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三角函数与平面向量学生版

三角函数与平面向量学生版
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一对一个性化辅导教师授课学案

学生姓名 年级 高三 科目 数学 授课老师 相老师 总课时数

第几次课

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本次课课题 三角函数的图象与性质

教学目标

授课内容

教 学 内 容

【高考考情解读】 1.对三角函数的图象和性质的考查中,以图象的变换,函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容,并且往往与三角变换公式相互联系,有时也与平面向量,解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现,如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查,题目难度为中、低档.

1. 三角函数定义、同角关系与诱导公式

(1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),则sin α=y ,cos

α=x ,tan α=y

x .各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.

(2)同角关系:sin 2α+cos 2α=1,sin α

cos α

=tan α.

(3)诱导公式:在k π

2+α,k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.

2. 三角函数的图象及常用性质 函数 y =sin x

y =cos x

y =tan x

图象

单调性

在[-

π2+2k π,π2

+2k π](k ∈Z )上单调递增;在[π2+2k π,3π

2+

2k π](k ∈Z )上单调递减

在[-π+2k π,2k π](k ∈Z )上单调递增;在[2k π,π+2k π](k ∈Z )上单调递减

在(-π2+k π,π

2+

k π)(k ∈Z )上单调递增

对称性

对称中心:(k π,0)(k ∈Z );

对称轴:x =π

2

+k π(k ∈Z )

对称中心:(π

2+k π,0)(k ∈Z );

对称轴:x =k π(k ∈Z )

对称中心:(k π2

,0)(k ∈Z )

3. 三角函数的两种常见变换

考点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题

例1 (1)如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P (x ,y ).若初始位置为P 0??

?

?

32,12,当秒针从P 0(此时t =0)正常开始走时,那

么点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为

( )

A .y =sin ????π30t +π

6 B .y =sin ????-π60t -π

6 C .y =sin ???

?-π30t +π6

D .y =sin ???

?-π30t -π3 (2)已知点P ????sin 3π4,cos 3π

4落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为

( )

A.π4

B.3π

4

C.5π

4

D.7π4

弄清三角函数的概念是解答本题的关键.

(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常

借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关.

(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.

(1)已知α∈(-π,0),tan(3π+α)=13

,则cos ????32π+α的值为 ( )

A.10

10

B .-

1010

C.31010

D .-31010

(2)如图,以Ox 为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P ,已知点P 的坐标为????-35,45.求sin 2α+cos 2α+11+tan α的值.

考点二 三角函数y =A sin(ωx +φ)的图象及解析式

例2 函数f (x )=sin(ωx +φ)(其中|φ|<π

2

)的图象如图所示,为了得到

g (x )=sin ωx 的图象,则只要将f (x )的图象

( )

A .向右平移π

6个单位

B .向右平移π

12个单位

C .向左平移π

6个单位

D .向左平移π

12

个单位

(1)已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数

法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A ;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.

(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于

其中的自变量x 而言的,如果x 的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

(1)(2013·四川)函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π

2

)的部

分图象如图所示,则ω,φ的值分别是 ( )

A .2,-π

3

B .2,-π

6

C .4,-π

6

D .4,π

3

(2)(2012·浙江)把函数y =cos 2x +1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )

(3)已知函数f (x )=3sin 2x -2sin 2x +2,x ∈R . ①求函数f (x )的最大值及对应的x 的取值集合; ②画出函数y =f (x )在[0,π]上的图象.

考点三 三角函数的性质

例3 (2012·北京)已知函数f (x )=(sin x -cos x )sin 2x

sin x

.

(1)求f (x )的定义域及最小正周期; (2)求f (x )的单调递增区间.

先化简函数解析式,再求函数的性质.

函数y =A sin(ωx +φ)的性质及应用的求解思路

第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y =A sin(ωx +φ)+B 的形式;

第二步:把“ωx +φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y =A sin(ωx +φ)+B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

(1)已知函数f (x )=sin x +cos x ,g (x )=sin x -cos x ,有下列四个命题:

①将f (x )的图象向右平移π

2个单位可得到g (x )的图象;

②y =f (x )g (x )是偶函数;

③f (x )与g (x )均在区间????-π4,π

4上单调递增; ④y =f (x )

g (x )

的最小正周期为2π.

其中真命题的个数是

( )

A .1

B .2

C .3

D .4

(2)(2013·安徽)已知函数f (x )=4cos ωx ·sin ?

???ωx +π

4(ω>0)的最小正周期为π. ①求ω的值;

②讨论f (x )在区间????0,π

2上的单调性.

1.求函数y =A sin(ωx +φ)(或y =A cos(ωx +φ),或y =A tan(ωx +φ))的单调区间

(1)将ω化为正.

(2)将ωx +φ看成一个整体,由三角函数的单调性求解. 2. 已知函数y =A sin(ωx +φ)+B (A >0,ω>0)的图象求解析式

(1)A =y max -y min 2,B =y max +y min

2.

(2)由函数的周期T 求ω,ω=2π

T

.

(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.

3. 函数y =A sin(ωx +φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点. 4. 求三角函数式最值的方法

(1)将三角函数式化为y =A sin(ωx +φ)+B 的形式,进而结合三角函数的性质求解. (2)将三角函数式化为关于sin x ,cos x 的二次函数的形式,进而借助二次函数的性质求解. 5. 特别提醒:

进行三角函数的图象变换时,要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.

1. 假设若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“互为生成函

数”.给出下列函数:

①f (x )=sin x -cos x ;②f (x )=2(sin x +cos x ); ③f (x )=2sin x +2;④f (x )=sin x . 则其中属于“互为生成函数”的是

( ) A .①②

B .①③

C .③④

D .②④

2. 已知函数f (x )=sin ωx ·cos ωx +3cos 2ωx -3

2

(ω>0),直线x =x 1,x =x 2是y =f (x )图象的任意两条对称轴,且|x 1-x 2|的最小值为π4

.

(1)求f (x )的表达式;

(2)将函数f (x )的图象向右平移π

8个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为

原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,若关于x 的方程g (x )+k =0在区间[0,π

2

]上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.

当堂练习

. (推荐时间:60分钟)

一、选择题

1. 点P 从(1,0)出发,沿单位圆x 2+y 2=1逆时针方向运动2π

3

弧长到达Q 点,则Q 点

的坐标为

( )

A.???

?-12,32

B.?

???-

32,-12 C.????-12

,-3

2

D.?

??

?-

32,12

2. 已知α为第二象限角,sin α+cos α=3

3

,则cos 2α等于

( ) A .-

5

3

B .-

5

9

C.5

9

D.53

3. 将函数y =cos ???

?x -π

3的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移π

6个单位,所得函数图象的一条对称轴是

( )

A .x =π4

B .x =π

6

C .x =π

D .x =π

2

4. 若函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π

2)在一个周期内的图象如

图所 示,M ,N 分别是这段图象的最高点与最低点,且OM →·ON →

=0,则A ·ω等于

( ) A.π

6

B.7π12

C.

7π6

D.

7π3

5. 已知函数f (x )=2sin(ωx +φ) (ω>0)的图象关于直线x =π

3

对称,且f ????π12=0,则ω的最小值为

( )

A .2

B .4

C .6

D .8

6. (2013·江西)如图,已知l 1⊥l 2,圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t =0时与l 2相切于点A ,圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ,令y =cos x ,则y 与时间t (0≤t ≤1,单位:s)的函数y =f (t )的图象大致为

( )

二、填空题

7. 已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若P (4,y )是角θ终边上一点,

且sin θ=-25

5

,则y =________.

8. 函数f (x )=sin πx +cos πx +|sin πx -cos πx |对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立,

则|x 2-x 1|的最小值为________..

9. 已知f (x )=2sin ????2x -π6-m 在x ∈[0,π

2

]上有两个不同的零点,则m 的取值范围为________.

10.关于函数f (x )=sin 2x -cos 2x 有下列命题:

①y =f (x )的周期为π;②x =π

4是y =f (x )的一条对称轴;③????π8,0是y =f (x )的一个对称中心;④将y =f (x )的图象向左平移π

4个单位,可得到y =2sin 2x 的图象,其中

正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上). 三、解答题

11.(2013·山东)设函数f (x )=

3

2

-3sin 2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0),且y =f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π

4.

(1)求ω的值;

(2)求f (x )在区间????π,3π

2上的最大值和最小值.

12.(2012·湖南)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)?

???x ∈R ,ω>0,0<φ<π

2的部分图象如图所示.

(1)求函数f (x )的解析式;

(2)求函数g (x )=f ????x -π12-f ????x +π

12的单调递增区间.

课后作业

课后反馈

教师填写

1、学生课堂表现 很积极 一般 不积极

2、作业完成情况

完成率 正确率

学生填写 3、学生对本次课 的评价 特别满意

满意

一般

学生

签字

配合需求: 1、需要家长 2、需要班主任

高中数学_三角函数公式大全全部覆盖

三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取..一点),(y x P ,记:22y x r +=, 正弦:r y =αsin 余弦:r x =αcos 正切:x y = αtan 注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单位圆有关的有向..线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系:α α αcos sin tan = , 平方关系:1cos sin 22=+αα, 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名不变,符号看象限) ⑵ απ +2、απ-2 、απ+23、απ -23的三角函数值,等于α的异名函数值, 前面加上一个把α看成..锐角时原函数值的符号。(口诀:函数名改变,符号看象限) 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形:(规律:降幂扩角,升幂缩角) αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式) ααα2tan 1tan 22sin +=,ααα22tan 1tan 12cos +-=,α α α2 tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切.. 来表示。 七、辅助角公式 )sin(cos sin 22?++=+x b a x b x a () 其中:角?的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同, 2 2sin b a b += ?,2 2cos b a a += ?,a b = ?tan 。 八、正弦定理

高中数学三角函数平面向量解三角形练习题必修4

三角函数、平面向量、解三角形 一、选择题(每小题5分,共50分) 1.化简cos15cos45cos75sin45??-??的值为( ) A. 12- B. C.12 D. -2.设向量,a b 满足:1||=a , 2||=b , ()0a a b ?+=, 则a 与b 的夹角是( ) A .ο30 B .ο60 C .ο90 D .ο120 3.已知角α的终边经过点)60cos 6,8(0--m P ,且5 4cos -=α,则m 的值为( ) A 21 B 2 1- C 23- D 23 4.设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ =+-+∈,则函数()f x 是( ) A .最小正周期为π的奇函数 B .最小正周期为π的偶函数 C .最小正周期为 2π的奇函数 D .最小正周期为2π的偶函数 5.已知平面向量(1,2)a =r ,(2,)b m =-r ,且a r //b r ,则23a b +r r =( ) A .(5,10)-- B .(4,8)-- C .(3,6)-- D .(2,4)-- 6.已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4 πα-等于( ) A.17 - B.7- C.71 D.7 7.函数2tan 2tan 12x y x =-的最小正周期为( ) A .π B .2π C .4π D . 2 π 8.在ABC ?中,M 是BC 的中点,1AM =,点P 在AM 上且满足2AP PM =u u u r u u u u r ,则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 (A )49- (B )43- (C )43 (D) 49 ( )

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注:奇变偶不变,符号看象限。 注:三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 注:三角函数值等于α的 异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:

函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式:(符号的选择由 2 θ 所在的象限确定) ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式:

平面向量与三角函数教案

平面向量与三角函数教案

1 第十讲 平面向量及其应用 例1:△ABC 中,点D 在边AB 上,CD 平分∠ACB.若CB →=a ,CA →=b ,|a |=1,|b |=2,则CD →= ( ) 例题 2.如图,在直角梯形ABCD 中, ,1,3 AB AD AD DC AB ⊥===,动点P 在BCD ?内 运动,(含边界), 设 () ,AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r ,则αβ+的取值范围 是 . 例3.设P 是ABC ?内一点,满足()()() 21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r . 则x 的取值范围是 . .已知△ABC 中,过重心G 的直线交边AB 于P ,交边AC 于Q ,设△APQ 的面积为1 S ,△ABC 的面积为2 S , AP pPB =u u u r u u u r , AQ qQC =u u u r u u u r , 则(ⅰ)pq p q =+ , (ⅱ)12 S S 的取值范围是 .

例1. 在 ABC V 中, 60,3, B A C ∠=o 则 2AB BC +的最大值为 _________. 例2. 在锐角△ABC 中,tan A = t + 1,tan B = t - 1,则t 的取值范围是_________. 例3. 在△ABC 中,设AD 为BC 边上的高,且AD = BC , b , c 分别表示角B ,C 所对的边长,则b c c b +的取值范围是____________. 例4. 在等边ABC V 中,点P 在线段AB 上,满足,AP AB λ=uu u r uu u r 若, CP AB PA PB ?=?uu r uu u r uu r uu r 则实数λ的值是_________. 例5. 在ABC V 中有如下结论:“若点M 为ABC V 的重心, 则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r ”,设a ,b ,c 分别为ABC V 的内角A ,B ,C 的对边,点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB ++=uuu r uuu r uuu r r , 则内角A 的大小为_________;若a =3,则ABC V 的面积为_________. 例6. 点O 为△ABC 的外心,已知AB =3,AC = 2,若 AO xAB y AC =+uuu r uu u r uuu r ,x + 2y = 1,则cos B = _________. 例7. 如图,平面内有三个向量,,,其中OA u u u r 与OB u u u r 的 夹角为120°,OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为150°,且 1 OA OB ==u u u r u u u r , 23 OC =u u u r 若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r ,,则 λμ +的值为_________. A O B x y 1 23 5.0- 3 -

高中常用三角函数公式大全

高中常用三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa

cos( 2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2 (tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 其它公式 a?sina+b?cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc= a b ] a?sin(a)-b?cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2 a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2 a )2 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin (2kπ+α)= sinα cos (2kπ+α)= cosα tan (2kπ+α)= tanα cot (2kπ+α)= cotα 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin (π+α)= -sinα cos (π+α)= -cosα tan (π+α)= tanα cot (π+α)= cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:

三角函数、平面向量综合题六类型

三角函数与平面向量综合题的六种类型 题型一:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例1】(2007年高考安徽卷)已知04 πα<<,β为()cos(2)8 f x x π =+的最小正 周期,(tan(),1),(cos ,2),4a b a b m βαα=+-=?= ,求22cos sin 2()cos sin ααβαα ++-的值. 【解答】因为β为()cos(2)8 f x x π =+ 的最小正周期,故βπ=.因为a b m ?= , 又cos tan()24a b βαα?=?+- ,故cos tan()24 m βαα?+=+. 由于04 π α<< ,所以 2 2cos sin 2() cos sin ααβαα ++= -2 2cos sin(22) cos sin ααπαα ++- 2 2cos sin 2cos sin αααα += -2cos (cos sin ) cos sin ααααα +=-1tan 2cos 1tan ααα +=?- cos tan()24 m β αα=?+ =+. 【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式,然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形,以期达到与题设条件或待求结论的相关式,找准时机代入 求值或化简。 题型二:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 【例2】 (2006年高考浙江卷)如图,函数2sin(),y x x R π?=+∈(其中02 π ?≤≤) 的图像与y 轴交于点(0,1)。 (Ⅰ)求?的值; (Ⅱ)设P 是图像上的最高点,M 、N 是图像与x 轴的交点,求PM 与P N 的夹角。 【解答】(I )因为函数图像过点(0,1), 所以2sin 1,?=即1sin .2?= 因为02 π ?≤≤ ,所以6 π ?= . (II )由函数2sin()6 y x π π=+ 及其图像,得1 15 (,0),(,2),(,0),636 M P N - - 所以11 (,2),(,2),22 P M P N =-=- 从而 cos ,|||| PM PN PM PN PM PN ?<>=? 1517=,故,P M P N <>= 15arccos 17 .

平面向量与三角函数的综合应用

微点深化 平面向量与三角函数的综合应 用 平面向量与三角函数是高中数学的两个重要分支,内容繁杂,且平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇命题,都会出现交汇问题中的难点,对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”,再利用三角函数的相关知识进行求解. 【例1】 (2017·江苏卷)已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(3,-3),x ∈[0,π]. (1)若a ∥b ,求x 的值; (2)记f (x )=a ·b ,求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ,∴3sin x =-3cos x ,∴3sin x +3cos x =0, 即sin ? ?? ??x +π6=0.∵0≤x ≤π,∴π6≤x +π6≤76π,∴x +π6=π,∴x =5π6. (2)f (x )=a·b =3cos x -3sin x =-23sin ? ????x -π3. ∵x ∈[0,π],∴x -π3∈??????-π3,2π3,∴-32≤sin ? ?? ??x -π3≤1,∴-23≤f (x )≤3, 当x -π3=-π3,即x =0时,f (x )取得最大值3; 当x -π3=π2,即x =5π6时,f (x )取得最小值-2 3. 【例2】 (2018·南京模拟)已知向量a =(2cos α,sin 2α),b =(2sin α,t ),α∈? ?? ??0,π2,t 为实数. (1)若a -b =? ?? ??25,0,求t 的值; (2)若t =1,且a ·b =1,求tan ? ?? ??2α+π4的值. 解 (1)因为向量a =(2cos α,sin 2α),b =(2sin α,t ),且a -b =? ?? ??25,0,

三角函数与平面向量(好)

三角函数与平面向量 一:考点分析 小题主要考查三角函数图象与性质,利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定 理求值化简,有时与向量相结合。大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。 1任意角的三角函数: (1)弧长公式:I |aR R 为圆弧的半径,a 为圆心角弧度数,I 为弧长。 cosa 2.已知 tan -- =2,,则 3sin 2一一 -cos sin -- +1=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 3 .已知sin 、,2 cos .. 3 , 则tan ( ) A.二 B .2 C D . 2 2 2 4.若 sin(— 3 1 5 ) ,贝U cos(—— )的值为 ( ) A 1 f 1 2 2 2^2 A. — B. c. D. 3 3 3 3 类型二:三角恒等变换 1.若 sin( ) 4 5 (o,—), 则sin 2 cos 的值等于 5 2 2 2.若 cos2 2 则cos +sin 的值为 sin( 4) 2 3.已知角 e 的顶点与原点重合,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 n 类型一: 诱导公式的应用 3 sin(2 ) cos(3 ) cos( ) 1 .化简: 2 sin( )sin(3 ) cos( ) (4)诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限) (2) 扇形的面积公式: S llR R 2 (3) 同角三角函数关系式:商数关系: 为圆弧的半径,I 为弧长。 , sin a tana 平方关系: sin 2a cos 2 a 1 k 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性; 2 y = 2x 上,则

高中三角函数公式大全

高中三角函数公式大全 2009年07月12日星期日19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan( 3+a)·tan(3-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A cos(2 A )=2cos 1A tan(2 A )=A A cos 1cos 1cot(2A )= A A cos 1cos 1tan(2A )=A A sin cos 1=A A cos 1sin 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a cos 2 b a

sina-sinb=2cos 2b a sin 2 b a cosa+cosb = 2cos 2b a cos 2 b a cosa-cosb = -2sin 2b a sin 2 b a tana+tanb=b a b a cos cos )sin(积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2-a) = cosa cos( 2-a) = sina sin( 2+a) = cosa cos(2 +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2)2 (tan 12tan 2a a cosa=22)2 (tan 1)2(tan 1a a

三角函数及平面向量知识点总结

三角函数 1. 正角:逆时针旋转;负角:顺时针旋转。 2. 时针在1小时内所转的角度为-30; 分针在1小时内所转的角度为-360。 3. 一般地,与角α终边相同的角的集合为:{} 360,k k ββα=?+∈Z 。 4. 终边落在直线上的角用180k α?+表示。 5. 1,,2 L S LR R α===弧长弧度数即面积半径 (经常联系起来考察)。 6. 180()rad π=。 7. 对任意角α :(() sin cos tan 0y r r x r y x x ααα= == =≠正弦:余弦:正切: 8. + + - + - + - - - + + - s i n α cos α tan /cot αα 9. 22sin sin cos 1,tan cos ααααα +== “知其一就可以求其二”。 10. ()()()sin sin cos cos tan tan αααααα-=--=-=-奇函数 偶函数奇函数 诱导公式关键步骤:(1)把α看成锐角;(2)确定符号;(3)确定函数名称。(π±同名函数,322 ππ±±或需换函数名称)

11. 周期函数:()()f x T f x +=。 不是任何函数都有最小正周期。 12. 一般地,()sin y A x ω?=+及()cos y A x ω?=+() ,,A ω?其中为常数的周期2T πω=;()tan y A x ω?=+的周期T πω =。 13. 函数图象: y =tanx y =cotx

14. 函数性质: (注:表中k 均为整数) 15. 图象平移:以sin y x =变换到4sin(3)3 y x π=+为例 sin y x =向左平移 3 π 个单位 (左加右减) s i n 3y x π? ?=+ ??? 横坐标变为原来的 13倍(纵坐标不变) sin 33y x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍(横坐标不变) 4sin 33y x π??=+ ?? ? sin y x =横坐标变为原来的1 3 倍(纵坐标不变)()sin 3y x = 向左平移 9π个单位 (左加右减) sin 39y x π??=+ ???sin 33x π? ?=+ ?? ? 纵坐标变为原来的4倍(横坐标不变)4sin 33y x π??=+ ? ? ? 注意:在变换中改变的始终是X 。 注意:阅读章节后链接的内容,特别是反三角的表示。

(完整版)高中三角函数公式大全整理版

高中三角函数公式大全 sin30°=1/2 sin45°=√2/2 sin60°=√3/2 cos30°=√3/2 cos45°=√2/2 cos60°=1/2 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 cot30°=√3 cot45°=1 cot60°=√3/3 sin15°=(√6-√2)/4 sin75°=(√6+√2)/4 cos15°=(√6+√2)/4 cos75°=(√6-√2)/4(这四个可根据sin (45°±30°)=sin45°cos30°±cos45°sin30°得出) sin18°=(√5-1)/4 (这个值在高中竞赛和自招中会比较有用,即黄金分割的一半) 正弦定理:在△ABC 中,a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R (其中,R 为△ABC 的外接圆的半径。) 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2Sin A?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA Tan3A=)3tan()3tan(tan )(tan 1)(tan 3tan 32 3A A A A A A +-=--ππ 半角公式

三角函数与平面向量综合题的六种类型

第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一:三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角,且A +B +C =π.若向量→p =(2-2sinA ,cosA +sinA)与向量→q =(cosA -sinA ,1+sinA)是共线向量. (Ⅰ)求角A ;(Ⅱ)求函数y =2sin 2B +cos C -3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a =(3sinα,cosα),→b =(2sinα,5sinα-4cosα),α∈(3π 2 ,2π),且→a ⊥→b . (Ⅰ)求tanα的值;(Ⅱ)求cos(α2+π 3)的值. 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a =(cosα,sinα),→b =(cosβ,sinβ),|→a -→b |=2 5 5.(Ⅰ)求cos(α-β)的值;(Ⅱ) 若-π2<β<0<α<π 2,且sinβ=-513,求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)=→a ·→b .其中向量→a =(m ,cosx),→b =(1+sinx ,1),x ∈R ,且f(π2)=2.(Ⅰ) 求实数m 的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值. 题型五:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】(山东卷)在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,tan C = (1)求cos C ;(2)若5 2 CB CA ?= ,且9a b +=,求c . 题型六:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ,其中向量(,cos 2)a m x = ,(1sin 2,1)b x =+ ,x R ∈,且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π . (Ⅰ)求实数m 的值; (Ⅱ)求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ,函数()()f x a a b =?+ . (Ⅰ)求函数()f x 的最大值与最小正周期;(Ⅱ)求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=(x x x 3,52-),=(2,x ),且⊥,则由x 的值构成的集合是( ) A 、{0,2,3} B 、{0,2} C 、{2} D 、{0,-1,6} 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 ( ) A .0x π≤≤ B . 74 4x π π≤≤ C .544 x ππ ≤≤ D . 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos cos 2B b C a c =-+. (1)求角B 的大小; (2)若 b a + c =4,求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ,)21),3(cos(-+ =π x ,)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(, x g ?=)(, x h ?-?=)( (1)要得到)(x f y =的图象,只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换? (2)求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x .

高中数学三角函数公式大全 (1)

三角函数 1. ①与α(0°≤α<360°)终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合): {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合:{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合:{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合:{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合:{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系:βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系:βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系:οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系:360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式: 1rad =π 180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=180 π≈0.01745(rad ) 3、弧长公式:r l ?=||α. 扇形面积公式:21 1||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的)一点P (x,y )P 与原点的距离为r ,则 =αsin r x =αcos ; x y = αtan ; y x =αcot ; x r =αsec ;. αcsc 5、三角函数在各象限的符号:正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

必修4《三角函数和平面向量》

必修4三角函数和平面向量综合检测 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.下列命题中的真命题是( ). A .三角形的内角必是第一象限或第二象限的角 B .角α的终边在x 轴上时,角α的正弦线、正切线分别变成一个点 C .终边在第一象限的角是锐角 D .终边在第二象限的角是钝角 2.cos(2640)sin1665-+=o o ( ). A .122+ B .122+- C .132+ D .13 2 +- 3.已知角α的终边过点(43)P m m -,,(0)m ≠,则ααcos sin 2+的值是( ) . A .1或-1 B .52或52- C .1或5 2- D .-1或52 4.已知向量(cos 75,sin 75),(cos15,sin15)a b ==o o o o r r ,则a b -r r 的值为( ). A . 1 2 B .1 C .2 D .3 5.函数3sin( 3)3cos(3)44 y x x ππ =-+-的最小正周期为( ) . A .23π B .3 π C .8 D .4 6.函数sin()(0,0)y A x A ???=+>>的部分图象如图所示, 则(1)(2)(3)(11)f f f f ++++=…( ). A .2 B .22+ C .222+ D .222-- 7.设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==,,集合{}x y y x B ==|)(,,则( ). A .B A I 中有3个元素 B .B A I 中有1个元素 C .B A I 中有2个元素 D .B A Y R = 8.判断函数2()lg(sin 1sin )f x x x =+的奇偶性为( ). A .非奇非偶函数 B .奇函数 C .偶函数 D .既奇又偶函数 9.同时具有以下性质:“①最小正周期是π;②图象关于直线3 x π =对称;③在[,]63 ππ - 上是增 函数”的一个函数是( ). A .sin()26x y π=+ B .cos(2)3y x π=+ C .sin(2)6y x π=- D .cos(2)6 y x π =- 10.如图所示是曾经在北京召开的国际数学家大会的会标,它是由4个相同的直角三角形与中间的

高三三角函数公式大全

第一部分三角函数公式 2两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cosα2cosβ-sinα2sinβ cos(α-β)=cosα2cosβ+sinα2sinβ sin(α±β)=sinα2cosβ±cosα2sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα2tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα2tanβ) 2和差化积公式: sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 2积化和差公式: sinα2cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα2sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα2cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα2sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 2倍角公式: sin(2α)=2sinα2cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2 tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α) csc(2α)=1/2*secα2cscα 2三倍角公式: sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα2sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα2cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+ α)tan(π/3-α)

三角函数与平面向量专题复习

三角函数与平面向量专题复习 【课前测试】 1.在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则? 的取值范围为 _. 2.在等腰直角三角形ABC 中,AC =BC =1,点M ,N 分别是AB ,BC 的中点,点P 是△ABC (包括边界)内任一点.则AN MP ?的取值范围为___ ___. 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左顶点A 作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐 近线的交点分别为B ,C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是___ ___. 4.已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,cos sin 0a C C b c --=,若a =7,则b +c 的最大值为___ ___. 【例题讲评】 例1.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,cos 2C +22cos C +2=0. (1)求角C 的大小; (2)若b =2a ,△ABC 的面积为2 2 sin A sin B ,求sin A 及c 的值.

例2.在ABC ?中,角A B C 、、的对边分别为a ,b ,c ,已知5 sin 13 B = ,且12BA BC ?=. (1)求ABC ?的面积; (2)若a ,b ,c 成等差数列,求b 的值. 例3.已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为 4 π ,()()1c a c b -?-=-,则c a -的最大值为______. 例4.在△ABC 中,角A ,B ,C 对的边分别为a ,b ,c ,已知a =2.. (1)若3 A π = ,求b +c 的取值范围; (2)若1AB AC ?=,求△ABC 面积的最大值.

高中数学三角函数公式大全(1)

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多,很复杂,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全:操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3-a) 半角公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

专题一 三角函数与平面向量

[核心知识提炼] 提炼1 三角函数的图象问题 (1)函数y =A sin(ωx +φ)解析式的确定:利用函数图象的最高点和最低点确定A ,利用周期确定ω,利用图象的某一已知点坐标确定φ. (2)三角函数图象的两种常见变换 提炼2 三角函数奇偶性与对称性 (1)y =A sin(ωx +φ),当φ=k π(k ∈Z )时为奇函数;当φ=k π+π 2(k ∈Z )时为偶函数;对称轴方程可由ωx +φ=k π+π 2(k ∈Z )求得,对称中心的横坐标可由ωx +φ=k π,(k ∈Z )解得. (2)y =A cos(ωx +φ),当φ=k π+π 2(k ∈Z )时为奇函数;当φ=k π(k ∈Z )时为偶函数;对称轴方程可由ωx +φ=k π(k ∈Z )求得,对称中心 的横坐标可由ωx +φ=k π+π 2(k ∈Z )解得. y =A tan(ωx +φ),当φ=k π(k ∈Z )时为奇函数;对称中心的横坐标可 由ωx +φ=k π 2(k ∈Z )解得,无对称轴. 提炼3 三角函数最值问题 (1)y =a sin x +b cos x +c 型函数的最值:可将y 转化为y =a 2+b 2 sin(x +φ)+c ? ? ? ??其中tan φ=b a 的形式,这样通过引入辅助角φ可将此类函数的最值问题转化为y =a 2+b 2sin(x +φ)+c 的最值问题,然后利用三角函数的图象和性质求解. (2)y =a sin 2x +b sin x cos x +c cos 2x 型函数的最值:可利用降幂公式sin 2x =1-cos 2x 2,sin x cos x =sin 2x 2,cos 2x =1+cos 2x 2 ,将y =a sin 2x +b sin x cos x +c cos 2x 转化整理为y =A sin 2x +B cos 2x +C ,这样就可将其转化为(1)的类型来求最值. [高考真题回访 1.(2016·全国卷Ⅱ)函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图1-1所示,则( )

高中三角函数公式大全及经典习题解答

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用心辅导中心 高二数学 三角函数 知识点梳理: ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π ⒉正弦定理: A a sin =B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) ⒊余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒋S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) ⒌同角关系: ⑴商的关系:①θtg =x y =θ θ cos sin =θθsec sin ? ② θθθ θθcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系:1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系:1csc sec cos sin 222222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a (其中辅助角?与点(a,b ) 在同一象限,且a b tg =?) ⒍函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质:(0,0>>A ω)

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