研究性学习的基本步骤
研究性学习的基本步骤
作为综合实践活动课程的重要组成部分，研究性学习在许多学校已经得到了落实，现在对其一般步骤进行介绍。
1、确定课题。
大多数研究性学习都是围绕着一个特定课题开展的，所以第一个环节应该是确定课题。课题的容来自三大领域：人与自然、人与社会、人与自我。课题的确定方法可以是学生独立提出，也可以是在教师的指导下学生共同讨论得出。教师通过问卷调查、实地考察等方法引导学生确定主题，找出研究方向。
2、划分小组
研究性学习与常规教学活动最大的区别是在研究性学习中我们通常是以一个小组为单位的。小组可以相对固定也可以根据研究性学习的容作适当的调整。但是无论如何一个合理、科学的分组可以使我们的学习活动收到更好的效果。
3、制定计划
“凡事预则立不预则废”，制定周密可行的计划是课题实施的保证。而且制定计划的过程也是学生对研究对象进一步了解和对研究方法适当运用的开始。计划要有明确的目标、时间、地点还要包括适当的资料收集方法、工具材料的准备，特殊情况的应对等，尤其是必要的安全方案。
4、计划实施
根据计划实施具体的工作。一般情况下是以小组为单位，各自履行自己的职责。例如通过网络了解相关的问题研究现状，可以到图书馆查找资料，参观访问、实地考察、实验验证、可以对有关的专业人士进行采访等等。实施阶段是研究性学习的核心部分，只有充分的占有真实的资料才能够得出正确的结论。在实施阶段要注意保持第一手资料，体验经历过程，在实际中注意安全也是一个重要问题。
5、整理总结
通过具体的实施过程，学生要整理分析搜集的资料，验证自己的假设，并综合资料提出自己的观点或结论。这是一个总结提升的过程，如果遇到新的问题可以结合问题进行再次的相关研究，以便得出更符合客观事实的结论。
6、交流展示
通过研究论文、主题演讲、小品表演、辩论会等形式，将自己的研究成果进
行展示。这是研究性学习的重要阶段，学生通过展示自己在整个过程中的所思所得，体验研究性学习的过程，教师要引导同学们学会分享、学会欣赏。
7、自我反思
在交流展示的基础上，鼓励学生通过研讨、写作等方式，反思自己的研究历程，综合评价学生的研究活动，为下一步的学习和研究提供经验与借鉴。
二、研究性学习中如何选择好课题
进行科学研究选题非常重要。课题选得怎样，关系到研究有无价值，研究能否顺利进行等一系列重要问题。两次获诺贝尔奖的巴尔丁博士曾说，决定一个研究能否取得成效，很重要的一点就是看他所选择的科研课题。
（一）怎样选择一个好课题
什么样的课题是好课题？对于纯粹的科学研究来说，要符合下面的要求：
1、目的性
科学研究是一项目的性极强的活动，课题的选择必须有明确的目的性。如“节水洁具的设计”，目的就是节约用水。
2、科学性
科学研究是探索真理的活动。科学性是要求我们注重科学价值。所谓科学价值是指科学上的新发现，新创造。也包括对不正确的科学结论给予纠正，对不完整的结论给予补充。
3、创新性
科学研究是对未知领域的探索活动，意在发明、创新、前进。科学研究的选题应体现创新性，这种创新性既可表现为理论、观点、概念的创新，又可以表现为方法上的创新以及应用领域的创新。
对于高中生来说，刚开始参与科学研究，不能要求过高，但必须做到能独立思考问题，有自己的见解。
4、可行性
科学研究是一项严谨的活动。教育科研课题的选择必须充分考虑主客观条件，分析课题在实际研究过程中的切实可行性。从主观方面看，自己是否具备课题研究必须的知识水平和研究能力等。从客观方面看，是否有必要的资料、工具、经费等。具体可以从以下几个方面考虑：
第一，人力。(1)研究兴趣；(2)基础知识；(3)合作伙伴；(4)指导教师。
第二，物力。(1)研究地点；(2)实验设备。
第三，财力。(1)资料复印；(2)调研费用；(3)交通费用；(4)实验费用。
第四，时间。(1)预研究时间；(2)实验或收集资料时间；(3)撰写报告时间；
(4)答辩时间。
（二）课题的来源
一是自己在生活中或学习中遇到的问题。
爱因斯坦曾经说过：提出一个问题往往比解决一个问题更重要。因为解决一个问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性，从新的角度看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。
仔细地观察，然后提出问题是科学的核心所在。对于高中生而言，这一点非常重要。
那么如何做才能提出高质量的问题呢？
在最初阶段，你不应该过多地去顾及“高质量”，你只需要仔细观察你的周围，对每一事物提出为什么，然后试着给予回答。例如：我们每天吃的大米中含有哪些成分？大米是从哪儿来的？影响水稻生长的因素有哪些？除了大米以外，还有哪些粮食？其营养成分又是怎样的？为什么我们要吃粮食？世界上是否还有饥饿存在？为什么还有饥饿存在？如何才能防止饥饿？砍伐森林与粮食有关吗？等等。
准备一本笔记本，随时记下你所不能回答的问题，不管它是怎样一个问题。
坚持不懈地提出问题，这将会提高你的批判性思维和创造性思维的能力。
学会由一个主题出发，提出各种问题。这将会提高你综合、全面地思考问题的能力。
下面给出几个由主题出发而发散出去的问题。你可以试着挑一些别的主题，做些尝试。
常见的“动物”这个概念为例，从“动物”这个集合词出发，我们可以把它分成几个不同的类别。例如，可以把与人类日常生活密切相关的动物分成宠物类、家禽类、工具类（用于搬运、拉犁等）、食用类和其他用途类（皮毛用于制衣、
制鞋等），这是最直接的分法。每一个类别又都可以引发出来，作为一个研究性学习的容。例如，你可以专门研究宠物狗，从宠物狗的分类、喂养、疾病的防治等进行资料的查找。你也可以从这些具体的动物出发，找出一些共性的东西，引发出若干研究学习的容。如此发散出去，你可以得到许多研究课题。
二是文献资料中提出的尚未解决的问题。
如我们从历史方面的文献资料中可以查到“夏商周的断代”以及“奴隶社会与封建社会的分期”等问题。又如我们从文学方面的文献资料中可以查到“雪芹的家世探究”以及“《红楼梦》续书的优劣”等问题。
不论问题出自何处，都需要分析整理选出适合自己的课题来作研究。
（三）应注意的问题
第一，注意课题的难易程度要适中。
难度过大，目前的能力还无法完成，如“夏商周的断代”问题。
如果课题过于简单，小学生也能完成，就不能够使自己综合运用在高中阶段学过的知识，提高自己解决问题的能力。
第二，课题的大小要适中。
题目过大（往往难度也过大），限于时间和精力，不可能在短期完成。如“《红楼梦》研究”，“中国诗歌的发展与演变”这类课题难度大，需要搜集大量资料，而且花费时间长，不适合高中生研究。不过我们可把它缩小为对其中某一个问题或几个问题的研究，如“贾宝玉是怎样一个叛逆形象”，“格律诗是怎样产生的”。
第三，课题的述要简洁具体明了。
确定研究课题，应当用简洁明了的词语来述。例如，有一个学生想研究高中生开设的阅读课对阅读成绩的影响，他把题目定为“高中阅读课”。这种宽泛的不包含任何问题的述显然不合要求，可以改成“高中生开设阅读课程对提高阅读成绩的影响”，这样就比较具体，也包含了问题在其中。
又如：“洗衣粉、洗洁精、工厂废弃物等对生态环境的影响研究”也是一个非常大的研究题目，因为仅洗衣粉、洗洁精就有许多种类。另外，“工厂废弃物”到底指那些，有多少也无法确定。这样一来，研究围太广，而且无法操作。因此，这也不是一个好题目。
下面的例子是原题目和经过改进后更便于操作的题目。
原题目：水果蔬菜中VC含量的测定及日常饮食中的应用
修改1：常见水果中VC含量的测定（使研究容集中化）
修改2：常见水果中VC含量是如何测定的？（使容式述变成问题式述）另外，向大家介绍一些常见科研课题的题目的表达形式：
×××的现状和展望“儿童电视剧的历史、现状和展望”
×××对×××的启示“美国中小学计算机应用对中国的启示”
×××的调查研究“我国高中生高考前后心理的调查研究”
×××的研究综述“黄土高原水资源的研究综述”
关于×××的思考“关于邮票打折现象的思考”
×××的探讨“关于贫困地区人口问题的探讨”
对×××的几点看法“对邮票打折现象的几点看法”
关于×××的研究“关于黄土高原水资源的研究”
×××的实验研究“自来水中余氯测定的实验研究”
×××初探“橘皮的构造及其使用价值初探”
对×××的再认识“对DNA的再认识”
浅议××ד浅议能源”
×××对×××的影响“家教对正常教学的影响”
×××之我见“中学生课外阅读之我见”
×××的×××测定“92种中草药的血凝活性测定”
×××的处理方法研究“餐饮业含油废水工程的处理方法研究”
×××在×××应用“面向对象技术在CAI开发系统中的应用”
三、研究性学习应掌握哪些主要方法
研究性学习的方法很多，常用的方法有：观察研究法、调查研究法、读书报告研究法、实验研究法、比较研究法等。这里先介绍最常用的方法：调查研究法
一、什么是调查研究法？
调查研究法，就是有目的、有计划，系统性地去了解、考察和分析社会和自然现象，从中发现问题，探索其本质和规律而采用的研究方法。
现代社会是信息化社会，调查研究是收集和处理信息的基本方法，在研究性学习中，调查研究是最常用的基本方法。
调查研究时，要深入实际，要通过各种方法尽可能全面、客观地掌握实际情况，获得足够的信息，并对信息进行分析处理、思考研究，从中发现事物的本质和发展变化的规律。
如：在开展《中学生课外阅读状况调查》、《某中学初二年级学生上午饮食初步调查研究》、《关于农村老人赡养现状的调查》、《中学生与网吧》这些研究性学习专题时用到的方法主要是调查研究法。
二、调查研究法的类型：
1、普查（全面调查）：指对研究对象全体进行调查。通过对全体研究对象的普查，可以了解全面情况，获得的数据、信息比较可靠。但当研究的对象数量多、围广时，需花大量人力、物力、时间等。如果要用这种方法，在选题上要尽量把围缩小到力所能及的局部。如人口普查，教委系统经常要的教职工情况报表、学生情况报表等都属于全面调查类型。
2、抽样调查：在研究性学习过程中，使用最多的是抽样调查。抽样调查是指从全体被研究对象中抽取一部分样本进行调查分析，用样本调查结果估测和推论全体。抽样调查，可以节省人力、物力、时间，抽样调查要有足够的样本，样本要尽量分布广泛（如不同班级、男女生等等）。
在抽样调查中，被研究的对象全体叫总体或母体，抽出来进行调查的部分叫样本。抽样调查虽然是从全体中抽取部分样本进行调查分析而取得的统计数据，但它也可以起到全面调查的作用。例如：在《初二年级学生上网情况调查》的研究性学习专题中，可以采用抽样调查法。调查对象围要在二年级的八个班级中都有一定数量的学生，而且男女生比例要适当，所居住的社区要考虑，走读和住宿都要有一定比例。这样调查研究的结果才能更有价值。
当然在抽样调查中还包括随样抽样调查，非随机抽样调查等，这里就不一一详述。
3、典型调查：是指当研究对象没有个别差异或个别差异很小时，从研究对象总体中抽取一个或若干个具有代表性的对象作为典型，对它进行周密系统的调查，用其结果来概括总体的调查方法。
典型调查也可在全面调查和抽样调查后，选择研究对象有代表性的个体，进行更深入、细致、具体、系统的调查，以保证所获信息和资料直至结论更准确、
更可信。
在开展典型调查前，必须精心选择典型，可将定性分析与定量分析结合起来。
例如：应城市蒲阳初中严欣梅老师组织本班学生开展研究性学习的题目《名胜古迹与诗词对联》。其中一个小组（7人）只选四大名楼：黄鹤楼、滕王阁、楼、蓬莱阁为典型代表开展研究。这就是使用的典型调查法。
4、个案调查：个案调查是指对某个特定的对象作深入细致全方位的调查研究的一种方法。个案调查对特定对象的调查研究比典型调查更加具体、深入、细致、全面。这种方法经常应用于社会调查中。如：央视《焦点访谈》、《新闻调查》对一个事件做的深入细致的多层侧面与多角度全方位调查，都属于个案调查。又如：省海安县西场中学的研究性学习专题《仲贞子的艺术人生》，就是个案研究。仲贞子是当地的书画艺术名人，知名度相当于我们市的于植元吧。8名学生组成的研究小组从四个方面（1、仲贞子取得艺术成就的原因是什么？2、仲贞子与时代发展的关系如何？3、作为普通人的仲贞子是怎样的一个人？4、仲贞子退休以后有无建树？）开展全面而具体的调查研究。这就属于人案调查。
三、调查研究的具体方法：
1、现场调查法：也叫现场观察法，这是在现场，用感官及其辅助工具（如笔本、录音机、摄像机等）去了解、观察记录研究对象的调查方法。现场观察法是社会调查中常用的基本方法。它的最大优点是不干扰被观察者的正常活动，使被观察者处于“原生态”，获得的数据更可靠。但它只能收集非言语行为方面的资料。
例如：要研究某一路段在一定时间车辆和行人的密度、来住情况。用此种方法最方便。又如，上次学校用摄像机记录师生对马路上白色垃圾的态度就属于此法，我们得到的信息、数据非常真实可靠。
2、访谈法：访谈法是调查者根据预先的计划，围绕主题，与调查对象面对面地直接交谈而获取信息的方法。访谈时一定要做好记录，可在征得对方同意后，用辅助工具（如录音、录相等）辅助记录，以便于整理使用。
访谈法有很多优点。首先是信息双向沟通。调查者和调查对象直接面对面，调查者可以对调查对象不懂的问题，做出解释，也可以从调查对象的言谈中发现新的问题，还可以纠正调整调查对象的谈话中心。其次有些访谈是私下进行，时
高一数学归纳法分析及解题步骤
高一数学归纳法分析及解题步骤 当我第一遍读一本好书的时候，我仿佛觉得找到了一个朋友;当我再一次读这本书的时候，仿佛又和老朋友重逢。我们要把读书当作一种乐趣，并自觉把读书和学习结合起来，做到博览、精思、熟读，更好地指导自己的学习，让自己不断成长。让我们一起到一起学习吧! 高一数学归纳法 《2.3数学归纳法》教学设计 青海湟川中学刘岩 一、【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2(人教A 版)》第二章第三节《2.3数学归纳法》。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。 二、【学情分析】 我校的学生基础较好，思维活跃。学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从骨牌游戏原理启发得到数学方法的
过程有困难;二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。 三、【策略分析】 本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式;注重提高学生的数学思维能力;体验从实际生活理论实际应用的过程;采用教师引导学生探索相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。 四、【教学目标】 (1)知识与技能目标： ①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤; ②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。 (2)过程与方法目标： 努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。 (3)情感态度与价值观目标： 通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。 五、【教学重难点】
教练技术的四大技巧
教练技术的四大技巧 教练的四个最大的武器，称为聆听、发问、区分和回应。 １．聆听——从对方的叙述中了解他的目标和现在的位置。 ２．发问——通过提问帮助对方挖掘自我盲点，发现他的潜力所在。 ３．区分——让对方更加清晰：哪些行为是对自己的目标有用的，哪些属于“添乱”之类。 ４．回应——发挥镜子的反射作用，及时指出对方存在的问题。 聆听 为什么教练要聆听聆听什么怎么听 用教练的话说，聆听是为了获取资料，了解真相，得到回应，然后有针对地给予回应。 有一位章小姐，特别不喜欢同一个办公室的某个先生，平时总是避免跟他合作，甚至，一接到找他的电话就说他人不在，弄到后来该办公室人际一点不和谐，严重影响了工作绩效。 章小姐的上级吴总是一位教练。当吴总得知章小姐的情况，便和章小姐有了这样一次对话。 吴总：“小章，你喜欢吃榴莲吗” 章小姐：“不喜欢。” 吴总：“那如果我喜欢吃榴莲，你会不会觉得我错了呢” 章小姐：“当然不是啊。” 吴总：“那你会不会觉得喜欢吃榴莲的人很讨厌就不和我一起工作呢” 章小姐：“哦，当然不会。” 吴总：“你有没有发现，你不喜欢某样东西，不等于那样东西就不对你可以不喜欢榴莲，你也可以甚至可以不喜欢那个爱吃榴莲的人，但并不妨碍你和他一起工作呀。” “哦！”章小姐一下领悟了很多事情。 吴总说：“假如你和你家里的人，和你身边的人有了不同的喜好，你会怎样和他沟通呢你会试着去了解对方的独特之处吗” 这里还有一个故事： 朗州刺史李翱，原本是学儒家的学者，素来听闻药山禅师悟道高深，便亲自去到禅师所在的深山求法。 当侍者将李翱引进药山禅师的丈室，药山正全神贯注地读经，对李翱丝毫不加理睬。 李翱个性急躁，便喃喃抱怨说：“亲自见到本人，才发现他并没有像传说中和我想像中那么有道行。”说完便起身要离开。 药山立刻说：“你为什么宁愿相信自己的耳朵，却轻蔑了自己的眼睛呢” 李翱于是拱手向药山致谢。
归纳法基本步骤
归纳法基本步骤 （一）第一数学归纳法： 一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。 （二）第二数学归纳法： 对于某个与自然数有关的命题P(n)， （1）验证n=n0时P(n)成立； （2）假设n0≤n
五、教练的基本技巧和步骤
第五课：教练的基本技巧和步骤 教练四大技巧：聆听、发问、区分、回应 教练技术四大环节：体验、分享、整合、应用 教练技巧分四大步骤：理清目标、反映真相、心态迁善、计划行动教练训练手法：承诺、同情、沟通 教练基本技巧： 5R教练醒觉系统 5个宏观教练技巧 A→B教练模式 从属等级教练模式 W-W-H-W教练模式 成果导向教练模式 关键价值链教练技术 十个强有力的教练问题 解决问题教练技巧 提升业绩教练技巧 改善效益教练技巧 ●设立目标的教练技术 ●执行目标的教练技术 ●关键价值链教练技术 ●提升业绩的教练技术 ●增加效益的教练技术 ●解决问题的教练技术 ●互动练习和案例研习 ●逻辑层次教练法 ●招聘面试教练技巧 ●引发式行为管理分拆 ● A.I.D教练策略 ●价值取向教练技术
●九种性格与员工内在推动力 ●时间线教练技术 教练的工具： 九型性格教练工具 身心语言教练工具 因果分析教练工具 头脑风暴教练工具 行为精进教练工具 事业取向价值分析工具 T.O.T.E教练工具 采用NLP提升业绩教练技巧 教练的最大价值是能够协助被教练者提升业绩。“提升业绩教练技巧”为企业教练（或企业领导）提供了一个有效的教练技巧，运用这个技巧，能轻松地令被教练者发现业绩提升的关键及如何令业绩提升。这个部分的主要内容：√“业绩提升教练技巧”及架构说明 √如何协助被教练者发现业绩提升50%的可能? √如何协助被教练者发现业绩提升100%的可能? √如何令被教练者发现提升业绩的关键？ √结合学员自身案例，寻找业绩提升50%的现场教练实践 提升效益教练技巧 教练介入的更大价值是协助被教练者提升效益。“提升效益教练技巧”为企业教练（或企业领导）提供了一个非常实用而有效的教练技巧，运用这个技巧，能比较容易地令被教练者发现提升效益的最佳杠杆点。这个部分的主要内容：√“提升效益的教练技巧”及架构说明 √如何寻找在不增加人员的情况下，令销售业绩提升1倍的方法? √如何寻找降低退货，大幅度增加效益的杠杆点? √如何寻找降低客户抱怨，提升服务效果的方法? √提升效益的有效教练问题 √结合学员自身案例，提升效益的教练对话练习 迪士尼创新策略 “迪士尼创新策略”是用于开发梦想并将梦想变为现实可能的一种策略。这
最新数学归纳法证明例题
例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k
()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…
高中数学归纳法大全数列不等式精华版
§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．
5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n
私教系列--私人教练的教学技巧
私人教练的教学 本文刊登在2010年1月号（上）的科学健身“健美先生”杂志上 行业内茶余饭后常常会涉及到一个共同关心话题，私人教练的教学有何技巧。以下是笔者多年从事私人教练的教学和培训工作的心得，这是同行交流和分享，私人教练的教学技巧有以下几个方面。 1、测量与评估 在测量与评估中，私教寻求客人的所需，了解客人现在的生活方式并建议客人作出调节。对客人的测量与评估是私教课的第一个流程，也是最基本步骤，并能为私教和客人提供有价值的信息。也是体能的测量与评估提供了收集客人现况的健康状况和体能水平资料最好方式（途径）。 所谓测量是给客人身体状况、生理指标的测试；评估则是根据测量的数据、指标给客人进行综合评估。其实做测量相对不难，只要掌握测试的基本要求、步骤和注意事项，就能测出准确的数据和生理指标。难的是如何根据测量得出的数据、指标给客人更全面、综合、准确的评估，并提出科学与建设性的建议。这要求私教要具备较强的专业技能和综合水平。如制定运动处方，合理饮食建议等等。又如，当你测量出客人患有高血压，那就告诉客人高血压是什么原因导致，可通过什么的健身方式和饮食结构使之得到改善和获得康复。综上所述，测量是发现问题；评估是分析问题；教学则是解决问题。可见，具备发现问题、分析问题和解决问题的能力是成为一名出色的私人教练的重要条件。 2、安全性 在教学过程中必须坚持安全有效的原则，预防运动隐患，做到安全性，应做到以下几个方面： 1）、授课前首先给客人提示健身锻炼安全的相关事项，如着运动装，健身安全护具（如护膝、护腕、手套等），以预防健身锻炼中的隐患。 2）、为何健身前要做热身？健身结束后要做伸拉，为什么？都要与客人交待和讲明清楚。也就是说：让客人吃其味，知其物为何物。
数学归纳法经典练习及解答过程
数学归纳法经典练习及 解答过程 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
第七节数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．易误提醒运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． [自测练习] 1．已知f(n)＝1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n2 ，则( ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ，故选D. 答案：D
2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1 n ＋1 ＝ 2? ???? 1n ＋2＋1n ＋4 ＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( ) A ．k ＋1 B ．k ＋2 C ．2k ＋2 D ．2(k ＋2) 解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B 考点一 用数学归纳法证明等式| 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立． 1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1? 2 . 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0 ·1×?1＋1? 2 ＝1， ∴原等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，
(完整版)数学归纳法知识点大全(综合)
数学归纳法 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． （1）第一数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ① 0n n =（N n ∈01．数学归纳法的基本形式）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． （2）第二数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 ①当l n ,,3,2,1Λ=时，)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立， ②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． （2）反向数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果
① )(n P 对无限多个正整数n 成立； ②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． 例如，用数学归纳法证明： 为非负实数，有 在证明中，由 真，不易证出 真；然而却很容易证出 真，又容易证明不等式对无穷多个 （只要 型的自然数）为真；从而证明 ，不等式成立． （3）螺旋式归纳法 P （n ），Q （n ）为两个与自然数 有关的命题，假如 ①P(n0)成立； ②假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2）,对于一切自然数n （>n0），P(n),Q(n)都成立； （4）双重归纳法 设 是一个含有两上独立自然数 的命题． ① 与 对任意自然数 成立； ②若由 和 成立，能推出 成立； 根据（1）、（2）可断定， 对一切自然数 均成立． 3．应用数学归纳法的技巧 （1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n 都成立，但命题本身对0=n 也成立，而且验证起来比验证1=n 时容易，
数学归纳法证明及其使用技巧
步骤 第一数学归纳法 一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤: (1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1,但 也有特殊情况; (2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。 第二数学归纳法 对于某个与自然数有关的命题P(n), (1)验证n=n0,n=n1时P(n)成立; (2)假设n≤k时命题成立,并在此基础上,推出n=k+1命题也成立。 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。 倒推归纳法 又名反向归纳法 (1)验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立(无穷多个自然数可以就是一 个无穷数列中的数,如对于算术几何不等式的证明,可以就是2^k,k≥1); (2)假设P(k+1)(k≥n0)成立,并在此基础上,推出P(k)成立, 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立; 螺旋式归纳法 对两个与自然数有关的命题P(n),Q(n), (1)验证n=n0时P(n)成立; (2)假设P(k)(k>n0)成立,能推出Q(k)成立,假设 Q(k)成立,能推出 P(k+1) 成立; 综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),P(n),Q(n)都成立。 应用 1确定一个表达式在所有自然数范围内就是成立的或者用于确定一个其她的形式在一个无穷序列就是成立的。 2数理逻辑与计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式就是等价表达式。
3证明数列前n项与与通项公式的成立。 4证明与自然数有关的不等式。 变体 在应用,数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。 从0以外的数字开始 如果我们想证明的命题并不就是针对全部自然数,而只就是针对所有大于等于某个数字b的自然数,那么证明的步骤需要做如下修改: 第一步,证明当n=b时命题成立。第二步,证明如果n=m(m≥b)成立,那么可以推导出n=m+1也成立。 用这个方法可以证明诸如“当n≥3时,n^2>2n”这一类命题。 针对偶数或奇数 如果我们想证明的命题并不就是针对全部自然数,而只就是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要做如下修改: 奇数方面: 第一步,证明当n=1时命题成立。第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。 偶数方面: 第一步,证明当n=0或2时命题成立。第二步,证明如果n=m成立,那么可以推导出n=m+2也成立。 递降归纳法 数学归纳法并不就是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,、、、,m”这样的命题,如果对一般的n比较复杂,而n=m 比较容易验证,并且我们可以实现从k到k-1的递推,k=1,、、、,m的话,我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,、、、,m,原命题均成立。如果命题P(n)在n=1,2,3,、、、、、、,t时成立,并且对于任意自然数k,由 P(k),P(k+1),P(k+2),、、、、、、,P(k+t-1)成立,其中t就是一个常量,那么P(n)对于一切自然数都成立、 跳跃归纳法
教练辅导方法
什么是教练式辅导？ 当员工工作陷入误区时，教练式辅导可以帮助他们修正错误，走出误区。 想必您和大多数管理者一样，对培养自己员工的能力颇有兴趣。多数情况下，我们能通过教练式辅导实现这一目标。教练式辅导是一个持续、双向的过程，即管理者通过与其下属共享知识与经验，从而最大限度地发掘下属的潜力并帮助他们实现约定的目标。辅导依赖于相互协作，并要求辅导教练与被辅导者之间建立一种积极互助的情感纽带。 许多人将教练式辅导(Coaching)和导师指导(Mentoring)二词混用，但二者却不尽相同。教练式辅导(Coaching) 侧重于当前绩效问题和学习机会，而导师指导(Mentoring) 更注重个人的长期职业发展。此外，辅导教练通常是被辅导者的主管上司，而导师则绝少有这种情况。最后一点，辅导教练要在辅导过程中对学习进行引导和指导，而在导师指导过程中，则由被指导者自己来掌控学习 安排辅导时间的技巧 ?当员工意识到自己存在绩效问题或能力短板并愿意解决这些问题时，再对他们进行教练式辅导。 ?不要期望通过一次辅导会谈就能解决问题。教练式辅导是一个持续的过程。 ?当您在无意中听到一段对话或观察到某一特定行为，表明该员工存在潜在绩效问题或能力短板时，可“当场”进行非正式辅导。 ?在有需求时提供辅导，但首先应解释您观察到的情况以及您认为需要辅导的原因。 ?不要试图对不希望改进或没有意识到存在绩效问题的员工进行强制辅导。 ?如果该员工在很多方面都表现出工作效率低下的行为，且根深蒂固，则不应采用教练式辅导。因为教练式辅导通常无法解决此类问题。 ?寻求机会强化您的辅导技能。定期练习可以提高辅导教练的辅导能力。 有效辅导的技巧 ?营造信任的氛围。信任使辅导得以开展，而辅导过程又可以促进信任。 ?将辅导重点集中于一、两个目标，而不是多个目标，帮助员工提高绩效或弥补能力短板。 ?在辅导会谈上营造出轻松的氛围。确保不会有人打断您。 采用积极肯定的语气，并表达对员工发展的真诚支持。 ?预先确立基本规则。例如，辅导会谈中的发言应保密，并且双方均同意履行对辅导过程的承诺。 ?预先确立工作方法和反馈方式。例如，有些人倾向于收到书面反馈，这样他们可以按自己的步调处理并在辅导过程 中作为参考。有些人则倾向于收到口头反馈。 ?设定小的阶段性目标帮助被辅导者建立信心和保持动力。 ?清楚谁在辅导过程中做出过什么承诺。要始终负责，需要电子邮件打印
高中数学归纳法证明题
高中数学归纳法证明题 高中数学归纳法证明题 1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^n. 1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n. 1、当n=1时候， 左边=1/2; 右边=2-3/2=1/2 左边=右边，成立。 2、设n=k时候，有： 1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立， 则当n=k+1时候：有： 1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1) =2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1) =2-[2(k+2)-(k+1)]/2^(k+1) =2-(k+3)/2^(k+1) =2-[(k+1)+2]/2^(k+1) 我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法. 比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列 如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.
结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立. 用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量 进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的. 这说明你一眼能看出答案，是个本领。 然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。 比如你的问题，你猜想之后，代入检验，验证成功说明假设正确，这是个极端错误的数学问题，请记住：不是验证了一组答案通过， 就说明答案是唯一的!比如x+y=2.我们都知道这是由无数组解的方程。但是我猜想x=y=1,验证成功，于是得到答案，你觉得对吗?所 以你的证明方法是严格错误的! 说说你的这道题，最简单的一道数列题，当然可以一下看出答案，而且你的答案是正确的。但是证明起来就不是那么容易了，答案不 是看出来的，是算出来的。你的解法就是告诉大家，所有的答案都 是看出来，然后代入证明的。假设看不出来怎么办?那就无所适从， 永远也解不出来了!这就是你的做法带来的.答案，你想想呢?你的这 种做法有什么值得推广的? OK,了解! 数学归纳法使被证明了的，证明数学猜想的严密方法，这是毋庸置疑的。在n=1时成立;假设n=k成立，则n=k+1成立。这两个结论 确保了n属于N时成立，这是严密的。 你的例题太简单，直接用等比数列的定义就可以得到答案(首项 和公比均已知)，不能说明你的证明方法有误。我的本意是：任何一 种证明方法，其本身是需要严格证明的，数学归纳法是经过严格证 明的;而你的证明方法：猜想带入条件，满足条件即得到猜想正确的 结论。未经证明，(即使它很严密，我说即使)它不被别人认可。事 实上，你的证明方法(猜想带入所有条件均成立)只能得到“必要”
数学归纳法
“数学归纳法”教学设计 一、教材与内容解析 （一）内容与内容解析 数学归纳法是人教B版普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第三节的内容。本节课的主要内容是介绍数学归纳法的原理。 由于正整数具有无穷无尽的特点，有些关于正整数n的命题,难以对n进行一一的验证，从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的结论，这是数学归纳法产生的根源。 数学归纳法是一种证明与正整数n有关命题的重要方法。它的独到之处便是运用有限个步骤就能证明无限多个对象，而实现这一目的的工具就是递推思想。 数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推。递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。 数学归纳法是以归纳为基础、以演绎为手段证明结论的一种方法，是归纳法与演绎法的完善结合．这也许是数学归纳法不是归纳法但又叫“数学归纳法”的原因． （二）地位与作用解析 从应用上看，数学归纳法是解决与正整数有关命题的一种推理方法，它将无限多个归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的重要工具。数学归纳法本质是归纳递推，但它与归纳法有着一定程度的关联。在数学结论的发现过程中，不完全归纳法发现结论，最终利用数学归纳法证明解决问题。 从思想方法上看，数学归纳法蕴含了无限转化为有限的思想，体现了奠基、递推、总结一体的整体思想。 从美学上看，数学归纳法展现了无限与有限的统一美；揭示了有限推证无限，把无限“沦为”有限的思维美；数学归纳法的发展历程展现了数学文化美。 二、教学问题诊断 1．学生已有的经验和基础：(1)学生已有数学归纳法的萌芽和相关经验．虽然学生没有正式学过数学归纳法，但小学的数数、找一列数的规律、高中等差数列和等比数列通项公式的推导过程等等，都蕴含着数学归纳法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．如在线面垂直的定义和证明中，用“平面内
数学归纳法证明整除
数学归纳法证明整除 数学归纳法证明整除数学归纳法 当n=1 的时候 上面的式子 = 3^4-8-9=64 成立 假设当n=k 的时候 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除 当n=k+1 式子= 3^(2k+4)-8k-17 =9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 因为 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除 ∴ 9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 能够被64整除 n=k+1 时，成立 根据上面的由数学归纳法 3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整除。 2 当n=1时 3^4-8-9=81-17=64 能被4整除·····(特殊性) 设当n=k时，仍然成立。 当n=k+1时，·····················(一般性) 3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2K+2+2)-8K-17
=9*3^(2K+2)-72K+64K-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64 因为3^(2k+2)-8k-9能被64整除 不用写了吧·· 正确请采纳 数学归纳法 当n=1 的时候 上面的式子 = 3^4-8-9=64 成立 假设当n=k (k>=1) 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除 当n=k+1(k>=1) 式子= 3^(2k+4)-8k-17 =9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 由9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64-(3^(2k+2)-8k-9)可以被64整出n=k+1 时，成立 根据上面的由数学归纳法 3的2n+2次方-8n-9(n属于N*)能被64整 3.证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除 数学归纳法 (1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除 (2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除 则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1
利用数学归纳法解题举例
利用数学归纳法解题举例 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立， 再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳0 的，属于完全归纳。 运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 一、运用数学归纳法证明整除性问题 例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。 证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。命题成立。 (2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，
数学归纳法+直接证明与间接证明
数学归纳法+直接证明与间接证明 题型一：数学归纳法基础 1、已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112( ) 2 3 4 1 2 4 2n n n n -+-++ =+ ++ -++ 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数） 时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （） A ．1+=k n 时等式成立 B ．2+= k n 时等式成立 C ．2 2+=k n 时等式成立 D ．)2(2+=k n 时等式成立 2、已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数） 时命题为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 3、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+= k n 时命题也成立. 现已知当7 =n 时该命题不成立，那么可推得（） A ．当n=6时该命题不成立 B ．当n=6时该命题成立 C ．当n=8时该命题不成立 D ．当n=8时该命题成立 4、利用数学归纳法证明 “*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-???????=+???++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B 1 12++k k C 1 ) 22)(12(+++k k k D 1 32++k k 5、用数学归纳法证明),1(1112 2 * +∈≠--= ++++N n a a a a a a n n ，在验证 n=1时， 左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B.a +1 C.21a a ++ D. 421a a a +++ 典例分析
数学归纳法典型例题
实用文档 文案大全数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 数学归纳法的原理及应用 四. 知识分析 【知识梳理】 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n= k（）时命题成立，
证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n 都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步 实用文档 文案大全各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n ＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 2、运用数学归纳法时易犯的错误 （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。
数学归纳法证明例题
例1.用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n ． 请读者分析下面的证法: 证明：①n ＝1时,左边31311=?=，右边3 1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =ｋ时，等式成立,即: ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k . 那么当n =ｋ+1时,有: ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说,当n ＝k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设ｎ=k 这一步,当ｎ=k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n ＝ｋ+1时. ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k ()() 3212112++++=k k k k
()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就说明,当n ＝k +１时,等式亦成立, 例２.是否存在一个等差数列｛a ｎ},使得对任何自然数n ，等式: a 1+2a ２＋3a ３+…+n ａn =ｎ（n ＋１）(n +2) 都成立，并证明你的结论. 分析：采用由特殊到一般的思维方法,先令ｎ=1,２，3时找出来｛a n },然后再证明一般性. 解：将ｎ=1,２，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a , 解得a 1=6，a 2=9，a ３=1２，则d ＝３． 故存在一个等差数列a n =3n +３，当n ＝1，２,３时,已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数，等式 ａ１+２a 2+3ａ3+…＋ｎa n =n (n +１）(n +２)都成立. 因为起始值已证，可证第二步骤. 假设n =ｋ时,等式成立，即 a 1+2a ２＋３a 3+…+ka k =k （ｋ+1）(k ＋2) 那么当ｎ=k +１时， ａ1+2a 2＋3a 3+…＋ka k ＋(ｋ+１)ａk +1 = ｋ(k +1)（k +２)+ (k +1)[３(ｋ+1)+3] =(k ＋1)(k ２+2k +3k +6) =(k +１）(k +２）(k +3） =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当ｎ=k +1时,也存在一个等差数列ａn =３n +3使a 1+２a 2+３a 3+…+n ａｎ=n （n +１)(ｎ+2)成立. 综合上述,可知存在一个等差数列ａn =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1＋2a 2+3a 3+…+na ｎ=ｎ（ｎ+1)(n +2)都成立.