2.3.1线性回归方程教学设计

2.3.1线性回归方程（1）

一．教学任务分析:

（1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.

(2) 了解最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

(3)在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性回归直线，会用线性回归方程进行预测.

二．教学重点与难点：

教学重点：回归直线方程的求解方法． 教学难点：回归直线方程的求解方法.

↓

四.教学情境设计:

1．创设情景，揭示课题

的个数对所表示的点在坐标系内标出，得到散点图.

从散点图可以看出.这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线的附近.

如果散点图中点的分布从整体看大致分布在一条直线的附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线.

如果能够求出这条回归直线的方程,我们就可以比较清楚的了解热茶销量与气温之间的关系.

2.最小二乘法

选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案:

(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；

（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； ………………

6(4,50),(18,24)

怎样的直线最好呢? ------从整体上看,各点与此直线的距离最小.

即: 用方程为的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近.那么，怎样衡量直线与图中六个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量的六个值带入直线方程,得到相应的六个的值: .这六个值与表中相应的实际值应该越接近

越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和:

是直线与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线与图中六个点的接近程度,所以,设法取的值,使达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) .

先把看作常数,那么是关于的二次函数.易知,当时, 取得最小值.同理, 把看作常数,那么是关于的二次函数.当时, 取得最小

值.因此,当时，取得最小值，由此解得.所求

直线方程为.当时,,故当气温为时,热茶销量约为杯.

3.线性回归方程的求解方法

一般地,设有个观察数据如下：

当使取得最小值时,就

称为拟合这对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. 上述式子展开后，是一个关于的二次多项式，应用配方法，可求出使为最小值时的的值．即

,（*） ,

线性回归方程是

,其中b 是回归方程的斜率,a 是截距.系数 4.求线性回归方程的步骤：

?y

b x a =+?y

b x a =+x ?y

26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+2

2

2

2

2

2

2

2(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)

12866140382046010172

Q a b b a b a b a b a b a b a b a a b b a =+-++-++-++-+

+-+-+-=++--+(,)Q a b ?y

b x a =+?y

b x a =+,a b (,)Q a b a Q b 140382021286a b -=-?Q b Q a 140460

12

b a

-=-

Q 14038202128614046012

a b b a -?

=-????

-?=-??Q 1.6477,57.5568b a ≈-≈? 1.647757.5568y

x =-+5x =-?66y ≈5-0

C 66n ,a b 222

1122()()...()n n Q y b x a y b x a y b x a =--+--++--?y

b x a =+n ,a b Q ,a b ????

?????-=--=

---=-

-

-=-

-==-=--∑

∑

∑∑x

b y a x

n x y x n y x x x

y y x x

b n

i i n

i i i n

i i

n

i i i 2

1

2

11

1

)

()

)((∑

==

n

i i x n

x 1

1∑

==

n

i i y n

y 1

1?y

b x a =+

(1)计算平均数；

(2)计算的积，求； (3)计算；

(4)将结果代入公式

,求b ；

(5)用 ,求a ； (6)写出回归方程

5. 线性回归方程的应用

(2)求出回归直线方程

解：(1)散点图（略）．

故可得到

从而得回归直线方程是．

6.小结：

对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数的计算公式，算出．写出回归方程

7.课外作业：

y x ,i i y x 与∑i i y x ∑2

i x ∑

∑

=--

-=--=

n

i i n

i i i x

n x y x n y x b 1

2

2

1x b y a -=257

3075.43.399,

75.430

770003

.399307871752

≈?-=≈?-??-=

a b ^

4.75257y x =+,a b ,a b