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高思竞赛数学导引-五年级第二十四讲-抽屉原理二学生版

第24讲抽屉原理二

内容概述

抽屉原理在教字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用.能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”,有时还应构造出达到最佳状态的例子.

典型问题

兴趣篇

1.将60个红球、8个白球排成一条直线,至少会有多少个红球连在一起?

2.17名同学参加一次考试,考试题是3道判断题(答案只有对或错),每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案.请问:至少有几名同学的答案是一样的?

3.任意写一个由数字1、2组成的六位数,从这个六位数中任意截取相邻两位,可得一个两位数,请证明:在从各个不同位置上截得的所有两位数中,一定有两个相等.

4.将1至6这6个自然数随意填在图2,4-1的六个圆圈中,试说明:图中至少有一行的数字之和不小于8。

5.从l,2,3,…,99,100这100个数中任意选出51个数,请说明:

(1)在这51个数中,一定有两个数的差等于50;(2)在这51个数中,一定有两个数差1.

6.从1,2,3,…,21这些自然数中,最多可以取出多少个数,使得其中每两个数的差都不等于4?7.从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数,才能保证其中一定有两个数的和为12?

8.(1)任给4个自然数,请说明:一定有两个数的差是3的倍数;

(2)至少取几个数,才能保证一定有两个数的差是7的倍数?

9.至少找出多少个不同的两位数,才能保证其中一定存在两个数,它们的差是个位数字与十位数字相同的两位数.

10.在一个边长为2厘米的等边三角形内(包括边界)选出5个点,请证明:一定有两个点之间的距离不大于1.

拓展篇

1.如图24—2,将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色,请说明:不管怎么染,总有两列的染色方式是一样的.

2.任意写一个由数字l、2、3组成的三十位数,从这个三十位数中任意截取相邻三位,可得一个三位数,请证明:在从各个不同位置上截得的所有三位数中,一定有两个相等.

3.27只小猴分140颗花生,每只小猴最少分1颗,最多分9颗,请问:其中至少有几只小猴分到的花生颗数一样多?

4.能否在4×4方格表的每个格子中填l、2、3中的一个数字,使得每行、每列以及它的两条对角线上的和互不相同?

5.从l至99这99个自然数中,最多可以取出多少个数,使得其中每两个数的和都不等于1007最多可以取出多少个数,使得其中每两个数的差不等于5?

6.如果在1,2,…,n中任取19个数,都可以保证其中必有两个数的差是6,那么n最大是多少?

7.从1至50这50个自然数中至少要选出多少个数,才能保证其中必有两个数互质?

8.从1至30这30个自然数中取出若干个数,使其中任意两个数的和都不能被7整除.请问:最多能取出多少个数?

9.请说明:任意5个数中必有3个数的和是3的倍数.

10.任选7个不同的数,请说明:其中必有2个数的和或者差是10的倍数。

11.有9个人,每人至少与另外5个人互相认识.试证明:可以从中找到3个人,他们彼此相互认识.

12.(1)在一个边长为1的正方形里放入3个点,以这3个点为顶点连出的三角形面积最大是多少?

(2)在一个边长为1的正方形中随意放入9个点,这9个点任何三点不共线,请说明:这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过8

1.

超越篇

1.从l 至12这12个自然数中最多能选出几个数,使得在选出的数中,每一个数都不是另一个数的倍数?

2.(1)请说明:在任意的68个自然数中,必有两个数的差是67的倍数;

(2)请说明:在1,11,111,1111,…,这一列数中必有一个是67的倍数.

3.求证:对于任意的8个自然数,一定能从中找到6个数a 、b 、c 、d 、e 、f ,使得

(a – b)×(c – d)×(e – f)是105的倍数.

4.从l至25这25个自然数中最多取出多少个数,使得在取出来的这些数中,任何一个数都不等于另两个不同数的乘积.

5.25名男生与25名女生坐在一张圆桌旁,请说明:至少有一人,他(或她)的两边都是女生.

6.时钟的表盘上按标准的方式标着1,2,3,…,11,12这12个数,在其上任意做n个120°的扇形,每一个都恰好覆盖4个数,每两个覆盖的数不全相同.如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个,这3个扇形能覆盖整个钟面的全部12个数,求n的最小值.

7.(1)将一个5×5的方格表每个方格都染成黑、白两种颜色之一,请证明:一定存在一个长方形,四个顶点处的四个方格同色;

(2)将一个4×19的方格表每个方格都染成黑、白、红三种颜色之一,请证明:一定存在一个长方形,四个顶点处的四个方格同色.

8.从1至2000这2000个数中最多能选出多少个数,使得任何两个数的差既不等于4也不等于7?