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2015函数极限与连续习题加答案

第一章函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．2x y =

与x y =相同；

（） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数；（） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数；（） 4. )0(2

>=x x y 是偶函数；（） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数；（）

6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；（）

7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域；（）

8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。（）二、填空题

1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于对称；

2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2

+x f 的定义域是；

3.1

22+=x x

y 的反函数是；

4.1)(+=x x f ，2

)(x

x +=

?，则]1)([+x f ?＝， ]1)([+x f ?＝；

5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数和复合而成；

6.1)(2

+=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝，___________)1(=a

f ，

___________)]([=x f ?。

三、选择题

1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（）

A 、x 3sin

B 、13+x

C 、x x +3

D 、x x -3

2.设54)(2

++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（）

A 、1

B 、－1

C 、2

D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（）

A 、有界函数

B 、周期函数

C 、奇函数

D 、偶函数四、计算下列各题

1.求定义域5

23arcsin

x y -+-=

2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1

142++

-=x x y

(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =

3.设2

)(x x f =，x

e x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g x

f f x f

g x g f ；

4.判断下列函数的奇偶性

(1)3

)(-=x x f (2)x

x f )5

4()(=

(3) x

x f -+=11lg

)( (4)x x x f sin )(=

5.写出下列函数的复合过程

(1))58(sin 3

+=x y (2))5tan(32+=x y (3)2

12x y -= (4))3lg(x y -=

6.设???≥<=.

1,0,1,)(x x x x ?求)51(?，)21

(-?，)2(-?，并作出函数)(x y ?=的图形。

第二讲：极限概念

一、是非题

1.在数列{}n a 中任意去掉或增加有限项，不影响{}n a 的极限；（）

2.若数列{}n n b a 的极限存在，则{}n a 的极限必存在；（）

3.若数列{}n x 和{}n y 都发散，则数列{}n n y x +也发散；（）

4.若0)(lim =?∞

→n n n v u ，则必有0lim =∞

→n n u 或0lim =∞

→n n v 。（）

5.若A x f x x =→)(lim 0

，则A x f =)(0；（）

6.已知)(0x f 不存在，但)(lim 0

x f x x →有可能存在；（）

7.若0()f x +与0()f x -

都存在，则)(lim 0

x f x x →必存在；（）

8.2

arctan lim π

∞

→x x ；（）

9. 0lim =-∞

→x

x e ；（）

10.非常小的数是无穷小；（）

11.零是无穷小；（） 12.无限变小的变量称为无穷小；（） 13.无限个无穷小的和还是无穷小。（）二、填空题

1. ______________)1(lim =-+∞

→n n n ；2. ______________2sin

lim

=∞

→n

n n π

； 3. ______________])1(4[lim 2=-+∞→n n n ； 4. ______________3

lim =∞→n n ； 5.______________)12(lim 1

=-→x x ； 6. ______________11

lim

=+∞→x x ；

7. ___________cos lim 0

=→x x ，___________cos lim =∞

→x x ；

8.设???+=,,)(b ax e x f x 0

0>≤x x ，则(0)_________,(0)_________f f +-==，

当_____=b 时，1)(lim 0

=→x f x 。

9.设1

x y ，当____→x 时，y 是无穷小量，当____→x 时，y 是无穷大量； 10.设)(x α是无穷小量，)(x E 是有界变量，则)()(x E x α为； 11. A x f x x =→)(lim 0

的充分必要条件是当0x x →时，A x f -)(为；

12._____________1sin

lim 0

=→x x x ；1

lim sin _____________x x x

→∞=。

三、选择题

1.已知下列四数列：

①、2=n x ；②、132+=

n x n ；③、132)1(1+-=+n x n n ；④、1

313)1(1+--=-n n x n n 则其中收敛的数列为（）

A 、①

B 、①②

C 、①④

D 、①②③ 2.已知下列四数列： ①、ΛΛ,)

1(,,1,1,1,11

+---n ②、ΛΛ,2

,0,,21,0,21,0,21,032n

③、ΛΛ,1

2,11,,34,31,23,21+++n n n ④、ΛΛ,,,2,1n

则其中发散的数列为（）

A 、①

B 、①④

C 、①③④

D 、②④

3.?????=-,

10,

17n x n 为偶数为奇数n n ，则必有（）

A 、0lim =∞

→n n x B 、7

10lim -∞

→=n n x

C 、?

??=∞→为偶数，为奇数

－n n x n n 710,0lim D 、n n x ∞→lim 不存在

4.从1)(lim 0

=→x f x x 不能推出（）

A 、1)(lim 0

=→x f x x － B 、0()1f x +

＝

C 、1)(0＝x f

D 、01)(lim 0

=→】－【x f x x

5.设 ??

?+=,

2,1)(x x f 00

=≠x x ，则)(lim 0x f x →的值为（）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、不存在

6. 当1→x 时，下列变量中是无穷小的是（） A 、13

-x B 、x sin C 、x

e D 、)1ln(+x 7.下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是（） A 、

)(1

2+∞→+x x x B 、)(ln +∞→x x

C 、ln (0)x x +

→ D 、

)(2

cos 1∞→x nx

x 8.若∞=→)(lim 0

x f x x ，∞=→)(lim 0

x g x x ，则下列极限成立的是（）

A 、∞=+→)]()([lim 0

x g x f x x B 、0)]()([lim 0

=+→x g x f x x

C 、∞=+→)

()(1

lim

x g x f x x D 、∞=→)()(lim 0x g x f x x

9.以下命题正确的是（）

A 、无界变量一定是无穷大

B 、无穷大一定是无界变量

C 、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增

D 、不趋于无穷大的变量必有界 10. x

x e 10

lim →（）

A 、等于0

B 、等于∞+

C 、等于1

D 、不存在 11.下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（）；

A 、x

x x x sin 1

sin

lim

20→ B 、x x x sin 11lim 1--→ C 、x x x x x sin sin lim -∞→ D 、)arctan 2

(lim x x x -+∞→π

四、设x

x x f 2

)(=

，回答下列问题：1.函数)(x f 在0=x 处的左、右极限是否存在？2.函

数)(x f 在0=x 处是否有极限？为什么？3.函数)(x f 在1=x 处是否有极限？为什么？

五、下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？

1.)(12

∞→+x x x ； 2. )0(1

3→-x x x ；

3.)0(ln →x x ；

4.)0(1

→x e x

六、当+∞→x 时，下列哪个无穷小与无穷小

x 1是同阶无穷小？哪个无穷小与无穷小x

是等价无穷小？哪个无穷小是比无穷小

高阶的无穷小？ 1.

x 21， 2. 21x ， 3. x

第三讲：极限的求法

一、是非题

1.在某过程中，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f +无极限；（）

2.在某过程中，若)(x f ，)(x g 均无极限，则)()(x g x f +无极限；（）

3.在某过程中，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f 无极限；（）

4.在某过程中，若)(x f ，)(x g 均无极限，则)()(x g x f 无极限；（）

5.若A x f x x =→)(lim 0

，0)(lim 0

=→x g x x ，则)

()

(lim

x g x f x x →必不存在；（） 6. 0lim 2lim 1lim 321lim

2222=+++=++++∞→∞→∞→∞→n

n n n n n n n n ΛΛ；（） 7. 01

sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x

x x x x x x ；（）

8.0lim 3lim )3(lim 2

=∞-∞=-=-∞

→∞

→x x x x x x x ；（）

9.1sin lim =∞→x

x ；

（） 10.e x

x =-∞→)11(lim . （）二、计算下列极限

1.1

13lim 21++-→x x x ； 2. 121lim 221---→x x x x ；

3.1

2lim 22+++∞→x x x x ； 4. 212lim x x x +∞→ ；

5.22

32)2(2lim -+→x x x x ； 6.)1311(lim 3

1x x x ---→ ；

7.)11(lim 22

+--

++∞

→x x x x x ； 8.2

)

1(321lim

n n n -++++∞→Λ ；

9. 500200

300)12()23()12(lim +--∞→x x x x ； 10. x x

x x x 1arctan 1sin 2lim 2++∞→ ；

11. x

x x

x x 2tan 3sin lim 0++→ ； 12. x x x 2

0)31(lim -→ ；

13.)0(2

sin

2lim ≠∞

→x x n n

n ； 14.)sin 1

1sin (lim 0x x x x x +→ ；

15.30sin tan lim

x x x -→ ； 16.x

x x x )21(lim ++∞→ ；

三、求函数的极限

（1）5

2432)76()23()34(lim +--∞→x x x x ；（2）x x x x x sin cos 2lim -+∞→；

（3） x x x x 2sin 3tan lim 20→；（4） x x x 3cot 5sin lim π→；

（5）x

x x x 1

121(lim +-→；（6）x x x x o x 23151lim 2+--+→

四、求数列的极限：

（1）

n n n ???? ??+∞→21lim ；（2）

???? ??-+-∞

→111lim 3n n n n ；

（3）)

(lim n

b n a

n e e n -∞

→，其中b a ,为正的常数。（4）x

x x arctan 1

arcsin lim ∞→。

五、用洛必达法则求下列函数的极限

１．123lim 2331+--+-→x x x x x x ；２．x

x 5tan 3sin lim 0→；

３．x arc x x cot )

11ln(lim

+∞→ ；４．)ln 11(lim 1x

x x x --→；

15.lim (1)x x x e →∞

-； 16.lim (ln )x

x x →+∞

；

sin 37.lim tan 3x x

x π→；８．1

23lim 321-+-→x x x x ；

９．a

x a x a x --→sin sin lim ； 2ln lim .10x x

x +∞→；

.11x x x x ln 1lim 2++∞→； 012.lim

ln (0)n

x x x n +

→>；

111

13.lim x

x x

-→； sin 0

14.lim(tan )x

x x +

→；

15. x x x x x sin tan lim 0--→ ； 16. )

3ln()

31ln(lim 42x x x ++∞→；

17.2

111sin lim x

e x x x --+-→ ； 18. x x x 2cot lim 0

→；

19.1

1)(ln lim -→x x x ； 20. x x x x 1

0)2cos 2

(sin lim +→；

21. x x x x sin 32lim 0-→ ； 22. x

e x

e x x x cos sin lim -++∞→。

六、求b a ,之值使2

)15(lim 2=++-+∞→bx ax x x

七、已知11lim

21=-++→x

ax x x ，求常数a 与b 的值。

八、已知2)(

lim =-∞

→x

x c

x x ，求c 。

九、证明：当0→x 时，x 2tan ～x 2，x cos 1-～

1x 。

第四讲：函数的连续性

一、是非题

1.若)(x f ，)(x g 在点0x 处均不连续，则)()(x g x f +在点0x 处亦不连续；（）

2.若)(x f 在点0x 处连续，)(x g 在点0x 处不连续，则)()(x g x f 在点0x 处必不连续；（）

3. 若)(x f 与)(x g 在点0x 处均不连续，则)()(x g x f 在点0x 处亦不连续；（）

4.x y =在0=x 处不连续；（）

5.)(x f 在0x 处连续当且仅当)(x f 在0x 处既左连续又右连续；（）

6.设)(x f y =在),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内必有界；（）

7.设)(x f y =在],[b a 上连续，且无零点，则)(x f 在],[b a 上恒为正或恒为负；（）

8.014

3tan

tan

<-=?ππ

，所以0tan =x 在)43,4(π

π内有根。（）

二、填空题 1.0=x 是函数

sin 的类型间断点； 2.0=x 是函数x

x e 1+的类型间断点；

3.设)1ln(1

)(x x

x f -=

，若定义_________)0(=f ，则)(x f 在0=x 处连续； 4.若函数?????=,

tan )(x ax x f 00=≠x x 在0=x 处连续，则a 等于；

5.)

1ln(1

)(-=

x x f 的连续区间是；

6.x arctan 在),0[+∞上的最大值为，最小值为；

7.函数22

-+=x x y ，当5.0,1=?=x x 时，________=?y ；当5.0,1-=?=x x 时，

________=?y 。

三、选择题 1.函数x

x x x f x

-+=

1sin )(1

在),(+∞-∞内间断点的个数为（）； A 、0 B 、1 C 、2 D 、3

2.)0()0(-=+a f a f 是函数)(x f 在a x =处连续的（）；

A 、必要条件

B 、充分条件

C 、充要条件

D 、无关条件 3.方程0133

=+-x x 在区间)1,0(内（）

A 、无实根

B 、有唯一实根

C 、有两个实根

D 、有三个实根

四、设函数???

???+=,1sin ,

sin 1

)(b x x a x x x f .0,0,0>=

五、指出下列函数的间断点，并指明是哪一类型间断点。

1.1

)(2-=x x f ； 2.x e x f 1

)(=

3.???

??=,2

,)(x x f 11=≠x x ； 4.???

???

--+=,11sin )1(,,11)(x x x x x f .1,11,1>≤≤--

六、求下列极限

1.)ln(lim 1

x e x

x +→ ； 2.2

2312lim

---+→x x x ；

3.x

x a x )31(log lim

0+→ ； 4. 1

2lim 110+--→x x

x 。

七、证明方程024=-x

x 在)2

1,0(内至少有一个实根。

八、设???+-=,1,1)(2x x x f 1

10>≤≤x x ，试判定)(x f 在2,1,21

===x x x 处的连续性，并求出

连续区间。

第一章：单元测试题

一、填空题 1.设??

?+=,1,1)(x x f 3

≤≤

2.函数)3ln()(x x x f -+=在连续；

3.________________)3sin 1sin

(lim 2

=+→x x x

x x ； 4.______________)1(lim =+

∞

→x

x x

k ； 5.设)(x f 在1=x 处连续，且3)1(=f ，则__________)1

11)((lim 21

=---→x x x f x ； 6. 0=x 是函数x

x x f 1

sin

)(=的间断点； 7.)

1()(2

2--=x x x

x x f 的间断点是，其中可去间断点是，跳跃间断点是。

二、选择题

1.]0,(,12

-∞∈+=x x y 的反函数是（）； A 、),1[,1+∞∈-=

x x y B 、),0[,1+∞∈--=x x y

C 、),1[,1+∞∈--=x x y

D 、),1[,1+∞∈-=x x y

2.当∞→x 时，下列函数中有极限的是（）； A 、x sin B 、

x e 1 C 、1

2-+x x D 、x arctan 3. ?????=,1,0)(x

x f 00

>≤x x 在点0=x 不连续是因为（）；

A 、)00(-f 不存在

B 、)00(+f 不存在

C 、)0()00(f f ≠+

D 、)0()00(f f ≠-

4.设1

cot

)(2

-+=x arc x x f ，则1=x 是)(x f 的（）； A 、可去间断点 B 、跳跃间断点 C 、无穷间断点 D 、连续点 5.设??

?-=,

,1cos )(k x x f 00

A 、充分但非必要条件

B 、必要但非充分条件

C 、充分必要条件

D 、无关条件

6.当0x x →时，α和)0(≠β都是无穷小。当0x x →时，下列变量中可能不是无穷小的是（）；

A 、βα+

B 、βα-

C 、βα?

D 、

α 7.当∞→n 时，若n 1sin

与k n 1

是等价无穷小，则=k （）； A 、2 B 、2

C 、1

D 、3

8.当0→x 时，下列函数中为x 的高阶无穷小的是（）；

A 、x cos 1-

B 、2

x x + C 、x sin D 、x

9.当∞→n 时，n

n 1

sin

是（）； A 、无穷大量 B 、无穷小量 C 、无界变量 D 、有界变量 10.方程)0(013

>=++p px x 的实根个数是（）； A 、一个 B 、二个 C 、三个 D 、零个 11.当0→x 时，2

)cos 1(x -是x 2

sin 的（）； A 、高阶无穷小 B 、同阶无穷小，但不等价 C 、低阶无穷小 D 、等价无穷小

12.设8)

1()1()1(lim 5025

95=+++∞→x ax x x ，则a 的值为（）； A 、1 B 、2 C 、58 D 、A 、B 、C 均不对三、求下列函数的极限

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域为

第二章极限习题及答案：函数的连续性

函数的连续性分段函数的极限和连续性例设???????<<=<<=) 21( 1)1( 21 )10( )(x x x x x f （1）求）x f (在点1=x 处的左、右极限，函数）x f (在点1=x 处是否有极限？（2）函数）x f (在点1=x 处是否连续？（3）确定函数）x f (的连续区间．分析：对于函数）x f (在给定点0x 处的连续性，关键是判断函数当0x x →时的极限是否等于)(0x f ；函数在某一区间上任一点处都连续，则在该区间上连续．解：（1）1lim )(lim 1 1 ==- - →→x x f x x 11lim )(lim 1 1 ==++→→x x x f ∴1)(lim 1 =→x f x 函数）x f (在点1=x 处有极限．（2）)(lim 2 1)1(1 x f f x →≠= 函数）x f (在点1=x 处不连续．（3）函数）x f (的连续区间是（0，1），（1，2）．说明：不能错误地认为)1(f 存在，则）x f (在1=x 处就连续．求分段函数在分界点0x 的左右极限，一定要注意在分界点左、右的解析式的不同．只有)(lim ),(lim )(lim 0 x f x f x f x x x x x x →→→+ - =才存在．函数的图象及连续性例已知函数2 4)(2 +-= x x x f ，（1）求）x f (的定义域，并作出函数的图象；

（2）求）x f (的不连续点0x ；（3）对）x f (补充定义，使其是R 上的连续函数．分析：函数）x f (是一个分式函数，它的定义域是使分母不为零的自变量x 的取值范围，给函数）x f (补充定义，使其在R 上是连续函数，一般是先求)(lim 0 x f x x →，再让)(lim )(0 0x f x f x x →=即可．解：（1）当02≠+x 时，有2-≠x ．因此，函数的定义域是()()+∞--∞-,22, 当2≠x 时，.22 4)(2 -=+-=x x x x f 其图象如下图．（2）由定义域知，函数）x f (的不连续点是20-=x ．（3）因为当2≠x 时，2)(-=x x f 所以4)2(lim )(lim 2 2 -=-=-→-→x x f x x 因此，将）x f (的表达式改写为 ?? ? ??-=--≠+-=)2(4)2(2 4 )(2x x x x x f 则函数）x f (在R 上是连续函数．说明：要作分式函数的图象，首先应对函数式进行化简，再作函数的图象，特别要注意化简后的函数与原来的函数定义域是否一致．利用函数图象判定方程是否存在实数根例利用连续函数的图象特征，判定方程01523 =+-x x 是否存在实数根．

复变函数试题与答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）（A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

大学复变函数期末考试试卷及答案(理工科所有专业)

dz C 2

2．设2 2-+= ni ni n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim （） A. 0； B. 1； C. -1+i ； D. 1+i 。 3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（）。 A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域； C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。 4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( ) A.1 )(+=z e z f ； B ．- =z z f )( ； C ．n z z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x +=。 5 A. ∑∞ =+08)56(n n n i ； C. ∑∞ =02n n i ；三．计算题（每小题71．设z 1+=

2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。 3．计算积分? - C dz z z 4 )2 (sin π 4.计算积分 4=。

5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。 6.将函数) 2)(1(1 )(--=z z z f ，在圆环域21<

7.利用留数计算积分?C 四.证明函数yi x z f 2)(+=在复平面内不可导。（7分）

参考答案一、填空题（本大题共8小题，每小题3 1．109 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或二、单项选择题(本大题共7小题，每小题31. B ，2. B ，3.C,4. B,5. B . 三、计算题（本大题共7小题，15-19 1.解：由i z 31+=得：) sin (cos 2π π i z +=, （1分） 6 24 (cos 23166ππ k i z k +=+=所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)1813sin 1813(cos 262ππi z += , )25sin 1825(cos 264ππi z +=,5z 7分） 2. 解 ) 2()2y xy i x -+,则 (),(22y x y x u -= y u x x u ,12=??-=?? 只在2 1 = y ,x v ??-（6分）故只在2 1 =y 处可导，处处不解析。（7分） 3z 在2=z 内解析，（2分）

函数与极限测试题及标准答案(二)

函数与极限测试题（二）一. 选择题 1.设F()x 是连续函数()f x 的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( ). （A ）F()x 是偶函数?()f x )是奇函数. （B ）F()x 是奇函数?()f x 是偶函数. （C ）F()x 是周期函数?()f x 是周期函数. （D ）F()x 是单调函数?()f x 是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则( ) （A ） 0x =，1x =都是()f x 的第一类间断点. （B ） 0x =，1x =都是()f x 的第二类间断点（C ） 0x =是()f x 的第一类间断点，1x =是()f x 的第二类间断点. （D ） 0x =是()f x 的第二类间断点，1x =是()f x 的第一类间断点. 3．设()1x f x x -= ，01x ≠、，，则1 [ ]() f f x = ( ) A ） 1x - B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） 0 lim 11(1+ )x x x + →= B ）0lim 1(1+ ) x x e x + →= C ） lim 1(1)x x e x →∞ =-- D ）lim 1(1) x x e x -→∞ =+ 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 。 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（） A.1； B.∞； C.0； D.2．

函数与极限练习题

题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型内容一．函数 1.函数的概念 2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性 3.复合函数 4.基本初等函数与初等函数 5.分段函数二．极限（一）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则（二）函数的极限 1.函数在无穷大处的极限 2.函数在有限点处的极限 3.函数极限的性质 4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 2.无穷大量 3.无穷小量的性质 4.无穷小量的比较 5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性 x处连续的定义 1.函数在点0 2.函数的间断点 3.间断点的分类 4.连续函数的运算 5.闭区间上连续函数的性质例题详解题型I函数的概念与性质题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较题型VI判断函数的连续性与间断点类型题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明

自测题一一．填空题二．选择题三．解答题 3月18日函数与极限练习题一．填空题 1.若函数121)x (f x -??? ??=，则______)x (f lim x =+∞ → 2.若函数1 x 1 x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→ 3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________ 4. 设 cos 0()0 x x f x x x ≤??=? >?? ，则 (0)f = __________ 5.已知函数 2 ()1 ax b x f x x x +

函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题（一）一、填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。二、单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则()lim x f x →∞ 为（） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在

例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。五、指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。六、设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。七、设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。函数与极限测试题答案（一）一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ；二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

(完整版)函数极限与连续习题含答案,推荐文档

基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。函数的极限与连续训练题 1、已知四个命题：（1）若在点连续，则在点必有极限 )(x f 0x )(x f 0x x →（2）若在点有极限，则在点必连续 )(x f 0x x →)(x f 0x （3）若在点无极限，则在点一定不连续 )(x f 0x x →)(x f 0x x =（4）若在点不连续，则在点一定无极限。 )(x f 0x x =)(x f 0x x →其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若，则下列说法正确的是（ C ） a x f x x =→)(lim 0A 、在处有意义 B 、)(x f 0x x =a x f =)(0 C 、在处可以无意义 D 、可以只从一侧无限趋近于)(x f 0x x =x 0 x 3、下列命题错误的是（ D ） A 、函数在点处连续的充要条件是在点左、右连续 0x 0x B 、函数在点处连续，则)(x f 0x )lim ()(lim 00x f x f x x x x →→=C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数有)(x f )()(lim 00 x f x f x x =→4、已知，则的值是（ C ）x x f 1)(= x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0A 、 B 、 C 、 D 、21x x 21x -x -5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、 B 、 C 、 D 、1lim 0=→x x x 1)1(21lim 21=--→x x x 111lim 1=---→x x x 0lim 0=→x x x 6、，则的值分别为（ A ）51lim 21=-++→x b ax x x b a 、A 、 B 、 C 、 D 、67和-67-和67--和6 7和7、已知则的值是（ C ）,2)3(,2)3(-='=f f 3)(32lim 3--→x x f x x A 、 B 、0 C 、8 D 、不存在4-8、（ D ） =--→33lim a x a x a x

复变函数试题与答案

复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-

５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）

函数与极限习题与答案

第一章函数与极限（A ）一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点，其中为其可去间断点。 8、若当0≠x 时，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数 a= 。二、计算题 1、求下列函数定义域（1）2 11 x y -= ；（2）x y sin = ；（3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ；（2）2)(,)(x x g x x f = = ；（3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性（1）)1(2 2 x x y -= ；（2）3 2 3x x y -= ；

高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以 ()x f 与()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2 020=????? ? ?? ??==-→→→x x x x x x x x x

8、 01sin lim lim 1 sin lim 0 00=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1sin lim 0 →不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =??? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 0 0lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y = 的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x 1 =在0=x 处不连续 ∴函数()x f x 1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值二、填空题： 1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ?? ≠≠+∈??? ? ）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）．答案：（1）∵10<

有答案复变函数与积分变换期末考试试卷

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2007－08 学年第1学期考试科目：复变函数与积分变换考试类型：（闭卷）考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（） 4.34a rc ta n 3 A i π-+-的主辐角为 .a rg (3)a rg () B i i -=- 2 .rg (34)2a rg (34)C a i i -+=-+ 2 .||D z z z ?= 3．下列命题中，正确．．的是（） A. 1z >表示圆的内部 B. R e ()0z >表示上半平面 C. 0a rg 4 z π << 表示角形区域 D. Im ()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（） .z A z e + 2 s in . 1 z B z + .ta n z C z e + .s i n z D z e + 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（） A. c o s z 是有界函数 B. 2 2L n z L n z = .c o s s in iz C e z i z =+ .||D z = 7．在下列复数中，使得z e i =成立的是（）

函数与极限练习题

第一章函数与极限 §1 函数一、是非判断题 1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ] 2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有 B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2 x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题 1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是（A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2 x 4、若)(x f 为奇函数，则也为奇函数。 (A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=) 1arctan(+x e 2、 y=x x x ++ 3、 y=x ln ln ln

复变函数试题与答案

第一章复数与复变函数一、选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（）（A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）双曲线（D ）抛物线６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（）

（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（）（A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（）（A ）有界区域（B ）无界区域（C ）有界闭区域（D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（）（A ）中心为i 32-，半径为2的圆周（B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周（C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周（D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （）（A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（）（A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（）

函数、极限与连续复习题参考答案Word版

函数、极限与连续复习题一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x +

3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→

函数与极限测试题及答案一

函数与极限测试题（一）一、填空题二、 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。三、 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。四、 3、若0x →时，无穷小221ln 1x x -+与2sin 2a 等价，则常数a =_____。五、 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则 ()f x 的间断点为x =_____。六、单选题七、 1、当0x →时，变量 211 sin x x 是（）八、 A 、无穷小 B 、无穷大九、 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大十、 2、设函数()bx x f x a e = +在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（）十一、 A 、0,0a b << B 、0,0a b >> 十二、 C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 十三、 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（）十四、 A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小十五、 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小十六、 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则 ()lim x f x →∞ 为（）十七、 A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零十八、 C 、一定不存在 D 、不一定存在十九、例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+=+ ++ 二十、求下列极限二十一、 1、 2 241lim sin x x x x x +-+、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+??

大学复变函数期末考试试卷及标准答案(理工科所有专业)

大学复变函数期末考试试卷及答案(理工科所有专业)

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第 3 页共 10 页年级重庆××大学《复变函数》期末考试专业：理工科课程名：复变函数考核方式：闭卷专业：班级：姓名：学号：题号一二三四五总分分数评卷人装线订一．填空题（每小题4分，共24分） 1． =+++-)1 21 311Re(i i i . 2．若函数())6()1(232222y x xy i y m xy x z f +-+--+=在复平面内处处解析，那么实常数m = 。 3．设C 为1<=r z ，那么? --C z z dz ) 1)(1(3 2＝。 4．幂级数∑∞ =03n n n z 的收敛半径=R 。 5．设C 是沿2x y =自原点到i +1的曲线段，求dz z C ?＝。 6．函数3 41 )(-=z z f 在0=z 处的泰勒级数为。二．单项选择题（每小题4分，共20分） 1．的主值为)1(i Ln -（） A ．4 2ln π i + B. 4 2ln π i - C ．2ln 4i +π D. 2ln 4 i -π

第 4 页共 10 页 2．设2 2-+= ni ni n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim （） A. 0； B. 1； C. -1+i ； D. 1+i 。 3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（）。 A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域； C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。 4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( ) A.1 )(+=z e z f ； B ．- =z z f )( ； C ．n z z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x +=。 5．下列级数中，条件收敛的级数是（） A. ∑∞ =+0 8)56(n n n i ； B. ∑∞ =??? ?? ?+-03)1(n n n i n ； C. ∑∞ =02 n n i ； D. ∑∞ =+0 )1(1n n i n . 三．计算题（每小题7分，共49分） 1．设i z 31+=求6 1z 。