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数学人教A版 必修一 1.2.2 第2课时 分段函数及映射 教案+知识点

第2课时 分段函数及映射

学习目标 1.理解分段函数的定义,并能解决简单的分段函数问题(重点).2.了解映射的概念以及它与函数的联系与区别(难点).

数学人教A版 必修一 1.2.2 第2课时 分段函数及映射 教案+知识点

预习教材P21-P22,完成下面问题:

知识点1 分段函数

分段函数的定义:

(1)前提:在函数的定义域内;

(2)条件:在自变量x 的不同取值范围内,有着不同的对应关系;

(3)结论:这样的函数称为分段函数.

【预习评价】

已知函数f (x )=?????

2x -3,x ≥02x +3,x <0

,则f ????12=________,f ????f ????12=________. 解析 由题意得f ????12=2×12

-3=-2,f ????f ????12=f (-2)=2×(-2)+3=-1. 答案 -2 -1

知识点2 映射

映射的定义:

数学人教A版 必修一 1.2.2 第2课时 分段函数及映射 教案+知识点

【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)函数是特殊的映射.( )

(2)在映射的定义中,对于集合B 中的任意一个元素在集合A 中都有一个元素与之对应.( )

(3)按照一定的对应关系,从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射是同一个映射.( )

提示 (1)√ 根据映射的定义,当映射中的集合是非空数集时,该映射就是函数,否

则不是函数;

(2)× 映射可以是“多对一”,但不可以是“一对多”;

(3)× 从集合A 到集合B 的映射与从集合B 到集合A 的映射不是同一个映射.

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题型一 映射的概念及应用

【例1】 (1)下列对应是集合A 到集合B 上的映射的是( )

A .A =N *,

B =N *,f :x →|x -3|

B .A =N *,B ={-1,1,-2},f :x →(-1)x

C .A =Z ,B =Q ,f :x →3x

D .A =N *,B =R ,f :x →x 的平方根

(2)已知映射f :A →B ,在f 的作用下,A 中的元素(x ,y )对应到B 中的元素(3x -2y +1,4x +3y -1),求:

①A 中元素(-1,2)在f 作用下与之对应的B 中的元素.

②在映射f 作用下,B 中元素(1,1)对应A 中的元素.

(1)解析 对于选项A ,由于A 中的元素3在对应关系f 的作用下与3的差的绝对值在B 中找不到象,所以不是映射;对于选项B ,对任意的正整数x ,在集合B 中有唯一的1或-1与之对应,符合映射的定义;对于选项C,0在f 下无意义,所以不是映射;对于选项D ,正整数在实数集R 中有两个平方根(互为相反数)与之对应,不满足映射的定义,故该对应不是映射.

答案 B

(2)解 ①由题意可知当x =-1,y =2时,3x -2y +1=3×(-1)-2×2+1=-6,

4x +3y -1=4×(-1)+3×2-1=1,故A 中元素(-1,2)在f 的作用下与之对应的B 中的元素是(-6,1).

②设在映射f 作用下,B 中元素(1,1)对应A 中的元素为(x ,y ),

则????? 3x -2y +1=1,4x +3y -1=1,解之得??? x =417y =617,即A 中的元素为???

?417,617. 规律方法 1.判断一个对应是不是映射的两个关键

(1)对于A 中的任意一个元素,在B 中是否有元素与之对应.

(2)B 中的对应元素是不是唯一的.

2.求对应元素的两种类型及处理思路(映射f :A →B )

(1)若已知A 中的元素a ,求B 中与之对应的元素b ,这时只要将元素a 代入对应关系f 求解即可.

(2)若已知B 中的元素b ,求A 中与之对应的元素a ,这时构造方程(组)进行求解即可,需注意解得的结果可能有多个.

【训练1】 下列各个对应中,构成映射的是( )

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解析 对于A ,集合M 中元素2在集合N 中无元素与之对应,对于C ,D ,均有M 中的一个元素与集合N 中的两个元素对应,不符合映射的定义,故选B .

答案 B

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【例2】 已知函数f (x )=?????x +1,x ≤-2,3x +5,-2

2x -1,x ≥2,求f (-5),f (1),f ???

?f ????-52. 解 由-5∈(-∞,-2],1∈(-2,2),-52

∈(-∞,-2],知f (-5)=-5+1=-4, f (1)=3×1+5=8,f ????f ????-52=f ????-52+1=f ????-32=3×????-32+5=12

. 【迁移1】 (变换所求)例2条件不变,若f (a )=3,求实数a 的值.

解 当a ≤-2时,f (a )=a +1=3,即a =2>-2,不合题意,舍去;

当-2

∈(-2,2),符合题意; 当a ≥2时,f (a )=2a -1=3,即a =2∈[2,+∞),符合题意.

综上可得,当f (a )=3时,a 的值为-23

或2. 【迁移2】 (变换所求)例2的条件不变,若f (x )>2x ,求x 的取值范围.

解 当x ≤-2时,f (x )>2x 可化为x +1>2x ,即x <1,所以x ≤-2;

当-22x 可化为3x +5>2x ,即x >-5,所以-2

当x ≥2时,f (x )>2x 可化为2x -1>2x ,则x ∈?.

综上可得,x 的取值范围是{x |x <2}.

规律方法 1.求分段函数函数值的方法

(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间.

(2)然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止.当出现f (f (x 0))的形式时,应从内到外依次求值.

2.由分段函数的函数值求自变量的方法

已知分段函数的函数值求对应的自变量的值,可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解.

【训练2】 函数f (x )=?

????

x 2+2,x ≤2,2x ,x >2.若f (x 0)=8,则x 0=________. 解析 当x 0≤2时,f (x 0)=x 20+2=8,即x 20=6, ∴x 0=-6或x 0=6(舍去).

当x 0>2时,f (x 0)=2x 0=8,∴x 0=4.

综上,x 0=-6或x 0=4.

答案 -6或4

题型三 分段函数的图象及应用

【例3】 (1)已知f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式为________.

数学人教A版 必修一 1.2.2 第2课时 分段函数及映射 教案+知识点

(2)已知函数f (x )=1+|x |-x 2

(-2

②画出函数f (x )的图象;