华师大版八年级下册数学知识点总结

八年级华师大版数学(下)

第１6章分式

§16.1分式及基本性质

一、分式的概念

A

1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

B 叫做分式。

3、分式有意义、无意义的条件

(1）分式有意义的条件：分式的分母不等于０;

(2)分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为０的条件:

A=0的条件当分式的分子等于0,而分母不等于0时，分式的值为0。即，使

B

是：Ａ=０,B≠0。

二、分式的基本性质

通分:利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值,把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是:确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：(1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式,就先把分母是多项式的分解因式,再参照单项式求最简公分母的方法,从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

约分:根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。

在约分时要注意：（1)如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式,即约去分子、分母系数的最大公约数,相同字母的最低次幂；(2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式,然后找出它们的公因式再约

分;(3)约分一定要把公因式约完。

三、分式的符号法则:

(1）－a b ＝ 错误!=－错误!；(2)错误!=错误!；(3）- 错误!=错误!

§１6.2分式的运算

一、分式的乘除法

应用法则时要注意:（１）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正,异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2)当分子分母是多项式时,应先进行因式分解，以便约分;(3)分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的加减法

(一）同分母分式的加减法

１、 用式子表示：

2、注意事项：(1)“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减,各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时,括号不能省略;(2)分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

(二）异分母分式的加减法

1、法则:异分母分式相加减,先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示：bd bc ad bd

bc bd ad d c b a ±=±=±。 2、注意事项：（１)在异分母分式加减法中，要先通分,这是关键,把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。(2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为１，然后进行通分。（３)当分子的次数高于或等于分母的次数时,应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算

注意事项:(1）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用,要灵活运用交换律、结合律和分配律；（２）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约

b c a b c b a ±=±

分，保证运算结果是最简分式或整式。

§16.3 可化为一元一次方程的分式方程

一、分式方程基本概念

1、定义:方程中含有分式,并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

二、分式方程的解法

1、解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。

方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母,化为整式方程求解。

2、解分式方程的一般步骤：

（1）去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原

分式方程化为整式方程;

(2)解这个整式方程;

（3)验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原分式方程的根,使最简公分母为０的根是原分式方程的增根,必须舍去。这种验根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误,还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验,这种方法可以发现解方程过程中有无计算错误。

3、分式方程的增根。意义是:把分式方程化为整式方程后,解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根,因此，解分式方程必须验根。

三、分式方程的应用

1、列分式方程解应用题的一般步骤如下:

(１）审题。理解题意，弄清已知条件和未知量;

（2）设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设法两种;

(3)找出题目中的等量关系，写出等式；

(4）用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程;

(5）解方程。求出未知数的值;

(6)检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根,还要检验未知数的值是否符合题目的实际意。“双重验根”。

§１6．４ 零指数幂与负整数指数幂

一、零指数幂

1、定义:任何不等于零的实数的零次幂都等于1,即a 0=1（ａ≠0)。

2、特别注意:零的零次幂无意义。即00无意义。若问当ｘ=__＿_＿时，(ｘ-２)０有意义。答案是:x ≠2。

二、负整数指数幂

１、定义：任何不等于的数的-n （ｎ为正整数）次幂,都等于这个数的n 次幂的倒数，即a －ｎ=n

a 1（a ≠0,n 为正整数) 2、注意事项：

（1)负整数指数幂成立的条件是底数不为０；

(2)正整数指数幂的所有运算法则均适用于负整式指数幂,即指数幂的运算可以扩大到整数指数幂范围;

（3）要避免像5-２=－2×5=-1０的错误，正确算法是：。

三、用科学计数法表示绝对值小于1的数

１、规则：绝对值小于１的数,利用10的负整式指数幂,把它表示成a ×1０－n （n 为正整数）,其中1≤|ａ｜＜10。

2、注意事项:

(1)n 为该数左边第一个非零数字前所有０的个数（包括小数点前的那个零)。如-0.00021=-2.１×10－4

（2）注意数的符号的变化,在数前面有负号的,其结果也要写符号。

(３)写科学记数法的关键的是确定10ｎ的指数n 的值。

第１7章 函数及其图象

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§17.1变量与函数

一、函数概念

1、定义：在某个变化过程中,如果有两个变量x和y,对于x的每一个确定的

值,ｙ都有唯一的值与其对应，那么,我们就说ｙ是x的函数,其中x

叫做自变量,y叫做因变量。

２、对函数概念的理解，主要抓住三点:

（1)有两个变量；

（２）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；

(3)自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。

二、函数的表示法:(1）列表法；（2）图象法；（3）解析法。

三、求函数自变量的取值范围

１.实际问题中的自变量取值范围

按照实际问题是否有意义的要求来求。

2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围

例１．求下列函数中自变量x的取值范围

(1)解析式为整式的，x取全体实数；

(2）解析式为分式的,分母必须不等于0式子才有意义;

（３)解析式的是偶次方根的被开方数必须是非负数式子才有意义;

(4）解析式是奇次方根的,自变量的取值范围是全体实数。

3．函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值,称为函数值;实际上就是以前学的求代数式的值。

§１7.2函数的图象

一、平面直角坐标系

1、定义:平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

2、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应。

３、坐标的特征：ｘ轴上点的纵坐标等于零；y轴上点的横坐标等于零．

4、对称点的坐标特征（最好画图来看)

（１)关于ｘ轴对称的两点：（2)关于y轴对称的两点:；

(3)关于原点对称的两点：

5、点到两坐标轴的距离：点A（a,b)到ｘ轴的距离为|b|,点A（a,b)到y轴的

距离为|a|。

二、函数的图象

作函数图象的方法:描点法。步骤：（1）列表;(2)描点;(３)连线。

§17．3 一次函数

一、一次函数的概念

“正比例函数”与“成正比例”的区别：

正比例函数一定是y＝ｋx这种形式,而成正比例则意义要广泛得多,它反映了两个量之间的固定正比例关系，如ａ＋3与ｂ-2成正比例，则可表示为：ａ＋3=k(b－２）(k≠0)

二、一次函数的图象

1、若两个不同的一次函数的一次项的系数相同，则这它们的图象平行。

2、交点:坐标轴交点，两函数交点

三、一次函数的性质

１、一次函数y＝ｋx＋b(k、b为常数,ｋ≠0)的性质

（1）当k>0时,①当b＞0时,图象经过一、三、二象限,y随x的增大而增大，这时函数图象从左到右上升。②当b<0时,图象经过一、三、四象限,y随x的增大而增大,这时函数图象从左到右上升。

(2)当k<0时，①当b＞０时,图象经过二、四、一象限，y随x的增大而减小，这时函数图象从左到右下降。②当ｂ<０时，图象经过二、四、一象限,y随x的增大而减小,这时函数图象从左到右下降。

四、确定正比例函数好一次函数的解析式:待定系数法

五、一次函数（正比例函数)的应用：与方程的应用差不多,注意审题步骤。

§17.4 反比例函数

一、反比例函数

（1)将ｙ= ＼f （k,x) 转化为xy=k,由此可得反比例函数中的两个变量的积为定值,即某两个变量的积为一定值时，则这两个变量就成反比例关系。

(2)“反比例函数”与“成反比例”之间的区别在于,前者是一种函数关系，而后者是一种比例关系，不一定是反比例函数,如说ｓ与t 2成反比例，可设为s= 错误! （k ≠０的常数）,但这显然不是反比例函数。

二、反比例函数ｙ=

错误!的性质 1、性质:（1)当ｋ>０时,图象的两个分支位于一、三

象限,在每个象限内,y 随x 的增大而减小；

（2)当ｋ<0时，图象的两个分支位于二、四

象限，在每个象限内,ｙ随x 的增大而增大；

注意：不能笼统地说反比例函数的“y 随x 的增大而增大或减小”，必须注

意是在“各自的象限内”

2、反比例函数的表达式中的几何意义

如图所示,若点A 是反比例函数y=

错误!上的点,且AB 垂直于x 轴,垂足为B ，AC 垂直于y 轴,

垂足为C ，则Ｓ矩形ＡBOC =|k|,S △AOB =S △AOC = 12

S 矩形ABOC ＝ 错误!|k| 三、反比例函数的应用。注意联系实际问题和用解决方程应用题的思路。 第１８章 平行四边形

§18.1平行四边形的性质

一、平行四边形的性质

A B

C O

(一）平行四边形的有关概念

１、定义:有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

２、表示方法:专用符号:“ ”。 如图的平行四边形看表示为: AB ＣＤ;读作：“平行四边形ABC Ｄ”

3、平行四边形的“对边”是指:互相平行的两边；“对角”是指:“开口”相对的两角。

４、平行四边形的对角线：指两对角定点的连线。

（二）平行四边形的性质

1、平行四边形的对边相等,对角相等。

2、平行四边形的对角线互相平分。

3、两平行线之间的距离处处相等。

４、平行四边形是中心对称图形。

5、Ｓ =底×高。

(三)平行四边形的作用

1、由定义可以把平行四边形用于证明两直线(线段)平行；

２、可以用作判定平行四边形。

二、平行四边形判定

（一）判定方法

1、从边看:

(1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

(２）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

2、从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

3、从对角线看:对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（二)平行线之间的距离

A B C D

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。两平行线之间的距离处处相等。

第1９章矩形、菱形、与正方形

§19．1 矩形

一、矩形的性质

1、定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、性质：矩形具有平行四边形的所有性质。

(１)矩形的四个角都是直角；

(２）矩形的对角线相等且互相平分；

(3）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；

（4）S矩形=长×宽。

3、直角三角形的一个重要特性：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

二、矩形的判定方法

1、有一个角是直角的平行四边形是矩形;

2、对角线相等的平行四边形是矩形;

3、有三个角是直角的四边形是矩形。

§19．2 菱形

一、菱形性质

1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、性质:菱形具有平行四边形的所有性质。

（1）菱形的四条边都相等；

（2)菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

(3）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形;

（４)S菱形=底×高=错误!对角线①×对角线②。

二、菱形的判定方法

１、一组邻边相等的平行四边形是菱形;

2、四条边都相等的四边形是菱形；

３、对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

§19.３正方形

一、正方形的性质

1、定义：

(1)有一个内角是直角、一组邻边相等的平行四边形叫做正方形;

(２）有一个内角是直角的菱形是正方形；

（3）有一组邻边相等的矩形是正方形。

2、性质:

(1)正方形具有平行四边、矩形和菱形的所有性质；

（2)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形;

（3）S正方形=边长2= 错误!×对角线2。

二、正方形的判定方法。用定义也可判定。

１、有一个角是直角的菱形是正方形;

2、有一组邻边相等的矩形是正方形；

3、对角线相等的菱形是正方形;

4、对角线互相垂直的矩形值正方形

第20章数据的整理与初步处理

§20.１平均数

一、算术平均数的意义

二、加权平均数

三、中位数

1、定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小)的顺序排列后,处在最中间位置的的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。

四、众数