第二章 基本初等函数(题型完美版)

高中数学必修（1）资料

第二章 基本初等函数

本章承袭第一章，包含三类基本函数，在学习过程中，会用到第一章所学的函数的性质。

本章所包含的三类函数，定义域又有了新的限制条件，图像也各有不同，在解题过程中，同学们一定要习惯去画图。

第一部分 指数函数

1．根式 (1)根式的概念

如果一个数的n 次方等于a(n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n

a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)根式的性质

①当n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a 的n 次方根用符号n

a 表示．

②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数，这时，正数的正的n 次方根用符号n

a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正负两个n 次方根可以合写为±n

a(a ＞0)． ③????n a n ＝a.

④当n 为奇数时，n

a n ＝a ； 当n 为偶数时，

n

a n

＝ |a|＝?

????

a a≥0

－a a ＜0 .

⑤负数没有偶次方根． 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念

①正整数指数幂：a n ＝a·a·… (n ∈N *)； ②零指数幂：a 0＝1(a≠0)；

③负整数指数幂：a -p ＝1

a p (a≠0，p ∈N *)；

④正分数指数幂：a m n ＝n

a m (a ＞0，m 、n ∈ N *，且n ＞1)； ⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1

n a m

(a ＞0，m 、n ∈N *且n ＞1)．

【注】若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用

3．指数函数的图象与性质

【注1】当底数没有确定又涉及函数的单调性问题时，要对指数函数和对数函数的底10<a 进行讨论。

【注2】第一象限中,指数函数底数与图象的关系

【分析考向】

考向一：指数式与根式运算问题 指数幂的化简与求值的原则及结果要求 1．化简原则

(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；(4)注意运算的先后顺序．

2．结果要求

(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂表示；

(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又有负指数幂.

专题一 指数与指数幂的运算

[例1]（1）2)10(- （2）44

)3(π- （3）2

)(b a -

[例2]已知0a >a a a ________. [例3]化简下列各式：

（1）)3

1

()3(656131

212

1

32b a b a b a ÷-?，其中0>a

，0>b .

（2）)3)(2(3221314

1

y x y

x -

-

（3）53542

15658)(b a b a ÷?-

-

[例4]计算347625223-+-+-.

巩固练习：

1.有下列四个命题：其中正确的个数是（ ）

①正数的偶次方根是一个正数； ②②正数的奇次方根是一个正数； ⑤负数的偶次方根是一个负数； ④④负数的奇次方根是一个负数。 A.0 B.1 C.2 D.3

2.给出下列4个等式：①a a =2；②a a =2)(；③a a =33；④a a =33)(。其中不一定正确的是 （ ）

A. ①

B. ②

C. ③

D. ④ 3.化简)21)(21)(21)(21)(2

1(21

4181161321-

----

+++++，结果是（ ）

A.1

321

)21(21

---2

1

B.1321

)2

1(--

-

C.32

1

2

1-

- D.)21(2

1

321

--

4.（1）35212-的平方根是 .（2526743642+--

5.若x 满足5)31(44=-x ,则x 的值为 .

6.=π-+-π+-334433)2()4()2( .

7.化简下列各式（其中各字母均为正数）．

（1）21

332

121

231

)4()3(65----÷-?b a b a b a （2）34

031

8)5

4

(064.0--+--

（2）3

4

3

858321312

4

43

4181)27()16()3(----

÷?z y x y x

z y x （4）1

120

322564()0.1()(3)927

π-++-

专题二 比较大小

[例1]已知3

1

53-

?

?? ??=a ，2

153-

??? ??=b ，2

134-

??

?

??=c ，则a,b,c 三个数的大小关系是（ ） A.b a c << B.a b c << C.c b a << D.c a b << [例2]比较0.7a

与0.8a

的大小．

[例3]比较221x a +与22

x a

+（0a >，且1a ≠）的大小．

巩固练习：

1.已知a>b,ab 0≠下列不等式（1）a 2

>b 2

,(2)2a

>2b

,(3)b a 11<,(4)a 31>b 31

,(5)(31)a <(3

1

)b 中恒成立的有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 2.若103a a >- ，则a 的取值范围为_________．

3.设5.014=y ，48.028=y ，5.13)21

(-=y ，则（ ）

A. 213y y y >>

B. 312y y y >>

C.321y y y >>

D. 231y y y >>

4.比较1.04.1与3.09.0的大小.

5.12

2、13

3、16

6这三个数的大小关系为（ ） A. 16

6< 13

3< 12

2

B. 166<113223<

C. 122<133<166

D. 133<122<16

6

专题三 指数式的化简求值

[例1]

已知a =-322123

(3)

9a b a b a b

------的值。

[例2]已知12,27x y xy +==，且x y <。 求

1122112

2

x y x y

-+的值。

[例

3]已知32

12

1

=+-

a

a ，求下列各式的值。

（1）1-+a a （2）22-+a a （3）

2

12

12323-

---a

a a a

巩固练习：

1.

已知21x

a =，求33x x

x x

a a a a --++的值。

2.已知32

12

1=+-x x ，求

2

3

222

32

3-+-+--x x x x 的值．

3.已知3

3

3

cz by ax ==，且11

11=++z

y x ，求证：31

313131222)(c b a cz by ax ++=++.

专题四 指数函数

类型一 指数函数的定义

1.下列函数中指数函数的个数是（ ） ①x y 32?=；②13+=x y ；③x y 3=；④3x y = A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

2.2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .

类型二 指数函数过定点问题

1.指数函数x a y =)10(≠>a a 且恒过点______.

2.指数函数()f x 的图象过点)9,2(,则(2)f -=______.

3.函数5

()26x f x -=+恒过定点 .

类型三 指数函数的单调性

[例1]讨论函数x x f 322)(-=的单调性，并求其值域。

[例2]讨论函数x x x f 22

)31()(-=的单调性，并求其值域。

[例3]讨论函数2)2

1()4

1(1

+-=-x x

y 的单调性。

[例4]若函数221(0x x y a a a =+->且1)a ≠在[11]x ∈-,上的最大值为14,求a 的值.

巩固练习：

1.求下列函数的单调性：

（1）1

21

2+-=x x y （2）x

x y 422

--=

（3）1329-?+=x x y （4）x

y -=3)

31

(

2.已知21≤≤-x ，求函数x x x f 9323)(1-?+=+的最大值和最小值。

3.已知]2,3[-∈x ，求12

141)(+-=x x x f 的最小值与最大值。

类型四 利用单调性解不等式 [例1]不等式62

2

-+x x

<1的解集是 .

[例2]设01a <<，解关于x 的不等式22

232

223

x x x

x a a -++->.

巩固练习： 1.已知2)4

1

(22

-+≤x x

x ，求函数x y )21(=的值域．

2.设有两个函数1

3212

+-=x x a y 与5

222

-+=x x

a y ，要使21y y < ，求a 、x 的取值范围．

类型五 利用指数函数解方程 1.解方程012242=-++x x .

2.若4)25.0(5=-x ，则x 的值是_____.

3.满足9

1

31

2

=

-x 的x 的值的集合是__________．

类型六 指数型函数的奇偶性

[例1]已知0>a 且1≠a ，21

11)(--=

x

a

x f ，则)(x f 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．奇偶性与a 有关

[例2]已知函数)(x f y =是奇函数，则当0≥x 时，13)(-=x

x f ，求当0x <时()y f x =的解析式。

巩固练习： 1.若函数a x f x +-=1

21

)(是奇函数，求a 的值．

2.已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数,且0

3.设a 是实数)(1

22

)(R x a x f x

∈+-

=， （1）试证明：对于任意a ，)(x f 在R 上位增函数 （2）试确定a 的值，使)(x f 为奇函数。

类型七 指数函数综合题型 1.设2

44)(+=x x

x f ，

求：（1）)1()(a f a f -+的值；

（2）)10011000

()10013()10012()10011(f 贩?f f f ++++的值．

2.已知函数)1(1

1

)(>+-=a a a x f x

x ， （1）判断)(x f 奇偶性， （2）求函数)(x f 的值域，

（3）证明)(x f 是区间),(+∞-∞上的增函数.

3.已知函数.)2

1121(

)(3

x x f x

+-= （1）求)(x f 的定义域；（2）讨论)(x f 的奇偶性；

4.已知x

x x

x x f --+-=10101010)(，

求：（1）判断函数奇偶性；（2）判断f （x ）的单调性。

5.某合资企业1994年的产值达2万美元，1999年的产值达64万美元，求平均每年增长的百分率是多少?

第二部分 对数函数

一、对数的概念

一般地，如果()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N,就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数

二、对数的运算性质

1.log ()log log a a a MN M N =+；

2.N M N

M

a a a

log log log -=； 3.log log ()n a a M n M n R =∈； 4.换底公式：log log log m a m N

N a

= ( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠).

5.两个常用的推论：

（1）log log 1a b b a ?= ；（2）log log m n

a a n

b b m

=（a 、0b >且均不为1）． 6.常用的结论：

（1）01log =a ，（2）1log =a a .

（3）对数恒等式:如果把N a b = 中的b 写成N a log , 则有 N a N

a =log .

三、常用对数

1.我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对数N 10log 简记作lgN 例如：5log 10简记作

lg5 ; 5.3log 10简记作lg3.5.

2.自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数N e log 简记作lnN

四、对数函数

1.对数函数的定义：函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞．

2.对数函数的图像

通过列表、描点、连线作x y 2log =与x y 2

1log =的图象：

总结：根据图像可知x y 2log =与x y 2

1log =的图象是关于x 轴对称。

3.在同一坐标系中画出下列对数函数的图象。

（1） x y 2log = （2） x y 2

1log =

（3） x y 3log = （4） x y 3

1log =

3.对数函数的性质

专题一 对数与指数的换算 1.对数式与指数式的转化：

（1）62554= （2）38log 2= （3）16)41

(2=-

专题二 对数的运算性质 1.求下列各式的值：

（1）log 26－log 23 （2）lg5＋lg2

（3）log 53＋log 51

3 （4）log 35－log 315

2.（1）求32log 9log 278?的值. （2）求证：z z y x y x log log log =?.

巩固练习：

（1）计算5log 4log 85?.

（2）已知b a ==4log ,3log 55，求：12log 25（用a,b 表示）.

3.计算（1）=8log 22_____；（2）=5log 22_____；（3）=8log 5.02_____. 巩固练习：

（1）0.21log 3

5-； （2）492log 3log 2log ?+

4.化简（1）=25log 4_____；（2）=25log 5

1_____；（3）

9

lg 243

lg =_____；（4）=a a log _____（10≠>a a 且）； （5）=1log a _____.

专题三 对数函数的综合运算 [例1]计算： （1）lg14-2lg 3

7

+lg7-lg18 （2）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+

巩固练习：

（1）lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2； （2）(lg5)2＋lg2·lg50.

[例2]计算：（1）0.21log 3

5-； （2）4492log 3log 2log 32?+

巩固练习：

求值：

（1）1log 864log 325log 21025-+； （2）lg25+lg2·lg50+(lg2)2 .

[例3]已知 a =3log 2，b =7log 3，用 a, b 表示56log 42.

[例4]若8log 3p =，3log 5q =，求lg 5．

[例5]计算：42

1938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++．

[例6]若2log log 8log 4log 4843=??m ，求m ．

[例7]已知lg a 和lg b 是关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0的两个根，而关于x 的方程x 2－(lg a )x －(1＋lg a )＝0有两个相等的实数根，求实数a ，b 和m 的值．

[例8]计算：12lg )2(lg 52lg )2(lg 222+-+?+.

[例9]设1643>===t z y x ，求证：y

x z 2111=-．

巩固练习：

1.已知2x ＝3y ，则x

y ＝（ ）

A.lg2lg3

B.lg3lg2

C.lg 23

D.lg 32 2.若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512=_____.

3.求值：(1))2log 2)(log 3log 3(log 9384++；(2)32log 9log 278?；(3)5

log 21

39-.

4.已知18log 9a =，185b

=，求36log 45（用 a , b 表示）．

5.已知3a ＝5b ＝M ，且1a ＋1

b ＝2，求M 的值.

6.计算：（1）3log 15.222ln 100

1

lg 25.6log ++++e （2）2)2(lg 50lg 2lg 25lg +?+

7.若a lg 、b lg 是方程01422=+-x x 的两个实根，求：2)(lg )lg(b a

ab ?的值.