(高清版)2019年湖南省长沙市中考数学试卷

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绝密★启用前

湖南省长沙市2019年初中学业水平考试

数 学

本试卷满分120分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共36分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的) 1.下列各数中,比3-小的数是

( )

A .5-

B .1-

C .0

D .1

2.根据《长沙市电网供电能力提升三年行动计划》,明确到2020年,长沙电网建设改造投资规模达到15 000 000 000元,确保安全供用电需求.数据15 000 000 000用科学记数法表示为

( )

A .9

1510?

B .9

1.510?

C .10

1.510? D .11

0.1510? 3.下列计算正确的是

( )

A .325a b ab +=

B .326

()a a = C .632a a a ÷=

D .222

()a b a b +=+

4.下列事件中,是必然事件的是

( )

A .购买一张彩票,中奖

B .射击运动员射击一次,命中靶心

C .经过有交通信号灯的路口,遇到红灯

D .任意画一个三角形,其内角和是180?

5.如图,平行线AB ,CD 被直线AE 所截,180∠=?,则2∠的度数是

( )

A .80?

B .90?

C .100?

D .110? 6.某个几何体的三视图如图所示,该几何体是

( )

A

B

C

D

7.在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中,11名参赛同学的成绩各不相同,按照成绩取前5名进入决赛.如果小明知道了自己的比赛成绩,要判断能否进入决赛,小明需要知道这11名同学成绩的

( ) A .平均数 B .中位数 C .众数 D .方差 8.一个扇形的半径为6,圆心角为120?,则该扇形的面积是

( )

A .2π

B .4π

C .12π

D .24π

9.如图,Rt ABC △中,90C ∠=?,30B ∠=?,分别以点A 和点B 为圆心,大于

1

2

AB 的长为半径作弧,两弧相交于M ,N 两点,作直线MN ,交BC 于点D ,连接AD ,则CAD ∠的度数是

( )

A .20?

B .30?

C .45?

D .60?

10.如图,一艘轮船从位于灯塔C 的北偏东60?方向,距离灯塔60n mile 的小岛A 出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C 的南偏东45?方向上的B 处,这时轮船B 与小岛A 的距离是

( )

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效---

-------------

数学试卷 第3页（共30页） 数学试卷 第4页（共30页）

A

.mile B .60mile n C .120mile n

D

.(30mile n +

11.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作,其中有一道题,原文是：“今有木,不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸；屈绳量之,不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头,则木头还剩余1尺,问木头长多少尺？可设木头长为x 尺,绳子长为y 尺,则所列方程组正确的是 ( )

A . 4.5,0.51y x y x =+??=-?

B . 4.5,

21y x y x =+??=-?

C . 4.5,0.51y x y x =-??=+?

D . 4.5,21y x y x =-??=-?

12.如图,ABC △中,10AB AC ==,tan 2A =,BE AC ⊥于点E ,D 是线段BE 上的一个

动点,

则5

CD BD +的最小值是

( )

A

.

B

.

C

.

D .10

第Ⅱ卷(非选择题 共84分)

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填写在题中的横线上) 13.

在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是 . 14.分解因式：29am a -= .

15.不等式组10

360x x +??-?

≥＜的解集是 .

16.在一个不透明的袋子中有若干个小球,这些球除颜色外无其他差别,从袋中随机摸出一球,记下其颜色,这称为一次摸球试验,然后把它重新放回袋中并摇匀,不断重复上

根据试验所得数据,估计“摸出黑球”的概率是 .(结果保留小数点后一位) 17.如图,要测量池塘两岸相对的

A ,

B 两点间的距离,可以在池塘外选一点

C ,连接AC ,BC ,分别取AC ,BC 的中点

D ,

E ,测得50DE =m ,则AB 的长是 m .

18.如图,函数k

y x

=

(k 为常数,0k ＞)

的图象与过原点的O 的直线相交于A ,B

两点,点M 是第一象限内双曲线上的动点

(点M 在点A 的左侧),直线AM 分别交x 轴、y 轴于C ,D 两点,连接BM 分别交x 轴、y 轴于点E ,

F .现有以下四个结论：

①ODM △与OCA △的面积相等；②若BM AM ⊥于点M ,则30MBA ∠=?；③若M 点的横坐标为1,OAM △为等边三角形,则2k =；④若2

5

MF MB =

,则2MD MA =.其中正确的结论的序号是 .(只填序号)

三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分6分)

计算：1

1|2cos602-??

+-? ???

.

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数学试卷 第5页（共30页） 数学试卷 第6页（共30页）

20.(本小题满分6分)

先化简,再求值：22

314411a a a a a a a +++??-÷ ?---??,其中3a =.

21.(本小题满分8分)

某学校开展了主题为“垃圾分类,绿色生活新时尚”的宣传活动,为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况,该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查,将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计,并绘制了如下不完整

请根据以上信息,解答下列问题：

(1)本次调查随机抽取了 名学生；表中m = ,n = ； (2)补全条形统计图；

(3)若全校有2 000名学生,请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人.

22.(本小题满分8分)

如图,正方形ABCD ,点E ,F 分别在AD ,CD

上,且DE CF =,AF 与BE 相交于点G . (1)求证：BE AF =；

(2)若4AB =,1DE =,求AG 的长.

23.(本小题满分9分)

近日,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》,鼓励教师参与志愿辅导,某区率先示范,推出名师公益大课堂,为学生提供线上线下免费辅导,据统计,第一批公益课受益学生2万人次,第三批公益课受益学生2.42万人次. (1)如果第二批,第三批公益课受益学生人次的增长率相同,求这个增长率； (2)按照这个增长率,预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

-------------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效---

-------------

毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________

数学试卷 第7页（共30页） 数学试卷 第8页（共30页）

24.(本小题满分9分)

根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.

(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).

①四条边成比例的两个凸四边形相似： ( 命题) ②三个角分别相等的两个凸四边形相似： ( 命题) ③两个大小不同的正方形相似.

( 命题)

(2)如图1,在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中,111ABC A B C ∠=∠,BCD ∠=

111B C D ∠,

111111

AB BC CD

A B B C C D .求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似.

(3)如图2,四边形ABCD 中,AB CD ∥,AC 与BD 相交于点O ,过点O 作EF AB ∥分别交AD ,BC 于点E ,F .记四边形ABFE 的面积为S 1,四边形EFCD 的面积为S 2,若四

边形ABFE 与四边形EFCD 相似,求21

S

S 的值.

图1

图2

25.(本小题满分9分)

已知抛物线2()(2222)00y x b x c =-+-+-(b ,c 为常数). (1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b ,c 的值；

(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c 的取值范围；

(3)在(1)的条件下,存在正实数m ,n ()m n ＜,当m x n ≤≤时,恰好1

212

m m y ++≤≤

21

n

n +,求m ,n 的值.

26.(本小题满分10分)

如图,抛物线26y ax ax =+(a 为常数,0a ＞)与x 轴交于O ,A 两点,点B 为抛物线的顶点,点D 的坐标为()(,00)3t t -＜＜,连接BD 并延长与过O ,A ,B 三点的P e 相交于点C .

(1)求点A 的坐标；

(2)过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E . ①如图1,求证：CE DE =； ②如图2,连接AC ,BE ,B O ,

当3a =

,CAE OBE ∠=∠时,求11OD OE

-的值.

图1

图2

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数学试卷 第9页（共30页） 数学试卷 第10页（共30页）

湖南省长沙市2019年初中学业水平考试

数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题 1.【答案】A

【解析】解：53101---＜＜＜＜,所以比3-小的数是5-,故选：A . 【考点】有理数的大小比较. 2.【答案】C

数学试卷 第11页（共30页） 数学试卷 第12页（共30页）

【解析】解：数据15 000 000 000用科学记数法表示为101.510?.故选：C . 【考点】利用科学记数法表示较大的数. 3.【答案】B

【解析】解：A 、3a 与2b 不是同类项,故不能合并,故选项A 不合题意；B 、326()a a =,

故选项B 符合题意；C 、633a a a ÷=,故选项C 不符合题意；

D 、222(2)a b a ab b +=++,故选项D 不合题意.故选：B .

【考点】合并同类项,幂的乘方与积的乘方,同底数幂的除法,完全平方公式. 4.【答案】D

【解析】解：A 、购买一张彩票中奖,属于随机事件,不合题意；B 、射击运动员射击一次,

命中靶心,属于随机事件,不合题意；C 、经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,属于随机事件,不合题意；D 、任意画一个三角形,其内角和是180?,属于必然事件,符合题意；故选：D .

【考点】三角形内角和定理,随机事件. 5.【答案】C

【解析】解：∵180∠=?, ∴3100∠=?, ∵AB CD ∥, ∴23100∠=∠=?. 故选：C .

【考点】平行线的性质. 6.【答案】D

【解析】解：由三视图可知：该几何体为圆锥.故选：D . 【考点】由三视图判断几何体. 7.【答案】B

【解析】解：11个不同的成绩按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有5个数,故

只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.故选：B . 【考点】统计量的选择. 8.【答案】C

【解析】解：2

120π612π360

S ??==,故选：C .

【考点】扇形面积的计算. 9.【答案】B

【解析】解：在ABC △中,∵30B ∠=?,90C ∠=?, ∴18060BAC B C ∠=?-∠-∠=?, 由作图可知MN 为AB 的中垂线, ∴DA DB =, ∴30DAB B ∠=∠=?,

∴30CAD BAC DAB ∠=∠-∠=?, 故选：B .

【考点】线段垂直平分线的性质,基本操作图. 10.【答案】D

【解析】解：过C 作CD AB ⊥于D 点, ∴30ACD ∠=?,45BCD ∠=?,60AC =.

在Rt ACD △中,cos CD

ACD

∠=

,

∴cos 60CD AC ACD =∠==g

在Rt DCB △中,∵45BCD B ∠

=∠=?,

∴

CD BD ==,

∴30AB AD BD =+=+

答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是(30

+)n mile . 故选：D .

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数学试卷 第13页（共30页） 数学试卷 第14页（共30页）

【考点】解直角三角形的实际应用. 11.【答案】A

【解析】解：由题意可得, 4.5

0.51y x y x =+??

=-?, 故选：A .

【考点】根据实际问题列出二元一次方程组. 12.【答案】B

【解析】解：如图,作DH AB ⊥于H ,CM AB ⊥于M .

∵BE AC ⊥, ∴90ABE ∠=?, ∵tan 2BE

A AE

=

=,设AE a =,2BE a =, 则有：221004a a =+, ∴220a =,

∴a =

-舍弃),

∴2BE a ==

∵AB AC =,BE AC ⊥,CM AC ⊥,

∴CM BE ==等腰三角形两腰上的高相等) ∵DBH ABE ∠=∠,BHD BEA ∠=∠,

∴sin DH AE DBH BD AB ∠===

∴

DH , ∴CD CD DH =+,

∴CD

DH CM +≥

,

∴

CD +≥

∴CD +的最小值为

故选：B .

【考点】解直角三角形,等腰三角形的性质,垂线段最短.

第Ⅱ卷

二、填空题

13.【答案】5x ≥

【解析】解：在实数范围内有意义,则50x -≥,故实数x 的取值范围是：5x ≥.

故答案为：5x ≥.

【考点】二次根式有意义的条件. 14.【答案】()(33)a m m +- 【解析】解：29am a -

29()a m =-

()(3)3a m m =+-.

故答案为：()(33)a m m +-.

【考点】提公因式法与公式法分解因式的综合运用. 15.【答案】12x -≤＜

数学试卷 第15页（共30页） 数学试卷 第16页（共30页）

【解析】解：10

360

x x +??

-?≥①＜②

解不等式①得：1x -≥, 解不等式②得：2x ＜,

∴不等式组的解集为：12x -≤＜, 故答案为：12x -≤＜. 【考点】解一元一次不等式组. 16.【答案】0.4

【解析】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近,故摸到白球的频率

估计值为0.4；故答案为：0.4.

【考点】频数(率)分布表,利用频率估计概率. 17.【答案】100

【解析】解：∵点D ,E 分别是AC ,BC 的中点, ∴DE 是ABC △的中位线, ∴2250100AB DE ==?=米. 故答案为：100.

【考点】三角形的中位线定理. 18.【答案】①③④

【解析】解：①设点,k A m m ?? ???,,k M n n ??

???

,

则直线AC 的解析式为k k k

y x mn n m

=-

++, ∴0(,)C m n +,()0,m n k D mn +??

???

,

∴1()()22ODM m n k m n k S mn m ++=?=

△,()1()22OCA k m n k

S m n m m

?+=?+=△, ∴ODM △与OCA △的面积相等,故①正确； ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称, ∴O 是AB 的中点, ∵BM AM ⊥,

∴OM OA =, ∴k mn =,

∴,()A m n ,,()M n m ,

∴)AM n m -

,OM = ∴AM 不一定等于OM , ∴BAM ∠不一定是60?,

∴MBA ∠不一定是30?.故②错误, ∵M 点的横坐标为1, ∴可以假设()1,M k , ∵OAM △为等边三角形, ∴OA OM AM ==,

222

21k k m m +=+,

∴m k =, ∵OM AM =,

∴2

2

2(1)1k m k k m ?

?-+-=+ ??

?,

∴2410k k -+=,

∴2k =± ∵1m ＞,

∴2k =+故③正确, 如图,作MK OD ∥交OA 于K . ∵OF MK ∥,

∴

2

5FM OK BM KB ==, ∴23

OK OB =, ∵OA OB =, ∴

2

3

OK OA =,

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数学试卷 第17页（共30页） 数学试卷 第18页（共30页）

∴

2

1OK KA =, ∵KM OD ∥, ∴

2DM OK

AM AK

==, ∴2DM AM =,故④正确. 故答案为①③④.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题,三角形的面积,平行线分线段成比例定理. 三、解答题

19.

【答案】解：原式1222

=?

21=

1=.

【解析】解：原式1222

?

21

1=.

【考点】绝对值,负整数指数幂,二次根式的混合运算,特殊角的三角函数值.

20.【答案】解：原式2

2(1)

1(2)a a a a a +-=-+g 2a

a =

+, 当3a =时,原式33

325

==+.

【解析】解：原式2

2(1)

1(2)a a a a a +-=-+g 2a

a =

+, 当3a =时,原式33

325

==+.

【考点】分式的化简求值.

21.【答案】解：(1)本次调查随机抽取了2142%50÷=名学生,5040%20m =?=,

6

1001250

n =

?=, 故答案为：50,20,12； (2)补全条形统计图如图所示：

(3)2120

2000164050

+?

=人, 答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1 640人. 【解析】解：(1)本次调查随机抽取了2142%50÷=名学生,5040%20m =?=,

6

1001250

n =

?=, 故答案为：50,20,12； (2)补全条形统计图如图所示：

(3)2120

2000164050

+?

=人, 答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1 640人.

数学试卷 第19页（共30页） 数学试卷 第20页（共30页）

【考点】用样本估计总体,频数(率)分布表、,条形统计图. 22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形, ∴90BAE ADF ∠=∠=?,AB AD CD ==, ∵DE CF =, ∴AE DF =,

在BAE △和ADF △中,AB AD BAE ADF AE DF =??

∠=∠??=?

,

∴()SAS BAE ADF ?△△, ∴BE AF =；

(2)解：由(1)得：BAE ADF ?△△, ∴EBA FAD ∠=∠, ∴90GAE AEG ∠+∠=?, ∴90AGE ∠=?, ∵4AB =,1DE =, ∴3AE =,

∴5BE =

,

在Rt ABE △中,11

22

AB AE BE AG ?=?,

∴4312

55

AG ?==.

【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形, ∴90BAE ADF ∠=∠=?,AB AD CD ==, ∵DE CF =, ∴AE DF =,

在BAE △和ADF △中,AB AD

BAE ADF AE DF =??

∠=∠??=?

,

∴()SAS BAE ADF ?△△, ∴BE AF =；

(2)解：由(1)得：BAE ADF ?△△, ∴EBA FAD ∠=∠, ∴90GAE AEG ∠+∠=?, ∴90AGE ∠=?, ∵4AB =,1DE =, ∴3AE =,

∴5BE =

,

在Rt ABE △中,11

22

AB AE BE AG ?=?,

∴4312

55

AG ?==.

【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质,勾股定理,三角形面积公式. 23.【答案】解：(1)设增长率为x ,根据题意,得

22(.4)122x +=,

解得1 2.1x =-(舍去),20.110%x ==. 答：增长率为10%.

(2)2.4210.12().662+=(万人).

答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次. 【解析】解：(1)设增长率为x ,根据题意,得

22(.4)122x +=,

解得1 2.1x =-(舍去),20.110%x ==. 答：增长率为10%.

(2)2.4210.12().662+=(万人).

答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次. 【考点】一元二次方程的实际应用. 24.【答案】(1)①假 ②假 ③真

(2)证明：如图1中,连接BD ,B 1D 1.

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数学试卷 第21页（共30页） 数学试卷 第22页（共30页）

图1

∵111BCD B C D ∠=∠,且1111

BC CD

B C C D =

, ∴111BCD B C D :△△,

∴111CDB C D B ∠=∠,111C B D CBD ∠=∠,

∵

111111AB BC CD

A B B C C D ==, ∴1111

BD AB

B D A B =, ∵111AB

C A B C ∠=∠, ∴111AB

D A B D ∠=∠, ∴111ABD A B D :△△,

∴

1111AD AB

A D A

B =,1A A ∠=∠,111ADB A D B ∠=∠, ∴11111111

AB BC CD AD

A B B C C D A D ===,111ADC A D C ∠=∠,1A A ∠=∠,111ABC A B C ∠=∠,111BCD B C D ∠=∠ ,

∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似. (3)如图2中,

图2

∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似. ∴

DE EF

AE AB =

, ∵EF OE OF =+,

∴

DE OE OF

AE AB

+=

, ∵EF AB CD ∥∥,

∴

DE OE AD AB =

,DE OC OF

AD AB AB ==, ∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+, ∴2DE DE AD AE

=

, ∵AD DE AE =+, ∴

21

DE AE AE

=

+, ∴2AE DE AE =+, ∴AE DE =, ∴12

1S

S =. 【解析】(1)解：①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等. ②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例. ③两个大小不同的正方形相似,是真命题. 故答案为假,假,真.

(2)证明：如图1中,连接BD ,B 1D 1.

图1

数学试卷 第23页（共30页） 数学试卷 第24页（共30页）

∵111BCD B C D ∠=∠,且1111

BC CD

B C C D =

, ∴111BCD B C D :△△,

∴111CDB C D B ∠=∠,111C B D CBD ∠=∠,

∵

111111AB BC CD

A B B C C D ==

, ∴1111

BD AB B D A B =, ∵111ABC A B C ∠=∠, ∴111ABD A B D ∠=∠, ∴111ABD A B D :△△,

∴

1111AD AB

A D A

B =,1A A ∠=∠,111ADB A D B ∠=∠, ∴11111111

AB BC CD AD

A B B C C D A D ===,111ADC A D C ∠=∠,1A A ∠=∠,111ABC A B C ∠=∠,111BCD B C D ∠=∠,

∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似. (3)如图2中,

图2

∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似. ∴

DE EF

AE AB =

, ∵EF OE OF =+, ∴

DE OE OF

AE AB

+=

, ∵EF AB CD ∥∥,

∴

DE OE AD AB =

,DE OC OF

AD AB AB ==, ∴DE DE OE OF AD AD AB AB +=+, ∴2DE DE AD AE

=

, ∵AD DE AE =+, ∴

21

DE AE AE

=

+, ∴2AE DE AE =+, ∴AE DE =, ∴12

1S

S =. 【考点】相似三角形的判定和性质,相似多边形的判定和性质.

25.【答案】解：(1)由题可知,抛物线解析式是：2221141()2y x x x =--+=-+-.

∴2420201b c -=??-=-?

.

∴6b =,2019c =.

(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是00(,)x y ,00,()x y --,

代入解析式可得：2

0002

0002(2)(2020)

2(2)(2020)y x b x c y x b x c ?=-+-+-??-=---+-??. ∴两式相加可得：2

042020()20x c -+-=. ∴2

22020c x =+, ∴2020c ＞；

(3)由(1)可知抛物线为2224121(1)y x x x =-+-=--+. ∴1y ≤.

∵0m n ＜＜,当m x n ≤≤时,恰好

121221

m n

m y n +++≤≤, ∴111

2n y m

+≤

≤. ∴11

y n m ≤≤

.

∴1

1m

≤,即1m ≥.

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数学试卷 第25页（共30页） 数学试卷 第26页（共30页）

∴1m n ≤＜.

∵抛物线的对称轴是1x =,且开口向下, ∴当m x n ≤≤时,y 随x 的增大而减小. ∴当x m =时,2

241y m m =-+-最大值. 当x n =时,2241y n n =-+-最小值.

又11

y n m ≤≤, ∴2

212411241n n n m m m

?=-+-????=-+-??①②. 将①整理,得322410n n n -++=, 变形,得2()()()212110n n n n --+-=. ∴2121)(0()2n n n ---=. ∵1n ＞,

∴22210n n --=.

解得1n =

(舍去

),2n = 同理,由②得到：2

121)(0()2m m m ---=. ∵1m n ≤＜, ∴2

2210m m --=.

解得11m =

,2

m =

(舍去),3m =舍去). 综上所述,1m =,n =.

【解析】解：(1)由题可知,抛物线解析式是：2221141()2y x x x =--+=-+-.

∴24

20201b c -=??-=-?

.

∴6b =,2019c =.

(2)设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是00(,)x y ,00,()x y --,

代入解析式可得：2

0002

0002(2)(2020)2(2)(2020)y x b x c y x b x c ?=-+-+-?

?-=---+-??. ∴两式相加可得：2

042020()20x c -+-=. ∴2

22020c x =+, ∴2020c ＞；

(3)由(1)可知抛物线为2224121(1)y x x x =-+-=--+. ∴1y ≤.

∵0m n ＜＜,当m x n ≤≤时,恰好

121221

m n

m y n +++≤≤, ∴111

2n y m

+≤

≤. ∴11

y n m ≤≤.

∴1

1m

≤,即1m ≥. ∴1m n ≤＜.

∵抛物线的对称轴是1x =,且开口向下, ∴当m x n ≤≤时,y 随x 的增大而减小. ∴当x m =时,2241y m m =-+-最大值. 当x n =时,2241y n n =-+-最小值.

又11

y n m ≤≤

,

∴221

2411241n n n m m m

?=-+-????=-+-??①②.

将①整理,得322410n n n -++=, 变形,得2()()()212110n n n n --+-=. ∴2121)(0()2n n n ---=. ∵1n ＞,

∴22210n n --=.

数学试卷 第27页（共30页） 数学试卷 第28页（共30页）

解得112n =

(舍去

),212

n +=. 同理,由②得到：2121)(0()2m m m ---=. ∵1m n ≤＜, ∴22210m m --=.

解得11m =

,2m =

舍去

),3m =舍去). 综上所述,1m =

,12

n +=.

【考点】二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象的对称性,二次函数图象的增减性,

二次函数最值的意义,一元二次方程的解法. 26.【答案】解：(1)令260ax ax +=,

60()ax x +=,

∴0()6,A -；

(2)①证明：如图,连接PC ,连接PB 延长交x 轴于点M ,

∵P e 过O 、A 、B 三点,B 为顶点, ∴PM OA ⊥,90PBC BOM ∠+∠=?, 又∵PC PB =, ∴PCB PBC ∠=∠, ∵CE 为切线,

∴90PCB ECD ∠+∠=?, 又∵BDP CDE ∠=∠, ∴ECD COE ∠=∠,

∴CE DE =.

②解：设OE m =,即0(),E m , 由切割线定理得：2CE OE AE =g , ∴2(6())m t m m -=+g ,

∴2

62t m t

=+①,

∵CAE CBD ∠=∠,

CAE OBE ∠=∠,CBO EBO ∠=∠,

由角平分线定理：BD OD

BE OE =

,

t

m -=,

∴66

t

m t =--②,

由①②得26626

t t

t t =

+--, 整理得：218360t t ++=, ∴21836t t =--, ∴

211113616

t OD OE t m t +-=--==. 【解析】解：(1)令260ax ax +=,

60()ax x +=,

∴0()6,A -；

(2)①证明：如图,连接PC ,连接PB 延长交x 轴于点M ,

∵P e 过O 、A 、B 三点,B 为顶点,

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数学试卷 第29页（共30页） 数学试卷 第30页（共30页）

∴PM OA ⊥,90PBC BOM ∠+∠=?, 又∵PC PB =, ∴PCB PBC ∠=∠, ∵CE 为切线,

∴90PCB ECD ∠+∠=?, 又∵BDP CDE ∠=∠, ∴ECD COE ∠=∠, ∴CE DE =.

②解：设OE m =,即0(),E m , 由切割线定理得：2CE OE AE =g , ∴2(6())m t m m -=+g ,

∴2

62t m t

=+①,

∵CAE CBD ∠=∠,

CAE OBE ∠=∠,CBO EBO ∠=∠,

由角平分线定理：BD OD

BE OE =

,

t

m -=, ∴66

t

m t =--②,

由①②得26626

t t

t t =

+--, 整理得：218360t t ++=, ∴21836t t =--, ∴

211113616

t OD OE t m t +-=--==. 【考点】二次函数图象与x 轴的交点坐标,切线的性质,等腰三角形的判定,切割线定理.