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数列,通项定律方法,求前n项和例题讲解和方法归纳

数列的通项公式

1.通项公式

如果数列{}a n 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式来表达，叫做数列的通项公式。

2.数列的递推公式

（1）如果已知数列{}a n 的第一项，且任一项n a 与它的前一项-1n a 之间的关系可以用一个公式来表示。（2）递推公式是数列所特有的表示方法，它包含两部分，一是递推关系，二是初始条件，二者缺一不可

3.数列的前n 项和与数列通项公式的关系

数列{}a n 的前n 项之和，叫做数列的前n 项和，用n S 表示，即123=n n S a a a a ++++

n S 与通项n a 的关系是1

(1)(2)

n n S n n S S

n a -=-≥

4.求数列通项公式的常用方法有：(前6种常用，特别是2,5,6)

1）、公式法，用等差数列或等比数列的定义求通项

2）前n 项和n S 与n a 的关系法，

?≥???????-=????????????????=-21

11n S S n S a n n

n 求解. (注意：求完后一定要考虑合并通项)

3）、累（叠）加法：形如)(1n f a a n n +=+∴112211=()()()n n n n n a a a a a a a a ----+-+

+-+

4）. 累（叠）乘法：形如n

n a n f a )(1=+

∴13211221

n n n n n a a a a

a a a a a a ---???????? 5）.待定系数法：形如a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0），（设a 1+n +k=p （a n +k ）构造新的等比数列） 6) 倒数法：形如1

1n n n a a ka b

--=

+（两边取倒，构造新数列，然后用待定系数法或是等差数列）

7). 对数变换法：形如，1

1()lg lg lg p n n n n a c a a p a c ++=??=+（然后用待定系数法或是等差数列）

8).除幂构造法: 形如111

n n n n n n n

a q a a qa d d d d d

++++=+?

=+ (然后用待定系数法或是等差数列) 9). 归纳—猜想—证明”法

直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．

递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.

通项公式方法及典型例题

1.前n 项和n S 与n a 的关系法

例1、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。

（1）(1)S n ＝2n 2－3n ；（2）12

-=n s n

解： (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.

（1）11111-+==S a ，当2≥n 时n a =1--n n S S =[]

1)1()1()1(3

--+---+n n n n =3232

+-n n

经验证12a =也满足上式 ∴n a =3232

+-n n

（2）011==s a ，当2≥n 时， 12]1)1[()1(2

21-=----=-=-n n n s s a n n n

由于1a 不适合于此等式。 ∴??

?≥-==)

2(12)1(0

n n n a n

(点评：要先分n=1和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。)

2.累加法:

)

(1n f a a n n +=+型

112211

=()()()n n n n n a a a a a a a a ----+-++-+

2.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ；

解:由a n ＋1－a n ＝2n ，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子，

累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以

a n －a 1＝21－2n －1

1－2

，

即a n －a 1＝2n －2，所以a n ＝2n －2＋a 1＝2n －1.当n ＝1时，a 1＝1也符合，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．

3.累乘法

1()

n n a a f n +=?型，

13211221

n n n n n a a a a

a a a a a a ---????????

3. 已知数列{}a n 中满足a 1=1，n n

n a a ?=+21，求n a 的通项公式. 解：∵n n

n a a ?=+21 ∴

n n

n a a 21

=+. ∴=n a 1

2232332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n ???????------- a 1=222222321??????---n n n *1=2

)1(2-n n ∴=n a 2)

1(2-n n 4.待定系数法: a 1+n =p a n +q （p ≠1，pq ≠0）型，

通过分解常数，可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。解法：设a 1+n +k=p （a n +k ）与原式比较系数可得 pk －k=q ，即k=

-p q

，从而得等比数列{a n +k}。 4.在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1.

由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，

令b n ＝a n ＋1，所以{b n }是以2为公比的等比数列．

所以b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N *)．

5.倒数变换法、形如

1n n n a a ka b --=

+的分式关系的递推公式，分子只有一项

（两边取倒，再分离常数化成q pa a n n +=+1求解）然后用待定系数法或是等差数列

例5. 已知数列{}n a 满足112,12

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。解：由112,12n n n a a a a +=

=+ 得11111111

,,22

n n n n a a a a ++=+∴-=

111n n a a +??∴-????

是以首项为111a =，公差为1

2的等差数列 112(1),21n n n a a n ∴=+∴=

+ 考点六、构造法 .形如1111

n n n n n n n

a q a a qa d d d d d

+++=+?

=+ 然后用待定系数法或是等差数列 6、已知数列{}n a 满足111,32(2).n

n n a a a n -==+≥求a n

．解：将132n

n n a a -=+两边同除3n ，得1213

3n n n

n a a -=+，变形为1

121333n n n n a a --=+．设3n n n

a b =

，则1213n n b b -=+．所以12

3(3)3n n b b --=-，

数列18

{3}3333n a b --=-=-

1是以b 为首项，23为公差的等比数列． 1823()33n n b --=-?．因3n n n a b =，所以3n n n a b ==1823(()3)33n n --?+ 得n a =12

32n n ++-．

求数列的通项公式

一、数列通项公式的求法 1、观察法

观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部分与不变部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律写出通项公式例、由数列的前几项写通项公式

（1）1，3，5，7，9… （2）9，99，999，9999，（3） ,5

,43,32

,21--

2、定义法：

当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差或公比。

这种方法适应于已知数列类型的题目．

例（1）已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a 。求{}n a 的通项n a .；

（2）已知数列{n a }为等比数列，.162,652==a a 求数列{n a }的通项公式；

（3）已知等比数列{}n a ，若27,13321321==++a a a a a a ，求数列{}n a 的通项公式。

（4）数列{}n a 中，111,2n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式

（5）已知数列{}n a 满足11=a ，11

n a a ，求{}n a 的通项公式

（6）已知数列{}n a 中, 11a =,且当2n ≥时112n n n n S S S S ---=?,则n S = ;

n a = .

3、公式法：

已知数列的前n 项和公式，求通项公式的基本方法是：

注意：要先分n=1和n ≥2 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。例（1）已知数列}{n a 的前n 项和13-+=n n S n ，求}{n a 的通项公式。

（2）已知数列{}n a 中, 2

32n S n n =-+,则n a = .

（3）已知数列{}n a 前n 项和2

3n s n n =-，求}{n a 的通项公式

???≥-==-)

2()1(11

n s s n s a n n n

4 累加法：

利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a a f n +=+.

例.（1）数列{}n a 中，1

111,3n n n a a a -+==+，求{}n a 的通项公式

（2）在数列{}n a 中，112a = ，12141

n n a a n +-=- 求数列{}n a 的通项公式？

5、累乘法: 利用恒等式3

121

(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).

例（1）已知数列{}n a 的首项11a =，且11

(2)n n n a a n n

--=≥，求数列{}n a 的通项公式

（2）已知数列{}n a 的首项()()

22111,21n n a n n a n n a +=+=++，求数列{}n a 的通项

6、凑配法（也叫构造新数列）: 将递推公式n+1n a qa d =+（,q d 为常数，0q ≠，0d ≠）通过

1()()n n a x q a x ++=+与原递推公式恒等变成1()11

n n d d a q a q q ++

=+--的方法叫凑配法（构造新数列.）例（1）数列{}n a 中，112,32n n a a a +==+，求{}n a 的通项公式（2）已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式

7、倒数变换：将递推数列1n n n ca a a d +=+(0,0)c d ≠≠,取倒数变成

1111

n n d a c a c

+=+ 的形式的方法叫倒数变换.

例（1）在数列{}n a 中, 11

2a = ,1321n n n

a a a +=+, 求数列{}n a 的通项公式？

求前n 项和的方法

(1)公式法

①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________；

②等比数列前n 项和S n ＝?????

，q ＝1，

＝，q ≠1.

推导方法：乘公比，错位相减法．

③常见数列的前n 项和：

a ．1＋2＋3＋…＋n ＝________________；

b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝_________________；

c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝_____________；

d ．2

2112(1)(21)6

n n n n ++

+=++

e ．

333

(1)123[

n n n +++++= (2)分组求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可以分为几个等差或者等比数列或者常见的数列，即可以分别求和，然后再合并；

(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再

求和．

常见的裂项公式有： ①_x0001_

n (n ＋1)＝1

n －1

n ＋1； ②1

(2n －1)(2n ＋1)＝12?

????1

2n －1－12n ＋1； ③

n ＋

n ＋1

＝n ＋1－n

(4)错位相减：

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．这种方法主要用于求数列{}n n a b 的前n 项和，其中{}n a 和{}n b 分别是和；

(5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．

考点二、分组求和法：

2.求数列???+???),21(,,813,412,211n

n 的前n 项和。 n

n n n n n n n S 211)1(21)

212121()321()2

1(813412211

32-++=+???+++++???+++=++???+++= 考点三、.裂项相消法：

3. 求数列

???++???++,1

,321,

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111

（裂项）

则 1

212

+++

???+++

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+-＝11-+n

考点四、错位相减法：

4. 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

}的通项之积

设2324622222n n n

S =+++???+…………………………………①

234112462-12+2

22222

n n n n n S +=+++???+（）…………………………② （设制错位,乘以公比） ①_x0001_ - ②得1432222222222222)2

1(+-+???++++=

-n n n n

S （错位相减） 1122212+---=n n n ∴ 12

4-+-=n n n S

考点五、倒序相加法：

5. 求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2++???+++的值

解：设

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

=+-=x x x x

①+②得（反序相加）

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

数列求和练习

1、已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；

(2)设{b n －a n }是首项为1，公差为3的等差数列，求{b n }的通项公式及前n 项和T n .

3、已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为( ) A. 130 B. 260 C. 156 D. 168

4. 在数列{a n }中，a n ＝4n －5

，a 1＋a 2＋…＋a n ＝an 2＋bn ，n ∈N+，其中a ，b 为常数，则ab ＝________.

二、错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

2．设数列}{n a 的前n 项和为2

2n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=

（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n

n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T .

例2．已知数列{}n a 的首项12

a =

，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．

（Ⅰ）证明：数列1{1}n a -是等比数列；（Ⅱ）数列{}n

a 的前n 项和n S ．

2．设数列}{n a 的前n 项和为2

2n S n =，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=

（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设n

n b a c =

，求数列}{n c 的前n 项和n T . 三、分组法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

2、已知数列}{n a 的通项公式为n

n n a 3+=，则它的前n 项的和=n S

3：求数列???+???),21(,,813,412,211n

n 的前n 项和。

四、裂项相消法求和

[例1] 在数列{a n }中，11211++

???++++=n n

n n a n ，又1

2+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

练习1、设数列}{n a 的前n 项的和为n S ，点*))(,

(N n n

S n n

∈均在函数23-=x y 的图像上（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n n T a a b ,3

+=是数列}{n b 的前n 项的和，求T n

3、数列}{n a 的通项公式为*)(1

1N n n n a n ∈++=，则它的前10项的和10S =

4、

)

12)(12(1531311+-++?+?n n

5．已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为.62

,33=?=

S a S n （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求和：n

S S S 11121+++ .

等差等比应用

例1.在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++= .

练习1.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（） A.18 B.20 C.22 D.24

2.已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（）

(A) (B) 7 (C) 6

(D) 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d ＝________ 4. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝_______

5. 数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.

6.正项等比数列2244635

412111{},

81,n a a a a a a a a ++=+中则= 。 7.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a

(A)

31 (B)31- (C)9

(D)9

8.已知等差数列{}n a 的公差为3，若431,,a a a 成等比数列，则2a 等于（）

A ．9

B ．3

C ． -3

D ．-9

9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m = ( ) A.3

B.4

C.5

D.6

10.已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（）

（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45

11.知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S ( ) A ．10 B ．16 C ．20 D ．24 12.在等比数列{}n a 中，首项=

1a 3

2，()441

12a x dx =+?

，则公比q 为

13. 若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n 项和n =S __________.

14 ．等比数列{}n a 中5121=a ,公比2

=q ,记12n n a a a ∏=???

(即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积),n ∏取最大值时n 的值为（）

A ．8

B ．9

C ．9或10

D ．11

数列大题训练

1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =2

n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

2．函数)(x f 对任意R x ∈都有?=-+2

1)1()(x f x f (1)求)21(f 和)1

(

)1(n

n f n f -+的值*);(N n ∈ (2)数列}{n a 满足：),1()1()2

()1

()0(f n

n f n

f n

f f a n +-++++= 数列}{n a 是等差数列吗？请给予证明．

3．已知数列}{n a 满足 ,,,,,123121----n n a a a a a a a 是首项为1、公比为3

的等比数列． (1)求n a 的表达式； (2)如果,)12(n n a n b -= 求数列}{n b 的前n 项和．

4、数列{

}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 各项为正，前n 项和为n T ，315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .

5、已知数列{}n a 是等差数列，且355,9a a ==，n S 是数列{}n a 的前n 项和． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；

(Ⅱ) 若数列{}n b

满足n b =，且n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n b 与n T ．

6．设}{n a 是正数组成的数列，其前n 项和为,n S 并且对于所有的自然数n a n ,与2的等差中项等于n S 与2

的等比中项． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)令*),)((2

111

N n a a a a b n n n n n ∈+=++ 求证：.1321n b b b b n +<++++

7、已知数列{}n a 是等差数列， 256,18a a ==；数列{}n b 的前n 项和是n T ，且1

n n T b +=． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 求证：数列{}n b 是等比数列； (Ⅲ) 记n n n c a b =?，求{}n c 的前n 项和n S

8.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足231n n S a =-，其中*n N ∈．

（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设23n

n n a b n n

=+，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．

9.已知数列{}n a 的首项为11a =，前n 项和n S ，且数列n S n ??

????

是公差为2的等差数列．

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)n

n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

10、已知数列{}n a 满足111

,2 1.2n n a a a +=-=

（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：12...1n a a a n +++<.

11.已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且*1

1()2

n n S a n N +=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设*

31log (1)()n n b S n N +=-∈，求适合方程122311112551

n n b b b b b b +++???+= 的正整数n 的值．

数列大题训练( 答案 )

1、【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有

112721026

a d a d +=??+=?，解得13,2a d ==，所以321)=2n+1n a n =+-（；n

S =n(n-1)

3n+22?=2n +2n 。（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =

211n a -=2

1=2n+1)1-（114n(n+1)?=111

(-)4n n+1

?，所以n T =

111111(1-+++-)4223

n n+1?-=11

(1-)=

4n+1

?n 4(n+1)，即数列{}n b 的前n 项和n T =n 4(n+1) 2．(1)因为=

+=-+)21()21

()2

11()2

(f f f f ,2

故41)21(=f

令,1n x =

得+)1(n f ,21)11(=-n f 即?=-+2

)1()1(n n f n f (2) ：++++= )2()1

()0(n

f n

f f a n ),1()1(f n n f +-而),0()1

()1()1(f n

f n n f f a n +++-+= 两式相加得++=)]1()0([2f f a n )]0()1([)]1(

([f f n n f n

f +++-+ ,2

1+=n 所以*),(4

1N n n a n ∈+= 又,41

1=-+n n a a 故数列}{n a 是等差数列．

3．(1),11=a 当2≥n 时，,)31(1

1--=-n n n a a 故

-++-+-+=n n a a a a a a a ()()(23121 121)3

1()31(311)--++++=n n a ?-=)31

1(23n

即 *).)(3

1(23N n a n n ∈-=

(2)因),3

1(2)12(3)12(n n n n a n b -?-=

-= 故n n b b b S +++= 21--++++=

))12(531[(23n ?-++++])3

2353331(32n n n n n T 31

235333132-++++=

…① 14323

1235333131+-++++=n n n T …② ①一②得

1432312)31313131(23132+--+++++=n n n n T ,3

12)311(31

3111+----+=n n n

故?+-

n n T 311 又,)12(5312

n n =-++++ 故?++-=)311(232n n

n n S 4、解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，

两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1

3n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，

由题意可得2

(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==

∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴

2(1)

3222n n n T n n n -=+

?=+

5、(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意可知：31512549

a a d a a d =+=??

=+=?,解得:11,2a d == …3分 ∴1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=- …………………………………5分 21()(121).22

n n a a n n n

S n ++-=

==111

(1)1

n n b n n n n S =

==-

123111111111()()()()1.122334111

n n

T b b b b n n n n n =+++???+=-+-+-+???+-=-=+++∴ 6．(1)由题意可知：*),(222N n S a n n ∈=+整理得,)2(8

2+=n n a S 所以+=

++11(81n n a S .)22故+-+=-=+++n n n n n a a S S a ()2[(812111).22(8

1])22

1212n n n n a a a a --+=++ 整理得：,0)4)((11=--+++n n n n a a a a 由题意知,01=/++n n a a 而.21=a 故,41=-+n n a a

即数列}{n a 为等差数列，其中.4,21==d a 故.24)1(1-=-+=n d n a a n (2)令,1-=n n b c 则)2(2111-+=

++n n

n n n a a a a c )]11

212()11212[(21-+-+--+=n n n n ?+--=121121n n

故n n c c c n b b b +++=-+++ 2121

)121121()5131()311(+--++-+-=n n .11

1<+-=n

故.1321n b b b b n +<++++

7、解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，则：21a a d =+，514a a d =+，

几种求数列前n项和的方法

几种求数列前n 项和的常用方法 1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式：()()11122 n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=?=-?-=≠?--? 常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n-1)= ，等. 2、倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值. 解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. …. …. …. ① 将①式右边反序得：οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S ……② 又因为sin cos(90)x x =-o ，22sin cos 1x x +=，①+②得： 2222222(sin 1cos 1)(sin 2cos 2)(sin 89cos 89)S =++++???++o o o o o o ＝89 ∴ S ＝小结：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和. 3、错位相减法：类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法. 例、求和：()2112301n n S x x nx x x -=++++≠≠L ，（课本61页习题组4）解：设S n =1+2x+3x 2+…+(n-1)x n-2+nx n -1 ， ① 则：x S n = x +2 x 2+…+(n-1) x n-1 + n x n ②

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ，所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

最全高考复习数列专题及练习答案详解

高考复习数列专题：数列(参考答案附后) 第一节数列的概念与数列的简单表示一、选择题 1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－ 6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 3．若数列{a n }的前n 项积为n 2 ，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝ n ＋12 n 2 D ．a n ＝ n 2n －1 2 4．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 5．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80 (n ∈N *)，则在数列{a n }的前50 项中最小项和最大项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 8 C ．a 8，a 9 D ．a 9， a 50 二、填空题 6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2 －10n (n ＝1,2,3，…)，则此数

列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项． 7．数列35，12，511，37，7 17，…的一个通项公式是 ___________________________． 8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题 9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝3 2a n －3，求这个数列的通项公式． 10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋ )在函数y ＝x 2 ＋1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2 n ＋1.

数列前n项和的求和公式

数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11) 1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：13 2)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

数列求和方法和经典例题

数列求和方法和经典例题求数列的前n 项和，一般有下列几种方法：一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式二、拆项分组求和法某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。三、裂项相消求和法将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。四、重新组合数列求和法将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和五、错位相减求和法适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和典型例题一、拆项分组求和法例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?

例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和二、裂项相消求和法例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和例7、求和：()11113242n S n n =+++??+

例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和三、重新组合数列求和法例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠

数列·例题解析

数列·例题解析【例1】求出下列各数列的一个通项公式 (1)14(2)23，，，，，…，，，，…38516732964418635863 (3)(4)12--13181151242928252 ，，，，…，，，，… 解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n －1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n ，所以，已知数列的通项公式为：．a =2n 12 n n+1- (2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n ，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n 的(2n －1)与2n ＋1的积，也即(2n －1)(2n ＋1)，因此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+22121()() ． (3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n 与n ＋2的积，也即n(n ＋2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+()() 112·． (4)所给数列可改写为，，，，，…分子组成的数列为124292162252 1，4，9，16，25，…是序号n 的平方即n 2，分母均为2．因此所给数列的通项公式为．a =n n 2 2 【例2】求出下列各数列的一个通项公式．

(1)2，0，2，0，2，… (2)10000，，，，，，，， (131517) (3)7，77，777，7777，77777，… (4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，… 解 (1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式a n ＝(－1)n+1＋1．所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的通项公式为奇数为偶数这一题说明了数列的通项公式不唯一．a =2(n )0(n )n ??? (2)100012345所给数列，，，，，，，…可以改写成，，，，，，…分母组成的数列为，，，，，，，…是自然13151711021304150617 67 数列n ，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看作是2， 02020，，，，，…的每一项的构成为，因此所给数列的通项公式为．1211211211()()-+=-+++n n n a n (3)7777777777777779所给数列，，，，，…可以改写成×，79 7979797979 79797979 79 ×，×，×，×…，可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通项公式为－．99999999999999(101)(1001)(10001)(100001)(1000001)a = (101)n n (4)所给数列0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，…可以改写成×，×，×，×，×，…可以看作×－，×－，×－，×－，×－，…因此所给数列的通式公式为．2929292929 2929292929 291110 0.90.990.9990.99990.99999(10.1)(10.01)(10.001)(10.0001)(10.00001)a =n ()-n

高中数列经典习题(含答案)讲解学习

高中数列经典习题(含答案)

1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和3 1=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设 2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根, 当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.

求前n项和公式的常用方法

求数列前N项和的常用方法核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。例题2：求数列的前n项和S n 解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。例题3：求数列(n∈N*)的和

数列综合练习题以及答案解析

数列综合练习题一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．

8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）

数列通项公式、前n项和求法总结全

一.数列通项公式求法总结： 1.定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型（等差或者等比）．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 变式练习： 1.等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==求{}n a 的通项公式 2. 在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和. 2.公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 求解。特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例2.已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。（1）13-+=n n S n 。（2）12 -=n s n

变式练习： 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =2n 2 +n ，n ∈N ﹡，数列{b }n 满足n a =4log 2n b +3，n ∈N ﹡.求n a ，n b 。 2. 已知数列{}n a 的前n 项和2 12 n S n kn =-+（*k N ∈）,且S n 的最大值为8，试确定常数k 并求n a 。 3. 已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n n n S n ，2 2.求数列{}n a 的通项公式。 3.由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为 ) (1n f a a n n +=+ 对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。

数列典型例题(含答案)

《2.3 等差数列的前n项和》测试题一、选择题 1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和等于( ) A.64 B.100 C.110 D.120 考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算. 答案：B 解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，. 2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差，，则( ) A.8 B.7 C.6 D.5 考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念. 答案：D 解析：由得，，即，将，代入，解得. 3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( ) A.若，则数列有最大项 B.若数列有最大项，则 C.若数列是递增数列，则对任意，均有 D.若对任意，均有，则数列是递增数列考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质. 答案：C 解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是递增数列，但．对于选项D的命题，由，得，因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真. 二、填空题

4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则 . 考查目的：考查等差数列的性质及基本运算．答案：81. 解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故. 5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若，则 . 考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力. 答案：. 解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴ ，∴，∴ . 6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则 ____．考查目的：考查等差数列的性质及基本运算. 答案：10. 解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵ ，∴. ∴，故. 三、解答题 7.设等差数列的前项和为，且，求： ⑴的通项公式及前项和； ⑵．考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力. 答案：⑴；.⑵ 解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得. ⑴； ⑵由，得.

求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22 n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解： 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72，有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 三、累加法

数列经典例题(裂项相消法)

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101 100 2．数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6 22 321 9,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1 2,4224 +==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26 ,7753 =+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ；

(完整word版)数列通项公式经典例题解析

求数列通项公式一、公式法类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。练习题： 1.已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 2. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L

求数列前n项和的七种方法

求数列前N 项和的七种方法 1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n 项和： q=1时，1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S n k n 2、)12)(1(61 1 2++==∑=n n n k S n k n 3、21 3)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 11++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64 341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设 n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ① － ② 得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：

数列通项公式和前n项和求解方法

数列通项公式的求法详解关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）K ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） K ,52,21,32 ,1（4）K ,5 4 ,43,32,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;1 22++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+? -=+n n a n n . 公式法1：特殊数列例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

高中数学数列练习题及答案解析

高中数学数列练习题及答案解析第二章数列 1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝005，则序号n等于． A．667B．668C．669D．670 2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝． A．33B．7C．84D．189 3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则． A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＝a4a5 4．已知方程＝0的四个根组成一个首项为｜m－n｜等于． A．1B．313C．D．8421的等差数列，则 5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为. A．81 B．120 C．1D．192 6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a003＋a004＞0，a003·a004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是． A．005B．006C．007D．008

7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝． A．－4B．－6C．－8D．－10 8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 A．1B．－1 C．2D．1 a2?a1的值是． b2a5S5＝，则9＝． a3S599．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则 A．11111B．－C．－或D．2222 210．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－an＋an＋1＝0，若S2n－1＝38，则n＝．第 1 页共页 A．38B．20 C．10D．9 二、填空题 11．设f＝1 2?x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f＋f＋…＋f＋…＋ f＋f的值为12．已知等比数列{an}中，若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝. 82713．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，