第4次课-Laplace变换法基本概念

第三章用Laplace变换法求解非稳态导热问题

一、拉普拉斯变换定义及性质（教材P38-41）

二、应用拉普拉斯变换解微分方程时的步骤

三、举例：常壁温边界条件下的半无限大物体一、拉普拉斯变换定义及性质

二、应用拉普拉斯变换解微分方程时的步骤（教材P41-44）

⑴利用初始条件对所给微分方程作拉氏变换后，得象方程；

⑵求象方程的通解；

⑶将边界条件作拉氏变换；

⑷求象方程的特解；

⑸将所得的象函数作拉氏逆变换即得所给边值问题的解。

难点：困难在于确定拉氏逆变换

三、确定拉普拉斯逆变换的方法

1、几个基本概念

（1）解析函数、奇点、极点及其阶

（2）转移点（枝点）、留数

2、确定拉普拉斯逆变换的方法

（1）应用拉普拉斯变换的运算定理

（2）部分分式法与变换表相结合回路积分法（柯西定

理、留数定理

四、举例：

（一）常壁温边界条件下的半无限大物体

（二）常热流边界条件下的无限大平壁典型问题：

利用拉普拉斯变换法不仅可以比较方便地求解有随时间变化的边界条件和热源的问题，也可用来解决诸如加热器热容量、接触热阻等复杂的边界条件以及复合介质等复杂的问题（见参考文献[1]PP84-86）。

五、 课后习题作业

1、利用Laplace 变换法求解如下问题 导热微分方程式221x t t ??=??τα；初始条件和边界条件为w

i

t t L x x

t x t t ===??===,0,0,0τ。 2、应用拉普拉斯变换的运算定理

典型问题：一个半无限大物体初始温度是零度。当时间τ＞0时，在x ＝0的边界表面处具有随时间变化的温度T ＝f （τ）。试求时间τ＞0时物体中温度分布的表达式。

电路设计中拉普拉斯变换的应用

电路设计中拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换。拉氏变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。拉氏变换英文名为Laplace Transform，为法国著名数学家拉普拉斯 （Laplace,Pierre-Simon,marquisde）创立。主要运用于现代控制领域，和傅氏变换并称为控制理论中的两大变换。 拉氏变换里的S是复变函数里最为基础的一个符号，数学题做了这么多，考分也不低，但如果在多年的电路设计中用不上的话，岂不是对不起宝贵的青春了。 要用好拉氏变换，先了解S的物理含义和其用途。信号分析有时域分析、频域分析两种，时域是指时间变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；频域则是指频率变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；而S则是连接时域与频域分析的一座桥梁。 在电路中，用到的阻性用R表示；用到的感性特性和容性特性，分别用SL和1/SC表示，然后将其看成一个纯粹的电阻，只不过其阻值为SL（电感）和1/SC（电容）； 其他特性（如开关特性）则均可通过画出等效电路的方式，将一个复杂的特性分解成一系列阻性、感性、容性相结合的方式。并将其中的感性和容性分别用SL和1/SC表示。

然后，就可以用初中学过的电阻串、并联阻抗计算的方式来进行分压、分流的计算，这当然很简单了。计算完后，最后一定会成一个如下四种之一的函数： Vo=Vi（s）-------------------（1） Io=Vi（s）--------------------（2） Vo=Ii（s）--------------------（3） Io=Ii（s） --------------------（4） 下一步，如果是做时域分析，则将S=d/dt代入上述1-4其中之一的式子中，随后做微分方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（t）； 而如果做的是频域分析，则将S=jw代入上述1-4其中之一的式子中，随后做复变函数方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G （w）、和相位对频率的变化式 θ（w）； 至于求出来时域和频域的特性之后，您再想把数据用于什么用途，那就不是我能关心得了的了。 下面举一简单例子说明。

拉普拉斯变换公式总结

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞ -- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ = ? （2） 定义域

若0σσ>时，lim ()0t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0σσ>的全部范围内收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存 在，即()f t 的拉普拉斯变换存在。0σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() [ ]()(0)df t sF s f dt ζ-=- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0)r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0-时刻的取值。 （3） 原函数积分 若[()]()f t F s ζ=，则(1)(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+? 式中0(1) (0)()f f t dt ---∞=? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移

拉普拉斯变换基本应用.docx

拉普拉斯变换的应用 一?拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（S域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在MatIab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。 二?拉普拉斯变换在图像处理方面的应用 计算机进行图像处理一般有两个目的：（1）产生更适合人观察和识别的图像。⑵ 希望能由计算机自动识别和理解图像。数字图像的边缘检测是图像分害IJ、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。 物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮 度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等， 同时物体的边缘也是不同区域的分界处。图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。 首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有RObertS算子、Sobel算子、LaPlaCian算子、Canny算子等。 三?应!步骤 用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的MatIab软件去进行程序编码和运行来实现。下边是应用步骤:

拉普拉斯变换及逆变换

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。 第一节 拉普拉斯变换 在代数中，直接计算 32 8 .95781 2028.6?? =N 5 3)164.1(? 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 164 .1lg 53 )20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 一、拉氏变换的基本概念 定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分 ()pt f t e dt +∞ -? 在P 的某一区域内 收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即 dt e t f P F pt ? ∞ +-= 0)()( （12.1） 称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。函数()F P 称为() f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数） ，记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： （1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。 （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。 例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。 解：00 00[]()[]pt pt pt pt a a a L at ate dt td e e e dt p p p +∞ +∞+∞---+∞-= =- =-+? ?? 2020 ][0p a e p a dt e p a pt pt =-=+ =∞ +-∞+-? ) 0(>p

拉普拉斯变换

一.实验目的 1.掌握连续时间系统的复频域分析的基本方法。 2.掌握MATLAB中laplace、ilaplace、ezplot等函数的调用方法。 3.掌握使用MATLAB函数绘制系统函数零极点图的方法，并判断系统的稳定性。 二．实验原理 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子（为实常数）乘信号，适当取的值，使乘积信号当t→时信号幅度趋向于0，从而使的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换为 令 单边拉普拉斯变换 常见函数的拉普拉斯变换 （1） （2）

（3）指数函数 （4）周期信号 令 特例为 拉普拉斯变换性质 1.线性性质 若，则 。 2.尺度变换 。 证明 令 3.时移特性 。 4.复频移特性

。 5.时域的微分特性 证明 6.时域积分特性 证明 (1)。 (2) 7.卷积定理 。 8.S域微分和积分 9.初值定理和终值定理 （1）初值定理：设函数不含及其各阶导数（即假分式化为真分式），则 （2）终值定理：若，,则 微分方程的变换解

描述n阶系统的微分方程的一般形式为，系统的初始状态为, 用拉普拉斯变换微分特性 。 [] 系统函数 系统函数定义为，它只与系统的结构，元件参数有关，而与激励，初始状态无关 1. (t+2)u(t)的拉普拉斯变换

2.(1) H(s)=(s+2)/(s^3+s^2+2s+6)的零极点图 2.(2) H(s)=(2s^2+1)/(3s^3+5s^2+4s+6)的零极点图

2.(3) H(s)=(s+2)/(s^4+2s^2+3s+1)的零极点图 3. 输入为cos(2t+pi/4)u(t)时的稳态响应 4.使用MATLAB完成下列设计 已知系统传输函数为H(s)=s/s^2+3s+2,使用拉普拉斯变换求解：

拉普拉斯变换在电路中的应用

拉普拉斯变换在电路中的应用 10071051朱海云 应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。 1.电路定律的运算形式 基尔霍夫定律的时域表示： 把时间函数变换为对应的象函数： 得基尔霍夫定律的运算形式： 2.电路元件的运算形式 根据元件电压、电流的时域关系，可以 推导出各元件电压电流关系的运算形式。 图1（a） 1)电阻R的运算形式

图1(a)所示电阻元件的电压电流关系为： u =Ri ，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电阻R 的运算电路如图（b ）所示。 图1（b ） 2)电感L 的运算形式 图2(a)所示电感元件的电压电 流关系为 两边取拉普拉斯变换并根据 拉氏变换的微分性质，得电感元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电感L 的运算电路如图(b)和图(c) 所示。图中 表示附加电压源的电压，表示附加电流源的电流。 式中 图2（a ） 图2（b ） 图2（c ）

分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。 3)电容C的运算形式 图3(a)所示电容元件的电压电流关系为： 两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件VCR的运算形式： 或 根据上式得电容C的运算电路如图(b)和图(c)所示。 图中表示附加电流源的电 流，表示附加电压源的电压。 式中分别为电容的运算阻抗和运算导纳。 图3（a） 图3（b） 图3（c） 4)耦合电感的运算形式 图4（a）所示耦合电感的电压电流关系为： 图4（a）

傅里叶变换和拉普拉斯变换地性质及应用

1.前言 1.1背景 利用变换可简化运算，比如对数变换，极坐标变换等。类似的，变换也存在于工程，技术领域，它就是积分变换。积分变换的使用，可以 使求解微分方程的过程得到简化，比如乘积可以转化为卷积。什么是积 分变换呢？即为利用含参变量积分，把一个属于A函数类的函数转化属 于B函数类的一个函数。傅里叶变换和拉普拉斯变换是两种重要积分变 换。分析信号的一种方法是傅立叶变换，傅里叶变换能够分析信号的成分， 也能够利用成分合成信号。可以当做信号的成分的波形有很多，例如锯 齿波，正弦波，方波等等。傅立叶变换是利用正弦波来作为信号的成分。 Pierre Simon Laplace 拉普拉斯变换最早由法国数学家天文学家（拉普拉 斯）（1749-1827）在他的与概率论相关科学研究中引入，在他的一些基 本的关于拉普拉斯变换的结果写在他的著名作品《概率分析理论》之中。 即使在19世纪初，拉普拉斯变换已经发现，但是关于拉普拉斯变换的相 关研究却一直没什么太大进展，直至一个英国数学家，物理学家，同时 也是一位电气工程师的Oliver Heaviside奥利弗·亥维赛（1850-1925） 在电学相关问题之中引入了算子运算，而且得到了不少方法与结果，对 于解决现实问题很有好处，这才引起了数学家对算子理论的严格化的兴 趣。之后才创立了现代算子理论。算子理论最初的理论依据就是拉普拉 斯变换的相关理论，拉普拉斯变换相关理论的继续发展也是得益于算理 理论的更进一步发展。这篇文章就是针对傅里叶变换和拉普拉斯变换的 相关定义，相关性质，以及相关应用做一下简要讨论，并且分析傅里叶 变换和拉普拉斯变换的区别与联系。 1.2预备知识 定理1.2.1（傅里叶积分定理） 若在（-∞，+∞）上，函数满足一下条件： （1）在任意一个有限闭区间上面满足狄利克雷条件；

常用拉普拉斯变换总结

常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 000)(≥

??∞-∞-∞ ----==000d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st ==?∞- 6、正弦函数 00sin 0)(≥

典型信号的拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换

成绩评定表

课程设计任务书

目录 1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)

1．Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面： 1）数学计算； 2）新算法研究开发； 3）建模、仿真及样机开发； 4）数据分析、探索及可视化； 5）科技与工程的图形功能； 6）友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户

拉普拉斯变换基本应用

拉普拉斯变换的应用 一·拉普拉斯变换的应用 拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普 拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。 二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用 计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。 (2)希望能由计算机自动识别和理解图像。数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。 物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。 首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。 三·应用步骤 用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程序编码和运行来实现。下边是应用步骤：

拉普拉斯变换基本应用

. 拉普拉斯变换的应用一·拉普拉斯变换的应用在工程学上应用拉普拉拉 普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，使问题得以解决。可以将微分方程化为代数方程，斯变换解常变量齐次微分方程，转换为复频拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，在工程学上，域）上来表示；在线性系统，控 制自动化上都有广泛的应用。在计算机图域（s上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab应用性，例如：在图像的边缘检 测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。 二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用 计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。(2)希 望能由计算机自动识别和理解图像。数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。 物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。 首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、 . . 模版匹配法等。经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边 缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。 三·应用步骤 用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程 序编码和运行来实现。下边是应用步骤：

用拉普拉斯变换方法解微分方程

拉普拉斯变换是解常系数线性微分方程中经常采用的一种较简便的方法.其基本思想是,先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,得到所求数值问题的解. 一拉普拉斯变换的概念 定义设函数f(t)的定义域为[0,+∞),若广义积分∫0+∞f(t)e-pt dt对于p在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一个参数为p的函数,记作F(p),即F(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt函数F(p)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为f(t)的象函数),表示为F(p)=L[f(t)]. 若F(p)是f(t)的拉氏变换,则称f(t)为F(p)的拉氏逆变换(或F(p)的象原函数),记作L-1[F(p)]. 例1 求指数函数f(t)=e at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解根据定义,有L[e at]=∫0+∞e at e-pt dt=∫0+∞e-(p-a)t dt 这个积分在p＞a时收敛,所以有 L[e at]=∫0+∞e-(p-a)t dt=1/(p-a) (p＞a) (1) 例2 求一次函数f(t)=at(t≥0,a是常数)的拉氏变换. 解L[at]=∫0+∞ate-pt dt=-a/p∫0+∞td(e-pt) =-[at/p e-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-pt dt 根据罗必达法则,有 lim t0+∞(-at/p e-pt)=-lim t0+∞at/pe pt=-lim t0+∞a/p2 e pt 上述极限当p＞0时收敛于0,所以有lim t0+∞(-at/pe-pt)=0 因此L[at]=a/p∫0+∞e-pt dt

=-[a/p2e-pt]0+∞=a/p2(p＞0) (2) 例3 求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的拉氏变换. 解L[sinωt]=∫0+∞sinωte-pt dt =[-1/(p2+ω2) e-pt(psinωt+ωcosωt]0+∞ =ω/(p2+ω2) (p＞0) (3) 用同样的方法可求得 L[cosωt]=p/(p2+ω2) (p＞0) (4) 二拉普拉斯变换的基本性质 三拉普拉斯变换的逆变换 四拉普拉斯变换的应用 2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程 拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。 拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。 有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。 应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且，如果所有初始条件都为零，那么求

拉普拉斯变换公式总结..

拉普拉斯变换公式总结..

拉普拉斯变换、连续时间系统的S 域分析 基本要求 通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S 域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。 知识要点 1. 拉普拉斯变换的定义及定义域 （1） 定义 单边拉普拉斯变换： 正变换0[()]()()st f t F s f t dt e ζ∞-- ==? 逆变换 1 [()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞ -∞ == ? 双边拉普拉斯变换： 正变换 ()()st B s f t dt e F ∞ --∞ =? 逆变换1 ()()2j st B j f t s ds j e F σσπ+∞ -∞ =? （2） 定义域

若0 σσ>时，lim ()0 t t f t e σ-→∞ =则()t f t e σ-在0 σσ>的全部范围内 收敛，积分0()st f t dt e +∞ -- ? 存在，即()f t 的拉普拉斯变换 存在。0 σσ>就是()f t 的单边拉普拉斯变换的收敛域。0 σ与函数()f t 的性质有关。 2. 拉普拉斯变换的性质 （1） 线性性 若 11[()]() f t F S ζ=, 22[()]() f t F S ζ=, 1 κ, 2 κ为常数时，则 11221122[()()]()() f t f t F s F s ζκκκκ+=+ （2） 原函数微分 若[()]()f t F s ζ=则() []()(0)df t sF s f dt ζ- =- 1 1()0 ()[]()(0)n n n n r r n r d f t s F s s f dt ζ----==-∑ 式中() (0) r f -是r 阶导数() r r d f t dt 在0- 时刻的取值。 （3） 原函数积分 若 [()]() f t F s ζ=，则 (1)(0) ()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞ =+ ? 式中 (1)(0)()f f t dt ---∞ =? （4） 延时性 若[()]()f t F s ζ=，则0 [()()]() st f t t u t t e F s ζ---= （5） s 域平移 若[()]()f t F s ζ=，则[()]() at f t e F s a ζ-=+ （6） 尺度变换

拉普拉斯变换公式

附录A 拉普拉斯变换及反变换

3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ （F-1） 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可 按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111111)()()(

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换 Prepared on 22 November 2020

§13拉普拉斯变换 重点：1.拉普拉斯反变换部分分式展开 2.基尔霍夫定律的运算形式、运算阻抗和运算导纳、运算电路 3.应用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 难点： 1.拉普拉斯反变换的部分分式展开法 2.电路分析方法及定理在拉普拉斯变换中的应用 本章与其它章节的联系： 是后续各章的基础，是前几章基于变换思想的延续。 预习知识： 积分变换 §13－1拉普拉斯变换的定义 1.拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。由于解复变函数的代数方程比解时域微分方程较有规律且有效，所以拉普拉斯变换在线性电路分析中得到广泛应用。 2.拉普拉斯变换的定义 一个定义在[0,+∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为 式中s=σ+jω为复数，被称为复频率；F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为 式中c为正的有限常数。 注意： 1）定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，即： 它计及t=0-至0+，f(t)包含的冲激和电路动态变量的初始值，从而为电路的计算带来方便。 2）象函数F(s)一般用大写字母表示,如I(s)，U(s)，原函数f(t)用小写字母表示，如 i(t),u(t)。 3）象函数F(s)存在的条件： 3.典型函数的拉氏变换 1)单位阶跃函数的象函数

傅里叶变换拉普拉斯变换的物理解释及区别教学教材

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。 傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。 我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。 傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。 对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。 傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。

拉普拉斯变换的实际应用

拉普拉斯变换的实际应用 在工程学上的应用 应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。 拉氏变换在微分方程(组)初值问题中的应用 1．1 利用拉氏变换解常系数线性微分方程的初值问题 例1 求初值问题Y”一2y +2y=e～，y(O)=0，Y (0)=1． 例2求解初值问题 用拉氏变换求常系数线性微分方程(组)，是把关于Y(t)的微分方程(组) 转化成关于象函数l，(s)的代数方程，从而容易确定l，(s)．从象函数l，(s)求其拉氏逆变换即得原函数 Y(t)．由于在求解过程中同时利用了初值条件，因此用拉氏变换求得的解是初值问题的解．如果把初值视为任意常数，则用拉氏变换求得的解就是通解． 2 利用拉氏变换求积分方程 用拉氏变换求解相关问题既方便又简洁． 答案补充：应用拉普拉斯变换分析RLC电路,不需要确定积分常数 拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应用ut(t,x)-∫0^t(t-s)^-1/2uxx(s,x)ds=f(t,x)的数值解。该方法选择适当的n可以达到相当高的精度。 用拉氏变换引入网络函数的概念，网络函数是分析电路正弦稳态响应的工具，最后，希望以系统的方式将电路的时域特性与频域特性联系起来，拉氏变换加深对电路功能的理解。答案补充拉氏反变换：有理真分式、有理假分式、部分分式展开法、具有独立实根的有理真分式的拉氏反变换、具有共轭复根的有理真分式的拉氏反变换、具有实重根的有理真分式的拉氏反变换、具有多重复根的有理真分式的拉氏反变换、假分式的拉氏反变换（整理为一个多项式和有理真分式之和，然后分别求其拉氏反变换）、F（s）的零点极点、初值定理和终值定理、初值定理终值定理的应用。 s域电路分析 拉氏变换用于电路分析具有两个特点：第一，拉氏变换将线性常系数微分方程转化为容易处理的线性多项式方程，第二，拉氏变换将电流和电压变量的初始值自动引入到多项式方程中，这样在变换处理过程中，初始条件就成为变换的一部分。 s称为复频率、复频域分析方法（又称运算法）、动态元件的初始储能问题、s域欧姆定律V=ZL、拉氏变换的线性特性决定了线性电路理论在s域同样适用、这些线性电路理论包括：KCL、KVL、节点电压法、网孔电流法、戴维南等效、诺顿等效、叠加定理等。答案补充我自己的经历，就只有在信息系统里，用到，主要是求初值问题，积分问题

拉普拉斯变换

第八章拉普拉斯变换（10学时） 教学目的： 掌握拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用，主要掌握运算电路图的画法，熟练掌握用拉普拉斯变换分析电路；掌握跃变的概念，了解卷积和网络函数的应用。 教学重点： 拉普拉斯变换的定义、性质和反变换的应用；运算电路图的画法；用拉普拉斯变换分析线性电路；网络函数（加冲激函数）和卷积的概念。 教学难点： 拉普拉斯反变换（单根、复根、重根）；运算电路图；复频域分析法；卷积。 8-1拉普拉斯变换定义和性质（2学时）（教材第215页） 教学目的：拉普拉斯变换的定义，基本性质及9个性质的应用。 教学重点：拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件，拉普拉斯反变换，9个性质的证明及应用。 教学难点：线性性质，微分性质。积分性质，延时性质的证明及应用。 教学方法：1、板书讲述拉普拉斯变换的定义，交代复频域的概念。2、拉普拉斯变换存在的条件。3、拉普拉斯反变换。4、9个性质的推导、证明及应用举例。 5、例题和练习题，见备课笔记。 教具：《电路》CAI课件，网络课件中的拉普拉斯变换部分，邱关源第四版教材及其他参考书。 教学过程：基本性质，拉普拉斯正变换，拉普拉斯变换存在的条件，拉普拉斯反变换，9个性质的证明及应用，部分举例、练习题见备课笔记。 拉普拉斯拉斯变换的基本性质 引言 拉普拉斯拉斯变换可用于求解常系数线性微分方程，是研究线性系统的一种有效而重要的工具。 拉普拉斯拉斯变换是一种积分变换，它把时域中的常系数线性微分方程变换为复频域中的常系数线性代数方程。因此，进行计算比较简单，这正是拉普拉斯拉斯变换（简称：拉氏变换）法的优点所在。 拉普拉斯拉斯变换的定义 一个定义在区间的函数,其拉氏变换定义为 L[f(t)]=F(s)= 式中：s=б+jω为复数，有时称变量S为复频域。 应用拉普拉斯拉斯变换进行电路分析有称为电路的复频域分析，有时称为运算法 F(s)又称为f(t)的象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。通常用“L[ ]”表示对方括号内的函数作拉氏变换。 拉普拉斯变换的基本性质 本节将介绍拉氏变换的一些基本性质，利用这些基本性质，可以很容易的求得一些较复杂的原函数的象函数，同时，这些基本性质对于分析线性非时变网络也是非常必要的。 一、唯一性

拉氏变换及应用

§2-3拉普拉斯变换及其应用 时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为 (2-45) 式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为 (2-46) 因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48) 上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号

理想单位脉冲信号的数学表达式为 (2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明： 单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。 在坐标图上经常将单位脉冲函数 表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。

(2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53) 由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号 另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为 (2-56)

拉普拉斯变换公式

附录A拉普拉斯变换及反变换 419

420

421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(l i m s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；