N-s方程的推导
圆的标准方程优秀教案
第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 教材分析 本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用． 教学目标 重点: 圆的标准方程的理解、掌握． 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程. 能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程. 易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程. 拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程． 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 问题 1：什么是圆？ 【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答． 【设计说明】学生回答． 问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？ 【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）． 【设计说明】教师引导，学生回答． 问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？ 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题． 二、探究新知
《圆的方程》教学设计
《圆的方程》教学设计 栖霞一中数学组：张红菊 【教材分析】 本节是这一章的基础和重点，圆的标准方程的推导和求解，为判断“直线和圆的位置关系”以及“圆和圆的位置关系”作了铺垫和引导，几何条件和代数条件的转换也是平面几何的能力之一。 【教学目标】 1.知识与技能： （1）使学生掌握圆的标准方程，能够根据圆心的坐标、圆的半径熟练地写出圆的标准方程，能够从圆的标准方程中熟练地求出圆 心坐标和半径； （2）能够根据构成圆的几何条件判断出点和圆的位置关系，并能转化成代数条件。 （3）能够根据圆的性质，求解圆的标准方程。 2.过程与方法： （1）使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。 （2）体会数形结合思想，能够熟练的实现几何条件和代数条件的相互转化，养成代数方法处理几何问题能力，。 （3）培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 3.情感、态度与价值观： 通过求解圆的标准方程，培养学生自主解决问题的能力，激发学生自主探究问题的兴趣，培养学生积极向上的良好学习品质。
【教学重点】 圆的标准方程的理解和掌握。 【教学难点】 圆的标准方程的应用。 【教学方法】 利用探究式、启发式教学。 【教学手段】 借助于多媒体，通过《几何画板》的演示让学生直观形象地观察理解、解决问题，并能够归纳出结论。 【教学过程】 一．复习引入 1.提出问题:在平面直角坐标系中，确定直线的几何条件有哪两种？设计意图:复习旧知，引入新课程。 问题答案:第一种：已知一个点和倾斜角（斜率）； 第二种：已知两个点。 师生活动:教师提问，学生回答问题。 2.问题思考:在平面直角坐标系中，确定圆的几何条件是什么？ 设计意图:通过问题思考，从几何方面探究确定圆的条件。在《几何画板》中，通过动态演示和数据的变化，使学生体会 到确定圆的两个条件。 问题答案:圆心的位置和圆半径的大小。
知识讲解圆的方程基础
圆的方程 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【要点梳理】 【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2 2 2 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时： ||||a b r ==；过原点：222a b r += (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()22 2 00||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22 2 00||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22 2 00||CM r x a y b r ?时，方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ?为圆心， 为半径. 要点诠释： 由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当22 40D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2 2 40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
圆的标准方程 优秀教案
圆的标准方程 【教学目标】 （1）认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法； （2）掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径； （3）能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程。 【教学重难点】 圆的标准方程及其运用。 圆的标准方程的推导和运用。 【教学过程】 一、问题情境 1．情境： 河北赵州桥是世界上历史最悠久的石拱桥，其圆拱所在的曲线是圆，我们能否表示出该圆弧所在圆的方程呢？ 2．问题： 在表示方程以前我们应该先考察有没有坐标系？如果没有坐标系，我们应该怎样建立坐标系？如何找到表示方程的等式？ 二、学生活动 回忆初中有关圆的定义，怎样用方程将圆表示出来？ 三、建构数学 1．由引例赵州桥圆弧所在圆的方程的求解过程推导一般圆的标准方程： 一般地，设点(,)P x y 是以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆上的
任意一点，则||CP r =r 即 222()()x a y b r -+-=（1） ； 反过来，若点Q 的坐标00(,)x y 是方程(1)的解，则222 00()()x a y b r -+-=， r =，这说明点00(,)Q x y 到点C (,)a b 的距离为r 即点Q 在以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆上； 2．方程222()()(0)x a y b r r -+-=>叫做以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程； 3．当圆心在原点(0,0)时，圆的方程则为222(0)x y r r +=>； 特别地，圆心在原点且半径为１的圆通常称为单位圆；其方程为221x y += 四、数学运用 1．例题： 例1．分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径： （2）22(2)(3)7x y -+-=； （2）22(5)(4)18x y +++= （3）22(1)3x y ++= （4）22144x y += （5）22(4)4x y -+= 解：（如下表） 例2．（1）写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M -，(1)N - 是否在这个圆上； （2）求圆心是(2,3)C ，且经过原点的圆的方程。 解：（1）∵圆心为(2,3)A -，半径长为5 ∴该圆的标准方程为22(2)(3)25x y -++= 把点(5,7)M -代入方程的左边2222(52)(73)3425-+-+=+=＝右边即点(5,7)M -的坐标适合方程，∴点(5,7)M -是这个圆上的点；
圆的一般方程
圆的一般方程 教学目标:1. 理解一个二元二次方程表示圆的条件 2. 掌握圆的一般方程 3. 会求圆的一般方程，并能利用圆的一般方程解决实际问题 重点难点: 求圆的一般方程，二元一次方程与圆的方程的关系 引入新课 问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。 1．圆的一般方程的推导过程． 2．若方程Ey Dx y x +++22+F =0表示圆的一般方程，有什么要求？ 例题剖析 例1．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 ()()222214441290244412110 x y x y x y x y +-++=+-++= 例2． 已知ABC ?的顶点坐标)34( ，A ，)25( ，B ，)01( ，C ，求ABC ?外接圆的方程． 变式训练：已知ABC ?的顶点坐标)11( ，A 、)13( ，B 、)33( ，C ，求A B C ?外接圆的方程．
例3． 某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度m AB 36=，拱高m OP 6=，每隔m 3 需要一个支柱支撑，求支柱22P A 的长（精确到m 01.0）． 例4． 已知方程0834222=+++++k y kx y x 表示一个圆，求k 的取值范围． 变式训练：若方程02)1(22222=+-+-+m y m mx y x 表示一个圆，且该圆的圆心 位于第一象限，求实数m 的取值范围． 巩固练习 1．下列方程各表示什么图形？ （1）0)2()1(22=++-y x ； （2）044222=-+-+y x y x ； （3）0422=-+x y x ； （4）02222=-++b ax y x ； 2．若方程0424222=-+-++m m y mx y x 表示圆，则实数m 的取值范围为 3．如果方程Ey Dx y x +++22+F =0)04(22>-+F E D 所表示的曲线关于直 线x y =对称，那么必有（ ） A ．E D = B ．F D = C ．F E = D ．F E D == 4．求经过点)14( ， A ，)36( -， B ，)03( ， C 的圆的方程． 课堂小结 圆的一般方程的推导及其条件；圆标准方程与一般方程的互化；用待定系数法求圆的一般方程．
知识梳理圆的方程(基础)
圆的方程 【考纲要求】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程， 2.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 3.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径； 4.能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【知识网络】 【考点梳理】 【高清课堂：圆的方程405440 知识要点】 考点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：2 2 2 a b r +=. (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 考点二：圆的一般方程 当2 2 40D E F +->时，方程22 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ? 为圆心，. 圆的方程 圆的一般方程 简单应用 圆的标准方程 点与圆的关系
要点诠释：由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当22 40D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2 2 40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． (3)当22 40D E F +->时，可以看出方程表示以,2 2D E ?? -- ???. 考点三：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 2 00||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 2 00||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 2 00||CM r x a y b r ?
圆的方程经典例题
高中数学圆的方程典型例题 （1 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： 当 ，点在圆外 当 ，点在圆上 当 ，点在圆内 （2当时，方程表示圆，此时圆心为 ，半径为 当 时，表示一个点； 当 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 1.若过点P(a,a)可作圆x 2+y 2-2ax+a 2 +2a-3=0的两条切线,则实数a 的取值范围是 . 2．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，0) C ．(－4，＋∞) D ．(4，＋∞) 3. 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关 4. 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 5. 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．
6.已知直线l :x+y-2=0和圆C:x 2+y 2-12x-12y+54=0,则与直线l 和圆C 都相切且半径最小的圆的标准方程是 . 7、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件 (1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程． 8.已知点P(2,2),点M 是圆O 1:x 2+(y-1)2=错误!未找到引用源。上的动点,点N 是圆O 2:(x-2)2+y 2=错误!未找到引用源。上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( ) A.错误!未找到引用源。-1 B.错误!未找到引用源。-2 C.2-错误!未找到引用源。 D.3-错误!未找到引用源。 类型二：直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有 三种情况： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为 k 不存在，验证是否成立②k k ，得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程 1、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系. 2：直线1=+y x 与圆)0(022 2>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是 3：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . 4．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 ．
直线系与圆系方程
直线系方程 、圆系方程 1、证明：直线10mx y m +--=(m 是参数且m ∈R)过定点，并求出定点坐标. （1,1）. 2、 求证：无论m 取何实数时，直线(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，并求出定点的坐标. 3、不论k 为何实数，直线（2k ﹣1）x ﹣（k+3）y ﹣（k ﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是 ．)3,2( 4、求证：不论a, b 为何实数，直线(2a+b)x+(a+b)y+a －b=0均通过一定点，并求此定点坐标。 5、已知点()00,y x P 是直线0:=++C By Ax l 外一点，则方程()000=+++++C By Ax C By Ax 表示 （ ） A.过点P 且与垂直的直线 B.过点P 且与平行的直线 C.不过点P 且与垂直的直线 D.不过点P 且与平行的直线 【答案】D 6、求过点(14)P -，圆22(2)(3)1x y -+-=的切线的方程． 4y =或34130x y +-=． 7、 求过直线：210x y ++=与直线：210x y -+=的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. x-2y=0或5x+5y+4=0 8、求经过两条直线01032=+-y x 和0243=-+y x 的交点，且垂直于直线0423=+-y x 的直线方 程. 【答案】0232=-+y x . 9、经过两条直线082=-+y x 和012=+-y x 的交点，且平行于直线0734=--y x 的直线方程. 【答案】0634=--y x . 10、经过两直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且和原点相距为1的直线的条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C 11、直线l 经过08320543=+-=-+y x y x 和的交点，与)5,4()3,2(-B A 两点的距离相等，求直线l 的 方程。 y=(-1/3)x+(5/3)或x=1 1、求经过两圆x 2+y 2+6x-4=0和x 2+y 2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程。 x 2+y 2-x+7y -32=0 2、求经过两圆22y x +＋3x －y －2＝０和2233y x +＋2x ＋y ＋１＝０交点和坐标原点的圆的方程． 0y x 7y 7x 722=+++ 3、求与圆020-2y -4x -y x 2 2=+切于点A （-1，-3），且过点B （2,0）的圆的方程
平面解析几何(圆的方程)
平面解析几何——圆的方程 圆的定义与方程 【知识拓展】 1．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2
关于圆的切线方程的推导完整
关于圆的切线方程的推导 已知⊙O 的方程为()()22 2r b y a x =-+-以及一点()00,y x P ，求过点P 的⊙O 的切线方程. ①当点P 在⊙O 上时，连接OP ，如图所示 设直线OP 的方程为111m x k y +=，由()b a O ,和()00,y x P 得 a x b y k y m k x b m ak --=????=+=+0010 11011，从而有过点P 的圆的切线方程的斜率为b y a x k ---='001 因为点P 在圆上，所以有()0000x x b y a x y y ---- =-，展开得000002020=----+++yy xx by ax by ax y x 将上式整理得 ()()()()20000r b y y y a x x x =--+-- ②当点P 在⊙O 外时，存在两条关于⊙O 的切线方程，如图所示
设⊙O 的切线方程为222m x k y +=，由于切线过点()00,y x P 得00222y x k x k y +-=，化为一般式000222=+--y x k y x k 由方程()()22 2r b y a x =-+-得点O 的坐标为()b a , 因为直线与圆相切，所以点O 到切线的距离等于圆的半径r 故有() ()20022222220 02211y x k b ak k r r k y x k b ak +--=+?=++-- 022222222220202002020220222022222=---++-++--+r r k by y b y x k x bk y ak abk x ak x k k a ()()()022220202000022020222=--+++-----+r by y b y x bx ay ab k r ax x a k ()[]()()[] 022200000222022=--++-----r y b y x bx ay ab k r x a k ()()()()2 202 202000002r x a r b y a x r y x bx ay ab k ----+-±+--= 由上述方程00222y x k x k y +-=得 ()()()()()()(()22002000002 202 202000002r x a b y a x r y x bx ay ab x r x a r b y a x r y x bx ay ab y ---+-±+-------+-±+--=
圆管相贯线三维坐标方程的推导
圆管相贯线三维坐标方程的推导 在采用数控机床加工零件时，往往会遇到零件形状是由复杂的空间曲线构成。已知条件是曲线的方程，这些方程可能是直接得到的，或者是通过轮廓形状上的一些关键点，通过拟合的方法得到近似的曲线方程。特别在起重机、锅炉制造等行业经常有不同管径的圆管交叉连接。其中两管相贯线的确定和精确切割加工是一个难点。常用的方法是在知道管的相对位置等条件下，经过计算手工制出模板，用模板画线，手工切割。其过程十分烦琐，且切割精度也无法保证。数控加工的目的在于按照已知的曲线方程加工零件，因此将曲线转换为数控加工需要的数控代码是很重要的一个环节。 如果用手工编程，则效率低、可靠性差，不能充分发挥机床的功能和性能。随着CAD/CAM技术的发展，国外许多高档的CAD软件都具有相应的CAM模块。例如美国SRDC公司的I_DEAS、PTC公司的Pro/E、UG、SolidWork等性能良好的CAM模块。利用其三维实体数据生成数控加工代码，通过通讯接口传输到数控机床的数控系统。也有一些第三方开发的CAM模块，可与CAD软件无缝集成，完成数控代码的生成。然而，这些软件相对来说要求高，价格昂贵。且没有配置专用的后置处理器，或者只配置了通用的后置处理器而没有根据数控机床的特点进行二次开发，由此产生的代码还需要做大量的手工修改。 本文以Autodesk公司的AutoCAD2000为平台,利用其内嵌的ARX编程工具，针对生产现场的数控切割机床加工两管的相贯线，开发了一套能够计算并自动获得相贯线数控加工代码的系统。通过设置刀具路径等工艺参数和后置处理，最后生成NC代码，供数控机床加工零件。此过程可以节省大量的人力和时间。并且最大限度的减少人为和系统因素的影响，使管缝切割精度高，保证焊接质量更加稳定可靠。在一定程度上弥补了零件制造从设计到成型的薄弱环节。
圆的方程(1)(教师版)
圆的方程(1)（教师版） 【教学目标】： 1．认识圆的标准方程并掌握推导圆的方程的思想方法； 2．掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径； 3．能根据所给条件，通过求半径和圆心的方法求圆的标准方程． 【课前问题导引】 1. 在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？ 2.要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？ 【课上新知讲授】 1．圆的标准方程的推导过程： 2． 圆的标准方程：（1）. 以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程：222()()(0)x a y b r r -+-=>. （2）. 圆心在原点(0,0)，半径为r 时，圆的方程则为：222(0)x y r r +=>； （3）. 单位圆：圆心在原点且半径为１的圆,其方程为：221x y +=． 注意：交代一个圆时要同时交代其圆心与半径． 3． 点在圆内、圆上、圆外的等价条件 例1：分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径： (1)22(2)(3)7x y -+-=； (2)22(5)(4)18x y +++= (3)22(1)3x y ++= (4)22144x y += （5）22(4)4x y -+= 【解】（如下表）
点评：本题考察了对圆的标准方程的认识，根据圆的标准方程，可以写出相应的圆的圆心与半径． 例2：（1）写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点(5,7)M -，(5,1)N --是否在这个圆上； （2）求圆心是(2,3)C -，且经过原点的圆的方程． 分析：通过圆心，半径可以写出圆的标准方程． 解;(1)∵圆心为(2,3)A -，半径长为5，∴该圆的标准方程为：22(2)(3)25x y -++=． 把点(5,7)M -代入方程的左边，2222(52)(73)3425-+-+=+=＝右边,即点(5,7)M -的坐标适合方程， ∴点(5,7)M -是这个圆上的点； 把点(5,1)N --的坐标代入方程的左边，22(52)(13)134525--+-+=+≠．即点(5,1)N --坐标不适合圆的方程， (2)法一：∵圆C 的经过坐标原点，∴圆C 的半径为：22(20)(30)r =-+--222313=+=， 因此所求的圆的方程为：22(2)((3))13x y -+--=，即22(2)(3)13x y -++=． 法二：∵圆心为(2,3)C -，∴设圆的方程为222(2)(1)x y r -++=， ∵原点在圆上即原点的坐标满足圆方程即222(02)(01)r -++=，所以213r =， ∴所求圆的标准方程为：22(2)(3)13x y -++=． 点评：本题巩固了对圆的标准方程的认识，第二小题的解题关键在于求出半径，这里提供了两种方法． 例3：(1)求以点(1,2)A 为圆心，并且和x 轴相切的圆的方程； (2)已知两点(4,9)P ，(6,3)Q ，求以线段PQ 为直径的圆的方程． 分析：（1）已知与圆心坐标和该圆与x 轴相切即可求出半径．（2）根据PQ 为直径可以得到相应的圆心与半径． 解：(1)∵圆与x 轴相切∴该圆的半径即为圆心(1,2)A 到x 轴的距离2； 所以圆的标准方程为：22(1)(2)4x y -+-=． （2）∵PQ 为直径，∴PQ 的中点M 为该圆的圆心即(5,6)M ， 又因为22||(64)(39)436PQ =-+-=+210=，所以||102 PQ r ==， ∴圆的标准方程为：22(5)(6)10x y -+-=． 点评:本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径．对圆的标准方程的有一个加深认识的作用． 例4：已知隧道的截面是半径为4m 的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为3m ，高为3.5m 的货车能不能驶入这个隧道？ 分析：建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写出 半圆的方程，对应求出当3x =时的值，比较得出结论． 解：以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径 AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，如图所示， 那么半圆的方程为：2216(0)x y y +=≥ 将3x =代入得2163793 3.5y =-=<=<， 即离中心线3m 处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道． 点评：本题的解题关键在于建立直角坐标系，用解析法研究问题．
圆的标准方程优秀教案
第四章圆与方程 圆的方程 4.1.1圆的标准方程 教材分析 本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用． 教学目标 重点: 圆的标准方程的理解、掌握． 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程. 能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程. 易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程. 拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程． 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 问题 1：什么是圆 【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答． 【设计说明】学生回答． 问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆 【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）． 【设计说明】教师引导，学生回答． 问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题． 二、探究新知
圆的切线方程公式证明
已知:圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2, 圆上一点P(x0, y0) 解:圆心C(a, b) 直线CP的斜率:k1 = (y0 - b) / (x0 - a) 因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 - a) / (y0 - b) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0) y - y0 = [- (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0) 整理得:(x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (注意:这式也是很好用的切线方程公式) 展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x02- y02= 0 ~ (1) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程: (x0 - a)2+ (y0 - b)2= r2 化简: x02- 2ax0 + a2+ y12- 2by0 + b2= r2 移项: - x02- y02= -2ax0 - 2by0 + a2+ b2- r2~ (2) 由(2)代入(1), 得: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 - 2by0 + a2+ b2- r2) = 0 化简, (x0x - ax - ax0 + a2) + (y0y - yb - by0 + b2) = r2 整理, (x0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r2 类似地, 对於圆的一般方程:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程. 2. 已知:圆的方程为:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0) 解:圆心C( -D/2, -E/2 ) 直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2) 因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = - (x0 + D/2) / (y0 + E/2) 根据点斜式, 求得切线方程： y - y0 = k2 (x - x0) y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x - x0) 整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 -x02- y02= 0 ~ (3) 因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程: x02+ y02+ Dx0 + Ey0 + F = 0 移项: - x02- y02= Dx0 + Ey0 + F ~ (4) 由(4)代入(3), 得: x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 - Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0 整理, x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E(y + y0)/2 + F = 0 3a. 已知:圆的方程为:(x - a)2+ (y - b)2= r2, 圆外一点P(x0, y0) 解: 圆心C(a, b), 设切点为M 则切线长PM = √(CP2- MC2) (根据勾股定理) = √[(x0 - a)2+ (y0 - b)2- r2] (CP:两点间距离公式求得, MC:半径长) 类似地, 对於圆的一般方程:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0, 过圆外的点的切线长.... 3b. 已知:圆的方程为:x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点P(x0, y0) 解: 圆心C( -D/2, -E/2 ), 设切点为M 则切线长PM = √(CP2- MC2) (根据勾股定理) = √[ (x0 + D/2)2+ (y0 + E/2)2- ((√(D2+E2-4F))/2)2] (半径:r=(√(D2+E2-4F)) / 2)