方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析
中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解及经典例题解析
【考纲要求】
1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；
3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；
4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；
5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】
【考点梳理】
考点一、一元一次方程
1.方程
含有未知数的等式叫做方程.
2.方程的解
能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.
3.等式的性质
（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.
4.一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤
整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).
6.列一元一次方程解应用题
(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.
(2)画图分析法：多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：
列方程解应用题的常用公式：
(1)行程问题： 距离=速度×时间 时间距离速度= 速度
距离
时间=； (2)工程问题： 工作量=工效×工时 工时工作量工效=
工效工作量
工时=； (3)比率问题： 部分=全体×比率 全体部分比率= 比率部分
全体=；
(4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题： 售价=定价·折·
10
1
，利润=售价-成本， %100?-=成本成本售价利润率；
(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2
，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，
S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2
h.
考点二、一元二次方程 1.一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式
)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是
零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2
)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，
b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.
（2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2
2
2
2()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2
2
2
)(2b x b bx x ±=+±.
（3）公式法
公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.
一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的求根公式：2
1,240)2b x b ac a
-±=
-≥ （4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.
4.一元二次方程根的判别式
一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=?. 5.一元二次方程根与系数的关系
如果方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a
b x x -
=+21，a c
x x =21.也就是
说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商
的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：
一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元
二次方程一般形式中0≠a .
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
考点三、分式方程 1.分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程. 2.解分式方程的一般方法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：
①去分母，方程两边都乘以最简公分母；
②解所得的整式方程；
③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.
口诀：“一化二解三检验”.
3.分式方程的特殊解法
换元法：
换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.
要点诠释：
解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．
增根的产生的原因：
对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.
考点四、二元一次方程（组）
1.二元一次方程
含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).
2.二元一次方程的解
使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.
3.二元一次方程组
两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
4.二元一次方程组的解
使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
5.二元一次方程组的解法
①代入消元法；②加减消元法.
6.三元一次方程（组）
（1）三元一次方程
把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.
（2）三元一次方程组
由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点诠释：
二元一次方程组的解法：
消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.
（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．
考点五、不等式（组）
1.不等式的概念
（1）不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.
（2）不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
求不等式的解集的过程，叫做解不等式.
2.不等式基本性质
（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
3.一元一次不等式
（1）一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.
（2）一元一次不等式的解法
解一元一次不等式的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.
4.一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.
（2）一元一次不等式组的解法
①分别求出不等式组中各个不等式的解集；
②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.
由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．
注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.
要点诠释：
用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.
（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，?则a=b ；④若a 2
≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或
0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0a
b
<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ?a ＞b ；②a -b=O ?a=b ；③a-b ＜O ?a ＜b ．
不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥
d 可转换为d ≤c .
【典型例题】
类型一、方程的综合运用
1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，
则方程组111222
,
y k x b y k x b =+??=+?的解是( )
不等式组 （其中a ＞b ）
图示 解集 口诀
x a
x b >??>? b
a
x a > （同大取大）
x a
x b
x b <
（同小取小） x a
x b ? b
a
b x a << （大小取中间）
x a
x b >??
b
a
无解 （空集） （大大、小小
找不到）
A ．2,2x y =-??
=? B ．2,3x y =-??=? C ．3,3x y =-??=? D ．3,
4
x y =-??=?
【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；
【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，
所以方程组111222
,y k x b y k x b =+??
=+?的解为2,
3.x y =-??=?
【总结升华】
方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．
2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．
【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】
解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．
根据题意，得
150150
18.751.8x x
-=-，
整理，得2
1.814.40x x --=．
解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．
经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去． 【总结升华】
解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．
类型二、解不等式（组）
3．已知A ＝a+2，B ＝a 2
-a+5，C ＝a 2
+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由． 【思路点拨】
计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小． 【答案与解析】
(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2
+2．
∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2
+2＞0．
∴ a 2
-2a+3＞0，即B-A ＞0． 由此可得B ＞A ．
(2)解：C-A ＝a 2
+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．
当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．
∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；
当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．
∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；
当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．
∴ 当a ＞3时，C 比A 大． 【总结升华】
比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想． 举一反三：
【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422
+-a a ,其中1>a .
(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】
（1）A-B=2
2
2222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0
(2) ∵C-B=2
2
2
24222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B
∵A-C=2
2
2
22242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>-> ∴A>C>B
【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．
【答案】
解：设n 为正整数，由题意得 ?
?
?>+?>-.1001342,100)12(5n n 解得?>887
n 则n 可取的最小正整数为11．
若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105； 若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．
类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用
4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】
根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】
设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,
10%20%100.
x y x y +=??
+≤?
将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110． 故今年最少可招收“宏志班”学生110名． 【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：
【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期
天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?
【答案】
设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得
478,
48(1)8.x y x y -=??
≤--
②
由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．
根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．
5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数） （1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；
② 若记1()25m k k k
+-+为y ，求y 与m 的关系式；
（2）当
1
4
＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】
（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，
①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；
②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式； （2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可． 【答案与解析】
（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，
∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※
① 当k = m 时，
∵ k 为非零实数根，
∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.
整理，得 2320m m -+=.
解得 11m =，22m =.
∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.
② ∵ k 为原方程的非零实数根，
∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0m
m k m k
---+=. 整理，得 1
()21m k k m k +-=-.
∴ 1
()254y m k k m k
=+-+=+.
（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ?=----=-++=--+ .
当14
＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.
∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0. ∴ 当14
＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.
解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，
∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交， ∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.
∴ 当14
＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.
解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ?=----=-++=--+.
结合23(1)4m ?=--+关于m 的图象可知，（如图） 当14
＜m ≤1时，
37
16
＜?≤4； 当1＜m ＜2时，1＜?＜4. ∴ 当14
＜m ＜2时，?＞0.
∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.
【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：
【变式1】已知关于x 的一元二次方程2x 2
+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数． （1）求k 的值
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2
+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式． 【答案】
解：（1）∵方程2x 2
+4x+k ﹣1=0有实数根，
∴△=42
﹣4×2×（k ﹣1）≥0， ∴k≤3．
又∵k 为正整数， ∴k=1或2或3．
（2）当此方程有两个非零的整数根时，
当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去． 当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+
，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去．
当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．
因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2
﹣2． 【变式2】已知：关于x 的方程()0322
=-+-+k x k x
（1）求证：方程()0322
=-+-+k x k x 总有实数根；
（2）若方程()0322
=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值；
(3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322
-+-+k x k x ，当71<<-x 时，
有21y y >，求b 的取值范围． 【答案】
⑴证明：∵△=(k －2)2
－4(k －3)
=k 2
－4k +4－4k +12
= k 2
－8k +16
=(k －4)2
≥0
∴此方程总有实根。
⑵解：解得方程两根为x 1=－1，x 2=3－k
∵方程有一根大于5且小于7， ∴5<3－k <7， －4 ∴k =－3. ⑶解：由⑵知k =-3， ∴652 2--=x x y ∵21y y >，∴012<-y y ， 即0662 <---b x x ∵在71<<-x 时，有21y y > ∴1b ≥ 类型四、用不等式（组）解决决策性问题 6．某服装店到厂家选购A 、B 两种服装，若购进A 种型号服装12件，B 种型号服装8件，需要1880元；若购进A 种型号服装9件，B 种型号服装10件，需要1810元． （1）求A 、B 两种服装的进价分别为多少元？ （2）若销售一件A 型服装可获利18元，销售一件B 型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定：购进A 、B 两种服装共34件，并使这批服装全部销售完毕后总获利不少于906元．问服装店购进B 种服装至少多少件？ （3）在（2）问的条件下，服装店应怎样购进A 、B 两种服装，才能使得两种服装的总成本最低？最低为多少元？ 【思路点拨】 （1）根据题意可知，本题中的相等关系是“A 种型号服装12件，B 种型号服装8件，需要1880元”和“A 种型号服装9件，B 种型号服装10件，需要1810元”，列方程组求解即可； （2）若设购进B 种服装m 件，则购进A 种服装的数量是34﹣m ，列出不等式解答即可； （3）设服装店购进B 种服装m 件列出函数解析式，结合最值解答即可． 【答案与解析】 解（1）设A 服装进价为x 元，B 服装进价为y 元．由题意得： ， 解得：x=90，y=100， 答：A 服装进价为90元，B 服装进价为100元； （2）设服装店购进B 种服装m 件．由题意得： 18×（34﹣m ）+30m ≥906 解得：m ， 答：服装店购进B 种服装至少25件； （3）设服装店购进B 种服装m 件．两种服装的总成本为w 元． 由题意得： w100m+90（34﹣m ）=10m ， 因为w 随着m 的增大而增大，所以当m 取最小值即25时，w 最小为3310， 答：服装店购进A 种9件B 种25件服装，才能使得两种服装的总成本最低，最低为3310元． 【总结升华】 本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．象这种利用不等式解决方案设计问题时，往往是在解不等式的解后，再利用实际问题中的正整数解，且这些正整数解的个数就是可行的方案个数． 举一反三： 【变式】某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品， 共50件．已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克． （1）据现有条件安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你设计出来． （2）若甲种原料每千克80元，乙种原料每千克120元，怎样设计成本最低． 【答案】 （1）设生产A 种产品x 件，B 种产品)50(x -件． 按这样生产需甲种的原料?? ?≤-+≤-+290)50(103360)50(49x x x x ，∴???≥≤. 30, 32x x 即：3230≤≤x ． ∵x 为整数，∴,32,31,30=x ∴有三种生产方案． 第一种方案：生产A 种产品30件，B 种产品20件； 第二种方案：生产A 种产品31件，B 种产品19件； 第三种方案：生产A 种产品32件，B 种产品18件． （2）第一种方案的成本：62800)2010303(120)204309(80=?+??+?+??（元）； 第二种方案的成本：62360)1910313(120)194319(80=?+??+?+??（元）； 第三种方案的成本：61920)1810303(120)184329(80=?+??+?+??（元）． ∴第三种方案成本最低． 新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成 立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数. 初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值 坐标系与参数方程 *选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第一讲 一、平面直角坐标系 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换???>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用 下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 方法1：求伸缩变换后的图形。 由伸缩变换公式解出x、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。 例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 方法2：待定系数法求伸缩变换。 求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。 例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换: 二、极坐标 1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 3.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 4.极坐标与直角坐标的互化： 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 基本不等式练习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 参数方程典型例题分析 例1在方程（为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（）．（A）（2，－7）（B）（，）（C）（，）（D）（1，0） 分析由已知得可否定（A）又，分别将，，1代入上式得，，－1，∴（，）是曲线上的点，故选（C）．例2直线（为参数）上的点A，B所对应的参数分别为， ，点P分所成的比为，那么点P对应的参数是（）． （A）（B）（C）（D） 分析将，分别代入参数方程， 得A点的横坐标致为，B点的横坐标为， 由定比分点坐标公式得P的横坐标为 ， 可知点P所对应的参数是故应选（C）． 例3化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线． （1）（为参数，） （2）（为参数）； （3）（为参数）， 解：（1）∵ ∴， ∴或 故普通方程为（或），方程的曲线如图． （2）将代入得 ∵普通方程为（），方程的曲线如图． （3）两式相除得代入得 整理得 ∵ ∴普通方程为（），方程的曲线如图． 点评（l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的，的范围，以保证普通方程与参数方程等价． 例4已知参数方程 ①若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ ②若为常数，为参数，方程所表示的曲线是什么？ 解：①当时，由（1）得，由（2）得， ∴，它表示中心在原点， 长轴长为，短轴长为焦点在轴上的椭圆． 当时，，， 它表示在轴上的一段线段． ②当（）时，由（1）得， 由（2）得．平方相减得， 即 它表示中心在原点，实轴长为，虚轴长为， 焦点在轴上的双曲线． 当（）时，，它表示轴； 当（）时，， ∵（时）或（时） ∴，∴方程为（）， 它表示轴上以（－2，0）和（2，0）为端点的向左和向右的两条射线． 点评本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中的字母是常数还是参数． 例5直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）． 直线与方程练习题 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（） A ．045,1 B ．0135,1- C ．090，不存在 D ．0180，不存在 6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（） A ．0≠m B ．2 3-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3-≠m ，0≠m 7．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 8．若1(2,3),(3,2),(,)2 A B C m --三点共线 则m 的值为（ ） Ａ．21 Ｂ．2 1- Ｃ．2- Ｄ．2 9．直线x a y b 22 1-=在y 轴上的截距是（） A ．b B ．2b - C ．b 2 D ．±b 4．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 10．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与,,a b θ的值有关 二、填空题 1．点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________;若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 3．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________. 4．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 三、解答题 1．求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程。 2．过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5． 基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞ 例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。 考点1：倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.??? ?????? ??32,22,0πππ B.??? ?????? ??32223ππππ，， C.??? ?????? ??πππ，，330 D.?? ? ?????? ??πππ，，3220 2 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,63ππ?????? B ．,62ππ?? ??? C ．,32ππ?? ??? D ．,62ππ?????? （二）直线的斜率及应用 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++= 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2 6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ . 7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 考点2：求直线的方程 例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝0 3、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________． 4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________． 5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0 6、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 7.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。（1）当⊿AOB 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 一．不等式的性质： 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号； 变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 （x > 3）的最小值 2、已知x > 3 2 ，求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ，求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二：凑系数 4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时，求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三：分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 （x > -1）的值域； 9、求y = x2 + 3x + 1 x （x > 0） 的值域 10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c，求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1，求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2，求1 x + 1 y 的最小值，并求x、y的值。 技巧六：整体代换 16、已知x > 0，y > 0，且1 x + 9 y = 1，求x + y的最小值。 17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a，b，x，y∈R+ 且a x + b y = 1，求x + y的最小值。 19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七：取平方 21、已知x，y为正实数，且x2 + y2 2 = 1，求x 1 + y2的最大值。 22、已知x，y为正实数，3x + 2y = 10，求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x（1 2 < x < 5 2 ）的最大值。 技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式 24、已知a，b为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y = 1 ab 的最小值。 全方位教学辅导教案 例1：(2)1 2,33 y x x x =+>-。 变式：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值 。 技巧二：凑系数 例1.当 时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此 题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将 (82)y x x =-凑上一个系数即可。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：1、设2 3 0< 参数方程 一、定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个参数 t 的函数，即 ?? ?==)()(t f y t f x ，其中，t 为参数，并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 1 y x Eg1（1 Eg2（1总结：参数方程化为普通方程步骤：（1）消参（2）求定义域 2、椭圆的参数方程： 中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆： θ θsin cos b y a x == （θ为参数，θ的几何意义是离心角，如图角AON 是离心角） 注意：离心率和离心角没关系，如图，分别以椭圆的长轴和短轴为半径画两个同心圆，M 点的轨迹是椭圆，中心在（x 0，y 0 θ θ sin cos 00b y y a x x +=+= Eg 3， 4 pt y pt x 222 == （t 为参数，p ＞0，t 的几何意义为过圆点的直线的斜率的倒数） 直线方程与抛物线方程联立即可得到。 三、一次曲线（直线）的参数方程 过定点P 0（x 0，y 0），倾角为α的直线， P 是直线上任意一点，设P 0P=t ，P 0P 叫点P 到定点P 0的有向距离，在P 0两侧t 的符号相反，直线的参数方程 αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数，t 的几何意义为有向距离） 说明：①t 的符号相对于点P 0，正负在P 0点两侧 ②｜P 0P ｜=｜t ｜ 直线参数方程的变式： bt y y at x x +=+=00，但此时t 的几何意义不是有向距离，只有当 t 得 y x Eg 第三章《直线与方程》单元检测 试题 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．已知点A(1，3)，B(－1，33)，则直线AB的倾斜角是() A．60°B．30° C．120°D．150° [答案]C 2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为45°，则直线l的方程为() A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x－y－3＝0 D．x－y＋3＝0 [答案]D 3．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为() A．－3 B．－6 C．3 2D．2 3 [答案]B 4．直线x a2－ y b2＝1在y轴上的截距为() A．|b| B．－b2 C．b2D．±b [答案]B 5．已知点A(3,2)，B(－2，a)，C(8,12)在同一条直线上，则a的值是() A．0 B．－4 C．－8 D．4 [答案]C 6．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过() A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [答案]D 7．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是() A．－2 B．－7 C．3 D．1 [答案]C 8．经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＝5＝0的 交点，并且经过原点的直线方程是( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．3x ＋19y ＝0 D ．19x －3y ＝0 [答案] C 9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( ) A ．(0,0) B ．(17，27) C ．(27，17) D ．(17，114) [答案] C 10．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 [答案] D 11．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3,2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．0 D ．2 [答案] B 12．等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，若点A ，C 的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B 的坐标可能是( ) 基本不等式专题 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2；基本不等式经典例题精讲
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