2013届高三理科数学分类汇编7：立体几何
上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编7：
立体几何
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题
错误！未指定书签。 ．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）
若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则
1S :2S =
A . 1:1.
B . 2:1.
C . 3:2.
D . 4:1.
错误！未指定书签。 ．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）正方体
1111D C B A ABCD -的棱上．．
到异面直线AB ,1CC 的距离相等的点的个数为 .A 2. .B 3. .C 4. .D 5.
错误！未指定书签。 ．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)关于直
线,m 及平面α,β,下列命题中正确的是 （ ）
A ．若,,//m l =?βαα则m l //
B ．若,//,βαl l ⊥则βα⊥
C ．若,//,//ααm l 则m l //
D ．若l m l ⊥,//α,则α⊥m
二、填空题
错误！未指定书签。 ．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）已知圆锥的
母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________(结果保留π).
错误！未指定书签。 ．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））已
知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ,如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等,那么这个圆锥的母线长为_____________cm .
错误！未指定书签。 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）设()
z y x M
,,为空间直角坐标系内一点,点M 在xOy 平面上的射影P 的极坐标为()θρ,(极坐标系以O 为极点,以x 轴为极轴),则我们称三元数组()z ,,θρ为点M 的柱面坐标.已知M 点的柱面坐标为??
?
??-1,3,
6π,则直线OM 与xOz 平面所成的角为____. 错误！未指定书签。 ．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）半径为r
的球的内接圆柱的最大侧面积为_____.
错误！未指定书签。 ．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）如图:已知
各顶点都在半球面上的正三棱锥S —ABC,若AB=a ,则该三棱锥的体积为__.
错误！未指定书签。 ．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）已知,,A B C 是球面上
三点,且4,90AB AC cm BAC ==∠= ,若球心O 到平面ABC
的距离为则该球的表面积为__________3
cm .
错误！未指定书签。．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）将边长为2的正方形
沿对角线AC 折起,以A ,B ,C ,D 为顶点的三棱锥的体积最大值等于
_____________.
错误！未指定书签。．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）用铁皮制作一个无盖
的圆锥形容器,已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为0
45,容器的高为10cm,制
作该容器需要_______ cm 2
的铁皮
错误！未指定书签。．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)设函数
?????∈--∈-=]
1,0[,1)
0,1[,1)(2x x x x x f ,则将)(x f y =的曲线绕x 轴旋转一周所得
几何体的体积为____________.
错误！未指定书签。．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）如图为一
几何体的的展开图,其中ABCD 是边长为6的正方形,SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点S,D,A,Q 及P,D,C,R 共线,
沿图中虚线将它们折叠,使P,Q,R,S 四点重合,则需要________个这样的几何体,就可以拼成一个棱长为12的正方体.
错误！未指定书签。．（2013年上海市高三七校联考（理））如图所示,四棱锥P ABCD -中,底
面ABCD 是边长为2的菱形,Q ∈棱PA ,AC BD O = .有下列命题: ①若Q 是PA 的中点,则//PC 平面BDQ ;②若PB PD =,则BD CQ ⊥; ③若PAC ?
是正三角形,则PO ⊥平面ABCD ;
④若3PA PC PB PD ===，,60ABC ∠=
,则四棱锥P ABCD -
的体积为其中正确的命题是__________.
错误！未指定书签。．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）一个圆锥的底面积为4π,
且该圆锥的母线与底面所成的角为
3
π
,则该圆锥的侧面积为_______________. 三、解答题
错误！未指定书签。．（上海徐汇、松江、金山区2013年高考二模理科数学试题）本题共有2个
小题,第1小题满分6分,
第2小题满分8分.
如图,已知111ABC A B C -是正三棱柱,它的底面边长和侧棱长都是
2,D 为侧棱1CC 的中点.
(1)求异面直线1A D 与BC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)求直线11A B 到平面DAB 的距离.
错误！未指定书签。．（四区（静安杨浦青浦宝山）联考2012学年度第二学期高三（理））本题
共有2小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分.
在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,F E ,分别为CD B A ,11的中点. (1)求直线EC 与平面11BCC B 所成角的大小; (2)求二面角B AF E --的大小.
D
B
C
A
B 1
C 1
A 1
第21题图
O
D
B
C
A P Q 第14题图
错误！未指定书签。．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）本题满分16
分,第1小题满分8分,第2小题满分8分
和平面解析几何的观点相同,在空间中,空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹.在空间直角坐标系xyz O -中,空间曲面的方程是一个三元方程0),,(=z y x F . 设1F 、2F 为空间中的两个定点,02||21>=c F F ,我们将曲面Γ定义为满足
a PF PF 2||||21=+)(c a >的动点P 的轨迹.
(1)试建立一个适当的空间直角坐标系xyz O -,求曲面Γ的方程; (2)指出和证明曲面Γ的对称性,并画出曲面Γ的直观图.
错误！未指定书签。．（上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）本题满分14
分,第1小题满分7分,第2小题满分7分
某粮仓是如图所示的多面体,多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面ABCD 是矩形,16=AB 米,4=AD 米,腰梁AE 、BF 、CF 、DE 分别与相交的底梁所成角均为
60.
(1)请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”,并说明理由; (2)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可储存多少立方米粮食?
错误！未指定书签。．（上海市十二校2013届高三第二学期联考数学（理）试题 ）本题共有2
个小题,第1小题满分4分,第2小题满分8分.
已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱,高12AA = 求(1)异面直线BD 与1AB 所成角的大小(结果用反三角函数值表示). (2)求1C BDC 点到平面的距离及直线111B D CDD C 与平面所成的角
.
A
B
D
C
A 1
B 1
C 1
D 1
错误！未指定书签。．（上海市普陀区2013届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）
本大题共有2小题,第1小题6分,第2小题8分.
如图,正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1
(1)求直线DB 与平面11BCD A 所成角的大小;(2)求四棱锥11A BCD D -的体积.
错误！未指定书签。．（上海市黄浦区2013年高考二模理科数学试题）本题共有2个小题,第1
小题满分6分,第2小题满分6分.
已知正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为
2,1A D =(1)求该四棱柱的侧面积与体积;
(2)若E 为线段1A D 的中点,求BE 与平面ABCD 所成角的大小.
A B
C
D
A 1
B 1
E
D 1
C 1
A
A 1
错误！未指定书签。．（上海市虹口区2013年高考二模数学（理）试题 ）如图,⊥PA 平面ABCD ,
矩形ABCD 的边长1=AB ,2=BC ,E 为BC 的中点. (1)证明:DE PE ⊥;
(2)如果2=PA ,求异面直线AE 与PD 所成的角的大小.
D
错误！未指定书签。．（上海市奉贤区2013年高考二模数学（理）试题 ）长方体
1111D C B A A B CD -中,底面ABCD 是正方形,1,21==AB AA ,E 是1DD 上的一点.
⑴求异面直线AC 与D B 1所成的角;
⑵若⊥D B
1平面ACE ,求三棱锥CDE A -的体积;
错误！未指定书签。．（上海市长宁、嘉定区2013年高考二模数学（理）试题 ）(理)(本题满分
12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)
如图:已知⊥AB 平面BCD ,CD BC ⊥,AD 与平面BCD 所成的角为?30,且
2==BC AB .
(1)求AD 与平面ABC 所成角的大小;(2)求点B 到平面ACD 的距离.
错误！未指定书签。．（上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）(本题满
分12分;第(1)小题6分,第(2)小题6分)
如图,已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上,AB 为圆O 的直径,2OA =,120AOP ∠=?,三棱锥1A APB -的体积为33
8
. (1)求圆柱1OO 的表面积;
(2)求异面直线1A B 与OP 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示
)
错误！未指定书签。．（2013届浦东二模卷理科题）本题共有2个小题,第(1)小题满分6分,第
(2)小题满分6分.
如图,已知正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长是2,体积是16,,M N 分别是棱
1BB 、11C B 的中点.
(1)求直线MN 与平面11ACC A 所成的角(结果用反三角函数表示);
(2)求过11,,C B A 的平面与该正四棱柱所截得的多面体111AC D ABCD -的体积.
A
B
C
D
B
错误！未指定书签。．（2013届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）本题共有2个小题,第(1)
小题满分7分,第(2)小题满分7分. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,2
BAC π
∠=,2AB AC ==,16AA =,点E F
、分别在棱11AA CC 、上,且12AE C F ==. (1)求四棱锥B AEFC -的体积;
(2)求BEF ?所在半平面与ABC ?所在半平面所成二面角θ的余弦值.
解:
A B
C E C 1
A 1
B 1
F
上海2013届高三理科数学最新试题精选（13份含16区二模）分类汇编7：立体几何参考
答案
一、选择题
错误！未找到引用源。 C 错误！未找到引用源。 C ;
错误！未找到引用源。 B 二、填空题
错误！未找到引用源。 12π 错误！未找到引用源。
17
错误！未找到引用源。 37
101
3arcsin
等 错误！未找到引用源。 2
2r π
错误！未找到引用源。 123
a
错误！未找到引用源。 64π
错误！未找到引用源。
3
2
2; 错误！未找到引用源。 π2100;
错误！未找到引用源。.π
错误！未找到引用源。 24 错误！未找到引用源。 ①②④ 错误！未找到引用源。 8π; 三、解答题
错误！未找到引用源。本题共有2题,第(1)小题6分,第(2)小题8分.
解:(1)方法一:
以11A B 中点O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系
由题意得
则(
(1,A D BC =-=
设θ为向量1A D
BC
与的夹角,则
cos 5
θ==
E
D
B
C
A
B
1C 1
A 1
异面直线1A D 与
BC 所成角的大小为方法二:取1B B 中点E ,连结1,A E DE .
//DE CB
1A DE ∴∠(或其补角)为异面直线1A D
BC 与所成的角
由题意得:
在11Rt A B E ?中
,1A E ;在11Rt AC D ?中
,1A D 在等腰三角形1
A DE 中, 112cos DE
A DE
A D ∠==
所以异面直线1A D 与
BC 所成角的大小为
(2)方法一:
由题意可得11//A B ABD 平面,
所以,11A B 到平面DAB 的距离即为1A 到平面DAB 的距离,设为h
设平面ABD 的法向量为n ,(),,1n x y =r
,
1
222,2
ABD S ?=
??=(
)(
(1
2001AB AD A D =-=--=- ，，，，，
,
200000x x AB n x y y AD n ?-==???=???
?????--+==???=????
,
即()
n =
所以
1n A D h n
?===
故直线11A B 到平面DAB
方法二:
由题意可得11//A B ABD 平面,
所以,11A B 到平面DAB 的距离即为1A 到平面DAB 的距离,设为h
由题意得12A D AD BD AB ====, 等腰ADB ?底边AB
2=, 12AA B S ?=,
则面11ABB A
且D 到平
由11A ABD D A AB V V --=得
111
33
ABD A AB S h S ????= ,
则h =所以,直线11A B 到平面DAB
错误！未找到引用源。本题共有2小题,第1小题满分5分,第2小题满分7分 .
(1)(理)解法一:建立坐标系
平面11BCC B 的一个法向量为)0,1,0(1=n 因为)2,1,2(E )0,2,0(C ,)2,1,2(--=∴EC , 可知直线EC 的一个方向向量为)2,1,2(--=∴.
设直线EC 与平面11BCC B 成角为θ,与1n 所成角为?,则
3
11
91cos sin =
?=
=
=?θ
31arcsin
BCC B 11成角大小为与平面故EC
【D 】19．(1)解法二:⊥1EB 平面11BCC B ,即C B 1为
EC 在平面11BCC B 内的射影,
故1ECB ∠为直线EC 与平面11BCC B 所成角,
在C EB Rt 1?中,22,1EB 11==C B ,4
2
221tan 111=
==
∠C B EB ECB 故 4
2
arctan
BCC B 11成角大小为与平面故EC (2)解法一:建立坐标系.平面ABCD 的一个法向量为)1,0,0(1=n
设平面AEF 的一个法向量为),,(2z y x n =,因为)0,1,2(-=,)2,1,0(= 所以??
?=+=+-0
20
2z y y x ,令1=x ,则1,2-==z y )1,2,1(2-=?n
6
61
411cos =
++-=
=
θ
由图知二面角B AF E --为锐二面角,故其大小为6
6arccos
.
解法二:过E 作平面ABC 的垂线,垂足为E ',E EG '∠即为所求
AB E ∈',过E '作AF 的垂线设垂足为G ,ADF ?∽AGE ?
521='?=''E G AF AD E A E G 即52
='E G
在Q E E Rt '?中5tan =''
=
'∠E G E E E EG
所以二面角B AF E --的大小为5arctan .
错误！未找到引用源。解:(1)如图,以两个定点1F ,2F 的中点为坐标原点O ,以1F ,2F 所在
的直线为y 轴,以线段1F 2F 的垂直平分线为x 轴,以与xOy 平面垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标系xyz O -, 设02||21>=c F F ,)(2||||21c a a PF PF >=+,),,(z y x P
a z c y x z c y x 2)()(222222=+-+++++∴,
222222)(2)(z c y x a z c y x +-+-=+++∴
两边平方,得
cy a z c y x a -=+-+∴2222)(,
两边平方,整理得
12
22
22222=-++-c a z a y c a x
令b c a =-2
2
,得122
2222=++b
z a y b x .①
若点1F 、2F 在x 轴上,则方程为:222
2221x y z a b b
++=
(2)对称性:
由于点),,(z y x 关于坐标原点O 的对称点),,(z y x ---也满足方程①,说明曲面Γ关于坐标原点O 对称; 由于点),,(z y x 关于x 轴的对称点),,(z y x --也满足方程①,说明曲面Γ关于x 轴对称;同理,曲面Γ关于y 轴对称;关于z 轴对称. 由于点),,(z y x 关于xOy 平面的对称点),,(z y x -也满足方程①,说明曲面Γ关于xOy 平面对称;同理,曲面Γ关于xOz 平面对称;关于yOz 平面对称. 图略.
错误！未找到引用源。
解:(1)EF 与AD ,EF 与BC ,DE 与BF ,AE 与CF , 由已知,有AB EF //, AD AB ⊥ , .AD EF ⊥∴
同理,有.BC EF ⊥
过点E 作FB EK //交AB 点K ,则DEK ∠为异面直线DE 与FB 所成的角,
4DE FB == ,o 2(4cos60)4AK =?=,DK =o 90DEK ∴∠=,即DE BF ⊥,同理AE CF ⊥
(2)过点E 分别作AB EM ⊥于点M ,CD EN ⊥于点N ,连接MN ,则AB ⊥平面EMN ,
∴平面ABCD ⊥平面EMN ,过点E 作MN EO ⊥于点O ,则EO ⊥平面ABCD 由题意知,4===AD DE AE ,
260cos 4=== DN AM ,32==EN EM ,
∴O 为MN 中点,EO ∴=AMND E -的高,
同理,再过点F 作AB FP ⊥于点P ,CD ENFQ ⊥于点Q ,连接PQ ,
原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱,且122216=--=MP
11=2+=224432V V V ∴???????多面体四棱锥直棱柱（）（答:
该粮仓可储存
3
立方米的粮食 错误！未找到引用源。解:⑴ 连1111,,,BD AB B D AD ,∵ 111
1//,BD B D AB AD =,
∴ 异面直线BD 与1AB 所成角为11AB D ∠,记11AB D θ∠=
,
2221111111cos 210AB B D AD AB B D θ+-==
?
∴ 异面直线BD 与1AB
所成角为arccos 10
⑵ 解法1:利用等体积11
B CD
C C BDC V V --=
1111
33
CDC BDC S BC S h ???=? 求解得2
3
h =
(解法2:利用向量求解)
11B DC ∠是直线111B D CDD C 与平面所成的角,
在11B DC ?
中求解得11tan 5B DC ∠=
所以直线111B D CDD C 与平面
所成的角arc tan
5
错误！未找到引用源。解:(1)以D 为坐标原点,分别以射线DA 、DC 、1DD 为x 、y 、z 轴,
建立空间直角坐标系,如图所示.则)0,0,0(D ,)0,1,1(B ,)0,1,0(C ,)1,0,0(1D
)0,1,1(=DB ,)0,0,1(-=BC ,)1,1,0(1-=CD
设),,(z y x n =是平面11BCD A 的法向量,则
?????=?=?0
1CD n BC n ,即??
?=-=00y z x 令1=z ,则)1,1,0(= 设直线DB 与平面11BCD A 所成角为θ,则2
1
||||sin ==DB n DB n θ
由于2
0π
θ≤
≤,所以6
π
θ=
即直线DB 与平面11BCD A 所成角的大小为6
π
; (2)由(1)得)21,21,0(|
|0==
n n n
所以点D 到平面11BCD A 的距离2
2
||0=
?=DB n d 因为四边形11BCD A 是矩形,所以面积2=S
3
1222313111=??==-sh V A BCD D
错误！未找到引用源。 【解析】⑴根据题意可得:在1Rt AA D ?中,
高
13AA ==
∴(222323)232S =?+?+??=
22312V =??=
⑵过E 作EF AD ⊥,垂足为F ,连结BF ,则EF ⊥平面A B C D ,∵BE ?平面
A B C D ,∴EF BF ⊥
∴在Rt BEF ?中,EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵1,EF AD AA AD ⊥⊥,∴1EF AA ∥,
又E 是1A D 的中点,∴
EF 是1AA D ?的中位线, ∴113
22
EF AA =
= 在Rt AFB ?
中BF =
∴3tan 2EBF ∠=
=
∴EBF ∠= 错误！未找到引用源。
解:(1)连AE ,由1==BE AB ,得2=AE ,同
理2=
DE ,∴2224AD DE AE ==+,由勾股定理逆定理得
?=∠90AED ,∴AE DE ⊥
由⊥PA 平面ABC D ,得DE PA ⊥.由AE DE ⊥,DE PA ⊥A AE PA =?,得⊥DE 平面PAE .∴DE PE ⊥
(2)取PA 的中点M ,AD 的中点N ,连MC 、NC 、MN 、AC . AE NC //,PD MN // ,∴MNC ∠的大小等于异面直线PD 与AE 所成的角
或其补角的大小
由
2=PA ,
1
=AB ,
2
=BC ,得
2==MN NC ,6=MC ,∴21
2
226
22cos -=??-+=
∠MNC ,32π=∠MNC .∴异面直线PD 与AE 所成的角的大小为3
π
注:用向量解相应给分.
错误！未找到引用源。以D 为原点,DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建
立空间直角坐标系
⑴依题意,)0 , 0 , 0(D ,)0 , 0 , 1(A ,)0 , 1 , 0(C ,)2 , 1 , 1(1B , 所以)0 , 1 , 1(-=AC ,)2 , 1 , 1(1=DB
所以01=?AC DB , 所以异面直线所成角为2
π ⑵设) , 0 , 0(a E ,则) , 0 , 1(a AE -= 因为⊥D B 1平面ACE ,
?AE 平面ACE ,所以AE D B ⊥1
所以01=?AE DB ,所以021=+-a ,2
1
=a 所以12
1
12112131=
????=
-CDE A V 错误！未找到引用源。 (本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)
解:(1)因为⊥AB 平面BCD ,所以CD AB ⊥,又CD BC ⊥,所以⊥CD 平面ABC , DAC ∠就是AD 与平面ABC 所成的角
因为⊥AB 平面BCD ,AD 与平面BCD 所成的角为?30,故?=∠30ADB ,
由2==BC AB ,得4=AD ,22=AC , 所以2
2
cos =
=
∠AD AC DAC , 所以AD 与平面ABC 所成角的大小为?45
(2)设点B 到平面ACD 的距离为d ,由(1)可得32=BD ,22=CD ,
则3
2
46131=
???=?=
?-AB CD BC AB S V BCD BCD A , d d CD AC d S V ACD ACD B 3
4
6131=???=?=
?- 由ACD B BCD A V V --=,得2=
d .
所以点B 到平面ACD 的距离为2
错误！未找到引用源。
错误！未找到引用源。解:(1)连结1BC ,1//BC MN ,
∴直线MN 与平面11ACC A 所成的角等于直线1BC 与平面11ACC A 所成的角.
连结,BD BD AC O = ,连结1C O ,
1BC O ∴∠是直线1BC 与平面11ACC A 所成的角
1BC O ?中,1BO C B ==
11sin arcsin
1010
BC O BC O ∠=
∴∠=.
∴直线MN 与平面11ACC A 所成的角等于arcsin
10
(2) 正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长是2,体积是16,
14AA ∴=
111118
224323
B A B
C V -=????=;
1111111111840
1633
A C D ABCD ABCD A
B
C
D B A B C V V V ---∴=-=-=,
∴多面体111AC D ABCD -的体积为
40
3
错误！未找到引用源。 (理) [解](1)B AEFC
V -=111
(42)224332
AEFC S AB =?=??+??=
(2)建立如图所示的直角坐标系,则
)0,0,0(A ,(0,2,0)B ,(0,0,2)E ,(2,0,4)F ,
(2,0,2)EF = ,(0,2,2)EB =-
设平面BEF 的法向量为(,,)n x y z =
,则
220
11,1220
n EF x z z x y n EF y z ??=+=??==-=??=-=??
取得, 所以(1,1,1)n =-
平面ABC 的法向量为1(0,0,1)n = ,
则11cos n n n n θ?===
?
所以BEF ?所在半平面与ABC ?所在半平面所成二面角θ
的余弦值为
3
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
最新-江苏高考数学立体几何真题汇编
A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD
B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C
P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2．
2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——9.解析几何
9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知 24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?<，则0y 的取值范围是（ ） A ．( B ．( C ．( D ．( 【2014，4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m 【2014，10】已知抛物线C ：2 8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ） A ． 72 B ．52 C ．3 D ．2 【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12 x ± D ．y ＝±x 【2013，10】已知椭圆E ：22 22=1x y a b +(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22 =1189 x y +
2018-2020三年高考数学分类汇编
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2、全国III 理8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 3、浙江4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 4、浙江8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5、北京理（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 6、北京理（12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 7、江苏9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为______ _____． 9、全国II 文理16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美． 图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方 体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 10、全国III 理16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为___________g. 2013年全国高考理科数学试题分类汇编1：集合 一、选择题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则 ()=U A B ( ) A.{}134， ， B.{}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则 A.()01， B.(]02， C.()1,2 D.(]12， 【答案】D 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 ．（2013 年高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ． 2020年高考数学分类汇编：立体几何 4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A．20°B．40° C．50°D．90° 8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为 A ． E B ． F C ．G D ． H 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为 11．已知△ABC 是面积为 934 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ． 3 B ．32 C ．1 D ． 32 16．设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① 14p p ②12p p ③ 23 p p ④ 34 p p 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ② ③A ． 514 B ． 512 C ． 514 D ． 512 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2019高考试题分类汇编-立体几何 立体几何 1（2019北京文）（本小题14分） 如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA ⊥BD ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2019新课标Ⅱ理）（12分） 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点． 2 （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值． 3（2019天津理）（本小题满分13分） 如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90?. 点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值； （Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 ，求线段AH 的长. 21 4（2019新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角 边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；④直线AB 与a 所称角的最小值为60°； 2019真题汇编--立体几何 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ， △ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则 A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 4．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某 柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．324 5．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V –ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P –AC –B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图， 该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14 高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN (2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C （2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。 历年江苏高考数学立体几何真题汇编（含详解） （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ? ??? ?E ，F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）??????? ?? ?CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ??? ?AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上， A 1D ⊥ B 1 C . 求证：（1）EF ∥平面ABC （2）平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C 证明：（1）由E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点知EF ∥BC ， 因为EF ?平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （2）由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1， 又A 1D ?平面A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D ， 又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ， CC 1、B 1C ?平面BB 1C 1C 故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ?平面A 1FD ， 故平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C （2010年第16题） 2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量 一、选择题 1 ．（2020年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以 D 为起点,其 余顶点为终点的向量分别为 12345 ,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若 ,m M 分别为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足 （ ） A ．0,0m M => B ．0,0m M <> C ．0,0m M <= D ．0,0m M << 【答案】 D ． 2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已 知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．345 5?? ??? ，- B ．435 5?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355?? - ??? ， 【答案】A 3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4 10=,且对于边AB 上任一点P , 恒有C P B P PC PB 00?≥?.则 （ ） A ．090=∠ABC B ．090=∠BA C C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D 4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,则四边形的面积为 （ ） 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥(完整版)2019数学高考试题分类汇编 立体几何
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