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王几何

王几何
王几何

《王几何》教学设计

【教学目标】

知识和能力目标:

1.掌握本文的生字,能够正确读写并解释文中出现的字词;

2.学习选择典型事件表现人物特点。把握各种描写对表现人物性格的作用。过程和方法目标:

1.充分利用教材,启发学生多思,使学生掌握描写人物的方法。

2.本文可以作为学生习作的范例,培养学生的表达能力。

情感态度和价值观目标:

体会作者在文中蕴含的敬佩、尊重老师的感情,培养热爱老师,尊敬老师的良好品德。

【教学重点、难点】

学习选择典型事件表现人物特点。把握各种描写对表现人物性格的作用。【教学方法】

朗读感受法、质疑探究法、讨论分析法

【教学准备】多媒体课件

【教学用时】一课时

【预习作业】

1.找出课文中的生字生词,查字典,给它们注音、解释,并学会运用。

哄.堂大笑绰.号洗耳恭听弥勒

..佛得意忘形铁杵.持之以恒鸦雀无声铭.记

2.阅读全文,概括文章内容。

教学设计

一、导入

同学们,我们在前面的学习中,接触到了两位

老师:蔡芸芝先生和莎莉文老师。她们一个温柔

美丽,深受学生爱戴;一个用自己的爱心、耐心

与智慧为盲聋哑的孩子开启知识的大门。她们都

让人喜爱、难忘。有时在我们的求学生涯中也会

遇到一些另类的老师,他们以自己独特的教学方

式赢得学生的青睐,今天我们就要看到这样一位

老师——王几何。

检查预习作业:

绰.号(chuō)洗耳恭听:专心地听。弥.

勒.佛(mílé)铁杵.(chú)铭.记(míng)

哄.堂大笑(hōng):形容全屋子的人同时大笑。

得意忘形:高兴得无法控制自己。

持之以恒:长久坚持下去。

鸦雀无声:连乌鸦麻雀的声音都没有。形容非

常静。

二、初读课文,整体感知

1.请用简洁的话概括文章的主要内容。

文章记述了王老师给我们上第一节几何课时令人难忘的情形。

2.本文描写的是一节充满笑声的数学课,仔细阅读课文,说说这节课上令人发笑的源头有哪些?

(1)王老师哑笑。(2)王老师公布自己的绰号。(3)王老师让同学们到黑板上画圆和三角形。(4)同学们在黑板上画圆和三角形,却画成了鸡蛋、鸭蛋、苹果、梨和丑陋的三角架。

3.王老师在课堂上展示的绝活是什么?他这样做的用意何在?(用原文语句回答)

反手画圆和三角形。他这样做的用意是向大家说明一个简单朴素的道理——只要功夫深,铁杵可以磨成针! 要大家牢记的是一种热爱知识和持之以恒的学习精神。

三、再读课文,细心品味

1.“同学们对王老师第一堂课的评价只有两个字:痛快!”结合课文内容,说说你对“痛快”的理解。

王老师通过富有感染力的微笑、绝活表演、公布自己的绰号、让学生到黑板上画圆和三角形等,制造了喜剧效果,使学生身心彻底放松,情感得以自由发泄,充分享受了课堂带来的乐趣。

2. 综合全文看,王老师是一个怎样的人?

王老师是一位业务水平极高,幽默风趣,平易近人和严肃集于一身,受学生尊敬和喜爱的好老师。

3.文中的王老师很独特,他给你印象最深的是什么?作者是如何表现出来的?

示例:和蔼——“那矮胖老师一句话不说,像一尊笑面佛一样,只是站在讲台上哑笑。眉梢、眼角、鼻孔、嘴巴、耳朵,可以说,他脸上的每一个器官,每一条皱纹,甚至每一根头发都在微笑!”通过对王老师的外貌描写来表现。幽默——“这就是那些老同学给我取的绰号。天啦,本人太喜欢这美妙的绰号了!可惜,从来没有一个同学当面喊我王几何……”通过对王老师的语言描写来表现。教学有方——“我反手画圆,只是向大家说明一个简单朴素的道理——只要功夫深,铁杵可以磨成针!我要大家牢记的是一种热爱知识和持之以恒的学习精神……”通过对王老师的语言描写来表现。

4.文中除了写了王老师外,还多处写了“我们”的反应,有何作用?

写“我们”的反应,尤其是“我们”的笑,是为了从侧面衬托王老师幽默风趣。同时用我们的反应、感受推动事件的发展,使王老师的形象逐渐完整、鲜明。

四、拓展阅读

良师

①从小学到大学,我碰到过的最好的老师是教六年级科学课的惠特森先生。

②上课第一天,惠特森先生在课上介绍了一种昼伏夜出,早在冰川时期就已灭绝的“怪猫”。他一边进行认真翔实的讲解,一边饶有兴趣地让同学们传看一个头盖骨标本。我们都赶着记笔记,因为课后有一个测验。卷子发下来时,我吃惊地发现我居然

..不及格。我的第一个反应是:肯定出了什么差错。因为我在卷子上写的全都是惠特森先生亲口说的,可眼前的试卷上,每道题目都划着鲜红的叉。紧接着,我发现全班没人及格,到底是怎么回事?事实很简单,惠特森先生事后解释道:“怪猫”完全是他生编乱造出来的。因此,我们的笔记、答卷当然无一例外,全是无稽之谈,世界上压根就不存在这种动物。

③毋庸讳言,我们都给激怒了。这算是什么考试,他还算是个老师!

④可惠特森先生却振振有词:“你们自己应该能够猜得出来。”因为,就在大家传看那个“怪猫”头盖骨时(那事实上是一个家猫头盖骨),他已经明确地告诉我们,它没有留下任何一丝考古线索。可另一方面,他却详细描述了它惊人的敏锐的夜间视觉,它皮毛的颜色以及其他特点。果真如他所说没有可考线索,他又怎么可能获得后面的种种信息?重要的是,“怪猫”这个夸张而可笑的名字居然也没有引起我们的怀疑。惠特森先生说这次考试的分数将记录在案。他说到做到。

⑤惠特森先生希望我们从这件事中吸取教训,时刻记住,无论老师还是教科书,都不可能一贯正确。事实上,世界上没有不犯错误的权威。

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、). (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠; < ②1212120l l A A B B ⊥?+=; 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 (1)圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0).圆心??? ??--2,2E D ,半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k .两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1 =+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式: B C x B A y - - =,即,直线的斜率: B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直 线一般不重合.

高中数学平面解析几何知识点

平面解析几何 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式:1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:1=+b y a x (b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),22122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离:A B x x AB -=. 线段21P P 的中点是),(00y x M ,则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x .

平面解析几何知识点归纳

平面解析几何知识点归纳 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定:当直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0 范围:直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率:)2 (tan π α≠ =a k ,R k ∈ 斜率公式:经过两点),(111y x P ,),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式

能力提升 斜率应用 例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ,则c c f b b f a a f ) (, )(,)(的大小关系 例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ,试求 2 3 ++x y 的最大值和最小值 两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为: 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ;当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们 相交,交点坐标为方程组?? ?+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A

直线间的夹角: ①若θ为1l 到2l 的角,12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ; ②若θ为1l 和2l 的夹角,则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ; ③当0121=+k k 或02121=+B B A A 时,o 90=θ;直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α:) 2 (π θθα≤ =或 )2 (π θθπα>-=; 距离问题 1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-= 2.点到直线距离公式 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为:2 2 00B A C By Ax d +++= 3.两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l :01=++C By Ax , 2l :02=++C By Ax ,则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 4.直线系方程:若两条直线1l :0111=++C y B x A ,2l :0222=++C y B x A 有交点,则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A +++0)(222=++C y B x A λ或 )(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数) 对称问题 1.中点坐标公式:已知点),(),,(2 211y x B y x A ,则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为??? ???? +=+=222121y y y x x x 点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --,直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问

平面解析几何(圆的方程)

平面解析几何——圆的方程 圆的定义与方程 定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程标准(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心(a,b) 半径为r 一般x2+y2+Dx+Ey+F=0 充要条件:D2+E2-4F>0 圆心坐标:(- D 2,- E 2) 半径r= 1 2D 2+E2-4F 【知识拓展】 1.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组; (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程.2.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0) (1)点在圆上:(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点在圆外:(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)20.(√) (4)方程x2+2ax+y2=0一定表示圆.(×) (5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x20+y20+Dx0+Ey0+F>0.(√) 1.(教材改编)将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线是() A.x+y-1=0 B.x+y+3=0

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角α的范围000180α≤< (2)经过两点的直线的斜率公式 是 (3)每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ,其斜率分别为12,k k ,则有1212//l l k k ?=。特别地, 当直线12,l l 的斜率都不存在时,12l l 与的关系为平行。 (2)两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ,则12121l l k k ⊥?=-g 注:两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确;由两直线的斜率 之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点,k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率,b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距, b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线

一般式A,B,C为系数无限制,可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是,两条 直线的交点坐标就是方程组的解,若方程组有唯一解,则这两条 直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平 行;反之,亦成立。 2.几种距离 (1)两点间的距离平面上的两点间的距离公式 (2)点到直线的距离 点到直线的距离; (3)两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注:(1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式; (2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用 公式计算 (二)直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法: 已知 112233 (,),(,),(,), A x y B x y C x y若 123AB AC x x x k k === 或,则有A、B、C三点共 线。 注:斜率变化分成两段,0 90是分界线,遇到斜率要谨记,存在与否需讨论。

平面解析几何基本概念

平面解析几何 基本概念 1. 两点间距离公式:两点坐标),(11b a A ,),(22b a B ,AB 距离 221221)()(||b b a a AB -+-= 2. 有向线段的定比分点 直线l , 有向线段→AB ,点P 在直线l 上,使→ →λ=PB AP ,称λ为P 分有向线段→AB 所成的比。 设),(11y x A ,),(22y x B ,),(y x P ,则 λ +λ+=121x x x ,λ+λ+=121y y y 特别地 1=λ(P 为AB 的中点),221x x x +=,2 21y y y +=。 3. 直线方程 一般式:0=++C By Ax ,(A ,B 不同时为0)斜率; 斜截式:b kx y +=,斜率,截距; 点斜式:)(00x x k y y -=-; 两点式:121121x x x x y y y y --=--; 截距式:1=+b y a x 。 4. 点到直线的距离d 点),(00y x P ,直线l :0=++C By Ax ||2200B A C By Ax d +++= 5. 两条直线的位置

(1) 两条直线平行 斜率相等; (2) 两条直线垂直 121-=k k ; (3) 两条直线相交 01221≠-B A B A (4) 两条相交直线的夹角 ]2 ,0[π∈θ |1|tan 2 112k k k k +-=θ。 (5) 两平行线间距离d 直线1l :01=++C By Ax ,直线2l :02=++C By Ax || 2221B A C C d +-= 6. 圆方程 22020)()(r y y x x =-+- 标准方程 022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )一般方程 7. 直线与圆的位置关系 圆心到直线的距离为d, 半径为r (1) 相交 ;(2)相切; (3)相离。 8. 两个圆的位置关系 公切线的条数 9. 椭圆方程 定义:设21,F F 是两定点,||221F F a >,点的集合 }2|||||{21a MF MF M =+称为椭圆, 椭圆方程122 22=+b y a x ,222b a c -=,0>>b a 焦点坐标 )0,(),0,(21c F c F -

高中数学平面解析几何知识点梳理

平面解析几何 一.直线部分 1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线 重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率: αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式: )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式: 1 21 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式: 1=+b y a x ( b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ). 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线. (5)一般式: 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截距相等....?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111: l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111 =++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 122112212 1//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式: (111(,)P x y 、222(,)P x y ),2 2122121)()(y y x x P P -+-=.x 轴上两点间距离: A B x x AB -=. 线段21P P 的中点是),(0 0y x M ,则??? ???? +=+=22 2 10210y y y x x x . 6.点到直线的距离公式:

高中平面解析几何全一册

高中平面解析几何全一册 第二章圆锥曲线 第二单元圆 一、教法建议 【抛砖引玉】 本单元共有两小节,主要研究圆的标准方程和圆的一般方程。 在初中平面几何我们已经学习了圆的定义和性质,在这里我们根据圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的轨迹,建立了圆的标准方程:(x-a)2+ (y-b)2= r2,它是由在直角坐标第中圆心的坐标(a、b)和半径r所确定的方程,又根据平面几何中所学圆的切线的定义和性质,由圆的标准方程研究了圆的切线方程,并由圆的标准方程解决了一些实际问题。 由于圆的标准方程实际上是一个二元二次方程,我们又研究了一般的二元二次方程与圆的方程的关系,得到了圆的一般方程,最后又研究了用待定系数法求圆的方程。 【指点迷津】 这一单元的重点是圆的标准方程和圆的一般方程,要求学生能由圆心坐标和半径长熟练地写出圆的标准方程,并能由圆的标准方程准确地写出它的圆心坐标和半径长。对于圆的一般方程,要求学生掌握它的特点,会用配方法把一般方程化为标准方程。 由于圆是平面几何中重点学习的图形,学习了圆的很多性质,特别是和圆有关的直线和线段(直线的一部分)的性质,如圆的切线,割线,弦等的性质在这一单元都会用到,教师可概括学习内容适当地复习有关性质,并启发学生在解题中运用性质,可以顺利解决有关问题。 圆的切线也是这个单元的重要内容,它主要研究了过圆上一点的圆的切线,过圆外一点的圆的切线,已知斜率的圆的切线,要求学生掌握求各种条件下切线的方法,在此基础上也可以总结出一些带规律性的东西,适当记忆,加快解题速度,特别是解选择题和填空题,如:过圆x2 + y2 = r2上一点(x1,y1)的切线方程是x1x + y1y = r2

平面解析几何知识点总结

基本要求 ①.掌握两条直线平行、垂直的条件,能根据直线方程判断两条直线的位置关系; ②.掌握两条直线的夹角公式、到角公式和点到直线的距离公式。 ③.掌握圆的标准方程和一般方程. ④.掌握圆的方程的两种形式,并能合理合理运用; ⑤.灵活运用圆的几何性质解决问题. 1直线方程的五种形式 点斜式:)(00x x k y y -=-, (斜率存在) 斜截式:b kx y += (斜率存在) 两点式:1 21121x x x x y y y y --=--,(不垂直坐标轴) 截距式: 1=+b y a x (不垂直坐标轴,不过原点) 一般式:0=++C By Ax 2.直线与直线的位置关系: (1)有斜率的两直线l 1:y=k 1x+b 1;l 2:y=k 2x+b 2; 有:①l 1∥l 2?k 1=k 2且b 1≠b 2;②l 1⊥l 2?k 1·k 2=-1; ③l 1与l 2相交? k 1≠k 2 ④l 1与l 2重合?k 1=k 2 且b 1=b 2。 (2)一般式的直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0 有:①l 1∥l 2?A 1B 2-A 2B 1=0;且B 1C 2-B 2C 1≠0 ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0 ③l 1与l 2相交? A 1B 2-A 2B 1≠0 ④l 1与l 2重合? A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1=0。 3.点与直线的位置关系: 点P (x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离:2200B A C By Ax d +++=。 平行直线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0之间的距离为222 1B A C C d +-= 两点间距离公式:12||PP = .4直线系方程 ①过直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0交点的直线系方程为:A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2)=0(λ∈R )(除l 2外)。 ②过定点00(,)M x y 的直线系方程为)(00x x k y y -=-(其中不包括直线0x x =) ③和直线0=++C By Ax 平行的直线方程为'0Ax By C ++=(')C C ≠ ④和直线0Ax By C ++=垂直的直线方程为'0Bx Ay C -+= 5.圆的定义:平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆. 在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 6.圆的方程(1)标准式:(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0),其中r 为圆的半径,(a ,b)为圆心。 (2)一般式:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0),其中圆心为(,)22D E --(3) 参数方程:cos sin x r y r αα=??=?,???+=+=)(sin cos 是参数αααr b y r a x .消去θ可得普通方程

平面解析几何(解析版)

专题05 平面解析几何 1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为 A .2 212 x y += B .22 132x y += C .22 143 x y += D .22 154 x y += 【答案】B 【解析】法一:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=. 在1AF B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233 n n n F AB n n +-∠==??. 在12AF F △中,由余弦定理得2 2 14422243n n n n +-??? = ,解得n = 2 2 2 24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22 132 x y +=,故选B . 法二:由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===, 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=. 在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得222122 2144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ?+-???∠=?+-???∠=?, 又2121,AF F BF F ∠∠互补,2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=,两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠, ,得

平面解析几何(圆的方程)

平面解析几何——圆的方程 圆的定义与方程 【知识拓展】 1.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为 (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于a ,b ,r 或D 、E 、F 的方程组; (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程. 2.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2,点M (x 0,y 0) (1)点在圆上:(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2; (2)点在圆外:(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2; (3)点在圆内:(x 0-a )2+(y 0-b )20.( √ ) (4)方程x 2+2ax +y 2=0一定表示圆.( × ) (5)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外,则x 20+y 2 0+Dx 0+Ey 0+F >0.( √ ) 1.(教材改编)将圆x 2+y 2-2x -4y +1=0平分的直线是( ) A .x +y -1=0 B .x +y +3=0

平面解析几何(经典)习题

平面解析几何(经典)练习题 一、选择题 1.方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 ( ) A .2条重合的直线 B .2条互相平行的直线 C .2条相交的直线 D .2条互相垂直的直线 2.直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称,l 1的方程为y = ax + b ,那么l 2的方程为 ( ) A .a b a x y -= B .a b a x y += C .b a x y 1 += D .b a x y += 3.过点A (1,-1)与B (-1,1)且圆心在直线x+y -2=0上的圆的方程为 ( ) A .(x -3)2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4 C .4(x +1)2+(y +1)2=4 D .(x -1)2+(y -1)2= 4.若A(1,2),B(-2,3),C(4,y )在同一条直线上,则y 的值是 ( ) A .2 1 B .23 C .1 D .-1 5.圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 ( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .随a 值变化而变化 6.已知半径为1的动圆与定圆22(5)(7)16x y -++=相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A .22(5)(7)25x y -++= B .22(5)(7)3x y -++= 或22(5)(7)15x y -++= C .22(5)(7)9x y -++= D .22(5)(7)25x y -++= 或22(5)(7)9x y -++= 7.直线kx -y +1=3k ,当k 变动时,所有直线都通过定点 ( ) A .(0,0) B .(0,1) C .(3,1) D .(2,1) 8.下列说法的正确的是 ( ) A .经过定点() P x y 000,的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B .经过定点()b A ,0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C .不经过原点的直线都可以用方程 x a y b +=1表示 D .经过任意两个不同的点() ()222111y x P y x P ,、,的直线都可以用方程 ()()()()y y x x x x y y --=--121121表示 9.已知两定点A (-3,5),B (2,15),动点P 在直线3x -4y +4=0上,当PA +PB 取 最小值时,这个最小值为 ( ) A .513 B .362 C .155 D .5+102

平面解析几何知识点归纳

平面解析几何知识点归纳

平面解析几何知识点归纳 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定:当直线l 与x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0 范围:直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率:)2 (tan πα≠=a k ,R k ∈ 斜率公式:经过两点),(1 1 1 y x P ,),(2 2 2 y x P ) (21 x x ≠的直线的斜率公 式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式

能力提升 斜率应用 例1.已知函数) 1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ,则c c f b b f a a f ) (, )(,)(的大小关系 例2.已知实数y x ,满足) 11(222 ≤≤-+-=x x x y ,试求2 3++x y 的最大值和最小值

两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为:2 22111 ::b x k y l b x k y l +=+=或0 :0:22221111 =++=++C y B x A l C y B x A l ;当 2 1k k ≠或1 22 1 B A B A ≠时它们相交,交点坐标为方程组? ??+=+=2 2 11 b x k y b x k y 或???=++=++0 222 111C y B x A C y B x A 直线间的夹角: ①若θ为1 l 到2 l 的角,121 2 1tan k k k k +-=θ或2 1211 2 2 1 tan B B A A B A B A +-=θ; ②若θ为1 l 和2 l 的夹角,则1 21 2 1tan k k k k +-=θ或2 1211221tan B B A A B A B A +-= θ; ③当0 12 1=+k k 或0 212 1 =+B B A A 时,o ;直线1 l 到2 l 的角θ与1 l 和2 l

平面解析几何知识点

1.直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线,如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. (2)直线的斜率:αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k .(111(,)P x y 、222(,)P x y ). 2.直线方程的五种形式: (1)点斜式:)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ,且斜率为k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为0x x =. (2)斜截式:b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式: 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠,12x x ≠). 注:① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线; ② 方程形式为:0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时,方程可以表示 任意直线. (4)截距式: 1=+b y a x ( b a ,分别为x 轴y 轴上的截距,且0,0≠≠b a ) . 注:不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线,特别是不能表示 过原点的直线. (5)一般式:0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0). 一般式化为斜截式:B C x B A y -- =,即,直线的斜率:B A k -=. 注:(1)已知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+或0x =. 已知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时,m 为k 的 倒数)或0y =. 已知直线过点00(,)x y ,常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条 直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. (1)直线在两坐标轴上的截.距相等...?直线的斜率为1-或直线过原点. (2)直线两截距互为相反数.......?直线的斜率为1或直线过原点. (3)直线两截距绝对值相等.......?直线的斜率为1±或直线过原点. 4.两条直线的平行和垂直: (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?; ② 12121l l k k ⊥?=-. (2)若0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且.② 0212121=+?⊥B B A A l l . 5.平面两点距离公式:

平面解析几何基础知识

§07. 直线和圆的方程 知识要点 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与x 轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤. 注:①当 90=α或12x x =时,直线l 垂直于x 轴,它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与x 轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地,当直线经过两点),0(),0,(b a ,即直线在x 轴,y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时,直线方程是:1=+b y a x . 注:若232--=x y 是一直线的方程,则这条直线的方程是23 2 --=x y ,但若)0(23 2 ≥-- =x x y 则不是这条线. 附:直线系:对于直线的斜截式方程b kx y +=,当b k ,均为确定的数值时,它表示一条确定 的直线,如果b k ,变化时,对应的直线也会变化.①当b 为定植,k 变化时,它们表示过定点(0,b )的直线束.②当k 为定值,b 变化时,它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行: 1l ∥212k k l =?两条直线平行的条件是:①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. (一般的结论是:对于两条直线21,l l ,它们在y 轴上的纵截距是21,b b ,则1l ∥212k k l =?,且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在,即2121A B B A =是平行的必要不充分条件,且21C C ≠) 推论:如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直: 两条直线垂直的条件:①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ,则有12121-=?⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=?⊥k l l ,且2l 的斜率不存在或02=k ,且1l 的斜率不存在. (即01221=+B A B A 是垂直的充要条件) 4. 直线的交角: ⑴直线1l 到2l 的角(方向角);直线1l 到2l 的角,是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ,它的范围是),0(π,当 90≠θ时2 11 21tan k k k k +-= θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角:两条相交直线1l 与2l 的夹角,是指由1l 与2l 相交所成的四 个角中最小的正角θ,又称为1l 和2l 所成的角,它的取值范围是 ? ??? ?2,0π,当 90≠θ,则有 2 11 21tan k k k k +-= θ.

高中平面解析几何习题(含答案与解析)

平面解析几何式卷七 一、选择题 1、从点P (m , 3)向圆(x + 2)2 + (y + 2)2 = 1引切线, 则一条切线长的最小值为 A . B .5 C . D . 2、若曲线x 2-y 2 = a 2与(x -1)2 + y 2 = 1恰有三个不同的公共点, 则a 的值为 A .-1 B .0 C .1 D .不存在 3、曲线有一条准线的方程是x = 9, 则a 的值为 A . B . C . D . 4、参数方程 所表示的曲线是 A .椭圆的一部分 B .双曲线的一部分 C .抛物线的一部分, 且过点 D .抛物线的一部分, 且过点 5、过点(2, 3)作直线l , 使l 与双曲线恰有一个公共点, 这样的直线l 共有 A .一条 B .二条 C .三条 D .四条 6、定义离心率为的椭圆为“优美椭圆”, 设(a > b > 0)为“优美椭圆”, F 、A 分别是它的左焦点和右顶点, B 是它的短轴的一个端点, 则DABF 为 A .60° B .75° C .90° D .120° 7、在圆x 2 + y 2 = 5x 内, 过点有n 条弦的长度成等差数列, 最小弦长为数列的首项a , 最大弦长为a n , 若公差, 则n 的取值集合为 A . B . C . D . 8、直线与圆x 2 + y 2 = 1在第一象限内有两个不同的交点, 则m 的取值范围是 A .1 < m < 2 B . C . D . 二、填空题 1若直线过点(1,2),(3,24 ),则此直线的倾斜角是

2、已知直线l 的斜率[] 3,1-∈k ,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 。 3、设直线过点()a ,0,其斜率为1,且与圆222=+y x 相切,则a 的值为 。 4、若过点A (4,0)的直线l 与曲线()122 2=+-y x 有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 。 5、“1=a ”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的 条件。(在① 充分不必要;② 必要不充分;③ 充要;④ 既不充分也不必要中选一个填空) 6、 已知圆M 经过直线l :042=-+y x 与圆C : 01422 2=+-++y x y x 的两个交点,并且有最小面积,则圆M 的方程为 。 7、 在坐标平面内,与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有 条。 8、 如果点()a ,5在两条平行直线05430186=+-=+-y x y x 和之间,且a 为整数,则=a 41log 。 三、解答题 1、求经过点)2,1(A 且到原点的距离等于1的直线方程. 2、已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为 21的点的轨迹,则求此曲线的方程. 3、求垂直于直线0743=--y x ,且与两坐标轴构成周长为10的三角形的直线方程 4、.自点A(-3,3)发出的光线L 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切,求光线L 所在直线的方程. 5、已知三点A(1,-1),B(4,2m),C(2m ,0)共线,求m 的值. 6、已知直线(a+2)x+(a 2 -2a-3)y-2a=0在x 轴上的截距为3,求直线在y 轴上的截距. 7、.求经过点A(-3,4),且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程. 8、求经过两点A(-1,4)、B(3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程. 参考答案 选择1、A 2、B3、D 4、D5、D6、C7、A 8、A 填空1、6π2、????????????πππ,433,0 。3、 2± 4、1- 5、③ 6、545145322=??? ??-+??? ??-y x 7、2 8、 ?? ????-3333,

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