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两角和与差的三角函数6

两角和与差的三角函数(一)

1.cos75°cos15°+sin75°sin15°的值是( ) A .0 B.12 C.32 D .-12

2. 已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-4

5,则cos αcos β的值为( )

A .0 B.45 C .0或45 D .0或±4

5

3.在△ABC 中,若0

A .锐角三角形

B .钝角三角形

C .直角三角形

D .形状不能确定 4. 已知锐角α、β满足cos α=35,cos(α+β)=-5

13,则cos β=( )

A.3365 B .-3365 C.5475 D .-54

75 5. 已知cos(α-π6)+sin α=435,则sin(α+7π6)的值是( )

A .-235 B.235 C .-45 D.4

5

6. 已知tan α,tan β是方程x 2+33x +4=0的两根,且-π2<α<π2,-π2<β<π

2,则α+β的值

为( )

A.π3 B .-2π3 C.π3或-2π3 D .-π3或2π

3

7. 若()

0000

cos 60,sin 60,(cos15,sin15)a b ==,则a b ?=

8. 已知α、β为锐角,cos α=45,cos β=12

13,则tan(α-β)=__________

9. 12cos15°+3

2sin15°=________. 10. 若sin α-sin β=1-

32,cos α-cos β=-1

2

,则cos(α-β)_____________ 11..___________40tan 20tan 340tan 20tan =++

12. 已知:sin )(βα-,53sin )cos(cos =--ααβαβ是第三象限角,求tan (4

β+)的值

13. 求函数y =cos x +cos ????x +π

3的最大值.

14. 在△ABC 中,若sin A =35,cos B =5

13,求cos C .

15. 已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2).

(1)若a ∥b ,求tan θ的值; (2)若|a |=|b |,0<θ<π,求θ的值.

参考答案

BABACB 7.

22 8. 1663 9.22 10. 3

2

11. 3 12.7 13. 3

14. ∵0

13.

又∵0

4

π

若34π

5

. ∴cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=sin A sin B -cos A cos B =35×1213-45×513=1665.

15. (1)因为a ∥b ,所以2sin θ=cos θ-2sin θ,于是4sin θ=cos θ,故tan θ=1

4.

(2)由|a |=|b |知,sin 2θ+(cos θ-2sin θ)2=5,所以1-2sin2θ+4sin 2θ=5.

从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即sin2θ+cos2θ=-1,于是sin ????2θ+π4=-22. 又由0<θ<π知,π4<2θ+π4<9π4,所以2θ+π4=5π4,或2θ+π4=7π

4.

因此θ=π2,或θ=3π

4.

两角和与差的三角函数教案

两角和与差的三角函数 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)的值为( ) A .1 B .-1 C.12 D .-12 解析:将已知两式化为sin α+sin β=-sin γ,cos α+cos β=-cos γ.两式平方相加,有cos(α-β)=-12 . 答案:D 2.若cos α+2sin α=-5,则tan α=( ) A.12 B .2 C .-12 D .-2 解析:由已知得 5 sin(α+φ)=- 5 ????其中tan φ=1 2,即有 sin(α+φ)=-1,所以α+φ=2k π-π2,α=2k π-π2-φ,所以tan α=tan(-π 2 -φ)=cot φ=2. 答案:B 3. 3- sin70° 2-cos 210° =( ) A.12 B.22 C .2 D.32 解析:3- sin70°2-cos 2 10°=3- sin70°2- 1+cos20°2=2(3-cos20°)3-cos20° =2. 答案:C 4.(2011·南通)已知sin x -sin y =-23,cos x -cos y =2 3,且x 、y 为锐角,则tan(x -y )的值 是( ) A.214 5 B .-2145 C .±2145 D .±51428

解析:∵sin x -sin y =-23,cos x -cos y =2 3,两式相加得:sin x +cos x =sin y +cos y ,∴sin2x =sin2y .又∵x 、y 均为锐角,∴2x =π-2y ,∴x +y =π2,∴由cos x -cos y =2 3,得sin y -cos y =2 3 ,∴2sin ????y -π4=23, ∴sin ????y -π4=23 , ∴cos ????2y -π2=cos ????2????y -π4=1-2sin 2????y -π4 =1-2×29=59,∴sin2y =59 . 又∵sin y -cos y =23>0,且y 为锐角,故π4<y <π 2, ∴π 2 <2y <π, ∴cos2y =-1-sin 22y =-1-2581=-569 =-2149 . ∴tan(x -y )=tan ????π2-2y =cot2y =cos2y sin2y =-2149×95=-214 5. 答案:B 5.(2011·西城)已知sin α=35,且α∈????π2,π,那么sin2α cos 2α的值等于( ) A .-3 4 B .-3 2 C.34 D.32 解析:sin2αcos 2α=2sin αcos αcos 2α=2sin αcos α=2tan α. ∵sin α=3 5 ,α∈????π2,π, ∴cos α=-45,tan α=-34,2tan α=-3 2,选择B. 答案:B 6.(2011·合肥)已知角α在第一象限且cos α=3 5,则1+2cos ????2α-π 4sin ??? ?α+π2=( )

两角和与差的三角函数求值 高中数学教案

两角和与差的三角函数求值微课设计 一、教材分析 三角函数的求值主要有两种类型,即给值求值,给值求角. (1)正确地理解、选用公式,把非特殊角的三角函数值化为特殊角的三角函数值; (2)找出已知条件与所求结论之间的联系,一般可以适当变换已知代数式,从而达到解题的目的。 二、教学目标 知识与技能:探究已知与未知的内在联系,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力。 过程与方法:通过两角和与差的三角函数公式的运用,会进行简单的求值、化简,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题的能力。 情感态度与价值观:通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质。 三、学情分析 (1)对公式记忆不准确而使公式应用错误; (2)公式不能灵活应用和变形应用; (3)忽略角的范围或者角的范围判断错误.。 四、教学重、难点 教学重点: 两角和与差的三角函数公式的理解; 教学难点: 两角和与差的三角函数公式的运用。 五、教法学法 讲授法。 六、教学过程设计

故知新 通过分析两角和与差的三角函数公式,加深对知识的理解. 创设情境问题情境: 通过对热点考向的分析, 明确本节主要内容与学习方 向。 通过设计一系列典型例 题,让学生进一步体会两角和 与差的三角函数公式的正用、 逆用,以及整体代换思想的融 合,,提高学生的观察分析能 力,培养学生的应用意识。

典 例 分 析 引导学生从多角度思考 问题,意识到解决问题方法的 不唯一性,加深学生对两角和 与差的三角函数公式的理解, 拓展学生思维。 课 堂梳理公式特点分析; 整体代换思想。 课堂梳理,可以把课堂探究生 成的知识尽快转化为学生的 素质,巩固深化这节课的内 容.

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案

两角和与差的三角函数及倍角公式练习及答案 一、选择题: 1、若)tan(,21tan ),2(53sin βαβπαπα-=<<= 则的值是 A .2 B .-2 C .211 D .-211 2、如果sin cos ,sin cos x x x x =3那么·的值是 A .16 B .15 C .29 D .310 3、如果的值是那么)4tan(,41)4tan(,52)tan(παπββα+=-= + A .1318 B .322 C .1322 D .-1318 4、若f x x f (sin )cos ,=?? ?? ?232则等于 A .-12 B .-32 C .12 D .32 5、在?ABC A B A B 中,··sin sin cos cos ,<则这个三角形的形状是 A .锐角三角形 B .钝角三角形 C .直角三角形 D .等腰三角形 二、填空题: 6、角αβαβ终边过点,角终边过点,则(,)(,)sin()4371--+= ; 7、若αα23tan ,则=所在象限是 ; 8、已知=+-=??? ??+θθθθθπsin 2cos cos sin 234cot ,则 ; 9、=??-?+?70tan 65tan 70tan 65tan · 10、化简3232sin cos x x += 。 三、解答题: 11、求的值。·??+?100csc 240tan 100sec

12、的值。,求已知)tan 1)(tan 1(43βαπβα--=+ 13、已知求的值。cos ,sin cos 23544θθθ=+ 14、已知)sin(2)(sin 053tan ,tan 22βαβαβα+++=-+的两个根,求是方程x x ·cos()αβ+的值。

两角和差的三角函数(教案)

两角和与差的正弦、余弦、和正切公式教案(一) 教学目标 ? 知识与技能:理解利用向量推导两角和差的三角函数公式的过程,进一步体会向量方法的作用,能运用公式进行简单的恒等变换; ? 过程与方法:通过适当强度的课前学生自学,课堂上学生讲解与教师辅助点拨相结合,逐步培养学生自学,敢于展示、认真聆听、积极交流的能力; ? 情感态度与价值观:自主展示实现自我价值,合作学习培养团队合作。 一.课前自学 1.问题提出: 利用熟悉的角的三角函数值验证cos()αβ-是否等于cos cos αβ-,其他三个 , , 的情况又如何? 设计意图:通过对简单的易于进入的问题的探讨,在学生心中生成问题,激发求知欲,为课程的展开提供主观动力。 2. 公式推导: 如图1,在以坐标原点为圆心的单位圆O 中,已知角 与角的终边为与单位圆的交点分别为A,B, 则____________ 根据三角函数的定义:若点A 的坐标为,点B 的坐标为 则 ; 则点A 的坐标可以用的三角函数表示为( , ) 点B 的坐标可以用的三角函数表示为( , ) 则 的坐标(_________________) , 的坐标(_________________) _________________________________OA OB ?= 向量夹角 , 的夹角为 cos()cos ,OA OB αβ-==( ) ( ) =______________________________________ ____________________________________________(提示: OA 与OB 的模为?) =_________________________________ 提醒学生思考:如果角α β、改变结果是否会发生改变,进行推到过程的严谨性探究。

两角和与差的三角函数练习题及答案

两角和与差的三角函数练习题及答案 一、选择题 1. sin 45°·cos 15°+cos 225°·sin 15°的值为 ( C ) A .- 32 B .-12 2.已知sin(45°+α)=5 5 ,则sin 2α等于 ( B ) A .-4 5 B .-35 3.已知cos ? ????π6-α=33,则sin 2? ????α-π6-cos ? ????5π6+α的值是 ( A ) B .-2+3 3 4.已知向量a =? ????sin ? ????α+π6,1,b =(4,4cos α-3),若a⊥b ,则sin ? ????α+4π3等于 ( B ) A .- 3 4 B .-14 5.已知sin ? ????π6-α=13,则cos ? ?? ??2π3+2α的值是 ( A ) A .-7 9 B .-13 6.在△ABC 中,角C =120°,tan A +tan B =2 33,则tan A tan B 的值为( B ) 二、填空题 7.若sin α+cos αsin α-cos α=3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)= 8. 3-sin 70°2-cos 2 10°=________. 2 9.已知α,β∈? ????3π4,π,sin(α+β)=-35, sin ? ????β-π4=1213,则cos ? ?? ??α+π4= ________. -56 65 三、解答题

(1)2sin ? ????π4-x +6cos ? ?? ??π4-x ; (2)2cos 2 α-1 2tan ? ????π4-αsin 2? ?? ? ?π 4+α. 解 (1)原式=22??????1 2sin ? ????π4 -x +32·co s ? ????π4-x =22??????sin π6sin ? ????π4-x +cos π6cos ? ????π4-x =22cos ? ????π6-π4+x =22cos ? ????x -π12. (2)原式=cos 2α1-tan α1+tan α??????1-cos ? ????π2+2α =cos 2α cos 2α1+sin 2α (1+sin 2α)=1. 11.已知函数f (x )=2sin 2? ?? ??π 4+x -3cos 2x . (1)求f (x )的周期和单调递增区间; (2)若关于x 的方程f (x )-m =2在x ∈??????π4,π2上有解,求实数m 的取值范围. 解 (1)f (x )=2sin 2? ????π 4+x -3cos 2x =1-cos ? ?? ??π2+2x -3cos 2x =1+sin 2x -3cos 2x =2sin ? ????2x -π3+1, 周期T =π;令2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π 2, 解得单调递增区间为??????k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ). (2)x ∈?? ????π4,π2,所以2x -π3∈??????π6,2π3, sin ? ????2x -π3∈???? ??12,1, 所以f (x )的值域为[2,3]. 而f (x )=m +2,所以m +2∈[2,3],即m ∈[0,1]. 12.已知向量a =(3sin α,cos α),b =(2sin α,5sin α-4cos α),α∈? ?? ? ?3π2,2π, 且a⊥b . (1)求tan α的值; (2)求cos ? ?? ??α2+π3的值. 解 (1)∵a⊥b ,∴a·b =0. 而a =(3sin α,cos α),b =(2sin α,5sin α-4cos α), 故a·b =6sin 2 α+5sin αcos α-4cos 2 α=0. 由于cos α≠0,∴6tan 2 α+5tan

三角函数基础,两角和与差、倍角公式

练习: 一、填空题 1. α是第二象限角,则2 α 是第 象限角. 2.已知扇形的半径为R ,所对圆心角为α,该扇形的周长为定值c ,则该扇形最大面积为 . 同角三角函数的基本关系公式: αααtan cos sin = ααα cot sin cos = 1cot tan =?αα 1cos sin 22=+αα 1?“同角”的概念与角的表达形式无关,如: 13cos 3sin 2 2 =+αα 2tan 2 cos 2sin ααα = 2?上述关系(公式)都必须在定义域允许的围成立。 3?由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值,且因为利用“平方关系”公式,最终需求平方根,会出现两解,因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆: ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分,顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解例: 例1化简:ο440sin 12- 解:原式οοο ο ο 80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122 2 ==-=+-= 例2 已知α α αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角,化简 解:) sin 1)(sin 1() sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+--- -+++= 原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2 222ααααα ααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角,Θ αα α ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+= ∴原式 (注意象限、符号) 例3求证: α α ααcos sin 1sin 1cos +=- 分析:思路1.把左边分子分母同乘以x cos ,再利用公式变形;思路2:把左边分子、分母同乘以(1+sinx )先满足

两角和与差的三角函数

两角和与差的三角函数 一.课前热身 1.cos 43sin13sin 43cos167+= 2.tan 3,tan 4αβ==,则tan()αβ+= 3.要使sin 312m αα=-有意义,则m 的取值范围是 4.已知02π α<<,1sin()43 πα-=,则sin α= 5.sin 50(13tan10)+= 二.例题展示 例1:已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直,其中(0, )2πθ∈. (1)求sin cos θθ和的值; (2)若10sin()102πθ??-= <<,求cos ?的值. 例2:如图,在平面直角坐标系xoy 中,以ox 轴为始边做两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A,B 的横坐标分别为 25105 . (Ⅰ)求tan(αβ+)的值; (Ⅱ)求2αβ+的值. 例3:已知tan110a =,求tan50的值(用a 表示) 313a +212a a -,对这两种结果,哪个是正确的呢? 例4:(1)求证: 111sin 2tan tan 2x x x =- (2)化简:*1111,()sin 2sin 4sin8sin 2n n N x x x x +++???+∈

三.课内反馈 1.已知12αβ= sin cos 则 cos αsin β的取值范围是________. 2.已知4π αβ+=,则(1tan )(1tan )αβ++= 3.已知α、β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tan α=_____. 4.已知12ππcos(),sin(),π,0,292322 β ααβαβ-=--=<<<<且 cos 2αβ +求的值 5.若sin ,sin 510A B = =,且A,B 都是钝角,求A+B 的值.

两角和与差的三角函数练习含答案

一、选择题(共9小题,每小题4分,满分36分) 1.(4分)(2009?陕西)若3sinα+cosα=0,则的值为() A.B.C.D.﹣2 2.(4分)已知,则=() A.B.C.D. 3.(4分)如果α∈(,π),且sinα=,那么sin(α+)+cos(α+)=() A.B.﹣C.D.﹣ 7.(4分)(2008?海南)=() A.B.C.2D. 8.(4分)已知sinθ=﹣,θ∈(﹣,),则sin(θ﹣5π)sin(π﹣θ)的值是() A.B.﹣C.﹣D. 9.(4分)(2007?海南)若,则cosα+sinα的值为() A.B.C.D. 10.(4分)设α,β都是锐角,那么下列各式中成立的是() A.s in(α+β)>sinα+sinβB.c os(α+β)>cosαcosβ C.s in(α+β)>sin(α﹣β)D.c os(α+β)>cos(α﹣β) 11.(4分)(2009?杭州二模)在直角坐标系xOy中,直线y=2x﹣与圆x2+y2=1交于A,B两点,记∠xOA=α(0<α<),∠xOB=β(π<β<),则sin(α+β)的值为() A.B.C.﹣D.﹣ 12.(4分)(2008?山东)已知,则的值是() A.B.C.D. 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分) 4.(5分)(2008?宁波模拟)已知cos(α+)=sin(α﹣),则tanα=_________ . 5.(5分)已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,则c osα的值为 _________ . 13.(5分)?的值为_________ . 14.(5分)(2012?桂林一模)若点P(cosα,sinα)在直线y=﹣2x上,则sin2α+2cos2α=_________ .15.(5分)的值为 _________ . 三、解答题(共4小题,满分0分) 6.化简: (1); (2)﹣. 16.(2006?上海)已知α是第一象限的角,且,求的值. 17.求值:(1);

两角和与差的三角函数(复习课教案)

两角和与差的三角函数 【知识梳理】 主要公式: 两角和与差的三角函数公式: sin()αβ+= sin()αβ-= cos cos sin sin αβαβ- = cos cos sin sin αβαβ+= tan()αβ±= 题型一:给角求值 1.求下列各式的值 (1)tan 20tan 403tan 20tan 40++ (2)sin10sin 20cos30 cos10sin 20sin 30 +- 类题演练:求下列三角函数式的值 (1)0 tan 204sin 20+ (2)tan 70cos103sin10tan 702cos 40+- 题型二:给值求角 1.已知1cos 7α=,13cos()14αβ-=,且02 πβα<<<,求β的值. 2.已知1tan 7α=,1 tan 3 β=,若αβ,均为锐角,求2αβ+的值. 3.已知,,(0,)2 π αβγ∈,sin sin sin αγβ+=,cos cos cos γβα+=,求-βα的值. 4.已知11 tan(),tan 27 αββ-==-,且,(0,)αβπ∈,求2αβ-的值.

题型三:给值求值 1.已知αβ,均为锐角,且cos sin tan cos sin αα βαα -=+,则tan()αβ+= 2.已知4cos()5αβ+=,4 cos()5 αβ-=-,求cos cos αβ= 3.已知22 sin sin ,cos cos 33 x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则tan()x y -= 4.已知1sin(),63π α+=则2cos(2)3 π α-= 5.若3177 cos(),45124 x x π ππ+=<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值. 题组四:综合提升 1.求下列各值 (1 )sin 12 12 π π = (2)(tan103)sin 40-= (3)若tan 20,tan 60,tan100a b c ===则 111 ab bc ca ++= (4) 222 31 64sin 20sin 20cos 20 -+= 2.已知3,(,)4παβπ∈,312sin(),sin(),5413παββ+=--=则cos()4 π α+= 3.若353sin(),cos(),41345ππαβ+=-=且30,44 ππαβ<<<<求cos()αβ+的值.

三角函数两角和与差,以及万能公式的推导

三角函数两角和与差, 以及万能公式的推导-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

向量法: 取直角坐标系,作单位圆 取一点A,连接OA,与X轴的夹角为A 取一点B,连接OB,与X轴的夹角为B OA与OB的夹角即为A-B A(cosA,sinA),B(cosB,sinB) OA=(cosA,sinA) OB=(cosB,sinB) OA*OB =|OA||OB|cos(A-B) =cosAcosB+sinAsinB |OA|=|OB|=1 cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 在直角坐标系xoy中,作单位圆O,并作角α,β,-β,使角α的始边为Ox交⊙O于P1,终边交⊙O于P2;角β的始边为OP2,终边交⊙O于P3;角-β的始边为OP1,终边交⊙O于P4.依三角函数的定义,得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1(1,0),P2(cosα,sinα)、P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3,P2P4. 则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式,得 ∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2, ∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 ∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2 展开整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ) ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α,β均成立 在公式Cα+β中,用-β替代β. cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α,β均成立.

高中数学必修4两角和与差的三角函数

两角和与差的三角函数 【知识要点回顾】 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切 cos(βα+)= ; sin(βα+)= ; tan(βα+) cos(βα-)= ; sin(βα-)= ; tan(βα-) 2. 二倍角的正弦、余弦、正切 sin2α= ; cos2α= = = ; tan2α= . 3. 公式的推导与联系. 【例题讲解】 例1 :求下列三角函数的值: (1) 若θ为锐角,53sin =θ,求)6cos(π θ+的值; (2) 若α为锐角,5 3 )6sin(=-πα,求 cosα的值。 例2:利用已知角和特殊角表示下列角: (1)已知角α+β、α-β,则2α= ,2β= ; (2)已知角βπ πα+-4 3,4,则α+β= ; (3)△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列,已知2 C A -=α,则A= , C= 。 例3:(1)已知的范围,求βαβαπβπ α-+<<<<,2 0;

(2)已知)4 sin(,232,53)4cos(παπαππ α+<≤=+求 例4:已知α、β为锐角,的值。求ββααcos ,3 1 )tan(,54cos -=-= 例5: 的值。求且设)sin(,13 5 )43sin(,53)4cos(),4,0(),43,4(βαβππαπβππα+=+=-∈∈ 例6:的值。求已知)4 2cos(,232,53)4cos(παπαππ α+<≤=+ 例7:利用向量的方法证明两角和的余弦公式: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 【考点针对训练】 一.选择题

1.已知tan (βα+)==+=- )4 tan(,41)4tan(,5 2 π απ β则( ) A .1813 B .22 13 C .183 D .223 2.若 5tan 1tan 1=+-A A ,则)4 (cot A +π 的值为 .A 5- .B 55- .C 5 .D 5 5 3.已知2cot =α,5 2 )tan(- =-βα,则)2tan(αβ-的值为:( ) A.61 B.61- C.121 D.121- 4.?????75sin 30sin 15sin 值为 .A 43 .B 81 .C 8 3 .D 41 5. 12 cos 12 sin 2 2 π π -的值为( ) A. 21- B. 21 C. 23- D. 2 3 6. ? ?-?? ?+?8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值为( ) .A 32+ . B 232+ . C 32- . D 2 3 2- 7. 若f(cosx)=cos2x ,则f(sin15°)的值等于 ( ) A .12 B .-1 2 C. 32 D .- 3 2 8.已知1352 sin = α ,13 122cos -=α,则角α所在的象限是:( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.已知3 sin( )45x π -=,则sin 2x = ( ) A .1925 B .1625 C .725 D .1425

两角和与差的三角函数练习(含答案)

# 一、选择题(共9小题,每小题4分,满分36分) 1.(4分)(2009?陕西)若3sinα+cosα=0,则的值为() A.B.& C. D.﹣2 2.(4分)已知,则=() A.,B.C.D . / 3.(4分)如果α∈(,π),且sinα=,那么sin (α+)+cos(α+)=() A.B. ﹣ C .》 D. ﹣ 7.(4分) (2008?海南)=() A.B.;C.2D . 8.(4分)已知sinθ=﹣,θ∈(﹣,),则sin(θ﹣5π)sin(π﹣θ)的值是() ^ A. B. ﹣ C . ﹣ D. ~ 9.(4分)(2007?海南)若,则cosα+sinα 的值为()A.B.C.$D. 10.(4分)设α,β都是锐角,那么下列各式中成立的是() A.s in(α+β)>sinα+sinβ。 B. cos(α+β)>cosαcosβ C.s in(α+β)>sin(α﹣β)D.c os(α+β)>cos(α﹣β) /

11.(4分)(2009?杭州二模)在直角坐标系xOy中,直线y=2x ﹣与圆x2+y2=1交于A,B两点,记∠xOA=α(0<α<),∠xOB=β(π<β<),则sin(α+β)的值为() A.B.C. ﹣( D. ﹣ 12.(4分)(2008?山东)已知,则的值是()A.B.…C.D. 二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分) 4.(5分)(2008?宁波模拟)已知cos(α+)=sin(α﹣),则tanα=_________ . * 5.(5分)已知sin(30°+α)=,60°<α<150°,则cosα的值为 _________ . 13.(5分)?的值为_________ . 14.(5分)(2012?桂林一模)若点P(cosα,sinα)在直线y=﹣2x上,则sin2α+2cos2α=_________ .15.(5分)的值为 _________ . 三、解答题(共4小题,满分0分) 6.化简: (1); ? (2)﹣. 16.(2006?上海)已知α是第一象限的角,且,求的值. 17.求值:(1); (2)tan(﹣θ)+tan(+θ)+tan(﹣θ)tan(+θ). 18.(2008?江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点.已知A,B两点的横坐标分别是,. [ (1)求tan(α+β)的值;

两角和与差的三角函数

§1 两角和与差的三角函数 知识梳理 1.两角和与差的余弦公式 (1)公式:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β. (2)理解和记忆: ①上述公式中的α、β都是任意角. ②和差角的余弦公式不能按分配律展开,即cos(a ±β)≠cos α±cos β. ③公式使用时不仅要会正用,还要能够逆用公式,在很多时候,逆用更能简洁地处理问题.如由cos50°cos20°+sin50°sin20°能迅速地想到cos50°cos20°+sin50°sin20°=cos(50°-20°)= cos30°=2 1. ④第一章中所学的部分诱导公式可通过本节公式验证. ⑤记忆:公式右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符号相反. 2.两角和与差的正弦公式 (1)公式:sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. (2)理解和记忆: ①上面公式中的α、β均为任意角. ②与和差角的余弦公式一样,公式对分配律不成立,即sin(α±β)≠sin α±sin β. ③和差公式是诱导公式的推广,诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α.当α或β中有一个角是2 π的整数倍时,通常使用诱导公式较为方便. ④使用公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β,不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开,而采用整体思想,进行如下变形:sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin [(α+β)-β]=sin α,这也体现了数学中的整体原则. ⑤记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来,两角和与差的余弦公式的右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边的连接符号相反;两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数积,连接符号与左边的连接符号相同. 3.两角和与差的正切 (1)公式:tan(α+β)= βαβαtan tan 1tan tan -+;tan(α-β)=β αβαtan tan 1tan tan +-. (2)理解和记忆:

两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用

). 1(≠k 高一数学 一、本讲教学内容 两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用 二、典型例题选讲 例1 已知)tan()tan(βαβα+?=-k 求证: .112sin 2sin k k -+=βα 分析 注意到已知条件中的角βα-、βα+与欲证等式中的角α2、β2的关系: ),()(2βαβαα-++=),()(2βαβαβ--+=因此可用两角和与差的正弦公式变形,再用已知条件代入进行证 明. 证: )]()sin[()]()sin[(22sin βαβαβαβαβα--+-++=sjin =) sin()cos()cos()sin() sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-?+--?+-?++-?+= )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++= .11)tan()tan()tan()tan(k k k k -+=+?-++?++βαβαβαβα 评析 本题也可以由已知得)tan()tan(βαβα+-=k ,代入右边,得=+--+-+ =-+) tan() tan(1)tan() tan(111βαβαβαβαk k )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++ ,cos cos ) sin(cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin tan tan B A B A B A B A B A B B A A B A ?±=??±?=±=± .2sin 2sin )]()sin[()]()sin[(11βαβαβαβαβα=--+-++=-+∴ k k 例2 已知,4 3 sin sin = +β α求βαcos cos +的取值范围. 分析 βαcos cos +难以直接用βαsin sin +的式子来表达,因此设t =+βαcos cos ,并找出t 应满足的等式,从而求出βαcos cos +的取值范围. 解 令t =+βαcos cos ,① 由已知,4 3 sin sin = +β α. ② ①2+②2 :,16 9sin sin sin 2sin cos cos cos 2cos 22222+ =+?+++?+t ββααββαα ,169)cos(222+ =-+t βα ).cos(216232βα-+=t ].16 55,0[,1)cos(12∈∴≤-≤-t βα ],455,455[- ∈t 即].4 55 ,455[cos cos -∈+βα 例3 求函数x x x x x f cos sin 3cos sin )(?+-=的值域 分析 )(x f 的解析式中既有x sin ,又有x cos ,若由1cos sin 22=+x x 将x cos 表示成x 2sin 1-±或将x sin 表示 成x 2cos 1-±,都会出现根式,且需要讨论符号,因此这种做法不可取.注意到x x x x cos sin 21)cos (sin 2?-=-,因此可作代换:,cos sin t x x =-则x x cos sin ?和x x cos sin -都可以用t 表示,)(x f 就可以变形为t 的二次函数,再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得)(x f 的值域. 解 令,cos sin x x t -= 则,cos sin 212 x x t ?-= .2 1cos sin 2 t x x -=? .2 3 61)31(232323213cos sin 3cos sin )(222++--=++-=-? +=?+-=t t t t t x x x x x f ].2,2[).4 sin(2)4sin cos 4cos (sin 2cos sin -∈∴-=?-?=-=t x x x x x t π ππ 当;352361)(,31max =+==x f t 当.22 3 232)2(23)(,22min --=+---=-=x f t )(x f ∴的值域为}.35 223{≤≤--y y 评析 相应于)4 sin(2cos sin π - = -x x x ,还有更一般的情况:

高中数学两角和与差的三角函数公式知识点

两角和与差的三角函数公式 本节重点:熟练掌握并运用两角和与差的三角函数公式 课前引入: 3215tan ,4 2 615cos ,42 615sin -=?+=?-= ? (一).两角和差的余弦公式推导:首先在单位圆上任取两点A (cos ααsin ,)B(ββsin ,cos ) ) si n ,(c os ),si n ,(c os ββαα==∴OB OA )(,sin sin cos cos βαβαβα-?=?+=?∴OB OA OB OA Θ又=cos(βα-) βαβαβαsin sin cos cos cos +=-∴)(得出 用得替换ββ- βαβαβαsin sin cos cos cos -=+)(用诱导公式得 β αβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(+=+-=- β αβ αβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(,tan tan 1tan tan )tan(+-=--+= +∴ 二倍角公式: ①θθθcos sin 22sin = ②θθθθθ2222 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ③θ θ θ2tan 1tan 22tan -= 例1、 求?15cos 练习1、求? ? -?70sin 20sin 10cos 2

课堂练习: 1.下列等式中一定成立的是( ) A .cos()cos cos αβαβ+=+ B .cos()cos cos αβαβ-=- C .sin( )sin 2π αα-= D .cos()sin 2 π αα-= 2.化简sin119sin181sin91sin 29???-???等于( ) A . 12 B .1 2 - C .- 3.若1cos 2α=- ,sin β=(,)2παπ∈,3(,2)2 π βπ∈, 则sin()αβ+的值是( ) A . 2 B .2 -.1- D .0 4.若,(0, )2 π αβ∈, cos()2 2β α-= ,1sin()22αβ-=-,则cos()2 αβ +的值等于( ) A .1 B .12- 或1 C .1 2 或1 D .2 5.已知α为第二象限的角,3 sin 5 a =,则tan 2α= . 6.已知1sin cos 2αβ-=,1 cos sin 3 αβ-=,则sin()αβ+= . 7.要使32cos 1 m x x m -=-有解,求实数m 的范围

两角和与差的三角函数、二倍角公式

第20讲 两角和与差的三角函数、二倍角公式 考试要求 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导及联系(C 级要求);二倍角的正弦、余弦、正切公式(B 级要求);2.运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角恒等变换(C 级要求). 诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( ) (2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( ) (3)公式tan(α+β)= tan α+tan β 1-tan αtan β 可以变形为tan α+tan β =tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( ) (4)存在实数α,使tan 2α=2tan α.( ) 解析 (3)变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠π 2+k π,k ∈Z . 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2.(2017·山东卷改编)已知cos x =3 4,则cos 2x =________. 解析 由cos x =34得cos 2x =2cos 2 x -1=2×? ????342-1=18. 答案 18 3.(2017·江苏卷)若tan(α-π4)=1 6,则tan α=________. 解析 tan α=tan ????????? ????α-π4+π4 =tan ? ???? α-π4+tan π4 1-tan ? ?? ?? α-π4tan π4 =1 6+11-16=75.

答案7 5 4.(2018·苏、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角,且sin α=3 10 ,tan(α+β) =-2,则tan β=________. 解析由α是第二象限角,且sin α=3 10 , 得cos α=-1 10 ,tan α=-3, 所以tan β=tan(α+β-α)=tan(α+β)-tan α 1+tan(α+β)tan α = -2+3 1+6 = 1 7. 答案1 7 5.(必修4P109习题4改编)sin 347°cos 148°+sin 77°·cos 58°=________. 解析sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58° =sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58° =(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58° =sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77° =sin(58°+77°)=sin 135°= 2 2. 答案 2 2 知识梳理 1.两角和与差的三角函数公式 sin(α±β)=sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α?β)=cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)=tan α±tan β1?tan αtan β . 2.二倍角公式 sin 2α=2sin__αcos__α.

两角和与差的三角函数公式知识点

两角和与差的三角函数公式 本节重点:熟练掌握并运用两角和与差的三角函数公式 课前引入: 3215tan ,4 2615cos ,42615sin -=?+=?-=? (一).两角和差的余弦公式推导:首先在单位圆上任取两点A (cos ααsin ,)B(ββsin ,cos ) )si n ,(c os ),si n ,(c os ββαα==∴OB OA )(,sin sin cos cos βαβαβα-?=?+=?∴OB OA OB OA Θ又=cos(βα-) βαβαβαsin sin cos cos cos +=-∴)(得出 用得替换ββ- βαβαβαsin sin cos cos cos -=+)(用诱导公式得 β αβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(+=+-=- β αβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(,tan tan 1tan tan )tan(+-=--+=+∴ 二倍角公式: ①θθθcos sin 22sin = ②θθθθθ2 222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ③θ θθ2tan 1tan 22tan -= 例1、 求?15cos 练习1、求 ? ?-?70sin 20sin 10cos 2

课堂练习: 1.下列等式中一定成立的是( ) A .cos()cos cos αβαβ+=+ B .cos()cos cos αβαβ-=- C .sin()sin 2παα-= D .cos()sin 2π αα-= 2.化简sin119sin181sin91sin 29???-???等于( ) A .1 2 B .1 2- C .- 3.若1 cos 2α=-,sin β=(,)2παπ∈,3(,2)2π βπ∈,则sin()αβ+的值是( ) A .2 B .2- C .1- D .0 4.若,(0,)2παβ∈,cos()22βα-=,1sin()22αβ-=-,则cos()2αβ + 的值等于( ) A .1 B .1 2-或1 C .1 2或1 D .2 5.已知为第二象限的角,,则 . 6.已知1 sin cos 2αβ-=,1 cos sin 3αβ-=,则sin()αβ+= . 7.要使32cos 1m x x m -=-有解,求实数m 的范围

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