概率论与数理统计(第四版)习题答案全

概率论与数理统计习（第四版）题解答

第一章 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算

一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．

（1）写出试验的样本点及样本空间；

（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合； （3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的

集合．

解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( =i ，则

（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321ωωωωωω=Ω （2）},,{642ωωωA =； }.,{63ωωB =

（3）},,{531ωωωA =，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB =，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A =?，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB =，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω= ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”

二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：

（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点

数之和小于15”．

（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3

只，A —“最小号码为1”．

解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( =i ，则

},,,{1843ωωω =Ω；

},,,{181211ωωωA =；}.,,,{1443ωωωB =

(2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ≠≠= ，则

},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω=Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA =

三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；

(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生．

解：(1) C B A ；

(2) ABC ；

(3) ABC C AB C B A BC A ???或CA BC AB ??

(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A ??????或C B A ??或.

ABC

四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i ≤≤1）．用i A 表示下列事件：

（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品； （4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；

(2) n A A A 21或n A A A ??? 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121??? (4) n A A A ??? 21或.21n A A A

第二章 概率的古典定义·概率加法定理

一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．

解：基本事件总数为611011011011011011019

109?=C C C C C C C 有利事件总数为45678921

4151617181919

?????=C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则

0605.010

94

56789)(6

2≈??????=A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．

解：基本事件总数为!1010

10

=A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!77

7

=A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共81

8

=C 种；这三本书的排列顺序数为!333=A ；故有利事件总数为!3!8!38!7?=??(亦可理解为)3388P P

设A 表示“指定的三本书放在一起”，则

067.015

1

!10!3!8)(≈=?=A P

三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个

队被分在不同组内的概率．

解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数10

20C ；两个最强的

队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数9

1812

C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则

526.01910

)(10

20

9

1812≈==C C C A P

四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发

现次品不多于1个的概率．

解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0(=i ，A 表示“取出的产品中次品不多

于 1个”，则 .10A A A ?=因为V A A =10，所以).()()(10A P A P A P +=而

0281.09799423

47)(5010050950≈???==C C A P 1529.09799447255)(50

100

49

95151≈????==C C C A P 故 181.01529.00281.0)(=+≈A P

五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率． 解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；

C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”

，则 (1) 0855.0198199200193

19418)(3

2002

19416≈????==C C C A P (2) 912.0198

199200192

193194)(32003

194≈????==C C B P

(3) 00223.0198199200120

19490)(3

200

019436119426≈????=+=C C C C C C P

六、设4

1

)( ,0 ,3

1)()()(=

=====BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．

解：因为0==P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ==,，从而V C AB =)(可推出0)(=ABC P

设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ??=，于是有

)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=??= 75.043

41313131==-++=

第三章 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式

一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)(===B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A +=+=)(，所以)()()(B A P AB P A P +=，即

14.06.0)4.01(5.0)()()()()()(=?--=-=-=B A P B P A P B A P A P AB P

68.074.05

.036.0)4.01(5.05.0)

()()()()()]([)|(≈=--+=-+==

B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P

二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”

（1）2.010

1

101)()()(19111101911011=+=?+=+=C C C C C C A B P A P C P

（2）4.051

51)()()(25

11141511=+=+=+=A A A A A A B P A P C P

三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是

0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．

（1）求任意取出的零件是合格品的概率；

（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1(=i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合

格品”

（1）)()()()()()()()(22112121A C P A P A C P A P C A P C A P C A C A P C P +=+=+= 973.0)02.01(3

1

)03.01(32≈-?+-?=

（2）25.002.03

103.032

02.031

)()()()()()()()()(22112222=?+??=+==

A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P

四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．

解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1(=i ，则由题设，有100

6.0)(1k

A P ==，得60=k ，从

而有

4.015060150)(2===k A P ，.3.0200

60

200)(3===k A P

设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ++=，故有

)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P ++=

832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0=?-?-+?-+= （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则

168.0)3.01)(4.01)(6.01()(=---=B P

故所求为 832.0)(1)(=-=B P B P

五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0(=i ，则

2201)(312330==C C A P 22027

)(31219231==C C C A P 220108)(3

12

29132==C C C A P 22084

)(3

12

39033==C C C A P

设B 表示“第二次取出的都是新球”，则

3123

6

3123731238312393

22084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i ?+?+?+?==∑=

146.0532400

77616

1112208444722010855142202755212201≈=?+?+?+?=

第四章 随机事件的独立性·独立试验序列

一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1(=i ，则

9.0)(1=A P 8.0)(2=A P 7.0)(3=A P

再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则

321321321321A A A A A A A A A A A A B +++=

于是有

)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P +++= )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0-??+?-?+??-+??=

902.0=．

（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0(=i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B +=且0B 、1B 互斥，另外有 504.07.08.09.0)(0=??=B P

398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1=-??+?-?+??-=B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010=+=+=+=B P B P B B P B P ．

二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、

0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则

3.0)(1=A P 2.0)()(32==A P A P 又设B 表示“电路发生间断”，则

321A A A B += 于是有

)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P -+=+=

)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P -+=

328.02.02.03.02.02.03.0=??-?+=．

三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、4

1

，求能将此密码

译出的概率．

解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则

51)(=A P 31)(=B P 4

1

)(=C P

设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ??=，从而有

)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P +---++=??=

)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++= 6.04

1

3151415141513151413151=??+?-?-?-++=． （另解）52

)411)(311)(511()()()()()(=---===C P B P A P C B A P D P ，从而有

6.05

3

521)(1)(==-=-=D P D P

四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一

人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则

4.0)(1=A P

5.0)(2=A P 7.0)(3=A P 设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0(=i ，则

09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210=---===A P A P A P A A A P B P )()(3213213211A A A A A A A A A P B P ++=

)()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=

)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=?--+-??-+--?=

)()(3213213212A A A A A A A A A P B P ++= )()()(321321321A A A P A A A P A A A P ++=

)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0=?--+-??-+--?=

14.07.05.04.0)()()()()(3213213=??===A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有

0)(0=B A P 2.0)(1=B A P 6.0)(2=B A P 1)(3=B A P

故有

458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(3

0=?+?+?+?==∑=i i i B A P B P A P ．

五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在

该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．

解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)(=i A P )9,,2,1( =i ．

又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则 )

9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P ++++=≥=

+??+??+??=277936694559

)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0(?+??+C C

+??+??+??=273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126

918)7.0()3.0()7.0(9+??+

0403.01556.02668.02668.01715.0++++= 901.0=．

六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的

概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则

n p A P A P )1(1}{1}{--=-=一次都不发生至少发生一次

要p p n ≥--)1(1，即要p p n -≤-1)1(，从而有.1)1(log )1(=-≥-p n p 答：至少需要进行一次试验．

第五章 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布

一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再

放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为

即

亦即

二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之

间生产的合格品数的概率分布．

解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q -=1，则ξ的概率分布为

三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．

（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布．

解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为

)4,3,2,0()(6

20

616

4===-x C C C x X P x

x

从而X 的概率分布为

即

（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为

)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66=-==-x C x X P x

x x

从而X

即

四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内

有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0(=p

168877.0)01.01()01.0()1()4(29644

30029644300≈-=-==C p p C ξP

（2）用泊松分布计算)301.0300(=?==np λ

168031355.0!

43)4(3

4≈==-e ξP

相对误差为.5168877

.0168031355

.0168877.0000≈-=

δ

五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行

了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)(==p A P ，5=n ，).3.0,5(~B X 于是有

)5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P

5

554452335)1()1(p C p p C p p C +-+-=

16308.000243.002835.01323.0≈++≈

（另解） )2()1()0(1)3(1)3(=-=-=-=<-=≥X P X P X P X P X P

3

22541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C ------=

16308.0≈

六、设随机变量X 的概率分布为

2, 1, ,0 , !

)(===k k a

k X P k

λ；

其中λ>0为常数，试确定常数a ．

解：因为∑∞

===0

1)(k k X P ，即∑∞

==01!k k

k λa ，亦即1=λae ，所以.λe a -=

第六章 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度

一、函数

2

11

x

+可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（∞+∞- ,）；（2）（0,∞-）．

解：（1）设2

11

)(x x F +=

，则1)(0<

因为0)(lim =-∞

→x F x ，0)(lim =+∞

→x F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．

（2）设2

11

)(x x F +=

，则1)(0<

因为)0( 0)

1(2)('2

2<>+-=x x x

x F ，所以)(x F 在（0,∞-）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．

二、函数x x f sin )(=可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：

（1）??????2,0π； （2）[]π,0； （3）??

?

???23,0π．

解：（1）因为??????∈2,0πx ，所以0sin )(≥=x x f ；又因为1cos )(2020=-=?π

π

x dx x f ，所以当??

????∈2,0πx 时，函数x x f sin )(=可作为某随机变量X 的概率密度．

（2）因为[]πx ,0∈，所以0sin )(≥=x x f ；但

12cos )(0

0≠=-=?

π

π

x dx x f ，所以当[]πx ,0∈

时，函数x x f sin )(=不可能是某随机变量X 的概率密度．

（3）因为??

?

???∈23,

0πx ，所以x x f sin )(=不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．

二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再

放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为

于是，

?????

????>≤<≤<≤<≤=3,

132,22021921,222110,430,

0)(x x x x x x F 其图形见右：

四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为

+∞<<∞-+=x x B A x F ,arctan )(．

求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1(-内的概率；(3) X 的概率密度．

解：(1) 由0)2()(lim =-?+=-∞→πB A x F x ，12

)(lim =?+=-∞→πB A x F x ，解得.1

,21πB A ==

即)( ,arctan 1

21)(+∞<<-∞+=x x π

x F ．

(2) .2

1

)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11(=-+-+=--=<<-ππF F X P

(3) X 的概率密度为

)

1(1

)()(2

x x F x f +='=π． 五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为

+∞<<∞-=-x Ae x f x

,)(．

求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．

解：(1) 由1)(?+∞∞-=dx x f ，得1220??+∞∞-+∞--===A dx e A dx Ae x

x ，解得2

1=A ，即有

).( ,2

1)(+∞<<-∞=-x e x f x

(2) ).11(21)(2121)()10(1

01010e

e dx e dx x

f X P x x -=-===<<--??

(3) 随机变量X 的分布函数为

?????>-≤===-∞--∞-??0

2

1102121)()(x e x e dx e dx x f x F x x

x x

x ．

第七章 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布

一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间

不超过3分钟的概率．

解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为

??

??∈=]5,0[,0]

5,0[,51)(x x x f 于是有.6.05

3

)()30(3

===

≤≤?

dx x f X P

二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为

?????≤>=-.0,

0;0,8001)(800x x e x f x

任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率．

解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则

287.0800

1)1000()()()(45

10008001000800321≈=-==>===-∞

+-∞

+-?e e dx e X P A P A P A P x

x

)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P +---++=??=

638.0287.0287.03287.033

2

≈+?-?=

（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则

287.0800

1)1000(4

51000

800

1000800

≈=-==>-

∞+-∞

+-?e

e dx e X P x

x

从而有713.01)1000(1)1000(4

5≈-=>-=≤-

e

X P X P ，进一步有

638.0713.01)]1000([1)(33≈-≈≤-=X P A P

三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)(λe ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有

).()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥

这个性质叫做指数分布的无记忆性．

(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上

的概率．

解：（１）因为)(~λe X ，所以R x ∈?，有x

e

x F λ--=1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．

设t s X A +≥=，t X B ≥=．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ?，从而A AB =．根据条件概率公式，我们有

)

(1)

(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X P <-+<-=≥+≥===

=≥+≥

t

s

t s e e e λλλ--+-=----=]

1[1]1[1)(． 另一方面，我们有

t t e e t F t X P t X P t X P λλ--=--=-=≤-=<-=≥)1(1)(1)(1)(1)(．

综上所述，故有

)()(t X P s X t s X P ≥=≥+≥．

（２）由题设，知X 的概率密度为

???≤>=-．，

；，0001.0)(1.0x x e x f x

设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5

年以上的概率为

6065.01.0)()5()5(5.05

1.05

1.05

≈=-===≥=≥+≥-∞+-∞+-∞+?

?

e e dx e dx x

f X P s X s X P x

x ．

答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．

四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布：

（1）X Y 211-=；（2）2

)

3(2X X Y -=

． 解：X 的分布律为

（1）X Y 211-=的分布律为

（2）2)

3(2X X Y -=

的分布律为

即

五、设随机变量X 的概率密度为

???

??

≤>+=.0,

0;0,)1(2)(2x x x x f π

求随机变量函数X Y ln =的概率密度．

解：因为)()()(ln )()(y

X y

Y e F e X P y X P y Y P y F =<=<=<=

所以随机变量函数X Y ln =的概率密度为

)( )

1(2)()()()(2''+∞<<-∞+====y e e e e f e e F y F y f y

y

y

y

y

y

X

Y

Y π，即 )( )

1(2)(2+∞<<-∞+=y e e y f y

y

Y π．

第八章 二维随机变量的联合分布与边缘分布

一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示

两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为

Y 的边缘概率分布为

二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数

)3

arctan )(2arctan (),(y

C x B A y x F ++=．

求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度． 解：（1）由0)0,(,0),0(,1),(=-∞=∞-=∞+-∞F F F ，得

???

?

?

????=-=--=++0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ==，.12

πA = （2）因为)3arctan 2)(2arctan 2

(1),(2y

x y x F ++=πππ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为

.)

9)(4(6),(),(2

22"

y x y x F y x f xy ++==π （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为

x

x x X x dx x dy y x f dx x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==???2

arctan 1)4(2),()(2ππ 2arctan 121x

π+=

y

x y Y y dy y dx y x f dy x F ∞-∞-∞-+∞∞-=+==???3

arctan 1)9(3),()(2ππ 3

arctan 121y

π+=

X 及Y 的边缘概率密度分别为

??

?

+∞+∞

∞-+∞

∞

-++?=++==0222222)9(1

)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X ππ

)

4(2

)3arctan

3

1()4(112

20

22

x y

x +=

+?

=

∞

+ππ

??

?

+∞+∞

∞-+∞

∞-++=++==022222241

)9(12)9)(4(6),()(dx x

y dx y x dx y x f y f Y ππ )

9(3)2arctan 21()9(122

022y x y +=+=∞+ππ

三、设),(Y X 的联合概率密度为

?

?

?>>=+-., 00;

0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X

落在区域R ：632 ,0 ,0<+>>y x y x 内的概率． 解：（1）由

1),(=??

+∞∞-+∞

∞

-dy dx y x f ，有16

1

32==

??∞

+∞

+--A dy e dx e

A y x

，解得.6=A （2）),(Y X 的联合分布函数为

?????>>==????--∞-∞

-其它0

,06),(),(00

32y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x x

y

??

?>>--=--其它0

,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为

???≤>=?????≤>==-+∞--∞+∞-??000200

06),()(2032x x e

x x dy e e dy y x f x f x y x X

???≤>=?????≤>==

-+∞

--∞

+∞

-??

300

06),()(30

32y y e

x x dx

e e dx y x

f y f y

y x Y （4）?

???

---==

∈x y x

R dy e dx e

dxdy y x f R Y X P 3220

33

26),(}),{(

630

6271)(2---?-=-=e dx e e x

四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2

x y =与直线2+=x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：

(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2(≥+Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为

??

??∈=.

),(, 0;

),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(2132212

2212==-+=-+==--+-?????C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R

解得9

2

=C ．故有

??????∈=.

),(, 0;

),(,9

2

),(R y x R y x y x f

(2) ??????++-≥++==≥+x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 22

1

22102

29292),()2(

??-++=

212

10)2(92292dx x x xdx 481.027

13

)322(92922132102≈=-+

+=x x x x ． 第九章 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布

一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为

???

??≤>=-.0,

0;0,21)(2y y e y f y

Y

求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ≥．

解: (1)X 的概率密度为?

???∈=)1,0(,0)

1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）

???

??><<==-其它,

00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f y

Y X

（2）dx e

dx e

dy e dx dxdy y x f X Y P x x

y

x

y

x

y ???

???-

∞+-

∞

+-

≥=-===

≥10

2

1

022

10

2)(2

1

),()(

7869.0)1(222

11

22

≈-=-=--

e e

x

二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：

.

,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(2122

11

n j q

p C j p n i q p C i p j

n j

j

n Y i

n i i n X ====--

证明它们的和Y X Z +=也服从二项分布． 证明: 设j i k +=, 则

i

k n i k i k n k

i i n i i n k i Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P +---=-=∑∑=-===22

110

)()()()( ∑=-+=k

i k n n k i n i

n q p C C

212

1)( 由

k

n

m k

i i

k n

k m C C C +=-=

∑

, 有

k n n k i i

n i n C C C

2

1210

+==∑. 于是有 ),,2,1,0( )(21212

1n n k q p C k P k

n n k i n n Z +==-++ 由此知Y X Z +=也服从二项分布.

三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：

??

?

??><≤<-≤≤=.20 0,;

2 1 ,2;10 ,)(y y y y y y y f Y 或