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均匀带电球体表面电场强度的计算论文

摘要

因此均匀带电球体表面电场强度使用高斯定理不能获得，因为高斯定理是一个几何表面，表面电荷也利用几何模型，当高斯分割和表面电荷，表面电荷不能被视为一个几何面，与普通物理的电磁学教材在讨论均匀表面电荷产生的电场强度分布不计算表面电场。本文介绍了叠加原理，点电荷球形均匀一个任意点的磁场强度值，表面磁场强度为球形面很近球形点电场强度平均值，并从外地叠加原理的两种方法求出了均匀带电球面电场强度值。

关键词：

带点球面；电场强度；叠加原理；电荷面密度；高斯定理；突变

Abstract

pick due to uniform charged sphere surface electric field intensity using Gauss theorem cannot be obtained, because Gauss's theorem is a geometric surface, surface charge is also using the geometric model, when Gauss segmentation and surface charge, surface charge cannot be regarded as a geometric surface, and general physics electromagnetics teaching materials in the discussion of uniform charged surface electric field intensity produced by distribution are not calculated spherical electric field intensity of. This paper introduces the principle of superposition of point charge and spherical uniform with an arbitrary point of the field strength value, the surface field strength for spherical sides very near spherical point field strength average value, and from the field superposition principle by two kinds of method to seek out the uniformly charged spherical surface electric field strength value.

Keywords:

with spherical; electric field intensity; superposition principle; surface charge density; Gauss theorem; mutation

摘要 ............................................................................................................................................................ I Abstract ........................................................................................................................................................ II 引言 .. (1)

1. 电场强度与电场的叠加原理的概念 (1)

1.1 电场强度 (1)

1.2 电场叠加原理 (1)

2. 带电面产生的场强 (1)

3.用场强叠加原理通过积分计算均匀带电球面上的场强 (5)

4. 用场强的叠加原理计算带电球面空间的电场强度 (6)

4.1均匀带电球面空间的场强 (6)

4.2 均匀带电半球面轴线上的场强 (9)

4.3 不均匀带电球体表面空间场强的分布 (11)

4.3.1 分割带电体积方法 (11)

4.3.2立体角法 (13)

5.均匀带电球面在介质中的场强 (14)

6.通过推演和分析的方法求均匀带电球面上的电场强度 (18)

7 小结 (19)

8 参考文献 (20)

9 谢辞 (21)

III

引言

电荷的面分布是一种理想化的模型，某点的电荷面密度被定义为该点附近单位

面积内的电荷量，一般用字母σ表示，σ=ds

dq 。讨论带点面电荷在空间产生的场强分布是静电学的一个最基本的问题。其中均匀带电面是一种理想的模型，也是最简

单一种情况，几乎在每本电磁学教材中都讨论过，例如无限大均匀带电平面外一点

的电场强度为E=

2εσ，再一个就是本文所要研究讨论的均匀带电球体表面电场强度的计算。 1. 电场强度与电场的叠加原理的概念

1.1 电场强度静止点电荷Q 激发的静电场，把在电场中所要研究的点叫场点]1[。在场点中放

置一个静止的试探电荷q ，有库仑定律可知，它所受到的电场力为r 20e r

4q πεQ F =，其中F 不但与场点有关，而且与试探电荷q 有关，但q

F 只和场点有关，我们将之称为该点的电场强度。以E 为电场强度，其大小为q

F E ≡。 1.2 电场叠加原理

当空间有两个以上点电荷所激发的电场时，作用于该点的总电场强度等于其他

点电荷单独存在时作用于该点的电场强度的矢量和，这叫做场强的叠加原理,其表

达式为：

E =q

F =q i ∑F =∑q

i F =∑i E （2.1） 2. 带电面产生的场强

在计算半径为R 带电量为Q 的均匀带电球体面上的电场强度分布时，绝大多

数电磁学教材中都是用高斯定理来求解的。它们都有意的忽略了球体表面上的电场强

度，只计算了球体内外的电场强度。它们都是在讲高斯定理的运用时，将它作为一个例题来讲解的。由于在此种情况下，球体表面上的电荷分布是对称的，在球面内和球

面外作高斯面就很容易求出球面内和球面外的电场强度的分布]2[。

假如均匀带电球体半径为R ，电荷为Q ，那么均匀带电球体表面内外的静电场强

如何计算呢？

图2.1均匀带电球面几何模型

在球外任取一点p ，过p 点作与带电球面同心的球面M 。从电荷分布的球对称

性出发，可以证明球面上各点场强大小相等，方向沿径向，故M 面的E 通量

Φ=??s E ?d s = ??s E n d s = E n ??s d s = E n 4πr 2 (2.2.1)

其中E n 是E 在n e 方向上的投影，r 是球面M 的半径。另一方面，球面M 内的电荷

就是带电球面的电荷q ，由高斯定理有Φ=Q /0ε，故

E n =204r Q

πε . (2.2.2)

因E ‖n e ，故E =E n n e =E n r e ，于是

E =204r Q

πεr e . （2.2.3）

设想把带电球面的全部电荷Q 置于球心成一点电荷，其电场强度的表示与（2.2.3）

式相同。可见，均匀带电球体表面外任意一点的场强等于球面全部电荷集中于球心

时在该点所激发的电场。

过球面任一点作与带电球面同心的球面'M ,式（1）对'M 同样成立，但'

M 面

内电荷为零，故E n 4πr 2 =0，因而E =0.

即

E =0 (r

和 E =20r 4Q

πε （r>R ） (2.2.5)

上面的计算并没有涉及到球面上当r =R 时的情况，而且当场点从球面内到球面

外的过渡过程中电场强度E 的表达式有一个突变，那么就无法用两边取极限的方式

来求出球面上的电场强度了。几乎所有的电磁学教材都有意回避了计算球面上的电

场强度，我们如果把球面本身作为一个高斯面，就无法确定电荷是在球面内还是球

面外，这样就无法用高斯定理来计算，这是由于电荷的面分布是一种理想化模型造

成的。实际上，在现实中我们接触到的带电面总是有一定的厚度的, 那么我们在空

中任意一点所作的高斯面都可确定为面内的电荷, 这时面上的电场强度是可以计算

出来的。

电场强度在均匀带电球体表面上发生突变，场强的这种突变是由于对带电球壳

采用面模型的结果。面模型是当我们不关心带电薄球壳内的场强及球壳附近的场强

表达的是否正确，将带电薄球壳视为一个带电几何面的理想模型。当知道带电薄层

内的电荷密度时，层内各点的电场强度就可以求出来。假设均匀带电量为q 的薄球壳内外半径分别为21R R 和,电荷体密度为σ，由高斯

定理可求出其场强E 的分布：当r

当R 1< r < R 2时，做高斯面S ，如图所示：

图2.2 球壳与高斯面几何模型 ??s ds E =

01ε?3

4π(313r R -)ρ （2.2.6） E ?S=)r (343130

R -ερπ

E=)r (343130R S -ερπ=)r (r

43431320R -??περπ (2.2.7) E=)r

r (32310R -ερn （2.2.8）当r >R 2时，E = 20r 4q

πεn （2.2.9）

作电场随r 变化的曲线如图所示，此曲线为一连续曲线。即带电薄层内的场强

从一壁到另一壁是连续变化的，在任何地方都没有突变。

图2.3电场强度随r 的变化曲线

如果保持球壳带电量q 和外半径R 2不变，让球壳内半径R 1不断趋向与外半径

R 2，但是不能让R 1=R 2，不管球壳多么薄，其电场强度分布曲线都是连续的。当带电球壳很薄并且我们不管球壳内的场强及球壳附近的场强表达的是否正确，将薄球壳视为带电的几何面，即：

R 1=R 2=R

这时电场强度将在带电面上发生突变（如图所示），并且不能从（2.2.8）式求得R 处的电场强度。这时我们要得到电场随r 变化的全部情况，就需要知道球面上的电场强度。那么球面上任意一点的电场强度是否可以计算出来呢？

电场强度随r 的变化会发生突变，而高斯定理适合于电荷分布具有某种对称的情况下。均匀带点球面虽然是球对称性的，但是高斯定理求电场强度是过所求场强点作适合的高斯面，高斯面是一个几何面，无论哪一种电荷（包括点电荷）与其相交都会被分为球面内和球面外两个部分，因此，对于所作高斯面来讲，均匀带电薄球壳不能再抽象为均匀带电的几何球面了，无法用高斯定理求出球面上的电场强度了]3[。

既然无法用高斯定理不能完成任务，那么对于理想化的均匀带电球面上的场强又怎么求出呢? 最直接的方法也就是最基本的方法——用场强叠加原理通过积分的

方法计算。

3.用场强叠加原理通过积分计算均匀带电球面上的场强

由于在大多数普通电磁学教材中，都只计算了球体内外的场强，而在球面上的场强都没有给出，所以，在这里我们通过场强的叠加原理，来计算球面上的电场强度]4[。如图3.1所示，均匀带电球面上的电荷量为q ，电荷面密度为ρ，

d θ R

o θ .p x

图3.1均匀带电球面几何模型

我们把球面分成无限多个带电圆环球，位于θ到θ+d θ之间的球带面积为 ds=22R πsin θd θ，所带电量为dq=ρ22

R πsin θd θ，其中ρ为球面的面电荷密度ρ=2

4q R π。根据带电圆环在其轴线上的场强公式可知，该球带在球面上P 点产生的场强大小为：

dE = 0

πε 23223cos 22d sin cos 12）（）（θθθθρπR R R -- =2323230

)cos 1()2(sin )cos 1(241

θθθθρππε-?-?R d R =23330)

cos 1(22sin )cos 1(241

θθθθρππε-?-?R d R =23

0cos 12d sin cos 141）（）（θθθθπρπε-- （3.1）

方向沿 x 轴正向, 根据场强叠加原理, 带电面上 P 点的场强是所有这些带电球带在该点产生的场强dE 的矢量和。因为各个小圆环产生的的场强方向都相同, 矢量和变成代数和, 所以合场强是 dE 的标量积分：

E=dE =2

30)cos 1(2sin )cos 1(41θθθθπρπε--?d

=?--2

30)cos 1(24sin )cos 1(θεθθθρd =θθθερd sin )cos 1(24210--??

=)cos (sin )

cos 1(24210θθθερ

--?-?d =）（）（θθερ

πcos 1d cos 124210

0---? =πθερ

210])cos 1(2[24--?? =)022(240-?ερ

=2008q 2R

πεερ= （3.2）我们通过场强的叠加原理求出的均匀带电球面上的场强和电磁学教材上给出的球面附近的场强一致，所以我们求出的结果的正确性是有保证的。

4. 用场强的叠加原理计算带电球面空间的电场强度

4.1均匀带电球面空间的场强

假如有一个均匀带电球壳，半径为R ，它的总电荷为Q ，相对于壳的半径，它的厚度几乎可以忽略，球壳表面的面电荷密度为24R

Q πσ=

,如图4.1所示：

θ R y

θ p

图4.1均匀带电球壳空间模型

dA=2

θθπd sin 2R （4.1） dQ=σ2θθπd sin 2R （4.2）

从截面到p 点的距离为r-Rcos θ

θ角取值从0到π

那么就有

E r ()r =?+2

322202

]cos -r sin [d sin cos -r 2）（）（θθθ

θθεσR R R R （4.3）令u=cos θ

则?--+=112

32202r u r 2r R du

u -r 2r ）（）（）（R R R E εσ （4.4）在球面上时，即R=r

?--+=11232202r u r 2r R du

u -r 2r ）（）（）（R R R E εσ

=?--+-112

322202u 2du

u 1(2）（）R R R R R εσ

=?---112

302

u 122du u 1(2）（）R R R εσ =?---112

302

u 1du u 1(24）（）εσR = ?---112

102du u 1(24）

εσR

---1121

02u)-d(1u 1(24）εσR =1

1210

u 1(22--）εσR

=22202?εσR =02

2εσR =208R Q πε

（

4.5）由E r ()r =?+2

322202

]cos -r sin [d sin cos -r 2）（）（θθθ

θθεσR R R R 可得：在球面外，即r>R 时

8 由图可知

θrcos 2r y 222R R -+= θθd r s i n y d y R = r ydy

d sin R =θθ

r 2y r cos 222R R -+=θ r

2y r r 2y r r cos r 2

22222+-=-+-=-R R R θ ()2

02202

22220r r 2

220r r 22

0r r )]

r ()r ()r ()r [(4]r )r (r )r [(4)(4d )1(4r εσ

εσ

εσεσR R R R R r

R R R r R R R r R r

R y

R r y r R y

y R r r R E R

R R =++----+=--+--+--+=--=-+=+-+-?

=204r

πε

（4.6）在球面内，即R

()0

)]()()([4]

)()[(4)(4d )1(4r 202222202

22022

0r =+----++=--+--+--+=--=-+=+-+-?r R r R r R r R r

r R R

r r R r R R r r R r R y R r y r R y

y R r r R E r

R r

R r R r R εσεσεσεσ

（4.7）综上所述可知：

?????????<=>=r

r 4r 8Q r

02020R Q R R

R E πεπε

（4.8）

4.2 均匀带电半球面轴线上的场强

有一个均匀带电的半球面，它的半径为R ，电荷的面密度为σ，求球心处的电场强度。我在这里求轴线任意一点p 上的电场强度？

4.2.1 分割带电体积方法

首先选取坐标轴ox 沿半球面的对称轴，如图4.2所示，把半球面分成很多微小宽度的环带]

5[，每一个环带的面积为ds .

ds=θθπd R sin 22 （4.9）小环上带的电荷为：

dq =θθπσd R sin 22? （4.10）

设小环带到p 点的距离为r ，带电截面与p 点的距离为x ；

根据场强叠加原理, 带电面上 P 点的场强是所有这些带电球带在该点产生的场强dE 的矢量和。因为各个小圆环产生的的场强方向都相同, 矢量和变成代数和, 由均匀带电圆环在其轴线p 点产生的场强可知：

图4.2均匀带电半球面几何模型

dE = 23220)(4y x xdq

+πε （4.11）

x=r+Rcos θ y= Rsin θ

方向沿 x 轴正向。

10 2

322022

202232202])s i n ()c o s [(2)cos (sin ])sin ()cos [(2sin )cos (])sin ()cos [(4sin 2)cos (θθεθ

θθσθθεθ

θσθθθπεθθπσθR R r d R r R R R r d R R r R R r d R R r dE ++?+=++?+=++?+=

（4.12）所以和场强是 dE 的标量积分：

?+++=2023

202)]sin ()cos [()cos (sin 2π

θθθ

θθεσR R r d R r R E

?+++=20232202)c o s 2()c o s (s i n 2π

θθ

θθεσR rR r d R r R

（4.13）令u=22cos 2R rR r ++θ θθd rR du sin 2-= θθsin 2rR du

d -= r

R r u R 2cos 22--=θ ()?-+-=212

322

028u u u du

R u r r R E εσ

()][82121

1232202??--+--=u u u u du u du u R r r R εσ ])[(821

212

1232202du u du u R r r R u u u u ??--+--=εσ )]()11

)([(4121

22202u u u u R r r R

-+--=εσ

（4.14）当θ=0时， u=（r+R ）2=u 1 当θ=2π时， u=r 2

+R 2=u 2

)]()1

1)([(42222220R r r R R r r R R r r R

E --+++

-+-=εσ

（

4.15）

当r=0时，即半球的球心处，此时该点的电场强度为：

?==20004cos sin 2πεσθθθεσd E （4.16）

方向沿x 轴方向。这与电磁学书上给出的结论一致，可以保证它的正确性。

4.3 不均匀带电球体表面空间场强的分布

在静电学中，我们经常可以见到均匀带电球面空间场强的计算这类问题，它是将现实中的问题理想化的模型，但是在现实生活中，我们遇见的问题比较复杂，就像我们要讨论的问题：不均匀带电球面空间场强的分布问题，例如我们会遇到带电球面电荷密度为极角θ的余弦的函数的情况，因此，研究非均匀带电球面场强分布对研究电荷分布有非常重要的意义。

如图所示，非均匀带电球体表面一半带正电荷，一半带负电荷，在极角θ处，电荷面密度的数值是θ余弦的函数, 即θσσcos 0= , 求其球面空间电场强度的分布]6[。

在这里我们用两种方法来求解。 4.3.1 分割带电体积方法

首先选取坐标轴ox 沿半球面的对称轴，如图4.3所示，把半球面分成很多微小宽度的环带]

8[，每一个环带的面积为ds .

+ + + + θd R

+ + θ + - O - X

- -

- - -

图4.3不均匀带电球体几何模型

ds=θθπd R sin 22 （4.17）

小环上带的电荷为：

dq =

θθπθσd R sin 2cos 20? （4.18）

12 设小环带到p 点的距离为r ，带电截面与p 点的距离为x ；

dE = 2

3220)(4y x xdq

+πε （4.19） x=r-Rcos θ y= Rsin θ

方向沿 x 轴正向。

322

0202

220202

22020)cos 2(2)cos (sin cos ])sin ()cos [(2sin cos )cos (])sin ()cos [(4sin 2cos )cos (R rR r d R r R R R r d R R r R R r d R R r dE +-?-=+-?-=+-?-=θεθ

θθθσθθεθθθσθθθπεθ

θπθσθ

（4.20）所以和场强是 dE 的标量积分：

?+-+=202322020)cos 2()cos (sin cos 2π

θθ

θθθεσR rR r d R r R E

?+-+=20232200)c o s 2()c o s (s i n c o s 2πθθ

θθθεσR rR r d R r R R

（4.21）

令u=θcos 222rR R r -+两边同时求导 θθd rR du sin 2=

∴θθsin 2rR du

d = r

u R r R 2cos 22-+=θ

那么E=?+--202

32200)cos 2()cos (sin cos 2π

θθ

θθθεσR rR r d R r R R

=?+-?-+212322220022)(2)(2u

u rRu

du r u R r r u R r R εσ =du u u R r u R r r u u 23

2222030)()(162

1+--+?εσ =2

]324)(2[16232124421030u u u u R r R u r -+--εσ （4.22）当0=θ时，u=222)(2R r rR R r -=-+=u 1 当2π

θ=时，u=222u R r =+

)](3

2)(4)11)((2[163

1321221244030

u u u u R u u r R r E ---+--=εσ

（4.23）当r=0时，即计算球心的场强。

4.3.2立体角法

在半球面上任取一个面元dS （如图4.4），面元dS 所对应的立体角为d Ω

。

图4.4不均匀带电班球面几何模型

则面元dS 在球心O 处产生的场强大小dE 为：

204R dS

dE πεσ=

其中θσσcos 0=

2004cos R ds dE πεθσ=

∴ （4.24）那么，整个球面上所有电荷元在球心O 处产生的场强E 的大小之和可以表示为:

???===2002004cos 4cos R dS R dS dE E πεθσπεθσ （4.25）

又Ω=2R dS

002cos 24cos εθσππεθσ=?=∴E （4.26）

5.均匀带电球面在介质中的场强

设电容率为ε的介质球置于均匀外电场0E 中,介质球在外电场中极化，在它表面上产生束缚电荷。这些束缚电荷激发的电场叠加在原电场0E 上,得总电场E .束缚电荷分布和总电场E 相互制约,边界条件正确地反映这种制约关系.若球半径0R ,球外为真空。这个问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场0E 方向的轴线，取此轴线为极轴]7[。介质球的存在使空间分为两均匀区域——球体区域和球内区域。两个区域内部都没有自由电荷，因此电势?都满足拉普拉斯方程.以1?代表球外区域的电势，2?代表球内区域的电势.有公式()θ?c o s 1n n n n n P R b R a ??? ??+∑=+（其中()θcos n P 为勒让德函数，n a 和n b 是任何常数，有边界条件确定.），两区域的通解为： ()θ?cos 11n n n n n n P R b R a ???? ??+

=+∑ （5.11a ）

()θ?cos 11n n n n n n P R d R c ∑??? ??+

=+ （5.12a ）

（1）无穷远处， 0E E →,由()()??-=-2112p p dl E P P ??易得

()θθ

?c o s c o s 1001RP E R E -=-→ （5.13a ）因而

)1(0,01≠=-=n a E a n （5.14a ）

（2） R =0处，2?应为有限值，因此

0=n d

（5.15a ）（3）在介质球面上()0R R =:

R R ??=??=2

1021,?ε?ε??

（5.16a ）把（5.11a ）和（5.12a ）式代入得

()()()

θθθc o s c o s c o s 010100n n

n n n n n n P R c P R b P R E ∑∑=+

（5.17a ） ()()()θεε

θθc o s )(c o s 1c o s 1

002010n n n n n n n n P R nc P R b n P E -+∑∑=+-

比较1P 的系数得

1201

00R c R b R E =+

0301

02c R b E εε=-

（5.18a ）有（5.18a ）式解出

0000

123,2E c R E b εεεεεεε+-=+-=

（5.19a ）比较（5.17a ）式其他n P 项的系数可解出

1,0≠==n c b n n

（

5.20a ）所有常数已经定出，因此本问题的解为

θεεε?θεεεεθ?c o s 23c o s 2c o s 00022

3000001R E R R E R E +-=--+-= （5.21a ）

所以 0000222033000001112322E E r E E R

R E E r E εεε??εεεε??+=??=

-?=+---=??=-?= （5.22a ）上式即为球体目标的电场分布公式（现在讨论此解的物理意义.由2E 总是小于1，所以球内电场比原来的电场0E 为弱，这是由于介质球极化后在右半球面上产生正束缚电荷，在左半球面上产生负束缚电荷，因而在球内束缚电荷激发的场与原外场反向，使总电场减弱。

b 设接地无限大平面导体边附近有一点电荷Q ,从物理上分析，在点电荷Q 的电场作用下，导体板上出现感应电荷分布。若Q 为正的，则感应电荷为负的。空间中的电场是由给定的点电荷Q 以及导体面上的感应电荷共同激发的，而另一方面感应电荷分布又是在总电场作用下达到平衡的结果。平衡的条件就是导体的静电条件，即导体表面为一等势面.所以这问题的边界条件是

=?常数（导体面上）

或者说，电场线必须与导体平板垂直。我们设想，假设感应电荷对空间电场的作用能用一个假想的电荷1Q ，然后把导体板抽去，若Q Q -=1。则假想电荷1Q 与给定电荷Q 激发的总电场具有对称性，有对称性容易看出，在原导体板平面上，电场线处处与它相交，因而边界条件得到满足。因此，导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷1Q 代替。1Q 称为Q 的镜像电荷.导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q 与镜像电荷Q Q -=1共同激发的电场.以r 表示Q 到场点P 的距离，1r 表示镜像电荷1Q 到P 的距离。P 点的电势为：

()???? ??-=

1041r Q r Q P πε? (5.11b) 选Q 到导体板上的投影点O 作为坐标原点，设Q 到导体板的距离为a ，有

()()()????????+++--++=222222041,,a z y x Q a z y x Q z y x πε? （5.12b ）

带电球体电场与电势的分布

带电球体电场与电势的分布王峰（南通市启秀中学物理学科江苏南通 226006）在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -?”的关系曲线图，供大家参考。本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．．中，即相对介电常数10=ε；对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。 1、带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。电场分布： 1.1.1内部（r

求均匀带电球体的场强分布

1.求均匀带电球体的场强分布。电势分布。已知球体半径为R ，带电量为q 。解 : (运动学３册)例１—1 质点作平面曲线运动,已知m t y tm x 2 1,3-==，求：（1）质点运动的轨道方程；(２)s t 3=地的位矢;（3)第２s 内的位移和平均速度;（4）s t 2=时的速度和加速度；（5)时刻t 的切向加速度和法向加速度:（６）s t 2=时质点所在处轨道的曲率半径。解：（1)由运动方程消去t ，得轨道方程为： 9 12 x y -= (2)s t 3=时的位矢j i j y i x r 89)3()3()33(-=+=,大小为

m r 126481|)3(|≈+=，方向由)3(r 与x 轴的夹角'?-==3841) 3() 3(arctan x y a 表示。（3)第2s 内的位移为j i j y y i x x r 33)]1()2([)]1()2([-=-+-=?，大小m r 2399||=+=?,方向与与x 轴成?-=??=45arctan x y a ，平均速度v 的大小不能用v 表示,但它的y x ,分量可表示为t y v t x v y x ??= ??= ,。（4）由,,23当时tj i j dt dy i dt dx v -=+= ,43)2(j i v -= 大小'?-=-=?=+= -853)3 4 arctan( ,5169)2(1a s m v 方向为。 j dt dv a 2-== 即a 为恒矢量，.,21 轴负方向沿y s m a a y -?-== （5）由质点在t 时刻的速度22249t v v v y x +=+= ,得切向加速度 2494t t dt dv a +==τ，法向加速度2 2 2496t a a a n +=-=τ。注意： ||dt dv dt dv ≠,因为dt dv 表示速度大小随时间的变化率,而||dt dv 表示速度对时间变化率的模,切向加速度τa 是质点的(总）加速度a 的一部分,即切向分量,其物理意义是描述速度大小的变化；法向加速度n a 则描述速度方向的变化。（6）由s t v a n 2,2 == ρ 时所求的曲率半径为 m a v n 8.202 .125)2(|)2(|2===ρ

几种典型带电体的场强和电势公式

几种电荷分布所产生的场强和电势 1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R ，带电量为q ）电场强度矢量：?? ???<=>=）（球面内，即。）（球面外，即R r r E R r r r q r E 0)( , 41)( 3 επ 电势分布为：()()??? ???? ==（球内）。（球外）， 41 41 0 0 R q r U r q r U επεπ 2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为q ）电场强度矢量：??? ? ??? >=<=）（球体外，即。）（球体内，即，R r r r q r E R r R r q r E 41)( 41)( 3030 επεπ 电势分布为：()()() ??? ? ??? <-=>=即球内）（。即球外）（， 3 81 41 3 2 20 0 R r R r R q r U R r r q r U επεπ 3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为σ）电场强度矢量：离无关。）（平板两侧的场强与距 ) (2)(0 i x E ±=εσ 电势分布为： ()()r r r U -= 00 2εσ 其中假设0r 处为零电势参考点。若选取原点（即带电平面）为零电势参考点。即00=U 。那么其余处的电势表达式为： ()()??? ? ??? ≤=≥-=0 2 0 2 00x x x U x x x U εσ εσ 4、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R ，单位长度的带电量为λ。）电场强度矢量 ?? ??? <=>=，即在柱面内）（。即在柱面外）（，R r r E R r r r r E 0)( , 2 )( 2 επλ

均匀带电球面和载流柱面上场强的计算

均匀带电球面和载流柱面上场强的计算摘要：对于均匀带电球面上一点的电场强度和无限长均匀载流柱面上一点的磁感强度问题，无法采用教材中常用的静电场高斯定理和磁场安培环路定理求解，该文分别用电场和磁场叠加原理进行了求解，得到了该问题的具体表达式。关键词：均匀带电球面均匀载流柱面高斯定理安培环路定理叠加原理中图分类号：O411 文献标识码：A 文章编号：1674-098X （2016）02（c）-0159-02 在求解均匀带电球面上电场强度分布时，一般都是通过静电场的高斯定理求解，但是对于理想的均匀带电球面来讲，这种方法只能求出球面内部和外部的电场强度分布，而对于球面上一点的场强，由于无法确定高斯面内电荷分布而无法利用高斯定理求解，对两边取极限的方法也无法求出，有些教材只指出在球面上场强值不连续或有一突变[1，2]，但并没给出具体值。同样，在求解无限长均匀载流柱面磁感应强度分布时，一般都是磁场安培环路定理求解，而对柱面上一点的磁感应强度，这种方法也同样由于无法确定环路包围的电流强度大小而无法求解，该文对这两个问题分别采用场叠加原理进行了计算。

1 均匀带电球面上一点的电场强度图1为一半径为的均匀带电球面，带电量为，根据电场的高斯定理，可求得球面内外的电场强度分布为[3]：该结论并没有给出球面上任一点（即）处的电场强度，原因在于对理想的均匀带电球面，利用高斯定理求解该位置处电场强度时，无法确定高斯面内包围的电荷量。该问题可通过叠加原理进行求解。为求球面上任一点点的电场强度，建立图示的坐标系，并将球面分割为无数多个半径不同的无限窄的环带，在坐标处、取高度为的环带如图1所示，环带面元面积为：所带电量为：根据带电圆环轴线上一点的场强公式可得所取环带在点的电场强度大小。由于各环带在点产生的电场强度方向均沿轴正方向，所以整个球面在点产生的电场强度为：利用几何关系及可得点总场强：与球面内外场强分布比较可知，该处场强发生了一突变。 2 无限长均匀载流柱面上一点的磁感强度图1所示示为一半径为、电流沿轴向均匀分布的无限长圆柱面的截面图，总电流强度为，根据磁场的安培环路定理，可得柱面内外的磁感强度分布为[3]：为求柱面上任一点点的电场强度，建立图1所示的坐标

带电球体电场与电势的分布

王峰（南通市启秀中学物理学科江苏南通 226006）在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的“r E -”和“r -?”的关系曲线图，供大家参考。本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境．．．．中，即相对介电常数10=ε；对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即0=∞U 。 1、带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。电场分布： 1.1.1内部（r

带电球体电场及电势的分布.docx

带电球体电场与电势的分布王峰（南通市启秀中学物理学科江苏南通 226006）在高三物理复习教学中，遇到带电体的内、外部场强、电势的分布特点问题时，我们一般以带电金属导体为例，指出其内部场强处处为零，在电势上金属体是一个等势体，带电体上的电势处处相等；但对带电金属导体的内、外部场强、电势的大小的分布特点及带电绝缘介质球的内、外部电场、电势的大小分布很少有详细说明；而在电场一章的复习中，常常会遇到此类问题，高三学生已初步学习了简单的微积分，笔者在此处利用微积分的数学方法，来推导出上述问题的答案，并给出相应的 “ E r ”和“ r ”的关系曲线图，供大家参考。本文中对电场、电势的分布推导过程均是指在真空环境中，即相对介电常数．．．． 0 1 ；对电势的推导均取无穷远处为电势零参考点的，即 U 0 。 1、带电的导体球：因为带电导体球处于稳定状态时，其所带电荷全部分布在金属球体的表面，所以此模型与带电球壳模型的电场、电势分布的情况是一致的。电场分布： 1.1.1 内部（ r

带电球体电场与电势的分布

带电球体电场与电势的分布文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

均匀带电球体表面电场强度的计算论文

摘要因此均匀带电球体表面电场强度使用高斯定理不能获得，因为高斯定理是一个几何表面，表面电荷也利用几何模型，当高斯分割和表面电荷，表面电荷不能被视为一个几何面，与普通物理的电磁学教材在讨论均匀表面电荷产生的电场强度分布不计算表面电场。本文介绍了叠加原理，点电荷球形均匀一个任意点的磁场强度值，表面磁场强度为球形面很近球形点电场强度平均值，并从外地叠加原理的两种方法求出了均匀带电球面电场强度值。关键词：带点球面；电场强度；叠加原理；电荷面密度；高斯定理；突变 I

Abstract pick due to uniform charged sphere surface electric field intensity using Gauss theorem cannot be obtained, because Gauss's theorem is a geometric surface, surface charge is also using the geometric model, when Gauss segmentation and surface charge, surface charge cannot be regarded as a geometric surface, and general physics electromagnetics teaching materials in the discussion of uniform charged surface electric field intensity produced by distribution are not calculated spherical electric field intensity of. This paper introduces the principle of superposition of point charge and spherical uniform with an arbitrary point of the field strength value, the surface field strength for spherical sides very near spherical point field strength average value, and from the field superposition principle by two kinds of method to seek out the uniformly charged spherical surface electric field strength value. Keywords: with spherical; electric field intensity; superposition principle; surface charge density; Gauss theorem; mutation II

几种典型带电体的场强和电势公式

几种电荷分布所产生的场强和电势1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R，带电量为q）电场强度矢量：电势分布为： 2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为q）电场强度矢量：电势分布为： 3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为σ）电场强度矢量：电势分布为：其中假设处为零电势参考点。若选取原点（即带电平面）为零电势参考点。即。那么其余处的电势表达式为： 4、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R，单位长度的带电量为λ。）电场强度矢量电势分布为：其中假设处为零电势参考点。且处位于圆柱柱面外部。（即>R）。若选取带电圆柱柱面处为零电势参考点。（即）。那么，其余各处的电势表达式为： 5、均匀分布的无限长带电圆柱体（体电荷密度为ρ、半径为R。）电场强度矢量：电势：其中假设圆柱体轴线处为零电势参考点。即。 6、均匀分布的带电圆环（带电量为；圆环的半径为。）在其轴线上x 处的电场强度和电势电场强度矢量：。其中为轴线方向的单位矢量。讨论：（a）当。此时带电圆环可视为点电荷进行处理。（b）当。即，带电圆环在其圆心处的电场强度为零。电势：。其中电势的零参考点位于无穷远处。带电圆环在其圆心处的电势为：。　7、均匀分布的带电直线（其中，线电荷密度λ，直线长为l）（1）在直线的延长线上，与直线的端点距离为d的P点处：电场强度矢量：。。（2）在直线的中垂线上，与直线的距离为d的Q点处：电场强度矢量为：。

电势：。（3）在直线外的空间中任意点处：电场强度矢量：。其中：。或者改写为另一种表示式: 即: 。其中：电势：。（4）若带电直线为无限长时，那么，与无限长带电直线的距离为d的P点处：电场强度矢量：。电势：。其中假设d0或（r0）为电势的零参考点。（5）半无限长带电直线在其端点处：（端点与带电直线的垂直距离为d）电场强度矢量：。 8、电偶极子的电场强度和电势（1）在电偶极子的延长线上x处：其中（X >>）电场强度矢量：。电势：。

匀速定轴转动的均匀带电球体的全-

匀速定轴转动的均匀带电球体的全空间磁场分布摘要：如何求匀速定轴转动的均匀带电球体的全空间磁场分布是电磁学中的一个非常重要的问题。这类问题的解法是多种多样的，可是传统的方法比较繁琐。对于匀速定轴转动的均匀带电球体，本文先运用多种方法求出均匀带电球面的磁场分布，再运用磁场的叠加原理求出匀速定轴转动的均匀带电球体的全空间磁场分布。关键词：均匀带电球体磁场分布磁场叠加原理磁矢势磁标势 1.引言求绕对称轴匀速转动的均匀带电球体的全空间磁场分布是电磁学中的一个非常重要问题。这类问题的解法是多种多样的，可是传统的方法比较繁琐。文献[6]从场强的叠加原理出发，用类比的方法，在介绍矢势A、.磁化强度M、和电场强度E三者关系的基础上，给出了一个解决此类问题的新方法。本文首先利用类比的方法，将绕对称轴匀速转动的非导体均匀带电球面等效成均匀磁化介质球，然后用多种方法先求出绕对称轴匀速转动的均匀带电球面的全空间磁场分布，再运用磁场的叠加原理，通过把均匀带电球面看作非常薄的均匀带电球体，利用数学积分计算，从而得到了匀速定轴转动带电球体的全磁场分布。本文用三种方法求出均匀磁化球的磁场强度，从而就能得到绕对称轴匀速转动的均匀带电球体的全空间磁场分布[6]。 2. 均匀带电球面的磁场分布图1所示的是一半径为R的表面均匀带电的非导体球面，其电荷面密度为，如果这一非导体球面以自身直径为轴并以恒角速度转动，因此将在周围空间中产生磁场。均匀带电球面绕轴转动，所以它的面电流密度为: 由磁化强度M与磁化电流密度错误！未找到引用源。之间的关系式错误！未找到引用源。（其中介质的外法线方向单位矢是n）可得，对于一个均匀磁化介质球而言，其磁化面电流密度大小是：如图2所示为其分布图像。经过对比可知，在研究产生的磁特性时，可以将以匀角速度绕轴旋转的一个均匀带电的非导体球面，等效成一个均匀磁化介质球体。比较上面的两个式子可得:对于匀速旋转的非导体均匀带电球面，可等效成为均匀磁化介质球。其等效磁化强度为:

带电球体电场与电势的分布

∵ 2 22 121214sin )sin (4R Q K r r R Q K E P θθππ=?= 2 222 2 2224sin )sin (4R Q K r r R Q K E P θθππ=?= 且P E 1与P E 2等大反向 ∴0=P E ，即均匀带电导体球（或球壳）内部的电场强度处处为零。 1.1.2外部（r >R ）：如图（2）所示，要计算带电金属球（壳）的外部P 点的电场强度，可以把带电导体球的表面分割成许多的单元面ds ，将每个单元面上电荷在P 点产生的电场dE 进行叠加，求出P 点的合场强P E 。由于球面上单元面ds 的对称性特点，可知P 点的电场强度P E 的方向最终应该沿OP 连线的方向。

均匀带电球体表面电场强度的计算 论文

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均匀带电球体表面电场强度的计算论文

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