2015高考知识点常见错题分析
高中数学总复习
经典易错题会诊
目录考点1集合与简易逻辑
经典易错题会诊
命题角度1 集合的概念与性质
命题角度2 集合与不等式
命题角度3 集合的应用
命题角度4 简易逻辑
命题角度5 充要条件
探究开放题预测
预测角度1 集合的运算
预测角度2 逻辑在集合中的运用
预测角度3 集合的工具性
预测角度4 真假命题的判断
预测角度5 充要条件的应用
考点2 函数(一) 经典易错题会诊
命题角度1 函数的定义域和值域
命题角度2 函数单调性的应用
命题角度3 函数的奇偶性和周期性的应用
命题角度4 反函数的概念和性质的应用
探究开放题预测
预测角度1 借助函数单调性求函数最值或证明不等式
预测角度2 综合运用函数奇偶性、周期性、单调进行命题
考点-1
集合与简易逻辑
YT CUO TI TAN JIU TI KAI FANG TI
集合的概念与性质集合与不等式
集合的应用简易逻辑
充要条件集合的运算
逻辑在集合中的运用集合的工具性
真假命题的判断充要条件的应用
经典易错题会诊
命题角度1 集合的概念与性质
1．(典型例题)设全集U=R，集合M=｛x|x＞1｝，P=｛x|x2＞1｝，则下列关系中正确的是( )
A.M=P B．P?M
C.M?P D．C U
M P=?
[考场错解] D
原因分析。忽视集合P中，x＜-1部分．
[对症下药] C ∵x2＞1 ∴x＞1或x＜-1．故M?P．
2．(典型例题)设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=｛a+b|a∈P，b∈Q｝，若P｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，则P+Q中元素的个数是（）
A．9 B．8
C．7 D．6
[考场错解] A P中元素与Q中元素之和共有9个．
[原因分析]忽视元素的互异性，即和相等的只能算一个．
[对症下药] B P中元素分别与Q中元素相加和分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个．
3．(典型例题)设f(n)=2n+1(n∈N)，P=｛l，2，3，4，5｝，Q={3，4，5，6，7},记P?=｛n∈N|f(n) ∈P｝，Q?=｛n∈N|f(n) ∈
则(P? C N Q?) (Q? C N P?)等于 ( )
A．｛0，3｝ B．｛1，7｝
C．｛3，4，5｝ D．｛1，2，6，7｝
[考场错解] D P C N Q=｛6，7｝．Q C N P=｛1，2｝．故选D．
[原因分析未理解集合P?的意义.
[对症下药] B ∵P? =｛1，3，5｝．Q?=｛3，5，7｝．∴P? C N Q?=｛1｝. P? C N Q?=｛7｝．故选B．
4．(典型例题)设A、B为两个集合，下列四个命题：
①A B ?对任意x ∈A,有x ?B ；②A B ? A B=?;③A B ? A B;④A B ?存在x ∈A, 使得x ?B.其中真命题的序号是_____.
[考场错解] ∵A B ，即A 不是B 的子集，对于x ∈A ，有x ? B;A B=?，故①②④正确． [ 原因分析 对集合的概念理解不清．∵A B ，即A 不是B 的子集，但是A ，B 可以有公共部分，即存在x ∈ A ，使得x ? B.不是对任意x ∈A,有x ?B ，故④正确．“A B ”是“任意x ∈A ，有x ?B ”的必要非充分条件．②同①.
[对症下药] 画出集合A ，B 的文氏图或举例A=｛1，2｝，B=｛2，3，4｝，故①、②均不成立，③A ｛1，2，3｝，B=｛1,2｝,∴A B 但B ?A ，故也错.只有④正确，符合集合定义．故填④
5．(典型例题Ⅰ)设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ?B ?I ，则下列各式中错误的是 ( ) A ．（C I A ） B=I
B ．(
C I A) (C I B)=I C ．A (C I B)=?
D ．(C I A) (C I B)= C I B
[考场错解] 因为集合A 与B 的补集的交集为A ，B 的交集的补集．故选D ．
[ 原因分析] 对集合A ，B ，I 满足A ?B ?I 的条件，即集合之间包含关系理解不清． [对症下药] 如图是符合题意的韦恩图.
从图中可观察A 、C 、D 均正确，只有B 不成立．或运用特例法，如A=｛1，2，3｝，B=｛1，2，3.4｝，I=｛1，2，3，4，5｝．逐个检验只有B 错误．
关注知识 1．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x ∈P}，要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，充分运用数形结合(数轴，坐标系，文氏图)或特例法解集合与集合的包含关系以及集合的运算问题，直观地解决问题．
2．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ?B ，则有A=?或A ≠? 两种可能，此时应分类讨论．
考场思维训练
1 全集U=R ，集合M={1，2，3，4}，集合N=???
???
-≤
121
|x x ，则M (C U N)等于 ( ) A ．{4} B ．{3，4}
C ．{2，3，4}
D ． {1，2，3，4} 答案：B 解析：由N={}
,12|,121
|+≤=???
???
-≤
x x N x x 得C U N={}
{}4,3)(,12|=?∴+N C M x x U 2 设集合M={x|x=3m+1，m ∈Z}，N=y|y{=3n+2，n ∈Z}，若x 0∈M,y 0∈N ，则x 0y 0与集合M,N 的关系是 ( )
A.x 0y 0∈M B ．x 0y 0?M MM C.x 0y 0∈N D ．x 0y 0?N 答案： C 解析：∵x o
.
.2)23(32369)23)(13(,23,,130C N n m mn n m mn n m y x n y N y m x M o o o o 故选∈+++=+++=++=∴+=∴∈+=∴∈
3 设M={x|x4a ，a ∈R}，N={y|y=3x
，x ∈R}，则 ( ) A ．M ∩N=? B ．M=N
C. M ?N
D. M ?N
答案：B 解析：M={}
{}{}B N y y x x M R a x x a 选.
0|0|,4|=>=>==∈=
4 已知集合A={0，2，3}，B={x|x=ab,a 、b ∈A 且a ≠b}，则B 的子集的个数是 ( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．15
答案：解析：{},6,0=B 它的子集的个数为22
=4。
5 设集合M=｛(x ，y)|x=(y+3)·|y-1|+(y+3)，-2
5
≤y ≤3｝，若(a ，b)∈M ，且对M 中的其他元素(c ，d)，总有c ≥a ，则a=_____.
答案：解析：依题可知，本题等价于求函数不胜数x=f(y)=(y+3).|y-1|+(y+3)在
.32
5
时的最小值≤≤-
y （1） 当.4
9,25,425)2
1(6)3()1)(3(,12
5min 22=-=++-=---=++-+=≤≤-x y y y y y y y x y 时所以时 1
≤
y ≤3
时，x=(y+3)(y-1)+(y+3)=y 2
+3y=(y+
2
3)2
-.4
9,49,25,494.4,1,49min =-===a x y x y 即有最小值时因此当而时所以当 命题角度 2 集合与不等式 1．(典型例题)集合A=?
???
??+-011
|
x x x ，B={x|x-b|＜a ＝，若“a=1”是“A ∩B ≠?”的充分条件，则b 的取值范围是 ( )
A ．-2≤b<2
B ．-2
C ．-3＜b ＜-1
D ．-2＜b ＜2
[考场错解] A 当a=l 时，A={x|-1＜x ＜1＝且B={x|b-1＜x ＜b+1＝．A ∩B ≠?.b -1＜1且b+1≥-1.故-2≤b ＜2．∴只有A 符合．
[ 原因分析] A ∩B ≠?时，在点-1和1处是空心点，故不含等于．
[对症下药] D 当a=1时，A={x|-1＜x ＜1＝．B={x|b-1＜x ＜b+1＝．此时A ∩B ≠?的充要条件是b-1＜1且b+1＞-1．即-2＜b ＜2．故只有D 符合．
2．(典型例题)(1)设集合A={x|4x-1≥9，x ∈R}，B={x|3
+x x
≥0，x ∈R}，则A ∩B=_____. [考场错解] {x|x ≤-3或x ≥2
5}． [ 原因分析] ∵
3
+x x
≥0∴x(x+3)≥0．而此时x+3≠0．故不含x=-3． [对症下药] A={x|x ≤-3或x ≥2
5}．B={x|x-3或x ≥0}．∴A ∩B=≤-3或x ≥2
5}． 3．(典型例题)已知f(x)=
2
22+-x a x (x ∈R)在区间[-1，1]上为增函数．
(1)求实数a 的值所组成的集合A ； (2)设关于x 的方程f(x)=
x
1的两根为x 1,x 2，试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1,1]恒成立?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
[考场错解] (1)因为f(x)=
2
22+-x a x (x ∈R)，所以f(x)=
2
22)2(422+++-x ax x ，依题意f(x)≥0
在[-1，1]上恒成立，即2x 2
-2ax-4≤0在[-1，1]上恒成立． 当x=0时，a ∈R;当0＜x ≤1时，a ≥x-x 2恒成立，又y=x-x
2
在(0，1)上单调递增，所以y=x-x 2的最大值为-1，得a ≥-1,当-1≤x<0时x-x
2
恒成立，由上知a ≤1．综上：a ∈R(注意应对所求出的a 的范围求交集)． (2)方程f(x)=
x
1变形为x 2
-ax-2=0,|x 1-x 2|=82+a ，又-1≤a ≤1，所以|x 1-x 2|=82+a 的取大值为3，m 2
+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立等价于m 2
+tm+1≥3在t ∈[-1，1]恒成立，当 m=0时，显然不成立，当m>0时，t ≥
m m 22-恒成立，所以-1≥m
m 2
2-,解得m ≥2；当m<0时，t ≤m m 22-恒成立，所以1≤m
m 2
2-，解得m ≤-2．
综上：故不存在实数m ，使得不等式m 2
+tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立．
[ 原因分析] (1)讨论x 求参数的范围，最后应求参数的交集而不是并集．因为x ∈[-1，1]时,f(x)≥0恒成立．(2)注意对求出的m 的值范围求并集而不是交集． [对症下药] (1)因为f(x)=
2
22+-x a x (x ∈R)，所以f ′(x)=
2
22)2(422+++-x ax x ，依题意f ′(x)
≥0在[-1，1]上恒成立，即2x 2
-2ax-4≤0在[-1，1]上恒成立． 当x=0时，a ∈R ；当0 2 在(0，1)上单调递增，所以y=x-x 2的最大值为-1，得a ≥-1;当-1≤x<0时a ≤x-x 2 恒成立，由上知a ≤1．综上≤a ≤1(注意应对所求出的a 的范围求交集)． (2)方法1：方程f(x)= x 1变形为x 2 -ax-2=0，|x 1-x 2|=82+a ，又-1≤a ≤1，所以|x 1-x 2|=82+a 的最大值为3，m 2 +tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立等价于m 2 +tm+1≥3在t ∈[- 1，1]恒成立，当m=0时，显然不成立，当m>0时，t ≥ m m 2 2-恒成立，所以-1≥m m 22-，解得m ≥2；当m<0时，t ≤m m 22-恒成立，所以1 m 2 2-，解得m ≤-2． 综上：存在实数m ，使得不等式m 2 +tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，m 的取值范围是｛m|m ≥2或m ≤-｝2(注意对求出的m 的取值范围求并集)． 方法2：方程f(x)= x 1变形为x 2 -ax-2=0，|x 1-x 2|=82+a ,又-1≤a ≤1，所以 |x 1-x 2|=82+a 的最大值为3，m 2 +tm+1≥|x 1-x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立等价于m 2 +tm+1≥3在t ∈[-1，1]恒成立，令g(t)=tm+m 2 -2，有g(-1)=m 2 +m-2≥0，g(1)=m 2 -m-2≥0，解得{m|m ≥2或m ≤-2}．(注意对求出的m 的取值范围求交集)． 关注知识点： 讨论参数a 的范围时，对各种情况得出的参数a 的范围，要分清是“或”还是“且”的 关系，是“或”只能求并集，是“且”则求交集. 考场思维训练 1 设[x]表示不超过x 的最大整数，则不等式[x]2 -5[x]+6≤0的解集为 ( ) A ．(2，3) B ．[2，3] C ．[2，4] D ．[2，4] 答案：C 解析：由[x]2 -5[x]+6≤0,解得2≤[x] ≤3,由[x]的定义知2≤x<4所选C. 2 已知不等式|x-m|<1成立的充分非必要条件是2 1 31 x ，则实数m 的取值范围是 ( ) A.?? ??? ?-21,34 B.?? ? ?? ?-34 ,21 C.??? ? ?-∞-21, D.??? ???+∞,34 答案：B 解析：因不等式|x-m|<1 等价于m-1 .,3 4 21,2 1131 1B m m m 所以选≤≤- ∴??? ??? ? ≥+≤- 3 设A 、B 是两个集合，定义A-B={x|x ∈A ，且x ?B}．若M={x|x+1≤2},N={x|x=sin α| α∈等R},则M-N 等于 ( ) A ．[-3，1] B ．[-3，0] C ．[0，1] D ． [-3，0] 答案：B 4 已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]＜0＝, B={x| 0) 1(22 +--a x a x }. (1)当a=2时，求A ∩B ； (2)求使B ?A 的实数a 的取值范围． 解析：（1）当a=2时，A=（2，7），B=（4，5）∴).5,4(=?B A （2）∵B=（2a,a 2 +1）,当a <==-=???? ?≤++≥?+=A a a a a a A B a A ,31 ;1,2 1132,)2,13(3 1 2时当此时必须要使时?，使 )13,2(,3 1 ;+=>?a A a a A B 时当不存在的要使1,1312 2,2 此时必须?? ?? ?+≤+≥?a a a A B ≤a ≤3. 综上可知，使A B ?的实数a 的取值范围为[1，3]|1|-? 命题角度 3 集合的应用 1．(典型例题)ω是正实数，设S ω={θ|f(x)=cos[ω(x+θ)]是奇函数}，若对每个实数a,S ω∩(a,a+1)的元素不超过2个，且有a 使S ω∩(a ，a+1)含2个元素，则ω的取值范围是_____. [考场错解] (π，2π) [ 原因分析 ∵a 使S ω∩(a,a+1)含两个元素，如果ω π 2>1时，则超过2个元素，注意 区间端点． [对症下药] 由S ω∩(a ，a+1)的元素不超过两个,∴周期ω π 2×2 1 <1．∴ω＞π又∵有a 使S ω∩(a ，a+1)含两个元素，∴ ω π 2周期≥1．∴ω≤2π．故ω∈(π，2π)． 2．(典型例题)设函数f(x)=- | |1x x +(x ∈R)，区间M=[a,b](a C.2个 D ．无数多个 [考场错解] D ∵y=f(x)是奇函数，不妨设x>0．f(x)=-1+1 1 +x ,∴f(x)在(0，+∞)上为减函数，即y=f(x)在[a ，b]上为减函数，∴y=f(x)的值域为 ??????+-+-||1,||1a a b b ,∴N ∈?? ? ???+-+-||1,||1a a b b ∵M=N ，∴M ?N ∴a ≥ ||1b b +-，且b ≤| |1a a +-，故有无数组解． [ 原因分析] 错误地理解了M=N,只是M ?N,忽视了M=N ， 包含M ?N 和N ?M 两层含义． [对症下药]∵f(x)=??? ? ?? ?-+-≥++-)0(1 1 1)0(1 1 1 x x x x ，∵y=f(x)在[a ，b]上为减函数 ∴y=f(x)的值域 为?? ? ? ??+-+-||1,||1a a b b ∵N={y|y=f(x)}，∴N 表示f(x)的值域-b ∴M=N ，∴b a a a b b b a =???? ??? ? +-=+-=||1| |1,而已知a 3 2++- x x 的定义域为A ，g(x)=1g[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B. (1)求A ； (2)若B ?A ，求实数a 的取值范围． [考场错解] (1)由2-1 3 ++x x ≥0，得x<-1或x ≥1．∴A={x|x<-1或x ≥1} (2)由(x-a-1)(2a-x)>0，得(x-a-1)(x-2a)<0．∵a<1，∴a+1>2a ，∴B=(2a ，a+1) ∵B ?A ∴2a>1或a+1≤-1 ∴a>2 1或a ≤-2又∵a<1∴a ≤-2或2 1 3 ++x x ≥0，得x<-1或x ≥1． (2)由(x-a-1)(2a-x)＞0，得(x-a-1)(x-2a)<0．∵a<1，∴a+1>2a ，∴B=(2a ， a+1) ∵B ?A,∴2a ≥1或a+1≤-1，即a ≥21或a ≤-2，而a<1,∴2 1≤a<1或a ≤-2，故当B ?A 时，实数a 的范围是(-∞，-2)∪[2 1，1]． 关注知识点 集合与不等式、集合与函数、集合与方程等，都有紧密联系.因为集合是一种数学工具.在运用时注意知识的融会贯通.有时要用到分类讨论，数形结合的思想. 考场思维训练 1 已知集合A={x|(a 2-a)x+1=0，x ∈R}，B={x|ax 2 -x+1=0，x ∈R},若A ∪B=?，则a 的值为 ( ) A ．0 B ．1 C ．0或1 D ．0或4 答案：B 解析：AUB=?，∴A= ?且B=?，由A=?得a=0或1；由B=? 得a>0且△<0,解得a>.1,4 1=∴a 2 设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}定义P ※Q={(a ，b)|a ∈p ，b ∈Q ，则P ※Q 中元素的个数为 ( ) A ．3 B ．4 C ．7 D ．12 答案：D 3 已知关于x 的不等式 a x ax --250的解集为M. (1)a=4时，求集合M ； 答案：(1)当 a=4 时，原不等式可化为 4 542<--x x ，即 ).2,4 5 ()2,(),2,45()2,(,0)2)(45(4?--∞?--∞∈∴<--为故M x x x (2)若3∈M 且5?M ，求实数a 的取值范围． 答案：由3,3 5 9,03532< >∴<--∈a a a a M 或得 ① 由,251,055552<≤∴≥--?a a a M 得 ② 由①、②得).25,9()3 5,1[.259,3 51?<<<≤的取值范围是因此或a a a 命题角度4 简易逻辑 1．(典型例题)对任意实数a 、b 、c ，给出下列命题： ①“a=b ”是“ac=bc ”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a>b ”是“a2＞b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件． 其中真命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [考场错解] D [原因分析] 忽视①中c=0的情况，③中a ，b 小于0的情况． [对症下药] B ①中c=0时，非必要条件；③中0>a>b 时，非充分条件，②④正确． 2．(典型例题)给出下列三个命题 ①若a ≥b ＞-1，则 b b a a +≥+11 ②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则2 )(n m n m ≤ - ③设P(x 1，y 1)为圆O 1：x 2 +y 2 =9上任一点，圆O 2以Q(a ，b)为圆心且半径为1．当 (a-x 1)2+(b-y 1)2 =1时，圆O 1与圆O 2相切 其中假命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [考场错解] A [原因分析] ③中(a-x 1)2+(b-y 1)2 =1时，即圆 O 2与O 1上任一点距离为1，并不一定相切． [对症下药] B 3．(典型例题)设原命题是“已知a ，b ，c ，d 是实数，若a=b ，c=d ，则a+c=b+d ”，则它的逆否命题是( ) A.已知a ，b ，c ，d 是实数，若a+c ≠b+d ，则a ≠b 且c ≠d B.已知a ，b ，c ，d 是实数，若a+c ≠b+d ，则a ≠b 或c ≠d C.若a+c ≠b+d ，则a ，b ，c ，d 不是实数，且a ≠b ，c ≠d D.以上全不对 [考场错解] A [原因分析] 没有分清“且”的否定是“或”，“或”的否定是“且”. [对症下药] B 逆否命题是“已知a ，b ，c ，d 是实数，若a+c ≠b+d ，则a ≠b 或c ≠d ”． 4．(典型例题)已知c>0，设P ：函数y=c x 在R 上单调递减；Q ：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围． [考场错解] 由函数y=c x 在R 上单调递减，得0＜c<1;∵x+|x-2c|=,2,22,22? ? ?≥-c x c c x c x 所以函 数y=x+|x-2c|在R 上的最小值为2c ，因为不等式 x+|x-2c|>1的解集为R ，所以2c>1，得c>2 1． 如果P 真，得0 1． 所以c 的取值范围是(0，+∞)． [原因分析] 将P 和Q 有且仅有一个正确，错误理解成P 正确或Q 正确． [对症下药] 由函数y=c x 在R 上单调递减，得0＜c<1；∵x+|x-2c|=,2,22,22? ? ?≥-c x c c x c x 所以函 数y=x+|x-2c|在R 上的最小值为2c ，因为不等式x+|x-2c|>1的解集为R ，所以2c>1，得c>2 1． 如果P 真Q 假，则0＜c ≤2 1；如果Q 真P 假，则c ≥1． 所以c 的取值范围是(0, 21)∪[1,+∞] 专家会诊 1．在判断一个结论是否正确时，若正面不好判断，可以先假设它不成立，再推出矛盾，这就是正难则反． 2．求解范围的题目，要正确使用逻辑连结词，“且”对应的是集合的交集，“或”对应的是集合的并集． 考场思维训练 1 已知条件P ：|x+1|>2，条件q ：5x-6>x 2 ，则?p 是? q 的 ( ) A.充要条件 B ．充分但不必要条件 C.必要但不充分条件 D.既非充分也非必要条件 答案：Ｂ解析：p:x<-3或x>1,q:2 q 的充分但不必要条件。 2 已知命题p ：函数log 0．5(x 2+2x+a)的值域为R ，命题q ：函数y=-(5-2a)x 是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤1 B ．a<2 C ．1 D ．a ≤1或a ≥2 １．答案：解析：命题p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x 2 +2x+a 的判别式△＝４－４a ≥0,从而a ≤1;命题q 为真时，5-2a>1?a<2. 若p 为真，q 为假时，无解；若p 为假，q 为真时，结果为1 3 如果命题P ：?∈{ ? }，命题Q ：??{ ?},那么下列结论不正确的是 ( ) A.“P 或Q ”为真 B ．“P 且Q ”为假 C ．“非P ”为假 D ．“非Q ”为假 答案：B 4 已知在x 的不等式0 -4＜6x-13a 的解集中，有且只有两个整数，求实数a 的取值范围． 答案：解析：原不等式等价于 .1312139,0)5(0)4(,)(,136)(,0 13462 222 <≤≥<+-=?????<+--->>a f f x f a x x x f a x x x x 解得由已知可得的函数图象画出令或 5 已知命题p ：方程a 2x 2 +ax-2=0在[-1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等 式x 2 +2ax+2a ≤0，若命题“p 或q 是假命题，求a 的取值范围． 答案：解析：由a 2x 2 +ax-2=0,得（ax+2）(ax-1)=0,显然a ≠0 ∴x=a x a 12=-或∵x 1||,1|1|1|2| ],1,1[≥∴≤≤-∈a a a 或故“只有一个实数满足x 2+2ax+2a ≤0”.即抛物线y=x 2+2ax+2a 与x 轴只有一个交点， ∴△＝４a 2 -8a=0, ∴a=0或2, ∴命题“p 或q 为真命题”时“|a|≥1或a=0” ∵命题“p 或q ”为假命题∴a 的取值范围为{}1001|<<<<-a a a 或 命题角度5 充要条件 1．(典型例题)“m=2 1”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的 ( ) A.充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [考场错解] A [原因分析 当两直线垂直时，A 1A 2+B 1B 2=0，m 2 -4+3m(m+2)=0，即m=2 1或m=-2；故不是充分必要条件． [对症下药] B 当m=2 1时两直线垂直．两直线垂直时m=2 1或m=-2，故选B ． 2．(典型例题)设定义域为R 的函数f(x)=.1,01 ||,1|lg |? ? ?=≠-x x x ，则关于x 的方程 f 2 (x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( ) A ．b<0且c>0 B ．b>0且c<0 C ．b<0且c=0 D ．b ≥0且c=0 [考场错解] B △=b 2 -4ac ．当c<0时，△>0．故f(x)有两个不同实根，∴x 有7个不同根． 原因分析] ∵f(x)的根为正时，x 有4个不同实根．应考虑f(x)的根的正负． [对症下药] C 当x=1时f(x)=0，∴c=0． 当x ≠1时,f(x)=|1g|x-1||，∴f 2(x)+bf(x)+c=1g 2 |x-1|+b|1g|x-1||=0．即，|1g|x-1||(1g|x-1|+b)=0， ∴1g|x-1|=0或1g|x-1|=-b ，∴x=2或x=0或1g|x-1|=-b ①∴b<0．①式有4个不同实根故c=0且b<0，恰有7个不同实根 3．(典型例题)若非空集合M ?N ，则a ∈M 或a ∈N 是a ∈(M ∩N)的 ( ) A.充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [考场错解] a ∈(M ∩N)的意思是a ∈M 且a ∈N ，所以a ∈M 或a ∈N 不能推出a ∈(M ∩N)，同样a ∈(M ∩N)也不能推出a ∈M 或a ∈N ，所以a ∈M 或a ∈N 是a ∈(M ∩N)的既不充分也不必要条件，所以选D ． [原因分析] “或”与“且”理解错误，逻辑中的“或”与生活中的“或”有区别，a ∈M 或a ∈N 包括三种：a ∈M 但a ?N ；a ∈N 但a ?M ；a ∈M 且a ∈N.所以a ∈(M ∩N)可以推得a ∈M 或a ∈N. [对症下药] a ∈(M ∩N)的意思是a ∈M 且a ∈N ，而a ∈M 或a ∈N 包括三种：a ∈M 但a ?N ；a ∈N 但a ?M ；a ∈M 且a ∈N ，所以a ∈M 或a ∈N 不能推出a ∈(M ∩N)；a ∈(M ∩N)可以推得a ∈M 或a ∈N.所以选B ． 4．(典型例题)设命题p ：关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1＞0与a 2x 2 +b 2x+c 2>0的解集相同；命题q ： 2 1 2121c c b b a a = =，则命题p 是命题g 的 ( ) A.充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [考场错解] 因为 2 12121c c b b a a = =，所以不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2 +b 2x+c 2>0是等价的不等式，解集相同，所以q 能推出p 而不等式a 1x 2 +b 1x+c 1>0与a 2x 2 + b 2x+c 2>0的解集相同不能得出 2 1 2121c c b b a a = =，所以选B ． [原因分析] 因为 2 12121c c b b a a = =若a 1与a 2的符号不同，这时a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2 +b 2x+c 2>0的解集不相同，如-x 2 +3x-2>0与x 2 -3x+2>0，尽管2 1 2121c c b b a a = ==-1，但它们的解集不相同，所以q 不能推出P. [对症下药] 因为 2 12121c c b b a a = =，若a 1与a 2的符号不同，这时a l x 2 +b 1x+c 1>0与 a 2x 2+ b 2x+ c 2>0的解集不相同，所以q 不能推出p ；不等式x 2+x+3>0与x 2 +1> 0的解集相同，但 2 12121c c b b a a ≠≠，所以p 不能推出q ，所以选D ． 关注知识点： (1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ?q 称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件,因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假. (2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“?”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等． (3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质． (4)从集合观点看，若A ?B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 、B 互为充要条依. (5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性)． 考场思维训练 1 设ab 、是非零向量，则使a ·b=|a||b|成立的一个必要非充分条件是 ( ) A ．a=b B ．a ⊥b C ．a ∥b D ．a=λb(>0) 答案：Ｃ解析：由a ?b=|a| |b|可得a ∥b;但a ∥b, a ?b=±|a| |b|, 故使a ?b=|a| |b| 成立的一个必要充分条件是：a ∥b.故选Ｃ. 2若条件甲：平面α内任一直线平行于平面β，条件乙：平面α∥平面β，则条件甲是条件乙的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：C 解析：甲乙可以互推。选Ｃ. 3.已知函数f(x)=ax+b(0≤x<1)，则a+2b>0是f(x)>0在[0，1]上恒成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 答案：B 解析：∵f(x)>0在［０，１］上恒成立?a+2b>0,但a+2b>0推不出f(x)>0在［０，１］上恒成立。 4 命题A ：|x-1|<3，命题B ：(x+2)(x+a)<0，若A 是B 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．(4，+∞) B ．[4，+∞] C ．(-∞，-4) D ．(-∞，-4) 答案：Ｃ 探究开放题预测 预测角度1 集合的运算 1．设I 是全集，非空集合P 、Q 满足P ?Q ?I ，若含P 、Q 的一个运算表达式，使运算结果为空集，则这个运算表达式可以是_______；如果推广到三个，即P ?Q ?R ?I ，使运算 结果为空集，则这个运算表达式可以是_______.(只要求写出一个表达式)． [解题思路] 画出集合P 、Q 、I 的文氏图就可以看出三个集合之间的关系，从它们的关系中构造集合表达式，使之运算结果为空集． [解答] 画出集合P 、Q 、I 的文氏图，可得满足P ?Q ?I ，含P 、Q 的一个运算表达式，使运算结果为空集的表达式可以是P ∩(C I Q)；同理满足P ?Q ?R ?I ，使运算结果为空集的表达式可以是(P ∩Q)∩(C I R)，或(P ∩Q) ∩(C I R)．答案不唯一． 2．设A={(x ，y)|y 2-x-1=0}，B={(x ，y)|4x 2 +2x-2y+5=0}，C={(x ，y)|y=kx+b}，是否存在k 、b ∈N ，使得(A ∪B)∩C=?，证明此结论． [解题思路] 由集合A 与集合B 中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b 、k 的范围，又因b 、k ∈N ，进而可得值． [解答] ∵(A ∪B) ∩C=?, ∴A ∩C=?且B ∩C=? ∵?? ?? ?+=+=b kx y x y 1 2 ∴k 2x 2 +(2bk-1)x+b 2 -1=0 ∵A ∩C=? ∴△1=(2bk-1)2-4k 2(b 2 -1)<0 ∴4k 2-4bk+1＜0，此不等式有解，其充要条件是 16b 2-16>0，即b 2 >1 ① ∴?? ?? ?+==+-+b kx y y x x 0 52242 ∴4x 2 +(2-2k)x+(5+2b)=0 ∴B ∩C=?， ∴△2(1-k)2 -4(5-2b)<0 ∴k 2 -2k+8b-19<0，从而8b<20，即b<2．5 ② 由①②及b ∈N ，得b=2代入由△1<0和△2<0组成的不等式组，得 ?????--+-0 32, 018422 k k k k ∴k=1，故存在自然数k=1，b=2，使得(A ∪B) ∩C=?． 预测角度2 逻辑在集合中的运用 1.已知不等式： ①|x+3|>|2x|；② 12 322≥+-+x x x ;③2x 2 +mx-1＜0． (1) 若同时满足①、②的x 也满足③，求m 的取值范围； (2) 若满足③的x 至少满足①、②中的一个，求m 的取值范围． [解题思路] (1)若同时满足①、②的x 也满足③，即求出不等式①、②的交集是③的解集的子集；第(2)问，若满足③的x 至少满足①、②中的一个，即满足③的x 满足①、②的并集． [解答] (1)由|x+3|＞| 2x|得-1 12 322 ≥+-+x x x 得0≤x ＜1或2＜x ≤4，同时 满足①、②的集合A=[0，1] ∪(2，3)．满足③的集合为B ，因为B ?A ，所以f(3)≤0，且f(0)<0，故m ≤-7 13. (2)方法1：∵B ?(-1，3) ∪[0，1] ∪(2，4)，∴B ?(-1，4)，即方程2x 2 +mx-1＜0的两根在(-1，4)内，由根的分布可得-4 31 ≤m ＜1． 方法2：若满足③的x 至少满足①、②中的一个，即求同时不满足①、②的集合的补集． ①的解集{x|x ≤-1或x ≥3}，②的解集{x|x ＜0或 1≤x ≤2或x>4＝． ①∩②={x|x ≤-1或x ＞4}，补集为(-1，4)，即方程2x 2 +mx-1<0的两根在(-1，4)内，由根的分布可得-4 31 ≤m<1． 2．集合A={x|x 2 -ax+a 2 -19=0}，B={x|log 2(x 2 -5x+8)=1}，C={x|x 2 +2x-8=0},求当a 取什么实数时，A ∩B ?和A ∩C=?同时成立． [解题思路] 求出集合B ，C.由A ∩B ?，即A ∩B ≠?,从而求a.，由A ∩C=?，来检验． [解答] log 2(x 2-5x+8)=1，由此得x 2-5x+8=2，∴B={2，3}．由x 2 +2x-8=0，∴C={2， -4}，又A ∩C=?，∴2和-4都不是关于x 的方程x 2-ax+a 2 -19=0的解，而A ∩B ?，即A ∩B ≠?， ∴3是关于x 的方程x 2-ax+a 2 -19=0的解，∴可得a=5或a=-2． 当a=5时，得A={2，3}，A ∩二{2}，这与A ∩C=?不符合，所以a=5(舍去)；当a=-2时，可以求得A={3，-5}，符合A ∩C=?，A ∩B ?，∴a=-2． 预测角度3 集合的工具性 1．已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为零，a 1和d 均为实数，它的前n 项和为S n ，设集合A={(a n ， n S n )|n ∈N * },B={(x,y)|4 1x 2-y 2=1，x ，y ∈R}，试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明． (1)若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； (2)A ∩B 中至多有一个元素； (3)当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠?． [解题思路] (1)要证明这些点都在同一条直线上；即证任意两点的斜率相等；(2)A ∩B 中至多有一个元素；集合A ，B 所表示的曲线至多有一个交点；(3)当a 1≠0时，集合A ，B 所表示的曲线一定有交点． [解答](1)a n =a 1+(n-1)d ，n S n =a 1+d ，A n =[a 1+(n-1)d ，a 1+2 1-n d] ∵11+-=n A A n A A n n k k =2 1， ∴这些点都在同一条直线上． (2)方法1(几何法)：集合A 表示的点在直线y=2 1 x+2 1a 1上，集合B 表示的点在双曲线 41x 2-y 2=1上，由数形结合可知，当a 1≠O 时，直线y=21x+21a 1与双曲线4 1x 2-y 2 =1只有一个交点，当a 1=0时，直线y=21x+21a 1与双曲线4 1x 2-y 2 =1无交点． 故A ∩B 中至多有一个元素； 方法2(代数法)：集合A 表示的点在直线y=2 1 x+2 1a 1上，集合B 表示的点在双曲线 41x 2-y 2=1上，将y=21x+21a 1代入方程4 1x 2-y 2=1，化成关于x 的方程 2a 1x+21a +4=0，当a 1=0时，x 无解，当a 1≠0时，x 有惟一解．故A ∩B 中至多有一个元素； (3)由(2)可知，当a 1≠0时，直线y=21 x+21a 1与双曲线4 1x 2-y 2 =1只有一个交点，A ∩B 中有一个元素．故一定有A ∩B ≠?． 2．设M 是满足下列两个条件的函数f(x)的集合：①f(x)的定义域是[-1，1]；②若x 1，x 2∈[-1，1]，则|f(x 1)-f(x 2)|≤4|x 1-x 2|．试问： (1)定义在[-1，1]上的函数g(x)=x 2 +3x+2005是否属于集合M?并说明理由； (2)定义在[-1，1]上的函数h(x)=4sinx+2006是否属于集合M?并说明理由． [解题思路] 判断函数g(x)与h(x)的集合是否属于集合M ，即证明函数g(x)与h(x)是否满足下列两个条件①f(x)的定义域是[-1，1]；②若x 1，x 2∈[-1，1]，则 |f(x 1)-f(x 2)|≤4|x 1-x 2|． [解答] (1)|g(x 1)-g(x 2)|=|21x +3x 1-2 2x -3x 2|=|x 1-x 2||x 1+x 2+3|，∵-2≤x 1+x 2≤2，即1 ≤x 1+x 2 +3≤5，∴|x 1+x 2+3 |≤5，|g(x 1)-g(x 2)|≤5|x 1-x 2|，不符合条件②．故不属于M ； (2)|h(x 1)-h(x 2)|=|4sinx 1-4sinx 2|=4|sinx 1-sinx 2|≤4|x 1-x 2|，故 属于M ； 3．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? [解题思路] 画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系． [解答] 赞成A 的人数为50×5 3=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B. 设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ，则对A 、B 都不赞成的学生人数为3 x +1，赞成A 而不赞成B 的人数为30-x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33-x ． 依题意(30-x)+(33-x)+x+( 3 x +1)=50，解得x=21． 所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人． 预测角度4 真假命题的判断 1．已知p 、q 为命题，命题“? (p 或q)”为假命题，则 ( ) A.p 真且q 真 B.p 假且q 假 C.p ，q 中至少有一真 D.p ，q 中至少有一假 [解题思路] 利用p 与?p 一真一假，得p 或q 为真命题，或将“? (p 或q)”为假命 题转化为“?p 且? q ”为假命题． [解答] 由已知“? (p 或q)”为假命题，得p 或q 为真命题，根据真值表，得p 、q 中至少有一真；或由“?(p 或q)”为假命题，得“?p 且?q ”为假命题，所以?p 、? q 中至少有一假，得p 、q 中至少有一真．所以本题答案是C ． 2．已知p ：|1-3 1-x ≤2，q ：x 2-2x+1-m 2 ≤0(m>0)，若﹂p 是﹂q 的必要而不充分条件， 求实数m 的取值范围． [解题思路] 利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决． [解答] 由题意知： 命题：若﹂P 是﹂q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件． p ：|1-31-x |≤2?-2≤31-x -1≤2?-1≤3 1 -x ≤3?-2≤x ≤10 q ：x 2 -2x+1-m 2 ≤0?[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0 * ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴不等式|1-3 1-x |≤2的解集是x 2-2x+1-m 2 ≤0(m>0)解集的子集． 又∵m>0 ∴不等式*的解集为1-m ≤x ≤1+m ∴? ? ?≥≥??? ?≥+-≤-91 10121m m m m ∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是[9，+∞]． 预测角度5 充要条件的应用 1．设符合命题p 的所有元素组成集合A ，符合命题q 的所有元素组成集合B ，已知q 的充分不必要条件是p ，则 集合A 、B 的关系是 ( ) A ．A ?B B ．A B C ．B A D ．A=B [解题思路] 由q 的充分不必要条件是p ，可得p 可推q ，但q 不能推p ，再利用充要条件与集合之间的关系可求解． [解答] 由q 的充分不必要条件是p ，可得P 可推q ，但q 不能推p ，所以A 中的元素都是B 中的元素，B 中至少有一个元素不是A 中的元素，所以A B ，所以选B ． 2．0 1是函数f(x)=ax 2 +2(a-1)+3在(-∞，4)上为减函数的 ( ) A.充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [解题思路] 利用二次函数的对称轴与单调区间的关系求解． [解答] 若0 1，则函数f(x)=ax 2 +2(a-1)+3为开口向上的二次函数，且对称轴为x= a a 222-=a 1-1∈[4，+∞]，由二次函数的图像知函数f(x)=ax 2
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