金融机构极端事件下的风险分析

金融机构极端事件下的风险分析

作者：刘纯姚俊华夏既明

来源：《财会通讯》2012年第27期

摘要：散射过程能够为那些存在跳跃的时间序列随机事件提供随机模型。2007年以来散射过程有关理论在极端事件下，金融机构在一定时间内遭受大量损失后总损失定价如何确定。本文认为，金融机构在极端事件下，其损失分布通常是重尾分布，再度利用三种重尾分布函数（Loggamma分布， Frechet分布以及截断的Gumbel分布）来度量总损失的期望值。

关键词：散射过程极端事件拉普拉斯变换逐段决定马尔科夫过程

一、引言

2007年美国发生了次贷危机，并且迅速波及全球。大量次级放贷机构陷入困境，新世纪金融公司、美国房屋按揭投资公司等80余家抵押贷款公司陷入破产和清盘的泥沼。同时，国际知名的投资银行，包括美林、花旗等也开始大量冲销资产等。本文就是基于这样的背景，试图从数学的角度来对这次危机对金融机构所造成的损失进行分析。应用散射过程分析在极端事件下，金融机构在某一定时间内遭受大量的损失后总损失的定价，应用拉普拉斯变换求出总损失的分布函数以及利用逐段决定马尔科夫过程有关知识求出总损失的期望值。金融机构在极端事件下，其损失分布通常是重尾分布，本文的第二部分再度利用三种重尾分布函数（Loggamma分布， Frechet分布以及截断的Gumbel分布）来度量总损失的期望值。对于散射的统计性的研究源自于1909年Campbell的一篇文章，那时他仅局限于期望值与方差的研究；自从Merton （1974）开辟风险理论研究以来，其后的改进的风险理论模型许多都是建立在带有违约强度的计数过程基础之上；Jarrow and Turnbull （1995）在风险理论的研究中使用泊松过程，不久又和Lando （1997）进一步使用离散状态空间的马尔科夫链对信用风险进行了研究；使用散射过程以及带有散射强度的Cox过程对保险进行研究的作品主要有Klüppelberg & Mikosch （1995）， Dassios & Jang （2003， 2005，2008） and Jang &Krvavych （2004）。Jang and Fu （2008）也使用了带有散射强度的Cox过程模拟了操作风险（operational risk）。Albrecher and Asmussen在破产概率的计算中应用散射Cox过程。对于风险模型来说，一旦损失发生所产生的索赔遵循一定的概率分布，其分布仅仅按照某个泊松过程来考虑是不够的；为了能真实反映诸如洪水、风暴、冰雹、地震等的随机特性，就有必要选择某个点过程以能要么较全面，要么比较贴切地反映其特征。

二、总损失分布函数

散射过程能够为那些存在跳跃的时间序列的随机事件提供随机模型，其定义为下列形式：ξ（t）=■f（t-xi，?茁i），t∈Rd

其中?鬃=［xi，?茁i］，i?叟0是在Rd （可测标识空间（Mark Space）中的Rd）中平稳的、独立的标点过程（marked point processes），f是可测响应函数。可测标识空间（Mark Space）表示为ξ（t）=■f（t-xi，?茁i），t∈Rd，（t）在此指非标点过程?鬃=xi，i?叟0的所有元素的总和。

事实上，有很多的基本事件诸如政府的财政、货币政策，政治方面上的以及社会方面的决策，公司之间的并购和诸如美国的9.11事件的巨大灾难，它们所能带给金融方面的影响是巨大的，也许会最终导致某些金融机构的破产。可以假设所造成的大量次的索赔符合泊松过程。衡量基本事件的影响之一的过程就是散射过程。Yi，i=1，2，......表示索赔量，假定是独立同分布的，其分布函数是G（y），（y＞0）。

在古典的风险理论中假定利率为零，因此其总损失为Lt=■Yi，Nt为t时间内的损失发生的次数。如果把古典模型延伸，考虑到利率的因素，那理论的前景就不可限量了。Delbaen 和Haezendonck （1987）就把利率因素考虑进了其风险理论中从而拓宽了古典风险理论的研究范畴；用?啄表示无风险利力，因此到时间t的总损失为Lt=Lt（t-S）=■Yie■

如果折现，得到总折现损失为L0t（s）=■Yie■，我们考虑风险不能仅仅考虑无风险利率，我们应该赋予?啄（t）以更广的含义。

假设损失到达过程Nt遵循泊松过程，其密度函数为?姿到达时间St也为一随机变量，其中S1＜S2＜S3＜......。我们进一步假设St符合［0，t］内的均匀分布。再定义第一次到达的时间为?子b=inft?叟0|X（t）?叟b，b就是破产的临界值。Li与St互相独立。

Ee■=E（e■）e■■■■（E（e■））■=E（e■）exp（-?姿t（1-E（e■）））

而E（e■）=E（exp-?兹L1e■）=E■u1［E■（exp（-?兹L1e■））］

设G（y）的拉普拉斯变换为?渍（?兹），即: E（e■）=■■■?渍（?兹e■）dx

因此:Ee■=E（e■）exp［-?姿t［1-■■?渍（?兹e■）dx］］=E（e■）exp［-?姿［■（1-?渍（?兹e■））dx］］

这就是总损失函数的拉普拉斯变换。现在就一种简单的情形，来求出Lt（t-S）的分布函数。

如果跳动幅度Li的分布是指数分布，其参数为?滋，即总损失函数的拉普拉斯变换为：M （?兹，t）=exp-?姿■■dx=■■ 一般情况，Lt的拉普拉斯变换是不可逆的，但当损失的分布是指数分布时，其逆过程能够求出。也就是说当Li遵循参数为?滋的指数分布时，那么Lt（t-S）与下列随机变量等价：Lt（t-S）～e■?着0+（1-e■）Qt