高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）
第一章 多项式 习题解答
1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262
()99
r x =--
（2）2
()1q x x x =+-，()57r x x =-+
2、（1）2100p m q m ?++=?-=? ， （2）由22
(2)010m p m q p m ?--=?
?+--=??得01m p q =??=+?或212
q p m =??+=?。 3、（1）4
3
2
()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--
4、（1）有综合除法：2
3
4
5
()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）2
3
4
()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++
（3）2
3
4
()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++
5、（1）x+1 （2）1 （3）2
1x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222
()133
v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 3
2
()32v x x x x =+--
7、02u t =??
=?或2
3
u t =-??=?
8、思路：根具定义证明
证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。另设()x ?是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ?。 由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。从而()()x f x ?，()()x g x ?，可得()()x d x ?。即证。
9、证：因为存在多项式u （x ），v （x ）使（f （x ），g （x ））=u （x ）f （x ）+v （x ）g （x ），所以
（f （x ），g （x ））h （x ）= u （x ）f （x ）h （x ）+v （x ）g （x ）h （x ），上式说明（f （x ），g （x ））h （x ）是f （x ）h （x ）与g （x ）h （x ）的一个组合。
另一方面，由((),())()f x g x f x 知((),())()()()f x g x h x f x h x 。同理可得
((),())()()()f x g x h x g x h x 从而((),())()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式，又
因为((),())()f x g x h x 的首相系数为1，所以(()(),())()((),())()f x h x g x h x f x g x h x =。
10. 证存在u（x），v（x）使有因为f（x），g（x）不全为0，所以(()())0
f x
g x≠，由消去律可得
所以。
11.由上题结论类似可得。
12. 证由假设，存在使（1）
（2），将（1）（2）两式相乘得
所以((),())()1
f x
g x
h x=
13. 证由于
反复应用第12题结论，可得同理可证
从而可得
14. 证有题设知(),()1
f x
g x=，所以存在v（x），v（x）使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1从而
u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1所以((),()())1
f x f x
g x
+=同理((),()())1
g x f x g x
+=再有12题结论，即证
(()(),()())1
f x
g x f x g x
+=
15
13i
-±
。
16、（1）由x-2得三重因式（2）无重因式。
17、当t=3时有三重根x=1,；当t=
15
4
-
由二重根
1
2
x=。
18、32
4270p q += 19、a=1，b=-2 。
20、证 因为f （x ）的导函数所以于是
从而f （x ）无重根。
21、证 因为，，由于a 是的k 重根，故a
是的k+1重根。代入验算知a 是g （x ）的根。所以s-2=k+1?s=k+3，即证。
22、证 必要性：设0x 是f （x ）的k 重根，从而是的k-1重根，是的k-2重根。。。。。，是
的一重根，并且0x 不是的根。于是
，而
。 充分性 由
而
，知0x 是
的一重根。又由于
，知0x 是
的二重根，以此类推，可知0x 是f （x ）的k 重根。
23、解：例如：设1
1()11
m f x x m +=-+，那么'()m f x x =以0为m 重根。 24、证 要证明，就是要证明f （1）=0（这是因为我们可以把n
x 看做为一个变量。
有题设由
，所以也就是f （1）=0，即证。
25、当n 为奇数时，
1121
222
2
2
2
1(1)[()1][()1].....[()1]n n n n n x x x x x x x x εε
εε
ε
ε
-+---=--++--+-++
当n 为偶数时
1121
222
2
2
2
1(1)(1)[()1][()1].....[()1]n n n n n x x x x x x x x x εε
εε
ε
ε-+---=+--++--+-++27、（1）利用
剩余除法试根：有一有理根：2 （2）有两个有理根：12-
，1
2
- （3）有五个有理根：3，-1，-1，-1，-1。
28、（1）因为±1都不是它的根，所以2
1x +在有理数域里不可约
（2）利用爱森斯坦判别法，取p=2，则侧多项式在有理数域上不可约。
（3）不可约
（4）不可约 （5）不可约
第二章 行列式 习题解答
1、均为偶排列
2、（1）i=8，k=3 （2）i=3 k=6
3、
4、当n=4k ，4k+1时为偶排列 当n=4k+2,4k+3时为奇排列
5、
(1)
2
n n k -- 6、正号
7、11233244a a a a -，12233441a a a a -，14233142a a a a - 8、（1）原式=(1)
2
(1)
!n n n -=-，（2）1
(1)
!n n -=- （3）(1)(2)
2
(1)
!n n n --=-
9、解：行列式展开得一般项可表示为1234512345j j j j j a a a a a ，列标345j j j 只可以在1,2,3,4,5中取不同值，故三个下标中至少有一个要取3,4,5列中一个数，从而任何一个展开式中至少要包含一个零元素，故所给行列式中每一项的乘积必为0，因此行列式只为零。
10、解：含有4
x 的展开项中只能是11223344a a a a ，所以4
x 的系数为2；同理，含有3
x 的张开项中只能是
12213344a a a a ，所以3x 的系数为-1。
11、证：有题设，所给行列式的展开式中的每一项的绝对值为1。而行列式的值为0，这说明带正号与带负号的项数相同。根据行列式定义，其展开式中的每一项的符号是由该乘积中各因子下表排列的逆序数所决定的，即当该乘积中各因子的第一个下标排成自然顺序，且第二下标所成排列为偶排列时，该项前面所带符号为正，否则为负号。所以，由带正号的项与带符号的项数相等即说明奇偶排列各半。 12、解（1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有x ，所以若该行列式的第一行展开时含有1
n x
-的对
应项系数恰为1
(1)
n -- 乘一个范得蒙行列式
22
111222
2222
111
1....1..............
....
........
1
....n n n n n n a a a a a a a a a ------于是，由1231,,....n a a a a -为互不相同
的数即知含有1
n x
-的对应项的系数不为零，因而p （x ）为一个n-1次的多项式。
13、（1）5
29410-? （2）3
3
2()x y -+ （3）48 （4）160 （5）22x y （6）0
14、提示：将第二列，第三列的同时加到第一列。
15、（1）11A =-6，12A =0，13A =0，14A =0，21A =12，22A =6，23A =0，24A =0，31A =15， 32A =-6，33A =-3，
34A =0，41A =7， 42A =0，43A =1，44A =-2
（2）11A =7，12A =-12，13A =3， 21A =6，22A =4，23A =-1， 31A =-5， 32A =5，33A =5，34A =0。 16、 （1）1 （2）13
12
-
（
3）-483 （4）38
17、（1）按第一行展开，原式=1
(1)
n
n n x y ++-。
（2）从第二列起个人列减去第一列：
当n ≥3时，原式=0，当n=2时，原式=2121()()a a b b --，当n=1时，原式=11a b -
（3）1
1
(
)()
n
n i i x m m -=--∑
（4） （-2）（n-2）！ （5）各列加到第一列得：1
1
(1)
(1)(1)!2
n n n --+-
18、提示：（1）分别将第i （i=2,3…..n+1）行乘以加到第一行1
1i a -- （2）从最后一行起，分别将每一行乘以x 后加到起前一行。 （3）导出递推关系式 （4）同（3） （5）解：
19、（1）d =-70，1d =-70，2d =-70，3d =-70，4d =-70
11d x d =
=1 22d x d ==1 33d x d ==1 44d
x d
==1 （2）d =324，1d =324，2d =648，3d =-324，4d =-648
11d x d =
=1 22d x d ==2 33d x d ==1 44d
x d
==-2 （3）d =24，1d =96，2d =-336，3d =-96，4d =-168， 5d =312
11d x d =
=4 22d x d ==-14 33d x d ==-4 44d
x d ==-7 55d x d
==13 （4）d =665，1d =1507，2d =-1145，3d =703，4d =-395， 5d =212
11d x d =
=1057665 22d x d ==229133- 33d x d ==-3735
44d x d ==79133- 55d x d ==212665 20、证明：由
得
这是一个关于的线性方程组，且他的系数行列式
为一个范得蒙行列式。由已知该行列式不为零，故线性方程组只有唯一解，即所求多项式时唯一的。
21、
第三章 线性方程组 习题解答
1、（1）无穷多解 （2）无解 （3）（-8,3,6,0） （4）无穷多解 （5）无解 （6）无穷多解
2、（1）12345111
4444
βαααα=
+-- （2）13βαα=- 3、证 有题设，可以找到不全为零的数使
显然
。事实上，若
，而
不全为0，使
成立，这与
线性无
关的假设成立，即证。故
即向量β可由
线性表出。
4、证 设有线性关系带入分量，可得方程组
由于
，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,....n ααα线性无关。
5、证：设有线性关系
则
当r=n 时方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列
式为一个范德蒙行列式，即
由定理得：方程组有唯一解，就是说
线性无关。
当r 则由上面（1）的证明可知 是线性无关的。而是 的延长向量所以 也线性无关。 6、证：由线性关系， 则 。再由题设知线性无关，所以 解得 ，所以线性无关 7、 证：设是中任意r个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量 都可由线性表出就可以了。 事实上，向量组是线性无关的，否则原向量组的秩大于r，矛盾。这说明 ，再由得任意性，即证。 8、证：有题设知所以 ，且等于r。又因为线性无关，故而 的一个极大线性无关组。 9、 证：将所给向量组用（1）表示，它的一个极大线性五官向量组用（2）表示。 若向量组（1）中每一个向量都可以由向量组（2）线性表出，那么向量组（2）就是向量组（1）的极大线性无关组。否则，向量组（1）至少有一个向量α不能由向量组（2）线性表出，此时将α添加到向量组（2）中去，得到向量组（3），且向量组（3）是线性无关的。 进而，再检查向量组（1）中向量是否皆可由向量组（3）线性表出。若还不能，再把不能由向量组（3）线性表出的向量添加到向量组（3）中去，得到向量组（4）。继续这样下去，因为向量组（1）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（1）的一个极大线性无关组。 10、 证（1）由于的对应分量不成比例，因而线性无关。 （2）因为且由可解得所以 线性无关。 再令带入已知向量后，由于相应的其次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次方程组存在非零解，即线性相关，所以可由线性表出。 11、解（1） 对矩阵A做初等行变换，可得： 所以 的秩为3，且即为所求 极大线性无关组。 （2）同理可得 为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3. 13、设12,,....n ααα的秩为r ≤n ，因而的秩为n ，有题设和上题知n ≤r 从而r=n 。故12,,....n ααα线性无关。 14、证：必要性。设12,,....n ααα线性无关，但是n+1个n 维向量必线性相关，于是对 于任意n 维向量β，他必可由12,,....n ααα线性表出。 充分性：任意n 维向量12,,....n ααα可由线性表出，特别的单位向量可由12,,....n ααα线性表 出，于是有上题结果即证12,,....n ααα线性无关。 15、 证:充分性:有克莱姆法则即证. 必要性:记 , 则原方程组可表示成 ,有题设知,任意向量β都可由12,,....n ααα表出,因此由上题结果可 知12,,....n ααα线性无关. 进而,下述线性关系, ,仅有唯一零解,故必修有 ,即 证. 16. 由于 与 有相同的秩，因此他们的最大线性无关组所含向量 个数必定相等，这样 的最大线性无关组也必为 的极大线性 无关组，从而他们有相同的最大线性无关组。 17、 证：只要证明向量组等价即可。有题设，知可由 线性表出。 现在把这些等式统统加起来，可得于是 ， （i=1,2，。。。r ）即证 也可由 线性表出，从而向量组 与 等价。 18、（1）4 （2）3 （3）2 （4）3 （5）5 19、（1）λ=1时 无穷多解 λ=-2时无解 λ≠1且λ≠-2时方程组解唯一，2 12311(1),,222 x x x λλλλλ++=- ==+++ λ≠0且λ≠1时方程组解唯一 ：32332123222 315912943129 ,,(1)(1)(1) x x x λλλλλλλλλλλλλλ+-+-++--+===--- （3）当行列式D ≠0时，即a ≠1且b ≠0时，方程组有唯一解，且为 123211124,,(1)(1) b ab b x x x b a b b a -+-= ==-- 当D=0时若b=0无解 若a=1时无解 当a=1，b= 1 2 时方程有无穷多解。 20、（1）无穷多解123(1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)ηηη=-=-=- （2）无穷多解1275 (1,1,1,0,0),(,,0,1,3)22 ηη=-=- （3）无穷多解12131 (,1,, ,)23124 η= （4）无穷多解1215(1,1,1,2,0),(,0,0,,1)4 4 ηη=--= 21、（1） （4） 其中k 为任意常数。 其中为任意常数。 （6） 其中k 为任意常数。 22、解：对方程的增广矩阵做行初等表换： 于是，只有a=0且b=2时，增广矩 阵的秩与系数的秩都为2，此时原方程组有解；当a ≠0且b ≠2时，原方程组都无解。当a=0，b=2时原 方程组与方程组同解。且其一般解为 其中为任意常数。 23、证：对方程组的增广矩阵做行初等变换，有 此时A 的秩为4，A 的秩为4的充分必要条件是 ， 因此，原方程组有解的充分必要条件是 ，其次，当 时，原方程组与方程组 同解，所以他的一般解为 其中k 为任意常数。 24、证：由于两个等价的线性无关组所含向量个数是相等的，不妨设是齐次线性方程组的一个基础解系，且 与他等价，则i a （i=1,2，。。。r ）可由 线性表出，从而i a （i=1,2，。。。 r ）也是其次线性方程组的解。 又由题设知 线性无关，且 可由 线性表出，从而其次线性方程组的任意一个解β也可以由 线性表出，即证 也是方程组的一个基础解系。 25、证：由于方程组的系数矩阵的秩为r ，所以它的基础解系所含线性无关解向量的个数为n-r 。 设是方程组的一个基础解系， 是方程组的任意n-r 线性无关的解向量， 则向量组的秩仍为n-r ，且 是他的一个极大线性无关组，同理也是他的一个极大线性无关组，所以 与 等价，再由上 题即证。 26、证：线性方程组为有题设，是该方程组的t个解，现将代入方程组，得 ，所以仍是方程组的一个解。即证。 第四章矩阵 1、解：（1） （2） 其中 ， 2、 （3）采用数学归纳法，可证 事实上，当n=2时有结论成立。 当n=k-1时归纳假设结论成立，即 当n=k时，有 即证成立。 （4）采用数学归纳法：可证 事实上，当n=2时，有 结论成立。当n=k-1时，有数学归纳法成立，即 于是当n=k时有 其中，同理可得 ，因而有 ， （8）采用数学归纳法可证 事实上当n=1时，结论显然成立，现在归纳法假设 于是 结论成立 3、 （2） 4、 于是，所以故c=0，a=d，b任意，从而所有与A 可交换的矩阵为其中，a，b为任意常数。 （2）同理记 并设 于是 所以 比较对应的（i，j）元，可得 ， 于是所有与A可交换的矩阵为 于是 故得 其中a，b，c为任意常数。 5、 有 于是与A可交换的矩阵B只能是对角矩阵。 6、证设 于是与A可交换的矩阵B只能是准对角矩阵。 7、 所以， 得 因此A时数量矩阵。 8、 9、 ， 即， 10、证设 则 因而必有，即证A=0。 11、证 AB=BA时有，所以AB是对称矩阵。反之当时有 12、 13、 14、只要取 即可。 。 15、有题设知n维向量空间中的所有向量都是其次线性方程组AX=0的解，故方程组的基础解析含有n个线性无关的解向量，所以r（A）=0，即证A=0。 16、 ，由BC=0得 因为其次线性方程组的系数行列式不为零，故他只有唯一零解，即 因而B=0 （2）若BC=C，则BC-EC=(B-E)C=0,由（1）知B-E=0，因此B=E。 17、 于是 18、 故有， 19、证 ，即证20、 所以。 所以 高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ） 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()() 2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期 期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B ) 试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。 班号： 学号 姓名 一、选择题：（每题3分，共15分） 1．当λ=（ ）时，方程组1231 231 222x x x x x x λ++=??++=?，有无穷多解。 A 1 B 2 C 3 D 4 2．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）。 A 线性相关 B 线性无关 C 线性相关或线性无关 D 不一定 3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量。 A 2()A E + B -3A C *A D T A 4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ ）。 A 实对称阵 B 正交阵 C 非奇异阵 D 奇异阵 5．设矩阵 A ， B ， C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（ ）。 A A 与 B 有相同的特征值 B A 与B 有相同的特征向量 C A 与B 与同一矩阵相似 D A 一定有n 个不同的特征值 1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。 2．若120s ααα++ +=，则向量组12,, ,s ααα必线性 。 3．设向量空间1212{(,, )|0,}n n i V x x x x x x x R =++ +=∈，则V 是 维 空间。 4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。 5．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值 是 。 6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。 二、填空题：（每题3分，共27分） 科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ） 5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中 大一高数试题及解答 大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0 ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ 中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷 授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共 2 页第 2 页 中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕== 中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关. 大学高数试卷及答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是： ( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 三、求下列极限（每小题 6分, 共18分） 南京航空航天大学 2013年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷） 科目代码: 814 科目名称: 高等代数 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无 效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、(15分)设有向量组T T T a a )1,,3(,)3,1,1(,)1,1,2(321?=?==ααα，这里“T ”表示转置，以下各题相同． １．求参数a ，使得321,,ααα线性相关； ２．在题1的基础上，记T A 21αα=，求方程组3α=AX 的通解． 二、(25分)设二次型AX X X f T =)(的秩为3，其中???? ??????=212111b b a A ，???????????=121α是A 的伴随 矩阵*A 的特征向量. １．求参数a 和b ； ２．求正交矩阵P ,使得AP P T 为对角矩阵; ３．求二次型)(X f 在条件1232221=++x x x 下的最大值． 三、(15分)设1V 是由向量组T T T )7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(321?==?=ααα生成的子空间, 2V 是由向量组T T T b a )1,2,(,)1,1,0(,)0,1,(321=?==βββ生成的子空间. １．若11V ∈β,求参数a ； ２．若1V 与2V 有相同的维数,求参数b a ,满足的条件； ３．问:对任意给定的常数b a ,,21V V +是否有可能是直和?说明理由. 四、(25分)设3R 的线性变换Γ使得,222321 321321321??????????++++?+=??????????Γbx x x ax x x x x x x x x 且T )1,1,1(=α是Γ的一个特征 向量. 浙江农林大学2016 - 2017 学年第 一学期期中考试 课程名称： 高等数学I 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事 项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间120分钟。 题 答 :号学 要 不 :名姓 内 线 ? ?级班 业 专 :院学 题号 -一一 二二二 -三 四 五 六 七 八 得分 得分 评阅人 、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确 答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题 3分, 共21分) 1 ?下列各式正确的是: 得分 A. sin x lim 1 B. x x C. lim 1 - x e D. x x 2.当 x 0时，与 f ■- x 等价的无穷小量 是: A. \/1 V x 1 B. In --------------------- x C. 1 J x 3.设 f (x)在 x a 的某邻域有定义, A.J imhfQ ) f(a)存在 叫 H h sin x lim x 0 lim 1 D. cos 、二 则它在该点处可导的一个充分条件是: B. m o H h 叫 H h 在 x 2 3x 10 2 3. 设函数f (x)= x 2 x 在点x=2处连续，则a a x 2 4. 函数f(x)—的间断点为 ___________________ . ________ sin x 5. 函数y 2x 2 lnx 的单调减区间为 _________________ . _________ 6. 设函数 y ln tan x ，贝卩 dy _____________ . _________ x a cost 7. 椭圆曲线 _________________________________ 在t —相应的点处的切线方程为 .______________________________________ y bsi nt 4 A. 0 B ? 没有 C. 2 D. 2 9 5.函数y 1 x 2 在区间［ 1,1］上应用罗尔定理 时， 所得到的中值 () A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 6.设函数 ax e f(X ) “ 2 b(1 x x 0 处处可导，那么 )x 0 : ( ) 4.函数y 3x 3 x 在区间［0,1］上的最小值是: () A. a b 1 B . a 2,b 1 C. a 0,b 1 D. a 1,b 0 7.设x a 为函数y f (x)的极值点，则下列论述正确的是 A . f '(a) 0 B f(a) 0 C f"(a) 0 D .以上都不对 、填空题(每小题3分，共21 分) 得分 1.极限lim x x 2 cos x 1 = (x sin x)2 2.极限lim n 2 2 2 高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷） 一．填空题（每小题3分，共21分） 1. 22 3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为 2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλL ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为 . 3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A ()-n P[x]= ,的核(0)= 1A A A 4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ?? ? ? ?+?? ，则A （λ）的不变 因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________. 5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形 J= 6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,,n ηηηL 下的坐标是 12(,,,)n x x x L ，那么(,)i ξη＝ 7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ． 二. 选择题( 每小题2分，共10 分) 1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为 (A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4 2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的 矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ） 三、计算题 （共3题，每题10分，共30分） 浙江农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ ( ) 1 B. ln C. 1- 1-3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限lim n →∞ ?? +L =. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=?在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x = 的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln y =dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线方程为 . 第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈. 3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩. 6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=???????????????????????????????????????? 大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 . 一、填空题（共 10题，每题2分，共20分）。 1．多项式可整除任意多项式。 2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。 3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于个是0D =。 4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A * =。 5．实数域上不可约多项式的类型有种。 6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1) ()k f x -的重因式。 7．写出行列式展开定理及推论公式。 8．当排列12n i i i L 是奇排列时，则12n i i i L 可经过数次对换变成12n L 。 9．方程组12312322232 121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=?? ++=??++=?，当满足条件时，有唯一解，唯一解为。 10．若2 4 2 (1)1x ax bx -∣ ++，则a =，b =。 二、判断题（共10题，每题1分，共10分）。 1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。（） 2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。（） 3．设12n αααL 是n P 中n 个向量，若n P β?∈，有12,n αααβL 线性相关，则12n αααL 线性 相关。（） 4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。（）5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。（） 6秩()A B +＝秩 A ，当且仅当秩0 B =。（） 7．向量α线性相关?它是任一向量组的线性组合。（） 8．若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x +=。（） 9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。（） 10．若,,,n n A B C D P ?∈，则 A B AD BC C D =-。（） 三、选择题（共5题，每题2分，共10分）。 1．A 为方阵，则 3A =（） . 农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试 课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试式： 闭卷 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分） 1．下列各式正确的是： ( ) A. sin lim 1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x x →= C. 1lim 1x x e x →+∞??+=- ??? D. 1lim 1x x e x →+∞ ?? += ??? 2. 当0x +→ 等价的无穷小量是： ( ) A. 1 B. ln C. 1- D. 1- 3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( ) A.1lim ()()h h f a f a h →+∞?? +-???? 存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0 ()()lim 2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()() lim h f a f a h h →--存在 4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( ) 学院： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 A. 0 B. 没有 C. 2 D. 29 - 5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 2 6．设函数2 ()(1)0 ax e x f x b x x ?≤=?->?处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 极限232)sin (1 cos lim x x x x x +-+∞→= . 2 ．极限2 lim n n →∞ ?? + + +=. 3.设函数f (x )=2310 22 2 x x x x a x ?+-≠? -??=? 在点x =2处连续，则a = . 4. 函数()sin x f x x =的间断点为 . 5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为 . 6. 设函数ln tan y =，则dy = . 7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =??=? 在4t π =相应的点处的切线程为 . 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1 1sin 1lim 2 --+→x x e x x 第四章 矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错. 2. 如果20,A =则0A =. 错.如2 11,0,011A A A ??==≠ ?--?? 但. 3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵. 正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使 .00 0??? ? ? ?=s I PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11 (*)|| A A A -=. 8．设 B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又 ()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====. 因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆 大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1、设函数3()1f x x =-，则()f x -=（） 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A ．3x < B ．3x ≤ C ．4x < D ．4x ≤ 3、（）中的两个函数相同． A ．()f x x =，()g t =．2()lg f x x =，()2lg g x x = C ．21()1x f x x -=+，()1g x x =- D ．sin 2()cos x f x x =，()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A ．3sin()4x x - B ．1010x x -+ C ．2cos x x - D ． sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=（） A ．1 B ．2e C ．1e - D ．∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是（） 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?，则在0=x 处，)(x f （） A ．连续 B ．左、右极限不存在 C ．极限存在但不连续 D ．左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=，则0()f x '=（） A ．2 B ．3 C ． 23D ．23 - 9、设()x f x e =，则[(sin )]f x '=（）。 A ．x e B ．sin x e C ．sin cos x x e D ．sin sin x x e高等代数试卷及答案1
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