04 第四节 向量组的秩
第四节 向量组的秩
本节我们考察一向量组中拥有最大个数的线性无关向量的向量组——极大线性无关向量组,并由此引入向量组的秩的定义. 在此基础上, 进一步讨论矩阵与其行向量组和列向量组间秩的相等关系,这个关系是我们处理线性方程组相关信息的一个强有力的工具.
分布图示
★ 引例 ★ 极大线性无关向量组
★ 定理1 ★ 向量组的秩 ★ 矩阵与向量组秩的关系
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 定理3
★ 例5
★ 例6
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-4
内容要点
一、最大线性无关向量组
定义1 设有向量组,,,,:21s A ααα 若在向量组A 中能选出r 个向量
r ααα,,,21 , 满足
(1) 向量组r A ααα,,,:210 线性无关;
(2) 向量组A 中任意1+r 个向量(若有的话)都线性相关.
则称向量组0A 是向量组A 的一个极大线性无关向量组(简称为极大无关组).
注: (1) 含有零向量的向量组没有极大无关组;
(2) 向量组的极大无关组可能不止一个, 但由上节推论6知, 其向量的个数是相同的. 定理1 如果r
j j j ααα,,,2
1
是s ααα,,,21 的线性无关部分组, 它是极大无关组的充分必
要条件是s ααα,,,21 中的每一个向量都可由r
j j j ααα,,,2
1
线性表示.
注: 由定理1知，向量组与其极大线性无关组可相互线性表示, 即向量组与其极大线性无关组等价.
二、向量组的秩
定义2 向量组s ααα,,,21 的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩, 记为
),,,(21s r ααα .
规定: 由零向量组成的向量组的秩为0.
三、矩阵与向量组秩的关系
定理2 设A 为n m ?矩阵，则矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩.
推论1 矩阵A 的行向量组的秩与列向量组的秩相等.
由定理2证明知，若r D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式, 则r D 所在的r 列就是A 的列向量组的一个极大无关组; r D 所在的r 行即是A 的行向量组的一个极大无关组.。
以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量组的极大无关组；
同理，也可以向量组中各向量为行向量组成矩阵，通过作初等列变换来求所求向量组的极大无关组.
定理3 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则 )()(A r B r ≤. 推论1 等价的向量组的秩相等.
推论2 设n s s m n m B A C ???=, 则)}.(),(min{)(B r A r C r ≤ 推论3 设向量组B 是有向量组A 的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组A 能由向量组B 线性表示，则向量组B 是向量组A 的一个极大无关组.
例题选讲
例1(E01) 全体n 维向量构成的向量组记作n R , 求n R 的一个极大无关组及n R 的秩. 解 因为n 维单位坐标向量构面的向量组n E εεε,,, 21:是线性无关的，又知，n R 中的任意1+n 个向量都线性相关，因此向量组E 是n R 的一个极大无关组，且n R 的秩等于n .
例2 (E02) 设矩阵,979634226441
21121112????
??
?
?
?------=A 求矩阵A 的列向量组的一个极大无关并 把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.
解 对A 施行初等变换化为行阶梯形矩阵： A ??
?
?
?
?
?
?
?---000003100001110
41211
??
?
?
?
?
?
?
?---00000310000111041211
知,3)(=A r 故列向量组的极大无关组含3个向量.
而三个非零首元在第,4,2,1三列，故421ααα,,为列向量组的一个极大无关组. 则,,,3)(421=αααr 故421ααα,,线性无关. 由A 的行最简形矩阵：.???-+=--=4215
2
13334ααααααα
例3 (E03) 求向量组
T T T T t t )1,4,2,3(,)2,5,4,0(,)0,,0,2(,)1,1,2,1(4321-+-=--==-=αααα
的秩和一个极大无关组.
解 向量的分量中含参数,t 向量组的秩和极大无关组与t 的取值有关. 对下列矩阵作初等行变换:
)(43
21αααα??
?
?
?
?
?
?
?--+---=120145124023021t t
??????? ??---++---4220752084403021t t ??
?
?
?
?
?
??--0000330021103021
t t
显然，21αα,线性无关，且
（1）3=t 时，则,,,,2)(1321=ααααr 且21αα
,是极大无关组； （2）3≠t 时，则3,,,,=)(1321ααααr 且321,ααα,是极大无关组；
例4 (E04) 设n m A ?及s n B ?为两个矩阵, 证明:A 与B 乘积的秩不大于A 的秩和B 的秩, 即 )).(),(m in()(B r A r AB r ≤
证 设,,,,)()(21n n m ij a A ααα ==?s n ij b B ?=)(,,,,)()(21s s m ij c C AB γγγ ===? 即 )()(2121n s αααγγγ,,,,,, =??
?
?
?
?
?
?
?ns nj n s j
s j b b b b b b b b b 12221
1111
因此有 n nj j j j b b b αααγ+++= 2211,,,,)21(s j =
即AB 的列向量组s γγγ,,, 21可由A 的列向量组n ααα,,,21 线性表示，故s γγγ,,, 21的极大无关组可由n ααα,,,21 的极大无关组线性表示,由向量间线性关系的判定定理: .)()(A r AB r ≤
类似地：设)(ij b B =??????? ??n βββ 21， ????
??
?
??=n ij a AB βββ 21)(，
可以证明：.)()(B r AB r ≤ 因此，.,))()(m in()(B r A r AB r ≤
例5 (E05) 设向量组B 能由向量组A 线性表示, 且它们的秩相等, 证明向量组A 与向量组B 等价.
证一 只要证明向量组B 能由向量组A 线性表示.设两个向量组的秩都为,s 并设A 组和
B 组的极大无关组依次为s a a A ,,: 10和,,,:s b b B 10因B 组能由A 组线性表示，故
0B 组能由0A 组线性表示，即有s 阶方阵s K 使.,,,,s s s K a a b b )()(11 =因0B 组线性无关，
故
s b b r s =)(1,, .,,s b b r K r s s =≥)()(1
但,s K r s ≤)(因此.s K r s =)(于是矩阵s K 可逆，并有,,,,,1
11)()(-=s s s K b b a a
即0A 组能由0B 组线性表示，从而A 组能由B 组线性表示.
证二 设向量组A 和B 的秩都有为.s 因B 组能由A 组线性表示，故A 组和B 组合并而成的向量组),(B A 能由A 组线性表示.而A 组是),(B A 组的部分组，故A 组总能由),(B A 组线性表示.所以),(B A 组与A 组等价，因此),(B A 组的秩也为.s
又因B 组的秩也为,s 故B 组的极大无关组0B 含s 个向量，因此0B 组也是),(B A 组的极大无关组，从而),(B A 组与0B 组等价，由A 组与),(B A 组等价，),(B A 与0B 等价，推知A 组与B 组等价.
注：本例把证明两向量组A 与B 等价，转换为证明它们的极大无关组0A 与0B 等到价.证法一证明0B 用0A 线性表示的系数矩阵可逆；证法二实质上是证明0A 与0B 都是向量组),(B A 的极大无关组.
例6 已知,59354645),(,13112032),(2121????
??
? ??----=???
???? ??---=ββa a 证明向量组),(21a a 与),(21ββ等价.
证 要证存在2阶方阵,,Y X 使,,,X )()(2121ααββ=.,,Y )()(2121ββαα= 先求.X 对增广矩阵)(2121ββαα,,,施行初等行变换: )(2121ββαα,,,
=?????
?
? ??-------59133511462
04532
???
??
?? ??-------59134532462
03511
???
??
?
? ??------4620101550462
03511
??
?
?
?
?
?
?
?---0000000023103511
??
?
?
?
?
?
?
?--0000000023101201
=X ???
? ??--2312
因,01≠=X 知X 可逆，取,1-=X Y 即为所求.因此向量组)(21αα,与)(21ββ,等价.
课堂练习
1.求向量组
T T T T )2,5,3(,)1,3,2(,)0,1,1(,)2,4,2(4321====αααα
的一个极大无关组, 并把其余向量用该极大无关组线性表示.
矩阵的秩与向量组的秩一致
矩阵的“秩”，是线性代数第一部分的核心概念。 “矩阵的秩与向量组的秩一致。矩阵的秩就是其行（或列）向量组的秩。”怎样证明？就当做习题练一练。 设矩阵A的秩为r ，则A必有一个r 阶子式不为0，而所有 r + 1阶子式全为 0 逻辑1——r 阶子式不为0，则 r个r 维向量线性无关。 分析这是格莱姆法则推论，带来的直接判别方法。 （画外音：r个未知量 r个方程的齐次线性方程组仅有0 解的充分必要条件是其系数行列式不为0） 逻辑思维链——这r 个r 维向量与A 的行（或列）向量组有何关系？ 逻辑2——（“线性无关，延长无关。”定理）—— 已知一个n 维向量组线性无关，如果在相同的位置，给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。 分析不妨认为给线性无关的n 维向量组a1，a 2，…，a k 的每个向量都加上第n + 1个分量，形成一个n + 1 维向量组b1，b 2，…，b k
若有一组不全为零的数c1，c2，…，c k ，使得c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0 ，如何证明“这组常数只能全为0”？ 每个向量有n + 1 分量，向量“线性组合为0”实际上是n + 1个等式。前n 个等式即 c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0 由已知线性无关即得，这组常数只能全为0，而最后那个（第n + 1个）等式自然成立。 逻辑3 ——将线性无关的 r个r 维向量，逐次延长为矩阵A 的r 个行向量（或列向量），它们线性无关。 （潜台词：简而言之，不为0的r阶子式所在的r个行向量（或列向量）线性无关。） 逻辑思维链（关键问题）——这r 个行向量是行向量组的最大无关组吗？ 唯一信息——A的所有r + 1阶子式全为0 分析不妨设不为0 的r 阶子式就由这r 个行的左起前r 个分量排成。（画外音：画个示意图最好。）
1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组概要
习题4.3 1. (1) []12,1, 3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1, 1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11, 1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=． 分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 4111111 1111110 1011111001111110 01αααα--????????---??? ?=??→???? ---????--???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51 03121 312130110110121725000104 2140 60 000 0ααααα????????--? ???=??→???????????? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11, 1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，
求向量组的秩与极大无关组(修改整理)
求向量组的秩与最大无关组 一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组 1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵 【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等) ①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩． 【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2． 解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为 阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2． 2、求向量组的最大线性无关组的方法 方法1 逐个选录法 给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn ①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1 ②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2； ③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组
【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T T ααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1 取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。 所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法 【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立. 向量组：α1=(1,2,3)T , α2=(-1,2,0)T , α3=(1,6,6)T 由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换 ①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ； ③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组． 【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T , α2=(3,-1,2,0)T , α3=(1,3,4,-2)T , α4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。 解 以α1,α2,α3,α4为列构造矩阵A , 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩： ()???? ? ?-- ? ?==→ ? ? ? ?--????123423141-13-3113305-510,,,324105-51010210-11-2A αααα---?? ? ?→ ? ? ?? 1133011200000000 知r (A )=2, 故向量组的最大无关组含2个向量
1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组
习题4.3 1.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组： (1) []12,1,3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1,1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11,1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=． 分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 41111111111110 1011111001111110001αααα--???? ????---??? ?=??→???? ---???? --???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51031 21 0312130110110121725000104214060 0000ααααα???? ????--? ???=??→???? ??? ? ???? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11,1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，
向量组的等价及向量组的秩
向量组的等价及向量组的秩 一 基本概念 1 设T 是由若干个n 维向量构成的集合，向量12,,,r T ααα∈L ，若有 （1）12,,,r αααL 线性无关； （2）T 中任一向量都可由12,,,r αααL 线性表示。 那么，则称12,,,r αααL 是T 的一个极大无关组。称r 为T 的秩数，若T 无极大无关组，即T 不含非零向量时，称T 的秩数为0。T 的秩数记为()R T 。 2设有n 维向量组Ⅰ：12,,,s αααL 与n 维向量组Ⅱ：12,,,t βββL 。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。 3 矩阵A 的行向量组的秩数称为A 的行秩数；A 的列向量组的秩数称为A 的列秩数。A 的行秩数记为行秩A ；A 的列秩数记为列秩A 。 二 主要结论 1 简化行阶梯形矩阵的性质 （1）主列构成的向量组线性无关； （2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。 （3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。 2 对矩阵A 进行行的初等变换不改变A 的列向量组的线性关系。 3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，n +1个n 维向量必线性相关。 4 设向量组12,,,s αααL 中任一向量都可由向量12,,,t βββL 线性表示。那么，如果s t >，则向量组12,,,s αααL 必线性相关。 等价陈述即其逆否命题为：设向量组12,,,s αααL 中任一向量都可由向量12,,,t βββL 线性表示。那么，如果向量组12,,,s αααL 线性无关，则必有s t ≤。 推论1：向量组T 的极大无关组中所含向量个数被T 所唯一确定。即T 的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。 推论2：设向量组（Ⅰ）中任一向量都可由（Ⅱ）中向量线性表示，则R (Ⅰ)≤ R (Ⅱ)。 推论3：等价的向量组的秩数相等。 5 对任意矩阵A 均有，行秩A =列秩A =R （A ）。
向量组的秩
第四节向量 定义1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)中每一个向量都可由向量组(B)线性表示，则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示。 定义2：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示，而且向量组(B)也可由向量组(A)线性表示，则称向量组(A)和向量组(B)等价。 等价向量组的性质： (1) 反身性：任一向量组和它自身等价。 (2) 对称性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，则向量组(B)也与向量组(A)等价。 (3) 传递性：如果向量组(A)与向量组(B)等价，而向量组(B)与向量组(C)等价，则向量组(A)也与向量组(C)等价。 定理1：设有两个向量组(A)：s ααα,,,21 和(B)：t βββ,,,21 ，如果向量组(B)可由向量组(A)线性表示，且s 向量组的等价及向量组的秩 一 基本概念 1 设T 是由若干个n 维向量构成的集合，向量12,,,r T ααα∈ ，若有 （1）12,,,r ααα 线性无关； （2）T 中任一向量都可由12,,,r ααα 线性表示。 那么，则称12,,,r ααα 是T 的一个极大无关组。称r 为T 的秩数，若T 无极大无关组，即T 不含非零向量时，称T 的秩数为0。T 的秩数记为()R T 。 2设有n 维向量组Ⅰ：12,,,s ααα 与n 维向量组Ⅱ：12,,,t βββ 。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。 3 矩阵A 的行向量组的秩数称为A 的行秩数；A 的列向量组的秩数称为A 的列秩数。A 的行秩数记为行秩A ；A 的列秩数记为列秩A 。 二 主要结论 1 简化行阶梯形矩阵的性质 （1）主列构成的向量组线性无关； （2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。 （3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。 2 对矩阵A 进行行的初等变换不改变A 的列向量组的线性关系。 3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，n +1个n 维向量必线性相关。 4 设向量组12,,,s ααα 中任一向量都可由向量12,,,t βββ 线性表示。那么，如果s t >，则向量组12,,,s ααα 必线性相关。 等价陈述即其逆否命题为：设向量组12,,,s ααα 中任一向量都可由向量12,,,t βββ 线性表示。那么，如果向量组12,,,s ααα 线性无关，则必有s t ≤。 推论1：向量组T 的极大无关组中所含向量个数被T 所唯一确定。即T 的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。 推论2：设向量组（Ⅰ）中任一向量都可由（Ⅱ）中向量线性表示，则R (Ⅰ)≤ R (Ⅱ)。 推论3：等价的向量组的秩数相等。 5 对任意矩阵A 均有，行秩A =列秩A =R （A ）。 求向量组的秩与极大无关组 对于具体给出的向量组，求秩与极大无关组的常用方法如下. 方法1 将向量组排成矩阵： (列向量组时)或(行向量组时) (*) 并求的秩，则即是该向量组的秩；再在原矩阵中找非零的阶子式， 则包含的个列(或行)向量即是的列(或行)向量组的一个极大无关组. 方法2 将列(或行)向量组排成矩阵如(*)式，并用初等行(或列)变换化为行(或列)阶梯形矩阵(或)，则(或)中非零行(或列)的个数即等于向量组的秩，且是该向量组的一个极大无关组，其中是(或)中各非零行(或列)的第1个非零元素所在的列(或行). 方法3 当向量组中向量个数较少时，也可采用逐个选录法：即在向量组中任取一个非零向量作为，再取一个与的对应分量不成比例的向量作为， 又取一个不能由和线性表出的向量作为，继续进行下去便可求得向量组的极大无关组. 对于抽象的向量组，求秩与极大无关组常利用一些有关的结论，如“若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩”，“等价向量组有相同的秩”，“秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组”等. 例1 求向量组，，，， 的秩与一个极大无关组. 解法1 ，所以向量组的秩为3；又中位于1，2，4行及1，2，4列的3阶子式 故是向量组的一个极大无关组(可知；均可作为极大无关组). 法2 由于的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个极大无关组. 例2 求向量组，，，的秩和一个极大无关组. 解 (1) 当且时，，故向量组的秩为3，且是一个极大无关组； (2) 当时，，故向量组的秩为3，且是一个极大无关组； (3) 当时，若，则，此时向量组的秩为2，且是 一个极大无关组.若，则，此时向量组的秩为3，且是一个极大无关组. 例3 设向量组的秩为.又设 ，， 求向量组的秩. 解法1 由于，且 所以 故向量组与等价，从而的秩为. 法2 将看做列向量，则有 求向量组的秩与最大无关组 一、 对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组 1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵 【定理】 矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等) ①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ； ③阶梯形B 中非零行的个数即为所求向量组的秩． 【例1】 求下列向量组a １=(1, 2, 3, 4)，a 2 =( 2, 3, 4, 5)，a 3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a １,a ２,a ３为列向量作成矩阵A ，用初等行变换将A 化为阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2． 解2：以a １,a ２,a ３为行向量作成矩阵A ，用初等行变换将A 化为 阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2． 2、求向量组的最大线性无关组的方法 方法1 逐个选录法 给定一个非零向量组A ：1, 2,…, n ①设1 0，则1线性相关，保留 1 ②加入2，若2与 1线性相关，去掉2；若2与 1线性无关，保留1 ，2； ③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组 【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T T ααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1 取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。 所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法 【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立. 向量组：1=(1,2,3)T , 2=(-1,2,0)T , 3=(1,6,6)T 由上可得，求 §2 向量组的秩 回顾：矩阵的秩 定义：在m×n 矩阵A中，任取k 行k 列(k≤m，k≤n),位于这些行列交叉处的k2 个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k 阶行列式，称为矩阵A的k 阶子式。 规定：零矩阵的秩等于零。 定义：设矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D 称为矩阵 A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。 结论：矩阵的秩 = 矩阵中最高阶非零子式的阶数 = 矩阵对应的行阶梯形矩阵的非零行的行数 向量组的秩的概念 定义1设向量组A中的一个部分组a , a2, …, a r ，满足 1 , a2, …, a r 线性无关； ⑴a 1 ⑵向量组A中任意r + 1个向量(如果有)都线性无关。 则称a , a2, …, a r 是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称 1 最大无关组)； 最大无关组所含向量个数r 称为向量组A的秩，记作R(A)。 例：求矩阵的秩，并求A 的一个最高阶非零子式． 211121121 44622436979A --?? ?- ? = ?-- ?-?? 第二步求A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列，与之对应的是选取矩阵A 的第一、二、四列． 解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 行阶梯形矩阵有3 个非零行，故R (A ) = 3． 211 121 12141121401110~46224000133 69790 0000r A ---???? ? ? -- ? ?= ? ? --- ? ? -???? 012421 1111(,,)~4623 67r A a a a -?? ? ?== ?-- ???0 111011001000B ?? ? ?= ? ??? 向量组的秩和最大线性无关组 引例：对于方程组 12312312 321221332x x x x x x x -+=-??+-=??-+=-? 容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到（或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合）； 由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程组3个方程对应的3个向量来说“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量是2个。 因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量应该有多少个呢？在此我们提出最大线性无关组的概念： 最大线性无关组：在s ααα,,,21 中，存在ip i i ααα,,,21 满足： （1）ip i i ααα,,,21 线性无关； （2）在ip i i ααα,,,21 中再添加一个向量就线性相关。 则称ip i i ααα,,,21 是s ααα,,,21 的一个最大线性无关组， 注： Ⅰ、不难看出条件（2）等价的说法还有s ααα,,,21 中任一向量均可由 ip i i ααα,,,21 线性表示； 或者亦可以说成s ααα,,,21 中任意1p +个向量均线性相关； Ⅱ、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的（即 有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的）； Ⅲ、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第1、2两个方程构成，也可以是第2、3两个方程构成（因为第1个方程可以看成第2、3两个方程的和），因此从其对应的向量组来说，向量组的最大线性无关组是不唯一的； Ⅳ、可以发现，虽然同解的有效方程组的形式可以不一样，但是同解的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的，即从其对应的向量组来说，最大线性无关组虽然不唯一，但是最大线性无关组中所含向量的个数唯一的。这是从数的角度反映了向量组的性质，在此给出向量组的秩的概念： 向量组的秩：称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中ip i i ααα,,,21 是s ααα,,,21 的一个最大线性无关组，则称 s ααα,,,21 的秩为p ，记为12(,,,)s R p ααα=。 例：求向量组123(3,6,4,2,1),(2,4,3,1,0),(1,2,1,2,3),T T T ααα=-=--=-- 4(1,2,1,3,1)T α=-的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无关组表示。 分析：容易发现用定义的形式很难求秩和最大线性无关组，为此我们从方程组和矩阵之间的关系以及方程组和向量组之间的关系可以得到，向量组的秩及其最大线性无关组应该与其对应的矩阵的秩以及矩阵的最高阶非零子式之间有某种关系，为此我们给出： 定理：矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩. 略证：设A 的秩为r ，则在A 中存在r 阶子式0r D ≠，从而r D 所在的r 列线性无关，又A 中的所有的1r +阶子式10r D +=，因此A 中的任意1r +个列向量 向量组的秩和最大线性无关组 引例：对于方程组 1231231 2321221332 x x x x x x x -+=-?? +-=??-+=-? 容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到（或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合）； 由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程组3个方程对应的3个向量来说“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量是2个。 因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量应该有多少个呢？在此我们提出最大线性无关组的概念： 最大线性无关组：在s ααα,,,21 中，存在ip i i ααα,,,21 满足： （1）ip i i ααα,,,21 线性无关； （2）在ip i i ααα,,,21 中再添加一个向量就线性相关。 则称ip i i ααα,,,21 是s ααα,,,21 的一个最大线性无关组， 注： Ⅰ、不难看出条件（2）等价的说法还有s ααα,,,21 中任一向量均可由 ip i i ααα,,,21 线性表示；或者亦可以说成s ααα,,,21 中任意1p +个向量均线性 相关； Ⅱ、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的（即 有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的）； Ⅲ、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第1、2两个方程构成，也可以是第2、3两个方程构成（因为第1个方程可以看成第2、3两个方程的和），因此从其对应的向量组来说，向量组的最大线性无关组是不唯一的； Ⅳ、可以发现，虽然同解的有效方程组的形式可以不一样，但是同解的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的，即从其对应的向量组来说，最大线性无关组虽然不唯一，但是最大线性无关组中所含向量的个数唯一的。这是从数的角度反映了向量组的性质，在此给出向量组的秩的概念： 向量组的秩：称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中ip i i ααα,,,21 是s ααα,,,21 的一个最大线性无关组，则称 s ααα,,,21 的秩为p ，记为12(,,,)s R p ααα= 。 例：求向量组1 23(3,6,4,2,1),(2,4,3,1,0),(1,2,1,2,3), T T T α αα=-=--=-- 4(1,2,1,3,1) T α=-的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无 关组表示。 分析：容易发现用定义的形式很难求秩和最大线性无关组，为此我们从方程组和矩阵之间的关系以及方程组和向量组之间的关系可以得到，向量组的秩及其最大线性无关组应该与其对应的矩阵的秩以及矩阵的最高阶非零子式之间有某种关系，为此我们给出： 定理：矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩. 略证：设A 的秩为r ，则在A 中存在r 阶子式0 r D ≠，从而r D 所在的r 列 线性无关，又A 中的所有的1r +阶子式10r D +=，因此A 中的任意1r +个列向量向量组的等价及向量组的秩
求向量组的秩与极大无关组
求向量组的秩与极大无关组(修改整理)
第2节 向量组的秩(全)
向量组秩和最大线性无关组
向量组的秩和最大线性无关组