湖北省宜昌市夷陵中学2020-2021学年高二上学期周五阶段性检测(1.8)数学试卷含答案

2021年夷陵中学高二年级周五(1.8)阶段性检测 数 学 试 题

一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的． 1．已知集合{}4|log 1,A x x =<{

}2

|e 1x B x -=≤，则A B =（ ）

A ．(,2)-∞

B ．(,2]-∞

C ．(0,2)

D ．(0,2]

2．已知42i

1i

z +=-(i 为虚数单位)的共轭复数为z ，则z z ?=（ ） A ．10

B ．9

C

D ．3

3.设3log 2

1=a ，3)2

1

(=b ，21

3=c ，则( )

A.c b a <<

B.a b c <<

C.b a c <<

D.c a b <<

4．已知命题p ，x ?∈R ，1

2x

x e e

+

≥，则p ?为（ ） A ．x ?∈R ，1

2x x e e +

≥ B ．x ?∈R ，1

2x x e e

+

< C ．x ?∈R ，1

2x x e e

+≤

D ．x ?∈R ，1

2x x

e e

+≤ 5．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ）

A. 4S

B. 5S

C. 6S

D. 7S

6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：()0.23(50)

1e

t K I t --=

+，其中K 为最大

确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（参考数据 ln19≈3） A ．60

B ．62

C ．66

D ．63

7.已知函数()()sin (0)f x x ω?ω=+>的图象的一个对称中心为,02π?? ???，且1

42

f π??= ???，则ω的最小值为（ ）

A ．23

B ．1

C ．43

D ．2

8.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()2

2250x y r r -+=>相切于点M ，且M

为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ）

A. ()13，

B. ()14，

C. ()23，

D. ()24，

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(6)()2(3)f x f x f +-=，且()f x 在(0,3)上单调递减，则下列结论正确的是( ) A ．(3)0f = B ．()f x 在(6,3)--上单调递增 C ．(2020)(2021)f f < D ．()f x 可以是sin 3

x π??-

???

10．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前4项的和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则q 的值可能为（ ）

A.

12

B. 1

C. 2

D. 3

11.已知抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q

两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则（ ） A ．C 的准线方程为y ＝1 B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．M 的坐标可能为(3，2)

D ．OP →·OQ →

＝－3

12.已知椭圆22

:163

x y C +=的左、

右两个焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )

A ．四边形12AF BF 为平行四边形

B ．1290F PF ?∠<

C ．直线BE 的斜率为1

2k

D ．90PAB ?∠>

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()2ln 1x f x a x ??

=+

?+??

为奇函数，则实数___________a =。 14. 已知x ∈R ，条件p ：x x <2，条件q ：x

1

≥a （a ＞0），若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．

15．有一个底面半径为R ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a 的最大值为______．

16.已知等差数列

的公差d 不为0，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若a 1＝b 1

＝d ，且124

123

a a a

b b b ++++是正整数，则q =______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知命题p ：x R ?∈，20tx x t ++≤. （1）若p 为真命题，求实数t 的取值范围；

（2）命题q ：[2,16]x ?∈，2log 10t x +≥，当命题p 与命题q 一真一假时，求实数t 的取值范围.

18.设数列{}n a 的前n 项和为2

2n S n ＝，{}n b 为等比数列，且11a b ＝，2211()b a a b －＝．

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n

n n

a c

b =，求数列{}n

c 的前n 项和n T ．

19. 如图，在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC ?和VAC ?均是等腰直角三角形，AB BC =，2AC CV ==，M ，N 分别为VA ，VB 的中点. （Ⅰ）求证：AB VC ⊥；

（Ⅱ）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值.

20.去年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现、早隔离，现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域ABCD 沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区，经测量，边界AB 与AD 的长都是200米，60BAD ∠=?，120BCD ∠=?. （1）若105ADC ∠=?，求BC 的长；（结果精确到米）

（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？（不计损耗，结果精确到米）

21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*

11288n n S a n n N a +=+-∈=，，，设2n n b a =-.

（1）证明：{}n b 是等比数列； （2）设()

()()

1

12121n

n

n n n a c +=-++，求{}n c 的前n 项和n T ，若对于任意*

n n N T λ∈，≥恒成立，求λ的取值范围. 22.如图,

已知椭圆O ：

x 24

＋y 2＝1的右焦点为F,点B,C 分别是椭圆O 的上、下顶点,点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴交点除外),直线PC 交椭圆于另一点M.

(1)当直线PM 过椭圆的右焦点F 时,求△FBM 的面积； (2)①记直线BM,BP 的斜率分别为k 1,k 1,求证：k 1·k 2为定值； ②求PB →·PM

→的取值范围．

2020年夷陵中学高二年级周五阶段性检测

数学参考答案

一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

答案

D

A

A

A

C

D

A

D

AC

AC

BCD ABC

二、填空题： 13. 1- 14. (]1,0 15.

223R 16.

2

1

三、解答题：

17.解:（1）

x R ?∈，20tx x t ++≤ 0t ∴<且2140t ?=-≤，解得：1

2

t ≤-

p ∴为真命题时，12

t ≤-

（2）[]2,16x ?∈，2log 10t x +≥[]2,16x ??∈，21

log t x

≥-

有解 []2,16x ∈时，2111,log 4x ?

?-

∈--????

∴当1t ≥-时，命题q 为真命题 p q ∨为真命题且p q ∧为假命题 p ∴真q 假或p 假q 真

当p 真q 假时，有112t t <-???≤-??，解得：1t <-；当p 假q 真时，有112t t ≥-???>-??

，解得：1

2t >-；

p q ∴∨为真命题且p q ∧为假命题时，1t <-或12

t >-

18.解：（1）当2n ≥时，22122142()n n n a S S n n n ==-=----，当1n =时，112a S ==满足

上式，故{}n a 的通项式为42n a n =-．设{}n b 的公比为q ， 由已知条件2211()b a a b -=知，12b =，122112b b a a =

=-，所以211

4

a q a ==，

111124n n n b b q --∴==?

，即1

2

4

n n b -=．

（2）

()1

1

4221424n n n n

n a n c n b ---=

==-， 12112134542()]1[4n n n T c c c n ∴????－＝＋＋＋＝＋＋＋＋－ 221[()()41434542]34214n n n T n n ????－＝＋＋＋＋－＋－

两式相减得：

1231()55

3124444214(43

)2)3n n n n T n n ?-?+

－＝－－＋＋＋＋＋－＝(255

)4399

n n T n ∴-?+＝(

19.【解析】（Ⅰ）在等腰直角三角形VAC ?中，AC CV =，所以VC AC ⊥.

因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC

平面ABC AC =，

VC ?平面VAC ，

所以VC ⊥平面ABC . 又因为?AB 平面ABC ，所以AB VC ⊥； （Ⅱ）在平面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ，由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ， 因为CH ?平面ABC ，所以VC CH ⊥. 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.

则()0,0,0C ，()0,0,2V ，()1,1,0B ，()1,0,1M ，11,,122N ??

???

.

()1,1,2VB =-，()1,0,1CM =，11,,122CN ??

= ???

.

设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =，

则00n CM n CN ??=??=?，即011

02

2x z x y z +=??

?++=??.令1x =则1y =，1z =-，所以1,1,1n .

直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22

sin cos ,3

n VB n VB n VB

θ

?==

=

?所以直线VB 与平面CMN . 20【解析】（1）联结BD ，则在BCD △中200,45BD

BDC =∠=?， 由

sin sin BD BC

BCD BDC

=

∠∠，得：200sin 45163sin120BC ?==≈?，∴BC 的长约为163米. （2）方法一：设(0)3CBD πθθ∠=<<

，则3

BDC π

θ∠=

-，

在BCD △中，由sin

sin sin BD BC CD

BCD BDC CBD ==

∠∠∠

，得：sin(),

3BC CD πθθ=-=， ∴)sin ])33BC CD

ππθθθ+=

-++

，∴当6πθ=时，BC CD +

400+千米，约为631米

方法二：设BC x =千米，CD y =千米（,x y +∈R ），

在BCD △中，由222

cos 2BC CD BD BCD BC CD

+-∠=?，得2240000

0x y xy ++-=，

∴2()40000x y xy +-=，又由x y +≥21

()4

xy x y +≤，当且仅当x y =时等号成立，

∴221

()40000()4x y x y

+-+≤， ∴x y +，

400+千米，约为631米.

21.解：

（Ⅰ）当1n =时，214a =， 当*2n n N ≥∈，时，1128210n n n n S a n S a n +-=+-=+-，，所以122n n a a +=-，

即()1222n n a a +-=-，即()1

22n n

b n b +=≥， 又∵

22112

22

b a b a -==-，∴{}n b 是首项16b =，公比为2的等比数列． （2）由（1）知1262n n a --=?，即322n n a =?+，

所以()

()(

)

()

(

)()

()11

13221111121212

12

1

2121n n

n

n n

n n n n

n n n a c +++?+?

?=-=-=-+??++++++??

()22334

11

111111112121212121212121n n n n T +???????

?=-+++-+++-+ ? ? ? ?

++++++++??????

??

∴()1

111321

n

n n T +=-+-+ 当n 为偶数时，∴()1111321

n

n n T +=-+-+是递减的，此时当2n =时，∴n T 取最大值29-，

则2

9

λ≥-．

当n 为奇数时，∴()1111321n

n n T +=-+-+是递增的，此时13

n T <-，则13λ≥-．

综上，λ的取值范围是2

9

λ≥-．

22解析：(1)由题意得B(0，1)，C(0，－1)，焦点F(3，0)，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM 的方程为x

3＋y －1＝1，即y ＝3

3x －1，

联立?????x2

4＋y2＝1，

y ＝33x －1，解得?????x ＝83

7，y ＝17，或?

??x ＝0，y ＝－1，(舍去)，即M ? ????837，17.

连接BF ，则直线BF ：x

3＋y

1＝1，即x ＋3y －3＝0，

而BF ＝a ＝2，点M 到BF 距离d ＝

????

??837＋3×17－312＋（3）2

＝23

72＝37. 故S △MBF ＝12·BF·d＝12×2×3

7

＝37.

(2)①设P(m ，－2)，且m≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m ＝－1

m ，则直线PM 的方程为y ＝－1

m x －1，

联立?????y ＝－1

m x －1，x24＋y2＝1，

化简得? ????1＋4m2x2＋8m x ＝0，解得M ? ?

???－8m m2＋4，4－m2m2＋4，

所以k1＝4－m2

m2＋4－1－8m m2＋4＝－2m2－8m ＝14m ，k2＝1－（－2）0－m ＝－3m ，所以k1·k2＝－3m ·14m ＝－3

4为定值．

②由①知，PB →＝(－m ，3)，PM →＝? ????－8m m2＋4－m ，4－m2m2＋4＋2＝? ????－m3＋12m m2＋4，m2＋12m2＋4，

所以PB →·PM →＝(－m ，3)·? ????－m3＋12m m2＋4，m2＋12m2＋4＝

m4＋15m2＋36m2＋4，令m2＋4＝t(t ＞4)， 故PB →·PM →＝（t －4）2＋15（t －4）＋36t ＝t2＋7t －8t ＝t －8t ＋7，因为函数y ＝t －8

t ＋7在t∈(4， ＋∞)上单调递增，

所以PB →·PM →＝t －8t ＋7＞4－8

4＋7＝9，即PB →·PM →

的取值范围为(9，＋∞)．