2时,y =x sin x >0,排除B ;
当x =π时,y =0,可排除C ;故选A .
思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时,先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的,予以否定,再根据另一些条件在缩小选项的围找出矛盾,这样逐步筛选,直到得出正确的答案.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法.
函数y =2|x |
的定义域为[a ,b ],值域为[1,16],a 变动时,方程b =g (a )表示的
图形可以是( )
解析 研究函数y =2|x |
,发现它是偶函数,x ≥0时,它是增函数,因此x =0时函数取得最小值1,而当x =±4时,函数值为16,故一定有0∈[a ,b ],而4∈[a ,b ]或者-4∈[a ,b ],从而有结论a =-4时,0≤b ≤4,b =4时,-4≤a ≤0,因此方程b =g (a )的图形只能是B .
方法四 数形结合法(图解法)
在处理数学问题时,能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来,通过对规图形或示意图形的观察分析,将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值围等)与某些图形结合起来,利用图象的直观性,化抽象为直观,化直观为精确,从而使问题得到解决,这种方法称为数形结合法.
例4 函数f (x )=? ??
?
?12|x -1|+2cos πx (-2≤x ≤4)的所有零点之和等于( )
A .2
B .4
C .6
D .8
解析 由f (x )=? ??
?
?12|x -1|+2cos πx =0,
得? ??
??12|x -1|=-2cos πx , 令g (x )=? ??
?
?12|x -1|(-2≤x ≤4),
h (x )=-2cos πx (-2≤x ≤4),
又因为g (x )=? ????12|x -1|=?????
? ??
??12x -1, 1≤x ≤4,2x -1, -2≤x <1.
在同一坐标系中分别作出函数g (x )=? ??
?
?12|x -1|(-2≤x ≤4)和h (x )=-2cos πx (-2≤x ≤4)
的图象(如图),
由图象可知,函数g (x )=? ??
?
?12|x -1|关于x =1对称,
又x =1也是函数h (x )=-2cos πx (-2≤x ≤4)的对称轴,
所以函数g (x )=? ??
?
?12|x -1|(-2≤x ≤4)和h (x )=-2cos πx (-2≤x ≤4)的交点也关于x =1对
称,且两函数共有6个交点,所以所有零点之和为6. 答案 C
思维升华 本题考查函数图象的应用,解题的关键是将零点问题转化为两图象的交点问题,然后画出函数的图象找出零点再来求和.
严格地说,图解法并非属于选择题解题思路畴,但它在解有关选择题时非常简便有效.运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉.图解法实际上是一种数形结合的解题策略.
过点(2,0)引直线l 与曲线y =1-x 2
相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB
的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( ) A.
33 B .-33 C .±3
3
D .- 3 答案 B
解析 由y =1-x 2
,得x 2
+y 2
=1(y ≥0),其所表示的图形是以原点O 为圆心,1为半径的上半圆(如图所示).
由题意及图形,知直线l 的斜率必为负值,故排除A ,C 选项.当其斜率为-3时,直线l 的方程为3x +y -6=0,点O 到其距离为|-6|3+1=62>1,不符合题意,故排除D 选
项.选B.
方法五 估算法
由于选择题提供了唯一正确的选择支,解答又无需过程.因此,有些题目,不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计,便能作出正确的判断,这就是估算法.估算法往往可以减少运算量,但是加强了思维的层次.
例5 若A 为不等式组????
?
x ≤0,y ≥0,
y -x ≤2
表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动
直线x +y =a 扫过A 中的那部分区域的面积为( ) A.34 B .1 C.7
4
D .2
解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形. 阴影部分面积比1大,比S △OAB =1
2×2×2=2小,故选C 项.
答案 C
思维升华 “估算法”的关键是确定结果所在的大致围,否则“估算”就没有意义.本题的关键在于所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半.
已知sin θ=
m -3m +5,cos θ=4-2m m +5(π2<θ<π),则tan θ
2
等于( ) A.
m -39-m B.m -3|9-m | C.1
3
D .5 答案 D
解析 利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值,再根据半角公式求tan θ
2,但运算较复
杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin 2
θ+cos 2
θ=1的制约,m 为一确定的值,
进而推知tan θ2也为一确定的值,又π2<θ<π,因而π4<θ2<π2,故tan θ
2
>1.
1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法.但大部分选择题的解法是直接法,在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”,在“小题小做”、“小题巧做”上做文章,切忌盲目地采用直接法. 2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强,稍不留心就会误入“陷阱”,应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证,既谨慎选择,又大胆跳跃.
3.作为平时训练,解完一道题后,还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”,并注意及时总结,这样才能有效地提高解选择题的能力.