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抽象代数孟道骥版习题解答第一章

Chapter1

1.1

1. ?? .

1) R ,x R y, x≥y;

2) R ,x R y, |x|=|y|;

3) R ,x R y, |x?y|≤3;

4) Z ,x R y, x?y ;

5) C n×n( C n ) ,A R B,

P,Q A=P BQ;

6) C n×n ,A R B, P,Q A=P BQ;

7) C n×n ,A R B, P A=P?1BP.

1)? ?? ? .

2) .

a)?x∈R,|x|=|x|.

b) |x|=|y|, |y|=|x|.

c) |x|=|y|,|y|=|z|, |x|=|z|.

3)? ?? ? .

4)? . x∈Z,x?x=0 , x R x,R? .

5) ? ?A=IAI; ? ? A=P BQ?p,Q ??

B=P?1AQ?1;? ? A=P1BQ1,B=P2CQ2, A= P1P2CQ2Q1, A R C.

? ? ?.

6)? . A=0,B , P=0,Q, A=

P BQ=0, ?? P,Q, B=P AQ.? ? .

7) .? ? ?.

2. R A , ? ? .

R . :“ a,b∈A,?a R b b R a. ??

a R a. R , .” ?

? . A a ? ? a∈A, b∈A,a R b?? , a .

3. R A , A R1,R2 ?

x R1y, x=y,x R y y R x ? ;

x R2y, x0,x1,···,x n

x0=x,x n=y, x0R1x1,x1R1x2,···,x n?1R1x n.

1) R2 ;

2) R , R2=R, x R2y i?x R y.

3) A=Z,n .R :x R y, x?y=n.

R1 R2.

1)R1 ? ? .? R2 ? ? .R2

R2 ? . R2 .

2) x R y, x R1y,x R2y, x R2y, x0,x1,···,x n x=

x0,x n=y x0R1x1,x1R1x2,···,x n?1R1x n, R ? R1 x0R x1,x1R x2,···,x n?1R x n.? x0R x n x R y, R2=R.

3)x R1y??x?y=0,m,?m.

x R2y??x≡y(mod m).

4. ? ? ?

1) Z ?a?b=a?b;

2) Q ?a?b=ab+1;

3) Q ?a?b=ab/2;

4) N ?a?b=2ab;

5) N ?a?b=a b.

1)? ?? .

2)a)∵b?a=ba+1=a?b,?a,b∈Q∴ .b)(a?b)?c=

(ab+1)?c=(ab+1)c+1,a?(b?c)=a?(bc+1)=a(bc+1)+1, a=

c ?(a?b)?c=a?(b?c),∴? .

3)a)b?a=ba/2=a?b,?a,b∈Q∴ ?b)(a?b)?c=

ab/2?c=abc/4,a?(b?c)=a?bc/2=abc/4,?a,b,c∈Q, .

4)a)b?a=2ba=a?b,?a,b∈N ?b)(a?b)?c= 2ab?c=22ab c,a?(b?c)=a?2bc=22bc a, a=1,b=c=2, (a?b)?c= 28,a?(b?c)=216, (a?b)?c=a?(b?c), ? .

5)? .

5. m∈Z,m=0. Z :

a b, a≡b(mod m).

Z ? Z m( Z/m Z).

1)Z m ?

2) Z ? Z3 ? ?

3) Z ? Z6 ? .

? ?

?Z m m ? ? 0,1,2,···,m?2,m?1, Z3 ?

0,1,2,0+0=0,0+1=1,0+2=2,1+1=2,1+2=0,2+2=

1,0×0=0,0×1=0,0×2=0,1×1=1,1×2=2,2×2=2.

Z m ? .Z6 ? .? ?

1.2 ?

1. ? . ? ? ?

? ? ? ?

1)Z,a?b=ab?

2)Z,a?b=a?b?

3)R+={x∈R|x>0},a?b=ab?

4)Q?{0,1},a?b=ab?

5)[0,1],a?b=δ1a b+δ1b a?δ1aδ1b. δ1a=0, a=1δ1a=1, a=

1,δ1b .

6)Z,a?b=a+b?ab.

1) ? ? ? .

2) ? ? ? ?? . ? ?

3) ? ? ? .

4)? .∵2,0.5∈Q,2?0.5=1∈Q,∴ ? ?

5) .∵a?b=0,a=1,b=1;a?b=1,a=1=b;a?b=

a,a=1,b=1;a?b=b,a=1,b=1.∴ о ? (a?b)?c=

a?(b?c),∴? ?∴ ? .

6) .∵Z ? о ?

(a?b)?c=(a+b?ab)?c=a+b?ab+c?c(a+b?ab)=a+b+c?ca?bc+abc,

a?(b?c)=a?(b+c?bc)=a+b+c?bc?a(b+c?bc)=a+b+c?ab?bc?ac+abc.

∴ .?c∈Z,0?c=0+c?0c=c,∴0 , ,0

, c ,

?d∈Z,d?1=d+1?d1=1=0,∴1 , Z ?

2. Z×Z ?

(x1,x2)(y1,y2)=(x1y1+2x2y2,x1y2+x2y1). :

1)Z×Z ?? ? .

2) (x1,x2)=(0,0) ? (x1,x2)(y1,y2)=(x1,x2)(z1,z2)

(y1,y2)=(z1,z2).

1) ?? .

((x1,x2)(y1,y2))(z1,z2)=(x1y1+2x2y2,x1y2+x2y1)(z1,z2)=(x1y1z1+ 2(x2y2z1+y2z2x1+z2x2y1),x1y1z2+y1z1x2+z1x1y2+2x2y2z2)= (x1,x2)((y1,y2(z1,z2)

x1,x2)(y1,y2)=(y1,y2)(x1,x2)

(1,0)(x1,x2)=(x1,x2)=(x1,x2)(1,0).

(1,0) ? ? .Z×Z ?? ? .2)∵(x1,x2)(y1,y2)=(x1,x2)(z1,z2),

∴x1(y1?z1)+2x2(y2?z2)=0,x1(y2?z2)+x2(y1?z1)=0,

∵(x1,x2)=(0,0),

∴y1?z1=0,y2?z2=0.

∴(y1,y2)=(z1,z2).

3. S={x|x∈R,x=?1} o?p a?b=a+b+ab.

S ? .? ?2?x?3=7 .

(a)∵a=?1 b=1 ,a?b=?1,∴S ? о ;

(b)(a?b)?c=(a+b+ab)?c=a+b+ab+c+ac+bc+abc

a?(b?c)=a?(b+c+bc)=a+b+c+ab+ac+bc+abc ;

(c)?c∈S,0?c=c,0 ;

(d)?d∈S,

d+1

=?1 d .

S ? .

2?x?3=(2+x+2x)?3=12x+11=7,∴x=?1

4. ? G ?

ax=ay=?x=y;xa=ya=?x=y? G .

? ? ? ?

? ? G ?a,b∈G, ?xa=b,ax=b ?

G .

?xa=a ? e a, e a a=a, c∈G,ax=c

? d , ad =c , e a c =e a (ad )=ad =c,∴G ? ??f ∈G,xf =e a ?x f . ?G .?a ∈G,∵ax =ay ?x =y , |G | aG =G ,? ?a,b ∈G,ax =b ? xa =b .? .

? ? ?? ? {N ,+}.

5. ? G o p ? G G ?a ?→a ?? a (ab )=(ba )a ,?a,b ∈G .

?? с .

?a,b,c ∈G,a ac =c =b bc , a a =a acc =b bc =b b. e =a a , e G ?a a .

∴G .

6. ? G e ? ?a ∈G ? ? a ∈G aa

=e ?. G ?

? . ?G = 1100 , 1?100 , ?1?100 , ?1100 G ? . 1100 , 1100 1100 ? 1?100 1100 ? ?1?100 ?1?100 ? ?1100 ?1?100 7. P (X ) X ? X ?.

1) P (X ) ?? (A B =(A ?B )∪(B ?A ),?A,B ∈P (X )) ? ? 2.

2) P (X ) .

1) о .

(A B ) C =A (B C ), ?, A ?1=A ,A A =?, 2.2)|P (X )|=2|X |.

8. G 2. G Abel .

?a,b ∈G ,a 2=b 2=e,(ab )(ab )=e =a 2 bab =a,∴b (bab )=ba b 2=e ab =ba ,∴G Abel .

9. S 5 στ,σ?1τσ,σ2,σ3. σ= 1234523154 ,τ= 1234534152

. στ= 1234515243 ,σ?1τσ= 123455

3214 σ2= 1234531245 ,σ3= 1234512354 10. ?S 3 ?.

X ={a,b,c },S 3={τ1,τ2,τ3,τ4,τ5,τ6},τ1= a b c a b c ,τ2= a

b c a

c b ,τ3= a b c b a c ,τ4= a b c b c a ,τ5= a b c c a b ,τ6= a

b c c b a

, ? :·τ1τ2τ3

τ4τ5τ6τ1τ1τ2τ3τ4τ5τ6τ2τ2τ1τ5τ6τ3τ4τ3τ3τ4τ1τ2τ6τ5τ4τ4τ3τ6τ5τ1τ2τ5τ5τ6τ2τ1τ4τ3τ6

τ6τ5τ4τ3τ2τ111.N э ? ? M (N ) f ?

f (n )=n +1,?n ∈N

f ? .

g k (n )=n ?1,n ≥2;g k (1)=k,k ∈N , ?k,g k f ? h f ? fh (1)=h (1)+1,∵h (1)≥1,∴fh (1)≥2, fh (1)=1 .? .

12. M ? ?m ∈M . M ? o ?p?a ?b =amb .1)

M ? ? .2) ?M ? ? ?

1) о .

(a ?b )?c =ambmc =a ?(b ?c ), M ? ? .

2)m .

1.3

1. H G . {H a } G ? R 1 a R 1b , ba ?1∈H .

R 1 .

e =aa ?1∈H ?aR 1a,?a ∈G , aR 1b , ab ?1∈H , ba ?1=(a ?1b )?1∈H , bR 1a , aR 1b,bR 1c ab ?1,bc ?1∈H , ac ?1=(ab ?1)(bc ?1)∈H , aR 1c .

R 1 .

aR 1b ?ba ?1∈H ?b ∈aH b aH .? {aH } G .

2. H Z . с m H =m Z .

m =min {|n ||n ∈H,n =0}, mz 0+r ∈H,0≤r

3. ?S 3 ? .? ? . X ={a,b,c },S 3={τ1,τ2,τ3,τ4,τ5,τ6},τ1= a b c a b c ,τ2= a b c a c b ,τ3= a b c b a c ,τ4= a b c b c a ,τ5= a b c c a b ,τ6= a b c

c b a

H 1={τ1},H 2={τ1,τ2},H 3={τ1,τ3},H 4={τ1,τ6},H 5={τ1,τ4,τ5},H 6={τ1,τ2,τ3,τ4,τ5,τ6}∴H 1,H 2,H 3,H 4,H 5,H 6 S 3 ? ? H 1,H 5,H 6 .

4. H G ? [G :H ]=2. H G .

∵[G :H ]=2,∴,?a ∈G, a ?1∈H , G =eH ∪aH eH =aH ?h,g ∈H, ghg ?1∈H ?h ∈H,g ∈aH,?h 1∈H , g =ah 1,ghg ?1=ah 1hh ?11a

?1∵ghg ?1∈G . ghg ?1∈H , с ghg ?1∈aH ,? ?h 2∈H , ghg ?1=ah 2 ah 1hh ?11a ?1=ah 2? h 1hh ?11=h 2?h ?12h 1hh ?11=a ?a ∈H.

∵H G ,∴a ?1∈H a ?1∈H ∴ghg ?1∈H , ?h ∈H,g ∈G,ghg ?1? .∴H G .

5. H 1,H 2 G . |H 1H 2|=[H 1:1][H 2:1]/[H 1∩H 2:1].

8 aH2,a∈H1, {aH2} H1H2 .

1) aH2=bH2,a,b∈H1, ab?1∈H2,? ab?1∈H1∩H2,b∈

a(H1∩H2).

2)?b∈a(H1∩H2), aH2=bH2,

∴|H1H2|=[H1:1][H2:1]/[H1∩H2:1]

6. G Abel ?n∈N. {g∈G|g n=1} G .

H={g∈G|g n=1},?g1,g2∈H,(g1g?12)n=g n1(g n2)?1=e,∴H

7. G? ? ?.

8. H,K G ? H∩K={1}. hk=kh,?h∈

H,k∈K.

∵(kh)?1hk=h?1k?1hk,h?1k?1h∈K,?h∈H,k∈K, (kh)?1hk∈K,∵k?1hk∈H,∴h?1k?1hk∈H,∵H∩K={1},∴(kh)?1hk=1,∴kh=hk.

9. H G . G/H Abel ?

gkg?1k?1∈H,?g,k∈G.

G/H Abel ??gHkH=kHgH??gkH=kgH??gk(kg)?1=gkg?1k?1∈H

10. H,K . H×K={(h,k)|h∈H,k∈K} ?

(h1,k1)(h2,k2)=(h1h2,k1k2). ?

1)H×K ?? H K ?.

2)H1={(h,1 )|h∈H,1 K } K1={(1,k)|k∈H,1 H

} H×K .

3)H1∩K1={(1,1 )};H×K=H1K1.?H×K? H1 K1

1) e h H ?e k K ? (e h,e k)∈H×K

∴H×K ?

?(h1,k1),(h2,k2)∈H×K,(h1,k1)(h2,k2)=(h1h2,k1k2)∈H×K,∴H×K ? о ?

?(h1,k1),(h2,k2),(h3,k3)∈H×K,((h1,k1)(h2,k2))(h3,k3)= (h1h2,k1k2)(h3,k3)=(h1h2h3,k1k2k3)=(h1,k1)((h2,k2)(h3,k3))= (h1,k1)((h2,k2)(h3,k3))

∴H×K ?

?(h,k)∈H×K,(e h,e k)(h,k)=(h,k),

∴(e h,e k) ?

9?(h,k)∈H×K,(h?1,k?1)(h,k)=(e h,e k),

∴(h?1,k?1)∈H×K

∴H×K .

2)∵(e h,1 )∈H1,∴H1 H×K .?(h1,1 )∈H1,(h2,1 )∈

H1,(h1,1 )(h2,1 )?1=(h1,1 )(h?12,1 )=(h1h?12,1 )∈H1,

∴H1 H×K ;

?(h1,1 )∈H1,(h,k)∈H×K

(h,k)(h1,1 )(h,k)?1=(hh1h?1,kk?1)=(hh1h?1,1 )∈H1,∴H1 H×K ?

K1 H×K .

3) (h,k)∈H1 (h,k)∈K1, k=1 ,h=1,∴H1∩K1={(1,1 )}

(h,k)∈H×K, (h,k)=(h,1 )(1,k)∈H1K1,∴H×K?H1K1

(h1,1 )∈H1,(1,k1)∈K1? (h1,1 )(1,k1)∈H1K1, (h1,1 )(1,k1)=(h1,k1),

∴H1K1?H×K

∴H×K=H1K1.

11. ? M a? ? ?a?1∈M aa?1=a?1a=1.

1) a∈M? ?b,c∈M ba=ac=1 a ? a?1=b=c?

? ?a?1 a .?

2) ?

3) a ? b=a?1 ? aba=a,ab2a=1?

4)M G ? G

?g1,g2∈G g1g2∈G?

5)M ? .

1)b=bac=c, a ? a?1=b=c.

2) b1,b2 a ? b1=b1ab2=b2.

3)“?” .

“?”:ab=abaa?1=aa?1=1,ba=a?1aba=a?1a=1,∴b=a?1.

4)“?” .

“?” о ? ? ? .?g∈G,с g?1∈G,? 1=gg?1∈G

5) g1,g2 ? (g1g2)(g?12g?11)=1, g1g2 ? ?

? .

1.4

1. Z×Z ? ?

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);

10 (a,b)(c,d)=(ac,bd),?(a,b),(c,d)∈Z×Z.

?Z×Z .

(a)Z×Z Abel .

(b)((a,b)(c,d))(e,f)=(ac,bd)(e,f)=(ace,bd f)=(a,b)(ce,d f)=

(a,b)((c,d)(e,f));

(a,b)(c,d)=(ac,bd)=(ca,db)=

(c,d)(a,b).?(a,b),(c,d),(e,f)∈Z×Z. Z×Z ?

? .

(c)(a,b)((c,d)+(e,f))=(a,b)(c+e,d+f)=(ac,bd)+(ae,bf)=

(a,b)(c,d)+(a,b)(e,f);

((c,d)+(e,f))(a,b)=(c,d)(a,b)+(e,f)(a,b) ?Z×Z

? .

Z×Z .

∵(1,1)(a,b)=(a,b)=(a,b)(1,1),∴ ? ? .

∵(0,1)=0,(0,1)=0,(0,1)(1,0)=(0,0)=0

?Z×Z .

2. C (?∞,+∞) ? C ?

(f+g)(x)=f(x)+g(x);

(fg)(x)=f(g(x)),?f,g∈C,x∈(?∞,+∞).

C ? ? ?

f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x2, h(f+g)(x)=(x+ x2)2,hf(x)+hg(x)=x2+x4, ?? ? .

3. R ? .

1)R ?

2)R ? ? ?

3) ? .

R .

?a,b∈R,(a+1)(b+1)=a(b+1)+b+1=ab+a+b+1,(a+

1)(b+1)=(a+1)b+a+1=ab+b+a+1,∴a+b=b+a, R

4. R ? . R .

R ? ?a∈R,a=0,ab=ac?b=c, aR=R,Ra=R,∴ax=b,xa=b,b∈R R ? R ? ? ? R .

11 5. Q Z Q/Z .

?a,b∈Q/Z, a,b 0, ab=0, a=0,b=0, a=

q1 p1,b=

, ab=

p1q2

p1p2

=p1

p1p2

=0. ?

? .

6. R e e2=e? ?e .

R e? R ? e R .

∵e(ea?a)=ea?ea=0 R ? ea=a

ae=a

∴R ? e R .

7. R 1l? 1l a=a,?a∈R). R

? 1l=1.

(ae?a+e)b=b?ae?a+e=e?ae=a

8. R .u∈R,u ? v∈R uv=1.

1)u ? ?

2)u? ?

3)u .

1?2: u ? w wu=uw=1, wuv=v, wuv=w(uv)=w,∴v=w, u ? 1 .

u? .

2?3: u? ? vu=1, vu?1=0

u(vu?1)=(uv)u?u=u?u=0

∴u .

3?1:∵u

∴?w=0, uw=0,∴w=v

v?w=0, u(v?w)=uv?uw=1

∴v?w u ? v?w=v

∴u ? .

9. ? ? ? ?

u v1, v n+1=v1?v n u+1, v n u ? w wu=0, w=w(uv1)=wuv1=0, v1u=1, v1u?1=0, ? v n+1=v1,n 1, v n+1= v m+1(m

10. R ?a,b∈R. 1?ab 1?ba .

1?ab ?c ? d=1+bca, (1?ba)d=

(1?ba )(1+bca )=1?ba +(1?ba )bca =1?ba +b (1?ab )ca =1?ba +ab =1,d (1?ab )=(1+bca )(1?ba )=1?ba +bca (1?ba )=1?ba +bc (1?ab )a =1?ba +ba =1,∴1?ba . 1?ba ? 1?ab .

11. R ?a,b ab ?1 .

1)a ?b ?1,(a ?b ?1)?1?a ?1 ?

2) ? ?

((a ?b ?1)?1?a ?1)?1=aba ?a

1)a ?b ?1=abb ?1?b ?1=(ab ?1)b ?1,∵b,ab ?1 ? a ?b ?1 ? (a ?b ?1)?1=b (ab ?1)?1.

2)(a ?b ?1)?1?a ?1=b (ab ?1)?1?a ?1=a ?1(ab (ab ?1)?1?1)=a ?1(ab ?(ab ?1))(ab ?1)?1=a ?1(ab ?1)?1,∴((a ?b ?1)?1?a ?1)?1=(ab ?1)a =aba ?a.

12. Z m n =n +m Z ? ?

? Z m .

(n,m )=1,?u,v ∈Z , nu +mv =1?nu =1,? n ? (n,m )=k =1, n m k =0? n .∴n ?(n,m )=1, ?(m ),? ?n ?(n,m )=1, m ??(m ).

13. m 1,m 2∈Z . m 1,m 2 ? m 1 m 2 ? ?.

m 1,m 2 ={um 1+vM 2|u,v ∈Z }, m 1,m 2 = d ,d =(m 1,m 2).

14. ? R R/I (I R ) .

Z ?6Z Z ?Z /6Z =Z 6,Z 6 23=0.

15. R .a ∈R . ?m ∈N a m =0, ?a .

R R . R 1={a |?m ∈N ,a m =0},?a,b ∈R 1,?m,n ∈N , a m =0,b n =0, (a ?b )m +n = m +n k =0a k (?b )

m +n ?k =0,(ab )m =a m b m =0.?r ∈R,(ar )m =a m r m =0.∴R 1 R .

16. K .R =K n ×n . C i ={a ∈R |col j (a )=0,j =i };R i ={a ∈

R |row j (a )=0,j =i },1≤n .

1)C i R ? A R A ?C i ? A ={0} A =C i ??

2)R i R ?

3)R .

1)?α,β∈C i ,col j (α?β)=0,j =i ;col j (αβ)=0,j =i ;?c ∈

K,col j(cα)=0,j=i.∴C i R .

A R ? A?C i,A={0}, α∈A,? αj

0l =0,

l=i,j0=i,∴E jl∈C i,E jl=α?1j

0l E jj

α∈A,∴A=C i,∴C i R

2) R i R .

3) R R ? ?α∈R ,α=0,? αi

0j0=0, E ij=

α?1i

0j0E ii

αE j

∈R ,∴R =R. R .

1.5

1. A Abel ? ? End A? A

? A A ? . End A ? ?

(σ+τ)(α)=σ(α)+τ(α),?σ,τ∈End A,α∈A.

End A ?? A ?.

? о ? ? ? 0? ? ? ? о ? ? ? id?? ? ? .

2. S3 ? ?

Aut S3=Int S3 S3.

∵C(S3)=id,∴S3～=Int S3, S3=<{(1,2),(1,3),(2,3)}>, ?2 э?2 ?∴|Aut S3|≤3!=6,∵Int S3 Aut S3,|Int S3|=6,∴|Aut S3|=6,∴Aut S3=Int S3.

3. a,b ? R э

T(a,b):T(a,b)(x)=ax+b,?x∈R.

1)a=0 ?T(a,b) ?

2)G={T(a,b)|a=0} ?

3)H={T(1,b)|b∈R} G ??T(1,b)? b

4)G/H R??R? ? .?

1) x=y, T(a,b)(x)=ax+b=ay+b=T(a,b)(y),∴T(a,b)

T(a,b)(x)=Y(a,b)(y), ax+b=ay+b, a=0 x=y,∴T(a,b) ?

.?x ∈R ,?x =

x ?b a ∈R ,T (a,b )(x )=ax +b =x,∴T (a,b ) .∴a =0 ?T (a,b ) .2)?T (a 1,b 1),T (a 2,b 2)∈G,T (a 1,b 1)T (a 2,b 2)=T (a 1,b 1)(a 2x +b 2)=a 1(a 2x +b 2)+b 1=T (a 1a 2,b 1b 2)(x ), a 1a 2=0,∴T (a 1a 2,b 1b 2)∈G ∴G о ??(T (a 1,b 1)T (a 2,b 2))T (a 3,b 3)=T (a 1,b 1)(T (a 2,b 2)T (a 3,b 3))∴G ??T (a,b )∈G,T (1,0)T (a,b )=T (a,b )∴T (1,0) G ??T (a,b )∈G,T (1a ,?b a )T (a,b )=T (1,0)∴T (1a ,?b a

) T (a,b ) ∴G .3) H G ??T (1,a ),T (1,b )∈H,T (1,a )T ?1(1,b )=

T (1,a )T (1,?b )=T (1,a ?b )∈H ∴H

)=T (1,ab )∈H ∴H G.4) ?:G ?→R ?,?(T (a,b ))=a,?a ∈R ?,?T (a,b )∈G, ?(T (a,b ))=a,∴? .?T (a 1,b 1),T (a 2,b 2)∈G,?(T (a 1,b 1)T (a 2,b 2)=?(T (a 1a 2,a 1b 2+b 1))=a 1a 2=?(T (a 1,b 1))?(T (a 2,b 2))∴? .

∴G/ker ?～=R ??T (a,b )∈ker ?,?(T (a,b ))=1?a =1?T (a,b )∈H,?T (1,b )∈H,?(T (1,b ))=1,∴T (a,b )∈ker ?,∴H =ker ?,∴G/H ～=

R ?4. G ={e,a,b,c } ?. G ? Aut G G S 3 .?? ? Klein ? K 4? .?e a b c

e e a b c a a

e c b b b

c e a c c

b a e

(a)? ?G ? о?

(b) a,b,c , (ab )c =cc =e,a (bc )=aa =e,

∴(ab )c =a (bc ) a,b,c e ? (ab )c =a (bc ), ? ?

(c)e ?G Ч

∴e G ?

(d)aa =bb =cc =e,

∴a,b,c ? .

∴G . ?:?(A )=A|X , ?A ∈Aut G,X ={a,b,c }, ??

15 э ? ? A|X∈S3, A(e)=e,

? Aut G?→S3 ? A|X=B|X, A(e)=B(e)=e?A=B

∴? ? ,

∴? ?

?A,B∈Aut G,?(AB)=AB|X=A|X B|X=?(A)?(B)

∴? ?

∴Aut G～=S3;

σ:Aut G?→Aut G/Inn G,σ(A)=A Inn G, σ ? G ? Inn G={id G},∴σ .

∴Aut G～=Aut G/Inn G～=S3.

5. G .

1)a→a?1 G G ?

2) G ? ?k∈Z,a→a k G .? G G

1)?a∈G,?(a)=a?1,∵a?1∈G,∴? G?→G э

?? ,

?a∈G, ?(a?1)=a,∴? ?

?(a)=?(b)? a?1=b?1?a=b

∴? ? ?

? .

“?”:?a,b∈G,?(ab)=(ab)?1=b?1a?1, G Abel ? ?(ab)=?(a)?(b),

∴? ?

∴? .

“?”:?a,b∈G,?(a?1b?1)=(b?1a?1)?1=ba,

∵? ?

∴?(a?1b?1)=?(a?1)?(b?1)=ab,

∴ab=ba,

∴G Abel .

2) ?:?(a)=a k,k∈Z, ? G?→G ?

?a,b∈G,G Abel ??(ab)=(ab)k=a k b k=?(a)?(b),

∴? G .

6. a G ?

a(g)=g?g=1.

1)g a(g)g?1 ?

2) G ? G ?a (g )g ?1 ?

3) a 2=id G , G .

1) ?:?(g )=a (g )g ?1,? G ?→G ? ?(g 1)=?(g 2), a (g 1)g ?11=a (g 2)g ?12?a (g 1)?1a (g 2)=g ?11g ?12?a (g ?11g 2)=g ?11g 2?g ?11g 2=1?g 1=g 2,∴? ?2)∵G ?G ?∴?с ? ?:G ?→G.∴G ?a (g )g ?1 ?3)?g ∈G,?g 1∈G, g =a (g 1)g ?11,a (g )=a (g 1)2a (g ?11)=g 1a (g ?11)=g ?1,?a,b ∈G, a (a ?1b ?1)=a (a ?1)a (b ?1)=ab, a (a ?1b ?1)=(a ?1b ?1)?1=ba,

∴ab =ba,∴G Abel .?g ∈G, g =g ?1, a (g )=g ?1=g ?g =1

∴?a ∈G,a =1,a a ?1 G ? ?

1∈G,∴G .

7. G ?K G , H a K ? H a G . H a ?K ??

a (H a /K )=( a

H a )/K .

?gk ∈

a (H a /K )?gk ∈H αK (?α)??α,?g α∈H α gK =g αK ?g ?1g α∈K ?g ∈H α(?α)?g ∈ αH α? a (H a /K )?( a H a )/K.

? ( a H a )/K ? a (H a /K ).8. Z o ?p

a ?

b =a +b ?ab,?a,b ∈Z ,

(Z ,?) ? ? Z ? ? .

?a ?(b ?c )=a ?(b +c ?bc )=a +b +c ?bc ?a (b +c ?bc )=a +b +c ?ab ?bc ?ca +abc,(a ?b )?c =(a +b ?ab )?c =a +b +c ?ab ?bc ?ca ?abc,∴a ?(b ?c )=(a ?b )?c,a ?0=0,0?a =0,∴(Z ,?) ? ?0 .

f :(Z ,·)?→(Z ,?),f (a )=1?a , f ? f (ab )=1?ab =

17 (1?a)+(1?b)?(1?a)(1?b)=f(a)+f(b)?f(a)f(b)=f(a)?f(b),∴(Z,?)～=(Z,·).

9. .

T:End Z?→Z,T(σ)=σ(1),?σ∈End Z,?m∈Z,?σ∈End Z, σ(1)=m,σ(n)=mn(n∈Z),∴T . ?σ,τ∈End Z,σ(1)=τ(1), σ=τ,∴T ? ?∴T .

?σ,τ∈End Z,T(σ+τ)=σ(1)+τ(1)=T(σ)+T(τ),T(στ)=στ(1)=σ(τ(1))=σ(1)τ(1)=T(σ)T(τ),∴T End Z?→Z . 10.H 1.4.8 ?

,i=

√

?10

√

?10

,k=

√

?10

1)?a∈H,? (a,b,c,d)∈R(1)? a=a+bi+cj+dk.

2)H э σ:

σ(a+bi+cj+dk)=a?bi?cj?dk?

H .

1) .

2)?α,β∈H,α=a1+b1i+c1j+d1k,β=a2=a2+b2i+c2j+

d2k,σ(α+β)=σ(α)+σ(β),σ(αβ)=σ(β)σ(α),σ(α)2=α,∴σ H .

11.? ? σ R R ? ?a,b∈R

1)σ(a+b)=σ(a)+σ(b),

2)σ(ab)=σ(a)σ(b) σ(ab)=σ(b)σ(a).

σ . .

σ? ? σс . σ? ? ?c,d∈R,

σ(cd)=σ(c)σ(d)=σ(d)σ(c)

?x∈R,

σ(cx)=σ(c)σ(x),σ(xd)=σ(x)σ(d)

σ(cx)=σ(x)σ(c)

σ(c(d+x))=σ(cd+cx)=σ(c)σ(d)+σ(x)σ(c)(1.1)

σ(c(d+x))=σ(d+x)σ(c)=σ(d)σ(c)+σ(x)σ(c)(1.2) (1.2) (1.1) б

σ(c)σ(d)=σ(d)σ(c)

σ(c(d+x))=σ(c)σ(d)+σ(c)σ(x)(1.3) (1.3) (1.1) б

σ(x)σ(c)=σ(c)σ(x)

?x∈R,

σ(cx)=σ(c)σ(x)

σ(xd)=σ(x)σ(d)

?x,y∈R,

σ(xy)=σ(y)σ(x)

?z∈R,

σ(xz)=σ(x)σ(z)

σ(zy)=σ(z)σ(y)

σ((x+c)(y+d))=σ(y)σ(x)+σ(x)σ(d)+σ(c)σ(y)+σ(c)σ(d)(1.4)

σ((x+c)(y+d))=σ(y+d)σ(x+c)=σ(y)σ(x)+σ(d)σ(x)+σ(y)σ(c)+σ(d)σ(c)

(1.5)

∵σ(x)σ(d)=σ(d)σ(x),σ(c)σ(y)=σ(y)σ(c)

∴ (1.4)?(1.5)

σ(c)σ(d)=σ(d)σ(c)

19 .

σ((x+c)(y+d))=σ(x+c)σ(y+d)=σ(x)σ(y)+σ(x)σ(d)+σ(c)σ(y)+σ(c)σ(d)

(1.6)

(1.4),(1.6)

σ(x)σ(y)=σ(y)σ(x)

∴? σ R .

12. R ? R R ?

R Z p?p ? ? Z .

13. R ? G(R) R .Aut R R

. G(R) ? ? ? [G(R):Aut R]

1 2.

(1): о ??σ,η∈G(R).

σ ?η ? ση ?

σ,η ? ? ση .

?σid=σ=idσ.

?σσ?1=id.

(2): Aut R G(R) .?σ,η∈G(R),σAut R=ηAut R?

η?1σ∈Aut R, σ,η ? .

G(R)=Aut R, [G(R):Aut R]=1;

Aut R?G(R), [G(R):Aut R]=2.

1.6

1. R ?M Abel . ? R End M u, u(1)=

id M. R×M M (a,x)→ax=u(a)(x),a∈R,x∈

M M? R? .

?x,y∈M,a,b∈R, u(a)∈End M;

(a)a(x+y)=u(a)(x+y)=u(a)(x)+u(a)(y)=ax+ay;

(b)(a+b)x=u(a+b)(x)=(u(a)+u(b))(x)=u(a)(x)+u(b)(x)=

ax+bx;

(c)(ab)x=u(ab)(x)=(u(a)u(b))(x)=u(a)(u(b)(x))=u(a)(bx)=

a(bx);

(d)1x=u(1)(x)=id M(x)=x.

∴ ? M? R? .

2. R ?M R? . R End M f f(1)=id M.

f:R?→End M,?a∈R,f(a)=a id M, f(1)= id M,f R End M .

3. R,S ?1 ,1 ? S R ? f:S→R ?

f(1 )=1. M R? . ?S×M M (s,x)→f(s)x,s∈S,x∈M M? S? .

?s,s1,s2∈S,x,x1,x2∈M

1):(s1+s2,x)=f(s1+s2)x=[f(s1)+f(s2)]x=f(s1)x+f(s2)x=

s1x+s2x;

2):(s,x1+x2)=f(s)(x1+x2)=f(s)x1+f(s)x2;

3):(s1s2,x)=f(s1s2)x=f(s1)f(s2)x=(s1,(s2,x));

4):(1 ,x)=f(1 )x=1x=x.

∴f M? s? .

4. R ?M R? ? a∈R. aM={ax|x∈

M},M(a)={x|x∈M,ax=0}. aM M(a) M .

1):?x1,x2∈M,ax1,ax2∈aM, ax1?ax2=a(x1?x2)∈

aM.?x∈M,r∈R,r(ax)=a(rx)∈aM,∴aM M .

2):?x1,x2∈M(a),ax1=ax2=0, ax1?ax2=a(x1?x2)=0,∴x1?x2∈M(a).?x∈M(a),r∈Ra(rx)=r(ax)=0,∴rx∈M(a),∴M(a) M .

5. n∈N,a,b∈Z,n=ab,(a,b)=1, Z n Z? . a Z n=Z n(b).

Z n={0,1,2,···,n?1},?x∈Z n(b)?n|bx?a|x(∵n= ab,(a,b)=1)?x∈a Z n

6. R? M? ? . M ? ?x∈

M,x=0 M=Rx.

“?”:?x∈M,x=0, {0}?Rx?M,?ax∈Rx,bx∈Rx, a,b∈R,ax?bx=(a?b)x∈Rx,

∴Rx

?r∈R,ax∈Rx,r(ax)=(ra)x∈Rx,

∴Rx M .∵M ? ?

∴Rx M .∴M=Rx.

“?”: N M ?N={0}, RN?N,?x∈N,x=0, Rx?RN.

x∈M,x=0,∴ M=Rx,

∴M=Rx?RN?N.

? M=N,∴M .

∴M ? .

近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案

近世代数题解第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算，2)不是代数运算． 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n． 3. 解例如AοB＝E与AοB＝AB—A—B． 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1）略 2）例如规定 4．

近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射，但非满射和单射；2)是双射，但不是自同构映射3)是自同态映射，但非满射和单射．4)是双射，但非自同构映射． 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是．因为不满足对称性；2)不是．因为不满足传递性； 3)是等价关系；4)是等价关系． 3. 解 3)每个元素是一个类，4)整个实数集作成一个类． 4. 则易知此关系不满足反身性，但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可；实际上这个例子只有数0和0符合关系，此外任何二有理数都不符合关系)．5. 6.证 1）略2） 7. 8.

9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质一、主要内容 1．群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子． 2．群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一； 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)． 4)有限半群作成群?两个消去律成立．二、释疑解难有资料指出，群有50多种不同的定义方法．但最常用的有以下四种： 1)教材中的定义方法．简称为“左左定义法”； 2)把左单位元换成有单位元，把左逆元换成右逆元(其余不动〕．简称为“右右定义法”； 3)不分左右，把单位元和逆元都规定成双边的，此简称为“双边定义法”； 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G)．此简称为“方程定义法”． “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异，不再多说．“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立，而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的，多了一层手续

多所高校近世代数期末考试题库[]

多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。（） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。（） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（） 6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。（） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。（） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。（） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。（） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。（）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么在Z 中（）

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)1

近世代数课后习题参考答案第一章基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明如下当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c

b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 12)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? a b c a a b c b b c a c c a b

近世代数基础习题课答案到第二章9题

第一章第二章第一章 1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □ 2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □ 3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈. (2) 若ab ac =则b c =. (3) 若ac bc =则a b =. 求证: G 关于这个乘法是一个群. 证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ??. 由于||G <∞必然存在最小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1, 即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有: ()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==, 再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足 i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e

为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =: i ba ba =, 即be b =. 最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e = 从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身. 如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆: 1k x -. □ 注: 也可以用下面的第4题来证明. 4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群. 证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G 的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =. 于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证. 对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □ 5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/. 解: 取(12)x =, (13)y =. □ 6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群. 解: 二面体群n D . □ 7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证明: i i i r a ba b -=, i 是非负整数.

近世代数初步_习题解答(抽象代数)

《近世代数初步》习题答案与解答

引论章一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足：,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足： I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足： I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律：.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义： 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)

近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。１、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 Ｃ、7????D、10 ３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ）Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数Ｃ、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。１、设集合；,则有------－--。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。 3、环得乘法一般不交换。如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。 4、偶数环就就是-－----－--得子环。５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。 6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。９、一个除环得中心就就是一个--－－---。三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分) １、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。３、设集合,定义中运算“”为ａｂ=(a+b)(modm),则(，)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题，第1题1０分，第2小题１5分,共25分） 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环，Ｆ就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、１、设Ｇ有6个元素得循环群,a就就是生成元,则Ｇ得子集( ）就就是子群。Ａ、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*）中，（ )不就就是群Ａ、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,＊为加法

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。

近世代数复习试题2010级

《近世代数》复习试题一填空题 1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1），（2），则称12,,n A A A 为A 的一个分类. 2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射. 3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________. 4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______. 5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= . 6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: . 7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: . 8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a . 9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________. 10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________. 二解答、证明题 1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定： .,,2Z b a b a b a ∈?-+= 证明：),( Z 是一个交换群. 2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并. 3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数. 4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群. 5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =?≤. 6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤. 7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H 8.证明:每个素数阶的群都是循环群. 9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r （1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.

近世代数第二章答案

近世代数第二章群论答案 §1.群的定义 1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？解：不是，因为普通减法不是适合结合律。例如 () 321110 --=-= --=-=() 321312 ()() --≠-- 321321 2.举一个有两个元的群的例。解：令G=,e a {},G的乘法由下表给出首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ()(),, = ∈ x y z x y z x y z G 因为，由于ea ae a ==，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有 ()aa a ea a == a aa ae a ==() 而(1)仍成立。其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。 3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV'，V'来做群的

定义： IV ' G 里至少存在一个右逆元1a -，能让 =ae a 对于G 的任何元a 都成立； V ' 对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，能让 1=aa e - 解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V 来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。 §2. 单位元、逆元、消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程2=x e ，那么G 是交换群。解：令a 和b 是G 的任意两个元。由题设 ()()()2 ==ab ab ab e 另一方面 ()()22====ab ba ab a aea a e 于是有()()()()=ab ab ab ba 。利用消去律，得 =ab ba 所以G 是交换群。 2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。解：令G 是一个有限群。设G 有元a 而a 的阶>2n 。考察1a -。我们有 ()1=n n a a e - ()()11==n n e a a e -- 设正整数

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业一．概念解释 1．代数运算 2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射 5．群的第二定义 6．理想 7．单射 8．置换 9．除环 10．一一映射 11．群的指数 12．环的单位元二．判断题 1．Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射，则),2,1(n i A i =不能相同。 2．在环R 到环R 的同态满射下，则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3．设N 为正整数集，并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈，那么N 对所给运算能作成一个群。 4．假如一个集合A 的代数运算适合交换率，那么在n a a a a 321里)(A a i ∈，元的次序可以交换。 5．在环R 到R 的同态满射下，R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6．环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是： 1）若,,S b a ∈则S b a ∈-； 2）,,S b a ∈，则S ab ∈。 7．若Φ是A 与A 间的一一映射，则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8．若ε是整环I 的一个元，且ε有逆元，则称ε是整环I 的一个单位。 9．设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射，如果σ，τ都是单射，则τσ是A 到C 的映射。 10．若对于代数运算 ,，A 与A 同态，那么若A 的代数运算适合结合律，则A 的代数运算也适合结合律。 11．整环中一个不等于零的元a ，有真因子的冲要条件是bc a =。 12．设F 是任意一个域，*F 是F 的全体非零元素作成的裙，那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。（） 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群，则21H H ?也为G 的子群。（） 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。（）三．证明题 1．设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法G 作成一个群。 2．设G=（a ）是循环群，证明：当∞=a 时，G=（a ）与整数加群同构。

近世代数期末试题

近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。（） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。（） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。（） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。（） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。（） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么在Z 中（） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

近世代数习题解答张禾瑞三章

近世代数习题解答第三章环与域 1加群、环的定义 1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的. 证 (ⅰ)若S 是一个子群则S b a S b a ∈+?∈, '0是S 的零元,即a a =+'0 对G 的零元,000' =∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+?∈, S a S a ∈-?∈ 今证S 是子群由S S b a S b a ,,∈+?∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-?∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件: 若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-?∈-?∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-?∈=-?∈00 故S b a b a S b a ∈+=--?∈)(, 2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定: + 0 a b c ? 0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c 证明,R 作成一个环证R 对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(= 事实上. 当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .

这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律. 两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)( 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了. 至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看 0=y 或a y =(可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx 剩下的情形就只有 0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环. 2交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 n n n n n b b a a b a +++=+- 11)()( 在交换环中成立. 证用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的: k i i k k i k k k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++ ))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k k ++++++=-- 1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a 1111 11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11 k r k r k r -++=) 即二项式定理在交换环中成立. 2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环. 证设a 是生成元则R 的元可以写成 na (n 整数) 2)]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2))((mna na ma =

近世代数习题解答(张禾瑞)一章

近世代数习题解答第一章基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明如下当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A I ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A =I ,B B A ?Y , 及由B A ?得B B A ?Y ,故B B A =Y , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1，??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c b b c a a a a a

《近世代数》模拟试题2及答案

近世代数模拟试题一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,＋)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C －1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S＝{(12),(13)}在三次对称群 3

2、设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。

三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，

逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????，的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-5

近世代数课后习题参考答案第五章扩域 1 扩域、素域 1. 证明:)(S F 的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域. 证一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为∑ 1)若 ∑∈b a , 则一定有),,(2,1n F a ααα ∈ ) ,,(2,1m F b βββ ∈易知 m n F b a βββααα,,,,,,(2121 ∈- 但∑? ),,,,,,(2121m n F βββααα 从而∑∈-a b 2)若,,∑∈b a 且0≠b 则 ),,,(21m F b βββ ∈- 从而有∑ ? ∈-),,,,,,(21211 m n F ab βββααα ２单扩域１．令E 是域F 的一个扩域，而F a ∈证明a 是F 上的一个代数元，并且 F a F =)( 证因0=-a a 故a 是F 上的代数元．其次，因F a ∈，故 F a F ?)(易见F a F ?)(，从而F a F =)( ２．令F 是有理数域．复数i 和 1 12-+i i 在F 上的极小多项式各是什么？ )(i F 与)1 12( -+i i F 是否同构？证易知复数i 在F 上的极小多项式为1 12, 12 -++i i x 在F 上的极小多项式为2 52 +-x x 因)1 12()(-+=i i F i F 故这两个域是同构的．３．详细证明，定理３中a 在域F 上的极小多项式是)(x p 证令?是)(x F 中的所有适合条件0)(=a f 的多项式作成)(x f 的集合． 1) ?是)(x F 的一个理想 (ⅰ)若 ?∈)(),(x g x f 则0)(,0)(==a g a f 因而0)()(=-a g a f 故??-)()(x g x f ⅱ)若)(,)(x h x f ?∈是)(x F 的任一元那么0)()(=a f a h 则?∈)()(x f x h 2)是一个主理想设 )(1x p 是?中a ！的极小多项式

近世代数期末试题

近世代数试卷一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

近世代数习题与答案

近世代数习题与答案 Prepared on 22 November 2020

一、选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。 (A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝ 2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（）。 (A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。 (A) （2），（3） (B) （2） (C)（3） 4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。 (A) 6 (B) 3 (C) 2 5、下列不成立的命题是( )。 (A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内） 1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ）（a ）。 2、F 是域，则[](()) F x f x 是域当且仅当。 3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~: A ～ B ?秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。 4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。 5、12的剩余类环Z 12的可逆元是。三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分）（请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”） 1、设G 是群，?≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （） 2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。 ( ) 3、商环6Z Z 是一个域。（）

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、就是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为

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