公式ρ=m/V 、电场强度E=F/Q、电压U=W/Q与电容C=Q/U，安培力F=BIL与电功W=Uit，重量G=ρgV与热量Q=cm Δt等均具有相似性根据这些相似性.开普勒用行星轨道的椭圆对称性代替了古希腊人所坚持的圆形对称性, 开普勒第一定律：每个行星都沿椭圆轨道运行，太阳就在这些椭圆的一个焦点上. 物理学中有一些规律属于基本定律，它们具有支配全局的性质，掌握它们显然是极端重要的.例如力学中的牛顿定律是质点、质点组机械运动（非相对论）的基本定律，电磁学的麦克斯韦方程组是电磁场分布、变化的基本定律，物理学中还有另外一种基本定律的表述形式，这就是最小作用原理（变分原理），它可表述为系统的各种相邻的经历中，真实经历使作用量取极值.可以看出最小作用原理的表述形式与牛顿定律、麦克斯韦方程组的表述形式极不相同.牛顿定律告诉我们，质点此时此刻的加速度由它此时此刻所受的力和它的质量的比值决定；麦克斯韦方程组告诉我们，此时此刻的电场分布由此时此刻的电荷分布以及此时此刻的磁场的变化决定，此时此刻的磁场分布由此时此刻的电流分布以及此时此刻的电场

对称性与守恒定律

对称性与守恒律 物理规律是分层次的，有的只对某些具体事物适用，如胡克定律只适用于弹性体；有的在一定范畴内成立，如牛顿定律适用于一切低速运动的宏观物体；有的如能量、动量守恒等守恒律，则在所有领域的自然界起作用。后者属于自然界更深层次、最为基本的规律。而守恒律和对称性有紧密联系。了解对称性的概念、规律及其分析方法，对于深入地认识自然有重要意义。 一、什么是对称性 对称的概念日常生活中就有，如人体外部器官的左右对称，紫禁城建设布局的东西对称，不带任何标记的球的中心对称等。对称性的定义如下。 若某个体系（研究对象）经某种操作（或称变换）后，其前后状态等价（相同），则称该体系对此操作具有对称性，相应的操作称为对称操作。简言之，对称性就是某种变换下的不变性。 二、物理学中几种常见的（对称）变换 1.空间变换 1）平移：即对位矢作的变换，相应的对称性谓之平移对称性。 例如，一个不带任何标记的无限大平面，对沿平面的任意平移具有对称性，而当此平面上均匀布满方格时，则对沿平面的特定方位（如边长或对角线方位）平移某个长度的整数倍具有对称性。 2）转动：绕某定点或轴线的转动 前述球的中心对称，就是指球对绕球心的任意旋转对称，通常就称之为球对称。一圆柱体，对绕其中心轴旋转任一角度状态不变，即具有旋转轴对称…… 3）镜像反射（反演）：俗称照镜子。指对镜面作物像变换。 紫禁城建筑的东西对称，就是以天安门中轴面（南北竖直面）为镜面的镜像对称。 ●物理矢量的镜面反射——极矢量和轴矢量 按镜面反射时，矢量物像的方向之间的关系，物理矢量分两类。一类，以位移 为例，其镜像为，如图1(a)所示。它们平行于镜面的分量方向相同，垂直于镜面的分量的方向相反，这类矢量叫极矢量。，，等都是极矢量。

物理学中的对称性简析_李清玉[1]

第20卷第6期2000年11月 云南师范大学学报 Jou rnal of Yunnan N o r m al U n iversity V o l.20N o.6 N ov.2000 物理学中的对称性简析Ξ 李清玉1,　吴文良2 (1.昭通师范高等专科学校物理系,云南昭通657000;2.昭通师范高等专科学校印刷所,云南昭 通657000) 摘　要:　从讨论几何学中的对称概念出发,简述了对称性的广义概念、对称性与物理守恒律的关系、相 对论的对称性实质,并举例说明了对称性分析在解决物理问题中的运用。 关　键　词:　物理学;对称性;相对论;守恒律;洛仑兹力 中图分类号:　O409 文献标识码:　A 文章编号:　1007-9793(2000)06-38-04 1　几何中的对称概念与不变性 1.1平面图形的四种对称类型 对称最初是一个几何概念,对称图形通常指轴对称图形和中心对称图形,特指关于竖直轴对称的图形,即“左右对称”。平面轴对称可以通过一次二维空间反射操作实现,平面中心对称可以通过两次正交的二维空间反射操作实现。 由文[1]对对称性的分析可知:周期性重复可以也应该看作是一种对称类型;平图对称图形还可以具有一种称为滑动对称的对称类型,它是指沿一条线移动,并同时向这条线反射后与原图形重合的图形。例如,正弦函数的图像就同时具有周期性重复和滑动对称两种对称类型。空间图形还可以具有更多类型的对称,在此就不深入讨论。 1.2与平面四种对称类型对应的函数类型 一元函数y=f(x)可表示为平面直角坐标系中的图像。偶函数[f(-x)=f(x)]的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形;奇函数[f(-x) =-f(x)]的图像是以原点为对称中心的中心对称图形;周期函数[f(x+l)=f(x)]的图像是周期重复对称图形。我们可以称满足关系f(x+l) =-f(x)的函数为滑动对称函数,其中l为固定常数,显然,滑动对称函数的图像是滑动对称图形。 奇函数、偶函数、周期函数和滑动对称函数代表了平面图形的四种类型的对称,这四种函数可统称为对称函数。仔细观察这四种函数,不难发现:它们都具有这样的性质:在对自变量进行反射操作x→-x或平移操作x→x+l后,函数值保持绝对值不变——或者仅符号发生变化,或者连符号也不改变。这就揭露了对称的本质:所谓对称,是指在对自变量进行某种对称操作(反演、平移、旋转等)后,函数的绝对值保持不变的性质。对称性实质上是一种不变性。 2　普遍的对称概念 对一组变量的一种变换定义一个对称操作,若这些变量的某个函数通过某种变换后其值(或绝对值)不变,就说这个函数相对这种操作对称。常用的对称操作有平移、旋转、镜像反射、标度变换等空间对称操作,有时间平移、时间反演等时间对称操作,还有不同参照系间的变换。 例如在伽利略变换下,选择同一参照物,选择不同的坐标原点,描述物体同一时刻空间坐标的数值是不同的,但描述物体同一段时间位移的数值却是相同的,表明物体的位移关于坐标平移操 Ξ收稿日期:1999-10-28 作者简介:李清玉(1963-),女,云南省昭通市人,副教授,从事量子力学方面研究.

量子力学物理课程论文(对称性与守恒量的探究及其应用)

对称性与守恒量的探究及其应用 XX（61010XXX） （东南大学吴健雄学院，南京 211189） 摘要：本文详细论述了量子力学中的守恒量和对称性的定义及相互之间的关系，并且与经典力学作了对比，以课本知识为基础，对其做了深入的探讨，清晰地展示了守恒量与对称性的推导，并且对二者的应用做了详细的介绍。 关键词：守恒量；对称性 The discussion and applications of the conservation quantity and the symmetry transformation XX (Chien-Shiung Wu College, Southeast University, Nanjing, 211189) Abstract: The relationship between conservation quantity and symmetry transformation and the definitions of them was discussed, and they were also compared with ones in classical mechanics. Based on the content of textbook, the derivation of them was shown. Besides, the applications of them were also talked in the essay. key words: The conservation quantity; The symmetry transformation 经典力学中守恒量与对称性之间存在的联系早在19世纪中叶就已被人们认识到，而守恒量与对称,性的密切联系及广泛应用是在量子力学建立以后才深入到物理学的日常语言中来的，找出了一个体系的守恒量，往往可以使问题的处理大为简化。因此，对守恒量和对称性的研究探讨是很有意义的。 1.守恒量 作者简介：XX 在经典力学中，守恒定律与体系对称性之间有密切联系。在一个体系中有的力学量是不随时间改变的，这种力学量称为守恒量。 对于用Lagrange函数描述的体系，如果在空间坐标平移具有不变性，则体系的动量守恒，若具有空间旋转不变性，则角动量守恒。Lagrange函数时间平移的不变性，将导致体系的能量守恒。 在量子力学发展以后，守恒定律与对称性的关系更为显著应用，这与态叠加原理有着密切的联系。与经典力学相比，量子力学关于对称性的研究，

对称性及守恒定律

第五章： 对称性及守恒定律 ［１］证明力学量A ?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2 2 2 H H A A dt d -=η （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A ? 不显含t ，有 ]? ,?[1H A i dt A d η = （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量 ]? ,?[1H A i η 的平均值，则有： ]? ],?,?[[1]?],?,?[1[12 22H H A H H A i i dt A d ηηη-== （２） 此式遍乘2η即得待证式。 ［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导 数的平均值等于零。 （证明）设A ?是个不含t 的物理量，ψ是能量H ?的公立的本征态之一，求A ?在ψ态中的平均值，有： ???=τ τψψd A A ?* 将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1） ???-≡=τ τψψd A H H A i H A i dt A d )????(*1]?,?[1ηη （１） 今ψ代表H ?的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H =? （E 为本征值） （２） 又因为H ?是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ d A H d A H ??????=)?(*)?()~ (?* （３） （题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得：

τψψτψψd A H i d H A i dt A d )?(*)?(1)?(?*1??????-=ηη ??????-= τψψτψψd A i E d A i E ?**?*ηη 因*E E =，而0=dt A d ［３］设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=?? ??μ/)(2。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=?? ?，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r dt d ??η ???=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ ?? )],,()???(21 ,??????[222z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21 ],??????[2 2 2 z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? =η，而不同座标的算符相对易，因此（２）式可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μ μ ++=??? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[2122 2V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x +++++= μμμ （３）

量子力学中常用积分公式

目次 第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书 1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。1979 3．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。1982 4．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。1972 7．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics (有中译本：陈洪生译。科学) 1951 9. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics （英译本） Springer Verlag 1973 11. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 https://www.wendangku.net/doc/d6487551.html,ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ∫∫??=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e ax ax ?+=∫ (3) =∫axdx e ax cos )sin cos (22bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2?= ∫ (5) =∫axdx x sin 2ax a x a ax a x cos )2(sin 2222?+ (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2+= ∫ (7) ax a a x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222?+=∫)

第三章量子力学中的对称性和角动量

量子力学中的对称性和角动量 §3.1 引言 从经典物理知道，自然界存在各种守恒定律如能量守恒、动量守恒、角动量守恒等。为什么会这样？ 从形式上看，守恒定律是运动方程的结果，因为它可以从运动方程导出。但是，从本质上看，守恒定律也许比运动方程更为基本，因为它表达了自然界的一些普遍法则，支配着自然界的所有过程。反过来，也可以认为运动方程实际上受着守恒定律的限制。 为什么会有守恒定律？守恒定律存在的深刻根源在于自然界存在着普适的对称性。 运动过程的所有特征，实际上都已经隐含在运动方程之中，对称与守恒的研究，只是使运动过程本来就具有的那些特征更加显现出来，但它并不能给出超出运动方程的结果。 经典力学中，Hamiltonian 决定了体系的运动规律，看H 是否对于某一种变换不变，则体系在变换前后的运动规律也保持不变。----守恒量。 {} {}0 ,H u ,=+??=H u H u t u dt du 不显含时间，则 和如--表示u 是一个运动常数。 量子力学中， 运动方程为[]H F dt dF i ,= ，其中力学量为算符[]0,=H F --二者具有共同的本征函数。 Wigner-Weyl 实现：态的对称性直接反映了H 的对称性。 §3.2 转动态的定义和转动算符 §3.2A 转动态的定义 在经典物理中，转动后坐标的变化为 ()()p R p r R r ?θ?θ,',,'== 如果n 为z 轴，转动角为θ，则 z z y x y y x x p p z z p p p y x y p p p y x x ==+=+=-=-=',',cos sin ',cos sin ', sin cos ',sin cos 'θθθθθθθθ-------???? ? ? ? ????? ? ?-=????? ??z y x z y x 10 0cos sin 0sin cos '''θθ θθ 在量子力学中，一自旋为0的标量粒子波函数()r ψ，将它绕空间n 轴（z 轴）转动一个角度θ，此操作为作用在波函数上的算符()θ,n R ，则()()()r r n R ',ψψθ=。 转动态的定义： . '' ,ψψψψψ R r right R r r R left ====所以，---转动态。 物理上对转动态的要求：如果转动前后中所测得的物理量的关系和经典物理中一致（在下面举几个例子说明），则可称之为转动态。 在坐标系中，()r ψ为标量函数，存在()()r r ψψ=''

大学物理答案《质点力学的运动定律 守恒定律》.

第2章质点力学的运动定律守恒定律 一、选择题 1(C,2(E,3(D,4(C,5(C,6(B,7(C,8(C,9(B,10(C,11(D,12(A,13(D 二、填空题 (1. ω2=12rad/s ,A=0.027J (2. 290J (3. 3J (4. 18 N ·s (5. j t i t 23 23+ (SI (6. 16 N ·s , 176 J (7. 16 N ·s ,176 J (8. M k l /0,M k nm M Ml +0 (9. j i 5- (10. 2m v , 指向正西南或南偏西45° 三、计算题 1. 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动,质点只受到指向原点的引力的作用,引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比,即2 /x k f -=,k 是比例常数.设质点在 x =A 时的速度为零,求质点在x =A /4处的速度的大小. 解:根据牛顿第二定律 x m t x x m t m x k f d d d d d d d d 2

v v v v =?==- = ∴??-=-=4 /202d d ,d d A A x mx k mx x k v v v v v k mA A A m k 3 14(212= -=v ∴ /(6mA k =v 2. 质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为K ,忽略子弹的重力,求: (1 子弹射入沙土后,速度随时间变化的函数式; (2 子弹进入沙土的最大深度. 解:(1 子弹进入沙土后受力为-K v ,由牛顿定律 t m K d d v v =- ∴??=-=- v v v v v v 0

练习册-第2章《质点力学的运动定律--守恒定律》答案(1)

第2章 质点力学的运动定律 守恒定律 一、选择题 1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(D)，12(A)，13(D) 二、填空题 (1). ω2=12rad/s ，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 N ·s (5). j t i t 23 23+ (SI) (6). 16 N ·s ， 176 J (7). 16 N ·s ，176 J (8). M k l /0，M k nm M Ml +0 (9). j i 5- (10). 2m v ， 指向正西南或南偏西45° 三、计算题 1. 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2 /x k f -=，k 是比例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求质点在x =A /4处的速度的大小． 解：根据牛顿第二定律 x m t x x m t m x k f d d d d d d d d 2 v v v v =?==- = ∴ ??-=-=4 /202d d ,d d A A x mx k mx x k v v v v v k mA A A m k 3 )14(212=-=v ∴ )/(6mA k =v 2. 质量为m 的子弹以速度v 0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为Ｋ，忽略子弹的重力，求： (1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； (2) 子弹进入沙土的最大深度． 解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv ，由牛顿定律 t m K d d v v =- ∴ ? ?=-=- v v v v v v 0 d d ,d d 0t t m K t m K

第二章 力学中的守恒定律

第二章 力学中的守恒定律 2.1 在下面两种情况中，合外力对物体作的功是否相同?(1)使物体匀速铅直地升高 h 。(2) 使物体匀速地在水平面上移动h 。如果物体是在人的作用下运动的，问在两种情况中对物体作的功是否相同? 答：合外力对物体做功不同。 2.2 A 和B 是两个质量相同的小球，以相同的初速度分别沿着摩擦系数不同的平面滚动。其中A 球先停止下来，B 球再过了一些时间才停止下来，并且走过的路程也较长，问摩擦力对这两个球所作的功是否相同? 答：摩檫力对两球做功相同。 2.3 有两个大小形状相同的弹簧：一个是铁做成的，另一个是铜做成的，已知铁制弹簧的倔强系数比铜大。 (1) 把它们拉长同样的距离，拉哪一个做功较大？ (2) 用同样的力来拉，拉哪一个做功较大？ 答：（1）拉铁的所做功较大； （2）拉铜的做功较大。 2.4 当你用双手去接住对方猛掷过来的球时，你用什么方法缓和球的冲力。 答：手往回收，延长接球时间。 2.5 要把钉子钉在木板上，用手挥动铁锤对钉打击，钉就容易打进去。如果用铁锤紧压着钉，钉就很难被压进去，这现象如何解释? 答：前者动量变化大，从而冲量大，平均冲力也大。 2.6 "有两个球相向运动，碰撞后两球变为静止，在碰撞前两球各以一定的速度运动，即各具有一定的动量。由此可知，由这两个球组成的系统，在碰撞前的总动量不为零，但在碰撞后，两球的动量都为零，整个系统的总动量也为零。这样的结果不是和动量守恒相矛盾吗?" 指出上述讨论中的错误。 答：上述说法是错误的，动能守恒是成立的。虽然碰前各自以一定的速度不为零，相应的动量也不为零，但动量是矢量，系统的总动量在碰前为0，满足动量守恒定律。 2.7 试问：(1) 一个质点的动量等于零，其角动量是否一定等于零?一个质点的角动量等于零，其动量是否一定等于零? (2) 一个系统对某惯性系来说动量守恒，这是否意味着其角动量也守恒? 答：（1）一个质点的动量等于零，其角动量也一定为零；一个质点的角动量等于零，其动量不一定为零。 （2）一个系统对某惯性系来说动量守恒，这并不意味其角动量也守恒。 * * * * * * 2.8 一蓄水池，面积为2 50S m =，所蓄的水面比地面低5.0m ，水深d=1.5m 。用抽水机把这池里的水全部抽到地面上，问至少要作多少功？ 解：池中水的重力为5 3 105.7105.150100.1?=????===sdg mg F ρ 将水全部抽到地面，其发生的平均位移为 m d h l 75.52 5.152=+=+ = 抽水机所做的功即克服重力所做的功，所以)(103.475.5105.76 5 J Fl A ?=??== 2.9 以45牛顿的力作用在一质量为15千克的物体上，物体最初处于静止状态。试计算在第 一与第三秒内所作的功，以及第三秒末的瞬时功率。 解：已知015, 450===υkg m N F

经典力学中的对称性与守恒定律

毕业论文 题目经典力学中的对称性与守恒定律学生姓名郭俊明学号1110014028所在院(系) 物理与电信工程学院 专业班级物理1101班 指导教师王剑华 2015年5月10日

陕西理工学院毕业论文 经典力学中的对称性和守恒定律 郭俊明 （陕理工物理与电信工程学院物理学专业1101班，陕西汉中 723001） 指导老师:王剑华 [摘要]对称性和守恒定律在物理学中具有非常重要的意义,因此近几个世纪以来对于它的研究引起了物理学家的高度关注。本文首先从经典力学中的变分原理出发,导出拉格朗日方程,利用拉格朗日函数中的物理信息,找出对称性与守恒定律之间的关系,就此举出生活中守恒定律的应用实例,最后得出守恒定律是由对称性或某种基本量不可观察—不可测量所导致的。 [关键词]变分原理; 拉格朗日函数;对称性;守恒定律 引言 人类在认识自然界时,经常会观察其对称性,而对称性是自然界的所有物质和过程都存在或者产生它的对应,是物理规律经过某种变换后的不变性。所谓的对应指的是形态上的对应、现象中的相同、物质的正反、结构上的重复、规律的不变性和性质的一致等等。从对称性出发能解释自然界相互联系中的不变性、一致性和共同性。所以,对称性是物理学家探索自然规律的基本依据和出发点。物理学中动量守恒、能量守恒和角动量守恒在任何时间和任何地点都相同,并且与空间的取向无关。所以,对称性与守恒定律之间必然存在特定的关系。 以前有很多物理学家都在寻找物理规律中的对称性和守恒定律之间的关系。1918年,德国的女数学家诺特（Amalie Emmy Nother,1882-1935）在她获得讲课的权力之后,发表了关于对称性和守恒定律内禀关系,即为著名的“诺特定理”,它的精髓是如果运动规律在不依赖时间的变换下具有不变性,那么必定相应地存在一个守恒定律和守恒量[2]。虽然对称性和守恒定律的关系是从经典力学推导出来的,但它实际的应用领域却远远超出了牛顿力学的范畴,比如,微观领域中动量守恒定律在康普顿效应中的应用[3]．现在的科学家着眼于力学系统与守恒量的研究,并且渗透到数学、力学、物理学等各个领域。众多科学家寻求典型力学系统的守恒量,并且研究与守恒量相应的Noether 对称性和Lie 对称性,受到了许多分析力学专家关注。 20世纪六七十年代Currie 等对Lagrange 对称性的最早探索是对不同自由度Lagrange 函数等价问题的研究。上世纪70 年代末到90 年代,Lutzky 等对力学系统的Lagrange 函数等价问题做了一系列的研究, 后来将这种Lagrange 函数等价关系叫做为Lagrange 对称性,Lagrange 对称性现逐渐被推广到Hamil- ton 等系统。近些年来,科学家在约束力学系统三种对称性及其导致守恒量的研究方面取得了许多重要成果[4-11]。在我们的生活中，守恒定律有许多应用，使生活中的现象更具科学化[14]。 本文将从经典力学中的变分原理入手,接着以拉格朗日函数为基础进行讨论,找出函数中的对称关系及其成立的条件,最终推导三种对称性与守恒量之间的关系,就此举出生活中的实例,并且进行解释说明,最后进行总结。 1.由变分原理到拉格朗日方程 变分法是研究泛值函数的一种数学理论,它是力学中最速落径问题的诱导而发展起来