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量子力学导论习题答案(曾谨言)

第八章 自旋

8.1) 在z σ表象中,求x σ的本征态。

解:在z σ表象中,x σ的矩阵表示为:x σ???

?

??=01

10 设x σ的本征矢(在z σ表象中)为???

?

??b a ,则有???

? ??=???? ??????

??b a b a λ0110 可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。

,1=λ 则;b a = ,1-=λ 则b a -=

利用归一化条件,可求出x σ的两个本征态为

,1=λ

;1121???? ?? ,1-=λ ???

? ??-1121 。

8.2) 在z σ表象中,求?的本征态,()??θ?θcos ,sin sin ,cos sin n

是()?θ,方向的单位矢. 解:在z δ表象中,δ的矩阵表示为

x σ????

??=0110, y σ???? ?

?-=00i i , z σ???

?

??-=1001 (1) 因此, z z y y x x n n n n n σσσσ++=?=

???

?

??-=???? ??-+-=-θθθθ

??cos sin sin cos i i z y x y x z

e e n in

n in n n (2)

设n σ的本征函数表示为Φ???

?

??=b a ,本征值为λ,则本征方程为

()0=-φλσn ,即 0cos sin sin cos =???

?

?????? ??----b a e e i i λθθθλθ?? (3) 由(3)式的系数行列式0=,可解得1±=λ。

对于1=λ,代回(3)式,可得

x y x y x x i i n in n in n n e e b a --=

++==-=--112

sin 2cos cos 1sin ?

?θθθθ 归一化本征函数用()?θ,表示,通常取为

()???? ??=?θθ?θφi e 2sin 2cos ,1或???

?

?

??-22

2sin 2cos ??

θθi i e

e (4)