数学培优之圆(九年级)-第3讲_直线与圆

第3讲
知识点归纳
直线与圆
直线与圆的位置有相交、相切、相离三种情形，即可从直线与圆交点的个数来判定，也可以从圆心到 直线的距离与圆的半径的大小比较来考察。 讨论直线与圆的位置关系的重点是直线与圆相切， 直线与圆相切涉及切线的性质和判定、 切线长定力、 弦切角的概念和性质、切线定理等丰富的知识，这些丰富的知识对应着以下基本图形、基本结论：
例题精讲
【例 1】如图，已知 ?ABC ， AC ? BC ? 6, ?C ? 90? ． O 是 AB 的中点，⊙O 与 AC 、BC 分别相切于 点 D 与点 E ．点 F 是⊙O 与 AB 的一个交点，连 DF 并延长交 CB 的延长线于点 G ．则 CG = ． （杭州市中考题） 思路点拨 连 OD , BG ? BF ，先求出 OD 、BF 的长。
【例 2】如图，在等腰三角形 ?ABC 中， O 为底边 BC 的中点，以 O 为 圆 的 A. 心作半圆与 AB 、AC 相切，切点分别为 D、E ．过半圆上一点 F 作半圆 切线，分别交 AB 、AC 于 M、N ．那么
BM ? CN 的值等于（ BC 2
）
1 8
B.
1 4
C.
1 2
D .1 （天津市竞赛题）
思路点拨 分别从 M、N 点看，可运用切线长定理，作出相应辅助线，探寻 与 ?CNO 的关系式关键。
?BMO
【例 3】 如图， 已知直线 PA 交⊙O 于 A、B 两点， 点 C 为⊙O 上一点， 且 AC 平分 ?PAE ， AE 是⊙O 的直径， 过 C 作 CD ? PA ，垂足为 D ． （1）求证： CD 为⊙O 的切线； （2）若 DC ? DA ? 6 ，⊙O 的直径为 10 ，求 AB 的长度．
（芜湖市中考题） 思路点拨 对于（2） ，在（1）的基础上，设 DA ? x ，则 CD ? 6 ? x ，由角平分线性质或垂径定理建立 x

的方程。
【例 点
4】如图，已知⊙O 的半径为 6cm ，射线 PM
经过
O ， OP ? 10 cm ，射线 PN 与⊙O 相切于点
点B
Q ．A、B 两点同时从点 P 出发， 点 A 以 5cm / s 的速度沿射线 PM 方向运动，
以 4cm / s 的速度沿射线 PN 方向运动．设运动时间为 ts ． （1）求 PQ 的长； （2）当 t 为何值时，直线 AB 与⊙O 相切。
（南京市中考题） 思路点拨 对于（2） ，把相关线段用 t 的式子表示，寻找相似三角形，而动态思考、分类讨论是解题的关 键。
【例 5】 如图， 已知三角形 ABC 内接于⊙O， AD 、BD 为⊙O 的切线， 作 DE // BC 交 AC 于 E ， 连接 EO 并延长交 BC 于 F F,求证： BF ? FC （太原市竞赛题） 分析 要证明 BF ? FC ，只需证明 OF ? BC 即可，连 OA, OB, OD ，将问题转为证明 ?DAO ? ?EFC

动态思维 【例 6】如图，已知点 M (6 3,0) ， N (0,6) ，经过 M、N 两点的直线 1以每秒 1个单位的速度向下作匀速 平移运动，分别交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点，与此同时，点 P 从点 N 出发，在直线 1上以每秒1 个单位的 速度沿直线 1向右下方作匀速运动，设它们运动的时间为 t 秒 （1）用含 t 的代数式表示点 P 的坐标； （2）过 O 作 OC ? AB 于 C ，过 C 作 OC ? x轴 于 D ，问： t 为何值时，以 P 为圆心、1为半径的圆与直 线 OC 相切？并说明此时⊙P 与直线 CD 的位置关系．
（无锡市中考题）
分析 问题涉及平移点的运动， 把相关线段用 t 的式子表示是解题的基础， 而化动为静 （画出相切时图形） ， 分类讨论（⊙P 在左侧与 OC 相切）是解题的关键。
基础练习
1.如图，AB 与⊙O 相切于点 B , AO 的延长线交⊙O 于点 C ， 连接 BC ． 若 ?A ? 36? ， 则 ?C ? 度． （河北省中考题）

2 如图，⊙M 与 x 轴相交于 A(2,0), B(8,0) ，与 y 轴相切于点 C ，则圆心 M 的坐标是（
） （沈阳市中考题）
3.如图， PA 、PB 切⊙O 于点 A、B ，点 C 是⊙O 上一点，且 ?ACB ? 65 ? ，则 度． ?P = （河南省中考题）
4.如图，直线 AB 、CD 相交于点 O ， ?AOC ? 30? ，半径为 1cm 的⊙P 的圆心在射线 OA 上，开始时，
PO ? 6cm ．如果⊙ P 以 1cm/ 秒的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么当⊙ P 的运动时间 t （秒）满足 条件时，⊙P 与直线 CD 相交．
（甘肃省中考题）
第4题
5.已知， AB 、AC 与⊙O 相切于 B、C ， ?A ? 50? ，点 P 是圆上异于 B、C 的一动点，则 ?BPC 的度 数是（ ） A．65° B．115° C．65°和115° D．130°和50°
6.如图，已知 A、B 两点的坐标分别为 (?2,0), (0,1) ，⊙C 的圆心坐标为 (0,?1) ，半径为 1．若 D 是⊙C 上 的一个动点，射线 AD 与 y 轴交于点 E ，则 ?ABE 面积的最大值是（ ）
A． 2
B． 1
C． 2 -
2 2
D． 2 - 2 （苏州市中考题）

7.如图．⊙0 的半径为 2，点 A 的坐标为 (2,2 3) ．直线 AB 为⊙O 的切线， B 为切点，则点 B 的坐标为 （ A. ? ? ）
? ? ?
3 8? ，? 2 5? ?
4 9 5 5
B． (? 3， 1) D． (?1 ，3)
C． ( ? ， )
第7题 （威海市中考题）
8.已知：如图， AB 为⊙O 的直径， CD、CB 为⊙O 的切线， D、B 为切点， OC 交⊙O 于点 E ， AE 的 延长线交 BC 于点 F ， 连接 AD 、BD ． 以下结论： ① AD // OC ； ②点 E 为 ?CDB 的内心； ③ FC ? FE ； ④ CE ? FB ? AB ? CF ．其中正确的只有（ ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④
9.如图，直线 y ?
4 O8 x ? 4 交 x 轴与 B 点，交 y 轴于 A 点，⊙ O ' 过两 A 、第 两点。 题 3
' '
（1）如图①，若⊙ O 交 AB 于点 C ,当 O 在 OA 上时,求弦 AC 的长。 （2）如图②，当⊙ O 与直线 l 相切于 A 点时，求圆心 O 的坐标。 （3）当 O A 平分 ?AOB 的外角时，请画出图形，并求⊙ O 的半径长。
'
'
' '

10.如图， 在 Rt ?ABC 中，?C ? 90?, BC ? 9, AC ? 12 ，?ABC 的平分线 BD 交 AC 与点 D ，DE ? DB 交 AB 于点 E ． （1）设⊙O 是 ?BDE 的外接圆,求证： AC 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 交 BC 于点 F ，连接 EF ，求
EF 的值． AC
（芜湖市中考题）
第 10 题
能力拓展
11.如图， AB 为半⊙O 的直径， C 为半圆弧的三等分点，过 B ， C 两点的半⊙O 的切线交于点 P ，若 AB 的长是 2 a ，则 PA 的长是 ． （浙江省竞赛题）
12. 如图，在 Rt ?ABC 中， ?A ? 90? ，⊙ O 分别与 AB 、AC 相切于点 E、F ，圆心 O 在 BC 上，若 第 11 题 AB ? a、AC ? b ，则⊙O 的半径等于 ． 13.如图， P 是圆 D 的直径 AB 的延长线上的一点， PC 与圆 D 相切于点 C ， ?APC 的平分线交 AC 于 点 Q Q，则 ?PQC = （四川省竞赛题）
第 12 题 第 13 题

14.如图，正方形 ABCD 的边长为 4 ，以 AB 为直径向正方形内作半圆，CE 与 DF 是半圆的切线， M , N 为切点， CE , DF 交于点 P ．则 AE = ， ?PMN 的面积是 ．
第 14 题 第 15 题 15.如图，已知直线 l 的解析式是 y ?
第 16 题
4 x ? 4 ，并且与 x 轴、 y 轴分别交于 A、B 两点．一个半径为 1.5 的 3
⊙C，圆心 C 从点 (0,1.5) 开始以每秒 0.5 个单位的速度沿着 y 轴向下运动，当⊙C 与直线 l 相切时，则该圆 运动的时间为 （衡州市中考题） 16.如图在边长为 2 的正方形 ABCD 中， E , F , O 分别是 AB, CD, AD 的中点，以 O 为圆心，以 OE 为半 径画弧 EF ． P 是弧 EF 上的一个动点，连接 OP ，并延长 OP 交线段 BC 于点 K ，过点 P 作⊙O 的切线， 分别交射线 AB 于点 M ，交直线 BC BC 于点 G G．若
BG ? 3 ，则 BK = BM
． （金华市中考题）
17.如图，已知 AB 是半圆 O 的直径， AP 为过点 A 的半圆的切线，在弧 AB 上任取一点 C （点 C 与 A, B 不重合） ，过点 C 作 CD ? AB 于 D ， E 是 CD 的中点，连接 BE 并延长交 AP 于点 F ，连接 CF ． （1）当点 C 是弧 AB 的中点时（如图 1） ，求证：直线 CF 是半圆 O 的切线； （2）当点 C 不是弧 AB 的中点时（如图 2） ，试猜想直线 CF 与半圆 O 的位置关系，并证明你的猜想． （苏州市中考题）

18.如图， ∠BAC=90°， AC=AB， 直线 l 与以 AB 为直径的圆相切于点 B， 点 E 是圆上异于 A、 B 的任意一点． 直 线 AE 与 l 相交于点 D． （1）如果 AD=10，BD=6，求 DE 的长； （2）连接 CE，过 E 作 CE 的垂线交直线 AB 于 F．当点 E 在什么位置时，相应的 F 位于线段 AB 上、位于 BA 的延长线上、位于 AB 的延长线上（写出结果，不要求证明）无论点 E 如何变化，总有 BD=BF．请你就上述 三种情况任选一种说明理由． （河北省中考题）
19.如图，在等腰 ?ABC 中，已知 AB ? AC , ? C 的平分线与边 AB 交于点 P ， S 、 M 分别为 ?ABC 的 内切圆 I 与边 AB 、BC 的切点，作 MD // AC ,交圆 I 于点 D .证明: PD 是圆 I 的切线。 （全国 初中数学竞赛题）
综合创新
20.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=d，过 A 作⊙O 的切线并在其上取一点 C，使 AC=AB，连接 OC 叫⊙O 于点 D， BD 的延长线交 AC 于 E． （1）求证：CD=AE； （2）求 AE 的长． （四川省竞赛题）

21.如图，⊙O 的半径为 1，点 P 是⊙O 上一点，弦 AB 垂直平分线段 OP，点 D 是弧 APB 上任一点（与端点 A、 B 不重合） ，DE⊥AB 于点 E，以点 D 为圆心、DE 长为半径作⊙D，分别过点 A、B 作⊙D 的切线，两条切线相 交于点 C． （1）求弦 AB 的长； （2）判断∠ACB 是否为定值？若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为 S，若
S ? 4 3 ，求△ABC 的周长． DE 2
（广州市中考题）

全等三角形培优竞赛讲义(四)等腰三角形

全等三角形培优竞赛讲义（四） 等腰三角形 【知识点精读】－、等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 二、等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线

人教版高中数学高一培优讲义第7讲函数与方程

第7讲函数与方程 理清双基 1．函数的零点（非点） （1）函数零点的定义；对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数 ))((D x x f y ∈=的零点． （2）几个等价关系：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数 )(x f y =有零点。 （3）函数零点的判定（零点存在性定理）：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(++=a c bx ax y 的图象与零点的关系 >?0=?0 ++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点) 0,)(0,(21x x ) 0,(1x 无交点零点个数 2 1 无 3.二分法 定义：对于在区间],[b a 上连续不断，且满足0)()(

高中数学竞赛之路

金牌学生推荐（可参照选择） 一、第零阶段：知识拓展 《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修4-6：初等数论初步》 二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛） 1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习用 2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星） 3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星） 4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星） 5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几） 6、《平面几何》浙江大学出版社 7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著 三、第二阶段：全国高中数学联赛 一试 0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星）1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚）5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本）7、《概率与期望》单樽8、《同中学生谈排列组合》苏淳9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星）12、《圆锥曲线的几何性质》13、《解析几何》浙江大学出版社 二试 平几1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星） 2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星） 3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》 4、浙大小红皮《平面几何》 5、沈文选《三角形的五心》 6、田廷彦《三角与几何》 7、田廷彦《面积与面积方法》不等式 8、《初等不等式的证明方法》韩神 9、命题人讲座《代数不等式》计神10、《重要不等式》中科大出版社11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题）12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》13、奥林匹克小丛书《数论》14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》17、命题人讲座刘培杰《组合问题》18、《构造法解题》余红兵19、《从特殊性看问题》中科大出版社20、《抽屉原则》常庚哲 四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上 命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》

初三数学圆的专项培优练习题含答案

初三数学圆的专项培优练习题（含答案） ?EB 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆 的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1

7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．

高中数学培优练习

数学培优练习 一．填空 1.已知A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）是反比例函数x y 1 =在平面直角坐标系xOy 的第一象限上图象的两点，满足2721= +y y ，3 5 12=-x x . 则=?AOB S （ ） A ．11102 B. 12112 C. 13122 D. 14 132 2.使得381n +是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3.已知实系数一元二次方程x 2 +(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x 1,x 2,且0 ＜x 1＜1，x 2＞1， 则 a b 的取值范围 （ ） A -1＜a b 21-≤ B -1＜a b ＜21- C -2＜a b 21-≤ D -2＜a b ＜2 1 - 4. 图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( ) A.4+26+22 B. 2+26+22 C. 4+23 +42 D ．4+23+42 5. 点M （，），N （，）是所给函数图像上的点，则能使成立的函是 （ ） A ． B ． C ． 6.正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形PKRF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为2，则△DEK 的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ． 7.在抛物线2 x y =上任取一点A （非坐标原点O ），连结OA ，在OA 上取点B ，使OB= 3 1 OA ， 则顶点在原点且过点B 的抛物线的解析式为 （ ） 2-a 4-b b a >32+-=x y 4)3(22 ++-=x y x y 2 - =1)2(32--=x y 2

【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题18 等比数列(学生版+解析版)

专题18 等比数列 一、单选题 1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（ ） A ．31 B ．15 C ．8 D ．7 2.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（ ） A ．4 B ．6 C ．12 D ．16 3．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3240a S +=，则10a =（ ） A ．512- B ．512 C ．1024 D ．1024- 4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列{}n a 中，已知134a a =，9256a =，则8a =（ ） A ．128 B ．64 C ．64或64- D ．128或128- 5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列{}n a 的公差为3,若134,,a a a 成等比数列,则2a 等于() A ．9 B ．3 C ．-3 D ．-9 6．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12342,20a a a a =++=，则5S =（ ） A ．2 B ．0 C ．2- D ．4- 7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的4 5 .若这堆货物总价是425655n ?? - ??? 万元，则n 的值为（ ）

高中数学竞赛培优——不等式

不等式 例1. 已知122016,,,x x x ??? 均为正实数，则 3201621112122015122016 4x x x x x x x x x x x x x + ++???++?????? 的最小值__________ 例2. 已知二次函数()20y ax bx c a b =++≥< ，则24a b c M b a ++= - 的最小值为 ____________ 例3. 记223 (,)()(),03x F x y x y y y =-++≠ ，则(),F x y 的最小值是________ 例4. 已知[],1,3,4,a b a b ∈+= 求证：1146103 a b a b ≤+ ++< 例5. 设0,1,2,,,i x i n ≥=???约定11,n x x += 证明：() () 2 12 2 1 11 .2 11n k k k k x x x +=++ ≥ ++∑ 证明：因0,1,2,,,i x i n ≥=???令2tan ,0,,1,2,,2k k k x k n πθθ?? =∈=??????? 约定 11, n θθ+= () () 2 44 112 2 11 =cos sin 11k k k k k x x x θθ++++ +++() 2 222211 cos sin 2 2 k k k k θθ+++≥ = 所以() () 2 22112 2 11 11 =.2211n n k k k k k k k x x x ++==++ ≥++∑ ∑ 例6. 设2,,n n N +≥∈ 求证：ln 2ln 3ln 1 .23n n n ?????< ()ln 1n n <- 例7. 已知* ,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n --≤. 【证明】原不等式等价于2 ((1))x n n x n x n e n -≤-?. 当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立; 当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,

高中数学培优辅差

培优辅差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务，提高本学期的教育教学质量，根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优辅差措施，争取让“好的吃的饱，让差的吃的着”。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯。 学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成，甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人，不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习，他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素。 家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。

三.采取措施 1、培养良好的学习态度。 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真，即使是自己不感兴趣的科目和内容，他也可以对它持比较积极的态度，克服困难，坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时，要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段。 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的，这是一个渐变的过程。教学由易到难，使学生层层有进展，处于积极学习状态。师生活动交替进行，多为学生提供自我表现的机会，对学生进步及时鼓励，发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。 从某种意义上说，学习困难学生的最大困难是不知道如何学习，帮助他们学会如何学习的关键应该是掌握学习策略。应结合语文学科的知识特点，帮助他们掌握控制自己知觉、注意、记忆和思维活动的普通认知策略、解决本学科问题的特殊策略、反省认知策略和学习努力程度调控策略等，对学习困难学生改进学习肯定是有益的。 4、激发好奇心，引发求知欲。 在讲授教学内容之前，先提出一些与教学内容相关的实际生活问题，引起他们的好奇心。为学习困难学生创设问题情境，问题要小而具体，新颖有趣，有启发性，并有适当的难度，使他们“跳一跳摘到桃子”。引发学习困难学生的求知欲，也要注意知识的积累。他们的基础知识较差，只有当某一知识领域内的知识累

数学培优讲义(均值不等式)

数学培优讲义 均值不等式 均值不等式是高中数学的必修内容，它作为几个重要不等式之一在高考、数学竞赛中都有广泛的应用。本节主要内容是两个、三个或n 个（n ∈N +）正数的算术平均数不小于它的几何平均数，借助均值不等式证明其它不等式以及求函数的最值。主要的手段是合理地构造定和、定积、巧妙地利用等号的成立条件来实现证明和求最值。 定理1、),(222R b a ab b a ∈≥+ 推论1、),(2+∈≥+R b a ab b a 2 2??? ??+≤b a ab 推论2、 ),,(33+∈≥++R c b a abc c b a 3 3??? ??++≤c b a abc 推论3、 ),...,,(......212121+∈≥+++R a a a a a a n a a a n n n n （等号成立的条件是n a a a =???==21） 例 题 分 析 例1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（1+ a 1）（1+ a 2）…（1+ a n ）n 2≥ 练习1、已知a 1,a 2,…, a n 是n 个正数，满足a 1.a 2…a n =1 求证：（2+ a 1）（2+ a 2）…（2+ a n ）n 3≥ 练习2、设a >b >0，那么a 2+)(1 b a b -的最小值是_____

例2、（1）的最大值；求函数设)cos 1(2sin ,0αα πα+=<> 练习2、设a >b >c ，证明 4≥--+--c b c a b a c a 练习3、设X 1, X 2…X n +∈R ，求证≥++++-1221322221...X X X X X X X X n n n X 1+ X 2+…+ X n 练习4、的最小值，求设xz y z x y z x z y x ++-- ->>)(272

高中数学-必修一-函数培优题

高中数学必修一函数培优题 集合与映射部分 1．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -?，且1k A +?，那么称k 是A 的一个“孤立元”． 给定{}12345678S =，，，，，，，，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个． 6 2．对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ???（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称 “p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”． 例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2, 4”，“2, 3”，其“顺序数”等于2． 若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是 ．6 3．对于任意两个正整数，定义运算（用⊕表示运算符号）： 当m ，n 都是正偶数或都是正奇数时，m n m n ⊕=+，例如464610⊕=+=,373710⊕=+=； 当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m n m n ⊕=?，例如343412⊕=?=． 在上述定义中，集合(){} *|12M a b a b a b =⊕=∈N ，，，的元素有 个．15 4．设集合{} 0 1 2 3 4 5, , , , , S A A A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()x x A A ⊕⊕=的 ()x x S ∈的个数有 个．3 5．实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ① 对任意,,**a b R a b b a ∈=； ② 对任意,*0a R a a ∈=； ③ 对任意,,,(*)**()(*)(*)2a b c R a b c c ab a c b c c ∈=++-； 则0*2= ．2 6．给定集合{1,2,3,...,}n A n =，*n ∈N ．若f 是n n A A →的映射，且满足： ⑴ 任取,,n i j A ∈若i j ≠，则()()f i f j ≠； ⑵ 任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈． 则称映射f 为n n A A →的一个“优映射”． 例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”． ⑴ 已知f ：44A A →是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）． 或 7．定义映射f A B →∶，其中(){}|A m n m n =∈R ，，，B =R ． 已知对所有的有序正整数对 ()m n ，满足下述条件： ① ()11f m =， ； ② 若m n <，()0f m n =，； ③ ()()()1,,,1f m n n f m n f m n +=+-????

高中数学竞赛培优专题辅导-复数

高中数学竞赛培优专题辅导-复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1? ?z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ).

人教版2018年九年级数学上册24.1与圆有关的性质同步培优卷(含答案)

2018年九年级数学上册圆-与圆有关的性质同步培优卷 一、选择题: 1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48°C．52°D．58° 2.如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（） A．150°B．120°C．100°D．130° 3.如图，A．B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）

A．40°B．45°C．50°D．55° 4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 5.如图，⊙O的圆心角∠BOC=112°，点D在弦BA的延长线上且AD=AC，则∠D的度数为（）

A．28°B．56°C．30°D．41° 6.如图，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，P是弧AB的中点，则∠PAB等于（） A．35°B．40°C．60°D．70° 7.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是( )

A．122°B．128°C．132°D．138° 8.如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合, ∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC 为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是（） A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140° 9.如图,⊙O的半径为2,点A为⊙O上一点,半径OD⊥弦BC于D,如果∠BAC=60°,那么OD的长是（）

高一数学培优专题(已修正)

厦大附中高一数学培优专题（一） （2010-3-6/13） 知识要点梳理 本节公式中，,2a b c s ++=,r 为切圆半径，R 为外接圆 半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系 设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角A 、B 、C ． 1．角与角关系：A +B +C = π， 2．边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ， a － b < c ，b －c < a ，c －a < b ． 3．边与角关系： 正弦定理； R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理； c 2 = a 2+b 2－2ba cos C ， b 2 = a 2+ c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ． 它们的变形形式有：a = 2R sin A ，b a B A =sin sin ， bc a c b A 2cos 2 22-+=． 3）射影定理：a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ， b ＝a ·cos C ＋ c ·cos A ， c ＝a ·cos B ＋b ·cos A ． 4 ）面积公式：11sin 224a abc S ah ab C rs R ?=====

（二）、关于三角形角的常用三角恒等式： 1.三角形角定理的变形 由A ＋B ＋C ＝π，知A ＝π－（B ＋C ）可得出： sin A ＝sin （B ＋C ），cos A ＝－cos （B ＋C ）． 而 2 22C B A +-=π．有：2cos 2sin C B A +=，2 sin 2cos C B A +=． 2.常用的恒等式： （1）sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos 2 A cos 2 B cos 2 C ； （2）cos A ＋cos B ＋cos C ＝1＋4sin 2 A sin 2 B sin 2 C ； （3）sin A ＋sin B －sin C ＝4sin 2 A sin 2 B cos 2 C ； （4）cos A ＋cos B －cos C ＝－1＋4cos 2 A cos 2 B sin 2 C ． 3．余弦定理判定法：如果c 是三角形的最大边，则有： a 2＋ b 2＞ c 2 ? 三角形ABC 是锐角三角形 a 2＋b 2＜c 2 ? 三角形ABC 是钝角三角形 a 2＋b 2=c 2 ? 三角形ABC 是直角三角形 (三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。

【精品】五年级下册数学试题：培优专题讲练：第4讲 巧解盈亏应用题 人教版

第4讲巧解盈亏应用题 方法和技巧 分配某种物品，分配者一定，被分配的物品数一定，两种分配方案的结果会出现“盈”（余）或“亏”（不足），求分配者数和被分配物品数，这类问题叫盈亏问题。 常用方法：总差额÷每人（或每件的差额）＝人数（或件数）A级基础点睛 【例1】小波从家去体育馆参加比赛，先以50米每分钟的速度走了4分钟后，发现这样走下去要迟到3分钟；后来他改用65米每分钟的速度前进，结果提前3分钟到达。问：小波家和体育馆相距多少米？ 分析与解由每分钟走50米要迟到3分钟，可知体育馆进行比赛时，小波离体育馆有50×3＝150（米）；由每分钟走65米早到3分钟，可知体育馆进行比赛时，他还可以走65×3＝195（米）。 每分钟50米少150米 ？分钟每分钟 每分钟65米多195米 比较两种方案，每分钟相差65－50＝15（米），结果相差150＋195＝345（米）。时间为345÷15＝23（分），即出发4分钟后距离准时比赛时间。按第一种方案一共药性4＋23＋3＝30（分）才能到达体育馆，小波家与体育馆相距50×（345÷15﹢7）＝50×﹙23﹢7﹚ ＝1500米答：小波家和体育馆相距1500米。

做一做1 动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问：猴山有猴多少只？共买来多少个桃？ 分析与解根据观察对应数量关系的变化寻找答案的解题思路，首先需要把条件“如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完”转化成： 如果每只猴都分8个就少（8－4）×10＝40个，然后按盈亏问题来求解。 每只猴都分8个，所缺桃子数为﹙8－4﹚×10＝40﹙个﹚ 猴子总数为﹙40＋32﹚÷﹙8－5﹚＝24（只） 猴子总数为5×24＋32＝152﹙个） 答：猴山有猴24只，共买来152个桃。 做一做2 农民种树，其中有3人分得树苗各4棵，其余每人分得3棵，这样最后余下树苗11棵，如果1人先得3棵，其余的每人分得5棵，则树苗恰好分尽。求人数和树苗的总数各是多少？ B级更上层楼 【例3】某中学买了一批英文打字机，分给高中三年级各班。其中两个班各分6台，其余各班分3台，则多6台；如果有一个班分7台，其余各班分5台，则还差12台。问：学校买来了多少台打字机分给多少个高中三年级的班？

高中数学培优—立体几何

数学培优专题讲座 专题之：立体几何 一、考点过关 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a∥b ，?a∥α． (2)线面平行的性质定理：a∥α，?a∥b． (3)面面平行的判定定理：a∥α，b∥α，?α∥β． (4)面面平行的性质定理：α∥β，?a∥b． 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：l⊥m，m?α，?l⊥α． (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，?a∥b． (3)面面垂直的判定定理：a⊥α，?α⊥β． (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，?a⊥β． 二、典型例题 【例1】(1) (2018·成都诊断)已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m?α，n?β．有下列命题： ①若α∥β，则m∥n；②若α∥β，则m∥β； ③若α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α⊥β；④若α∩β＝l，且m⊥l，m⊥n，则α⊥β． 其中真命题的个数是() A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(2017·全国Ⅰ卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是() (3)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号) 【例2】(1).在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.

(I) 求证：P A ⊥底面ABCD ； (II) 若E 和F 分别是CD 和PC 的中点， 求证：（i ）BE ∥平面P AD ；（ii ）平面BEF ⊥平面PCD (III) 若平面BEF ∥平面P AD ，F 为PC 的中点，求证：E 是CD 的中点 (2)(2019·成都诊断)如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，BD 与EF 交于点H ，点G ， R 分别在线段DH ，HB 上，且DG GH ＝BR RH ．将△AED ，△CFD ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使点A ，B ，C 重合于点P ，如图2所示． (I)求证：GR ⊥平面PEF ； (II)若正方形ABCD 的边长为4，求三棱锥P －DEF 的内切球的半径． 巩固练习 图1 图2 1．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l ．若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 2．(2016·全国Ⅱ卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β． ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ． ③如果α∥β，m ?α，那么m ∥β． ④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号)． 3．已知α，β为平面，a ，b ，c 为直线，下列命题正确的是( ) A ．a ?α，若b ∥a ，则b ∥α B ．α⊥β，α∩β＝c ，b ⊥c ，则b ⊥β C ．a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c D ．a ∩b ＝A ，a ?α，b ?α，a ∥β，b ∥β，则α∥β 4. (2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CD 的中点，则( ) A ．A 1E ⊥DC 1 B ．A 1E ⊥BD C ．A 1E ⊥BC 1 D ．A 1 E ⊥AC 5．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)CD ⊥AE ； (2)PD ⊥平面ABE . 6．如图，四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 垂直于底面ABCD ，3AB AC AD ===， 2AM MD =，N 为PB 的中点，AD 平行于BC ，MN 平行于面PCD ，2PA =. (1)求BC 的长； (2)求点C 到平面ADP 的距离

学而思初中数学课程规划汇编

学而思初中数学课程规划 初中数学的学习不同于小学 小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。 初中班型设置介绍 初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班 初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班 初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班 联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识； 竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识； 基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。 到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。 下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明： 2015年学而思初中教学体系 体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系 班型定位 数学超常发展 冲击竞赛一等奖 中考满分 兼顾竞赛 同步提高 冲击中考满分 学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容 课程容量每节课的课程容量与难度 比竞赛班大1.2-1.5倍 每节课的容量与难度 比尖子班大1.5-1.8倍 每节课的容量是校内课程的3-5倍 难度比校内课程高1.5-2倍 适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲 击初中数学联赛，希望在数学方面有独 特发展，例如未来参加IMO或CMO比 赛，高中数学联赛冲击一等奖。 课内知识学习轻松，在保证中考路径 的同时兼顾拔高与竞赛。未来目标为 冲击中考满分，同时参加一些数学竞 赛，激发兴趣，锻炼思维。 从课内知识上夯实基础、同步提高， 同时拓宽视野，系统化学习，目标冲 击中考满分 入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试---- 联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试 ----通过后选择联赛体系---开始学习 10次课学完初一----预备班选拔考试 ----联赛竞赛预备班----参加入学选拔 考试----通过后选择竞赛体系---开始 学习 10次课学完初一----入学测试题----领 先中考培优体系---开始学习 班次安排 联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班 学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。现在应该考虑的问题是我们适合走哪条路线？ 【选择联赛】 更多精品文档

最新(师)九年级数学培优《圆》专题训练

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【新教材】高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：专题16 数列的概念(学生版+解析版)

专题16 数列的概念 一、单选题 1．（2018·平遥县综合职业技术学校高二期中）数列3 53,1,,,442 ? 的第6项是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2.（2020·湖北省江夏实验高中高一期中）在数列{a n }中，S n ＝2n 2－3n (n ∈N *)，则a 4等于( ) A ．11 B ．15 C ．17 D ．20 3．（2020·馆陶县第一中学高一期中）已知数列1,3,5,,21, n -，则11是这个数列的（ ） A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．第8项 4．（2020·河北省隆化存瑞中学高一期中）在数列{n a }中，若11a =，132n n a a +=+，则3a = A ．16 B ．17 C ．18 D ．19 5．（2020·江苏省高二期中）若数列的前4项分别是12- 、13、14-、1 5 ，则此数列一个通项公式为（ ） A ．() 11 n n -+ B ．() 1n n - C ．() 1 11 n n +-+ D ．() 1 1n n -- 6．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知数列{}n a 的通项公式是31 n n a n =+，那么这个数列是（ ） A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列 7．（2020·湖北省高一期中）在数列{}n a 中，114a =-，1 11(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ） A ． 4 5 B ．14 - C ．5 D ．以上都不对 8．（2020·武邑宏达学校高三月考（文））大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ） A ．22n n - B ．212n - C ．212 n (-) D ．22 n 9．（2020·陕西省高新一中高一月考）已知数列 满足 ， ，则 的值为（ ）