2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛试卷及参考答案

2015年福建省高中数学竞赛

暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷

（考试时间：2015年5月24日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）

1．设集合

，从集合中随机抽取一个元素，记

，则随机

变量的数学期望 。

2．已知

，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间上的最大值为 。

3．、

为椭圆：

（

）的左、右焦点，若椭圆

上存在一点

，使

得

，则椭圆离心率的取值范围为 。

4．已知实数x ，y ，z 满足，则的最小值为 。

5．

已知函数，数列

中，

（），则数列的前100项之和 。

6．如图，在四面体中，，

，

，且

与平

面

所成角的余弦值为。则该四面体外接球半径 。 7．在复平面内，复数

、

、

的对应点分别为

、、。若

，

120OZ OZ =，

，则的取值范围是 。 8．已知函数

恰有两个极值点

，

（

），则的取值范围

为 。

9．已知

，若

，则

的取值

范围为 。

10．若214sin

sin

sin tan 9

9929

n π

πππ+++=…，则正整数的最小值为 。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）

11．求函数

的最小值。

12．已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。

（1）求的取值范围；

（2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。

13．如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。

（1）求证：；

（2）若为中点，求证：。

（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）

14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点为内心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形

的个数。

15．若对任意的正整数，集合{}1299m m m m +++，，，…，的任意（）元子集

中，总有3个元素两两互素，求的最小值。