2019年上海市高三二模数学分类汇编—数列
二模真题汇编-数列
一、填空题
1.（2019宝山二模11）
已知无穷等比数列…123,,,a a a 各项和为92,且2=2a -,若49
||102n S --<,则n 的最小值为_____.
【答案】10
【解析】题意可得1
221
91299402
a q q q a a q ?=?
-?--=??==-?则1241,33q q ==-（舍去前者）16a =则
44416(1(
))
9
9913||10101012
2231()3
n
n n S -----??-
-
2.（2019闵行松江二模4）4．已知等比数列的首项为,公比为，表示的前项和,则 ．
【答案】
． 【解析】因为，所以=． 3.（2019崇明二模9）9.已知是公比为的等比数列的前项和，若对于任意的，都有
成立，则=______________.
{}n a 11
2
-
n S {}n a n lim n n
S =23
01q <<1lim 1n n
a S q =
-2
3
n S q {}n a n *
∈N k k k n n a S S =-+∞
→)(lim 1q
【答案】
【解析】，该式有极限，则且极限于0，则等价于，整理得，解得
4.（2019奉贤二模7）7. 设等比数列中，首项，若是递增数列，则公比的取值范围是 【答案】
【解析】由题意有，即，因为，可解得
5.（2019黄浦二模3）计算： 【答案】
【解析】 6. （2019黄浦二模7）若等比数列的前项和，则实数
【答案】
【解析】，，所以，
21-5q q a q a q q a q q a S S n k k n k n --=-----=-+++11)1(1)1(111111110< q a 111111-+==-k k k q a a q q a 012 =-+q q 21-5=q {}n a 10a <{}n a q )1,0(?? ?>>2 312a a a a ???>>q a q a a q a 1211110a <10< lim 31 n n n n →∞--=+3 122222 2222 22lim 331 31n n n n n n n n n n n n →∞-- --==++{}n a n 32n n S a =?+a =3-a a +=6112,632==a a 312 2a a a ?=31-=a 7. （2019浦东 新区二模8）已知无穷数列满足 则_________。 【答案】 【解析】 8.（2019徐汇二模7）设无穷等比数列的公比为，若的各项和等于，则首项的取值范围是 _________。 【答案】 【解析】 9. （2019徐汇二模12）函数（）的图像与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为 ，在点列中存在三个不同的点、、，使得△是等 腰直角三角形，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则 _________。 【答案】 【解析】函数的对称轴为可知，又因为 是等腰直角三角形，令，等价于可得： ，则， 因此 {}n a ,2019,1 21 2018 1,31 ?????≥+≤≤=n n n a n =∞→n n a lim 0=∞ →n n a lim 01 21 lim =+∞→n n {}n a q {}n a q 1a 1(2,0)0,4 ??-? ?? ? ]41 ,0()0,2(),1,0()0,1(),1(,111 -∈-∈-==-a q q q a q q a ()sin f x x ω=0ω>y 123,,,,,n A A A A ??????{}n A k A i A p A k i p A A A ω{}n ω2019ω=4037 2πx A x f ωsin )(=)2(1 ππ ωk x +- = ?? ? ??-+-=-1)1(),2(1k k k A ππωp l k A A A ?p l k <<,)1()1()1(,2 ,4p l k p k p k l A A -=-=-+==))(12(,4)(1+∈-=-=-N m m l p k p πωπωπω2 12212-=?-=n m n 2 40372019π ω= 10. （2019长宁嘉定二模11） 已知有穷数列 共有 项，记数列 所有项的和为 ，第二及以后所有项的和为 ，...，第 及以后所有项的和为 ；若 是首项为 公差为 的等差数列前 项的和，则当 时， 【答案】 【解析】 ，由题意可知： ， ，∴ 时， . 二、选择题 1.（2019宝山二模13）13.用数学归纳法证明21211 n n n n ->++对任意的,(,)n k n k N ≥∈自然数都成立,则k 的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】试探法得到3k ≥，选择C 2.（2019闵行松江二模16）16．如图所示，直角坐标系平面被两坐标轴和两条直线等分程八个区域（不 含边界），已知数列，表示数列的前项的和，对任意的正整数，均有，当时，点 （ ） 【A 】只能在区域② y x =±{}n a n S {}n a n n ()21n n n a S a -=0 n a >()1,n n n P a a + 【B 】只能在区域②和④ 【C 】在区域①②③④均可出现 【D 】当为奇数时，在区域②或④，当为偶数时， 在区域①或③ 【答案】B 【解析】 所以 因为， 所以 若使此时 ) 又，所以 当时，，此时的，此时位于区域② 当时， ，此时位于区域④． 3.（2019青浦二模16）16.等差数列（，）满足 ，则（ ） 【A 】的最大值为50 【B 】的最小值为50 【C 】的最大值为51 【D 】的最小值为51 n n P n n P ()21n n n a S a -=?()11(2)1n n n n n S S S S S ----+=2 2 11n n S S -?-=2 n S n =?n S =1(n 2)n n n a S S -=-≥0n a >n a =n a =0n a >n S 11n n n a S S ++=-1n a +=10n a +>1n a +=1n n a a +<10n a +<1n a +=1n n a a +>12,,,n a a a ???3n ≥* n N ∈121|||||||1| n a a a a ++???+=+2|1|a ++|1|n a +???++12|2||2||2|2019n a a a =-+-+???+-=n n n n 【答案】A 【解析】由题意,构造函数，可知方程至少有三个解 ，所以该绝对值函数为平底型，所以为偶数，且，不妨设，所以 均为负，均为正，所以， ，， 4.（2019奉贤一模16）16. 设有△，作它的内切圆，得到的三个切点确定一个 新的三角形△，再作△的内切圆，得到的三个切 点又确定一个新的三角形△，以此类推，一次一次不停 地作下去可以得到一个三角形序列△（）， 它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情形是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 与原三角形相似 D. 以上均不对 【答案】A 【解析】，，如右图， 所以，在利用在同圆中， 同一弧所对的圆心角是圆周角的倍，可得： ，以此类推 ，当时， ，故为等边三角形. |)1(|||||)(d n x d x x x f -+++++= 2019)(=x f 21111-+a a a 、、n 3≥d *,2N k k n ∈=k a a a ,,21k k k a a a 221,, ++k k n a a a a a a a 22121||||| +----=+++｜d k d d k a a a a k k k 2019 ,3,2019)()(22211= ∴≥==-++-+ 25≤k 502≤=k n 000A B C 111A B C 111A B C 222A B C n n n A B C 1,2,3,n =???n n n C B OA ⊥+1n n n C B OC ⊥+1π=∠+∠++11n n n OC A B 2)2 1 90(2190219010001-+∠--=∠-=∠n n n B B B ????? ?-++-+-+=∠-120 )21()21()21(190n n B 0002)1()21(1602)1(B B n n n n n -+?????? --=-++∞→n 060→∠n B 5.（2019虹口二模16） 已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，若对任意的， 均有恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】 ①为奇数时，，易证单调递减，且，所以； ②为偶数时，，易证单调递增，且，所以； 所以的最大值为，最小值为 ， 考虑到在上单调递增， 所以， 所以的最小值为 ，选. 6. （2019杨浦二模15）对于正三角形，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的 {}n a 13 - n n S * n ∈N 1 3n n A S B S ≤- ≤B A -7294114136 B ()1121133311122313?? ??-- ? ? ?-??????= ==-?- ?-?? ??-- ??? n n n n a q S q n 331223?? =+?- ??? n n S n S 3lim 2→∞=n n S 1322<≤=n S S n 331223?? =-?- ??? n n S n S 3lim 2→∞=n n S 24332=≤ 3 13=-y t t ()0， +∞min 14113334343 ??≤- =?-= ?? ?n n A S S max 111133222??≥-=?-= ?? ?n n B S S -B A 11139 244 -=B T 过程称为一次“镂空操作“，设是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设是第次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），是前次挖去的所有三角形的面积之和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意，，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴ ，选A ． 三、解答题 1. （2019宝山二模19）（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）． T n A n 1A 2A n S n lim n n S →∞ = 12 134n n A A +={}n A 11144T A S =?==3 4 116lim 3114 n n A S q →∞===-- 对年利率为r 的连续复利，要在x 年后达到本利和A ，则现在投资值为rx B Ae -=，e 是自然对数的底数；如果项目P 的投资年利率为6%r =的连续复利. （1）现在投资5万元，写出满n 年的本利和，并求满10年的本利和；（精确到0.1万元） （2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目P 投资2万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元？（精确到1年）. 【答案】（1）9.1万元；（2）至少满23年基金共有本利和超过一百万元. 【解析】（1）由题意：6%6%55n n Ae A e -=?=?； 当10n =时，本利和为6%100.6559.1A e e ?=?=?≈（万元）； （2）由题意：2B =；设n 年后共有本利和超过一百万元，则n 年后： 第一年年初的投资所得的为：6%12n A e =?； 第二年年初的投资所得的为：() 6%-122n A e =?； 以此类推：第n 年年初的投资所得的为：6%2n A e =?； 则满n 年后，基金共有本利和：() ()6%6%16%6%6%126% 122221n n n n e A A A e e e e e --++ +=?+?+ +?= ??-； 由题意： () 6%6%6%6% 6% 6% 150502100log 122.71n e e e e n n e e -?? -???>?>-?> ?-?? ； 故至少满23年基金共有本利和超过一百万元. 2.（2019松江二模21）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 无穷数列满足：，，，记{}{}{},,n n n a b c 1n n n a b c +=-1n n n b c a +=-1n n n c a b +=-{} max ,,n n n n d a b c = （表示三个实数中的最大的数）. （1）若，求数列的前项和； （2）若，当时，求满足条件的的取值范围； （3）证明：对于任意正整数，必存在正整数，使得． 【答案】（1）；（2）；（3）略. 【解析】 （1）可求，，； ， ， ； ，，（）； 所以，，，（） 所以. （2），， ，， {}max ,,n n n a b c ,,n n n a b c 111=8,4,2a b c =={}n d n n S 111=-1,1,a b c x ==x R ∈23d d =x 111,,a b c k 111=,,k k k k k k a a b b c c +++==294 2125n n n n S n n ?-+≤=?+≥? {}1,1-22a =26b =24c =32a =32b =3c 4=2n a =2n b =0n c =4n ≥18d =26d =34d =2n d =4n ≥294 2125 n n n n S n n ?-+≤=?+≥?21a x =-21b x =+22c =21 121111x x d x x x +≥?? ?=-< 312a x =+-312b x =--311c x x =--+ 所以满足条件的的取值范围为． （3）先证：存在，满足或或 反证：若任意，、、均不为零，由题意可得、、均大于零，设， 即 则，即 又 是递减数列 又 ， 这是不可能的，故至少存在，满足或或 再证：不妨设，，则， [](]()()[] [) 310,1,32 3,11,311,03,x x d x x x ?+∈-∞-? ?=∈--??-∈-+∞? 23d d =x {}1,1-k N * ∈2k ≥0k a =0k b =0k c =k N * ∈k a k b k c k a k b k c {}{}max ,,k k k k a b c a =k k k k b a c a ≤?? ≤?{}1max ,k k k k k k a b c b c a +=-<≤1k k a a +<1k k k k k k b a c a c a +=-=-<1k k k k k k c a b a b a +=-=-<1k k k d a d +∴<={}k d ∴k N *∈0k d ≥k d N *∈∴k N *∈2k ≥0k a =0k b =0k c =0k N * ∈00k a =00k k b c =00k a = 即存在，同时 存在满足． 3.（2019青浦二模21）(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分. 已知函数（），且不等式对任意的都成立，数列是以为首项，公差为1的等差数列（）. （1）当时，写出方程的解，并写出数列的通项公式（不必证明）； （2）若无穷数列满足对任意的都成立，求证：数 列是等差数列； 0011k k b c --∴=0000001111k k k k k k b a c a b c ----∴=-=-=00k a =() 0k N * ∈00k k b c =000010k k k k a b c a +=-==00001k k k k b a c c +=-=00001k k k k c a b b +=-=∴0k N *∈000000 111k k k k k k a a b b c c +++?=?? =??=??2()f x x ax b =++,a b R ∈2 |()|2019|2|x f x x ≤-[0,10]x ∈{}n a 7a +* n N ∈[0,10]x ∈2 20x x -={}n a {}n b 1||n m m n m n b b b a a +--< +* ,m n N ∈{}n b （3）若 ），数列的前项和为，对任意的，求 的取值范围. 【答案】（1），，，；（2）略；（3） 【解析】（1）可得，得到 （2）， 当时， ，则 故数列是等差数列 （3）可得 ，，……，，则有，，显然 另一方面， 单调递减 ，可得. 4.（2019崇明二模21）已知数列是公差为（）的等差数列，如果数列，，...，（） 满足，则称数列，，...，是“可等距划分数列”。 （1）判断数列2，4,8，14是否是“可等距划分数列”，并说明理由； （2）已知，，设，求证：对任意的，数列（），都 是“可等距划分数列”； （3）若数列（）是“可等距划分数列”，求的所有可能值。 n c =*n N ∈{}n c n n S * n N ∈ 2 n S n 12x =24x =6a =-n a n =1(2 2 202,4x x x x -=?==(2)0,(4)0f f ≤≤6,8,n a b a n =-==111 m m b b b m ---< 1n 11m-1-11()()()n n m n m n m n m m b b b b b b b b b b b b ++++--=+-+--+---1-1-111113 m n m n m n m n m m b b b b b b b b b m n m n m m ++≤--+--+--< ++<++m →+∞1n 10n b b b +--=1n 1n b b b +-={}n b n c =11112c <<+21222c <<+1<2n n c n <+(1)(1)222 n n n n n n S ++<<+2(1)2 22n S n n n n n ++<<212n S n ??→2n S n 212n S n ?∈ ?{}n a d 0>d 1x 2x m x *∈≥N m m ,312211...+<≤<≤≤≤n n a x x a x a 1x 2x m x R t k ∈,0>k t kn b n +=* ∈≥N m m ,3{}n b m n ,...,2,1={}n 2 m n ,...,2,1=m 【答案】（1）是；（2）见解析；（3）3或4 【解析】（1）数列2, 4, 8, 14是“可等距划分数列” 因为存在等差数列满足................4分 (2) 证明：对任意的，设， 则对任意的，有 即数列是等差数列...............................................3分 又因为，所以对任意的，有 即满足 所以任意的，数列都是“可等距划分数列”...................6分 （3）当时，对于数列存在等差数列满足条件...................2分 当时，对于数列存在等差数列满足条件...................4分 当时，若存在等差数列满足 则有 所以，，与矛盾 所以当时，若数列不可能是“可等距划分数列” 1,3,7,11,15-123478111415-≤<≤<≤<≤<* 3,m m ∈N ≥2 n k a kn t =+- (1,2,,1)n m =+{1,2, ,}n m ∈1n n a a k +-={}n a (1,2, ,1)n m =+0k >{1,2,,}n m ∈(1)22 k k kn t kn t k n t +- ≤+<++-11221m m a b a b b a +≤<≤< ≤<* 3,m m ∈N ≥{}(1,2, ,)n b n m =3m =2,4,80,3,6,94m =2,4,8,163,2.5,8,13.5,19-5m ≥121,, ,m a a a +121242m m m a a a a +≤<≤<<≤<1234562481632a a a a a a ≤<≤<≤<≤<≤<32826d a a =-<-=62442428a a d =+<+=632a >5m ≥{2}(1,2, ,)n n m = 综上所述，m 的所有可能值是3,4.....................................................................8分 5.（2019奉贤二模21）统计学中将（，）个数、、、的和记作 ， （1）设（），求 （2）是否存在互不相等的非负整数，，使得成立，若存在， 请写出推理过程；若不存在请证明； （3）设（）是不同的正实数，，对任意的（），都有， 判断是否为一个等比数列，请说明理由 【答案】（1）79；（2）存在，推理过程略；（3）是等比数列，数学归纳法证明. 【解析】 （1） （2）由题意得：， ； 由和一奇一偶，可得， 以此类推，可得 （3）数学归纳法证明：当，代入， 化简可得，成等比数列； 当时，成等比数列，是不同的正实数，记，设， n 2n ≥n * ∈N 1x 2x ???n x 1 n i i x =∑|313|n b n =-n * ∈N 10 11 i b =∑123,,,,n a a a a ???1230n a a a a ≤< 1 2 2019n a i ==∑123,,,,n x x x x ???3n ≥1x a =n * ∈N 3n ≥22 211122 12121n n n i i i x x x x x x x x x ==+-=-∑123,,,,n x x x x ???10 1 145101 (...)(...)79i b b b b b ==+++++=∑1222...22019n a a a +++=11212(12...2)2019n a a a a a --+++=12a 121 12 ...2n a a a a --+++10a =015678910 222222222019+++++++=3n =2222 2133 3311122 1212122321()n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x ==+-=+=-∑2 132x x x ?=4n k =≥123,,,,k x x x x ???1231,,,,,k k x x x x x +???1 k k x ar -=k k x au = ， 化简得：，去分母再化简可得：，因为，得，故当时，是等比数列. 6.（2019虹口二模21）21、（本题满分18分）本题共3小题，每小题6分。 设各项均为正数的数列的前项和为，且；数列满足 。 （1） 求数列，的通项公式； （2） 设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有； （3） 设，求集合中所有元素的和。 【答案】（1）；；（2）时，取得最大值；（3）略； 【解析】（1），两式相减可得（） ，又， 满足。所以； ，又，满足，所以：； （2），，， 猜想：当时，。 由数学归纳法可证，猜想成立。 2222 11111122 1211223341211111(...)n k k k i i i k k x x x x x x x x r x x x x x x x x x x =+++=++-=++++=-∑221131211111(...)1k k k k u u r r r r u r ++-+-+++=-211()()0k k k k u r u r -++-+=k k x au =1k k u ar +=1n k =+1231,,,,,n n x x x x x +???{}n a n n S ()2* 111,,2n n n a a S S n N n -==+∈≥{}n b ()()1* 2 122 n n n b b b n N +???=∈{}n a {}n b 1 112n n a n n c a a +=-?n T {}n c n m * n N ∈m n T T ≥{}{}()*112212,0,,, ,1,1,2n n n B x x k b k b k b x k k k n N n ==++ +>∈-∈≥且其中B n a n =2n n b =4n =n T 21211n n n n n n a S S a S S -++?=+?=+?11n n a a +-=2,n n N *≥∈2 22122a S S a =+?=211a a -=n a n =()()()12 121121 2 2 222n n n n n n n b b b n b b b +--==≥…………12b =2n n b =() 1121n n c n n = -+10c =2340,0,0,c c c >>>56,0c c <5n ≥0n c < 所以时，取得最大值。 （3）； ①要使，则，其他可任取； 证明：若，则： 此时恒为负，故；此时 同时：， 故：其他可任取； ②可任取，此时一共有个不同的正数； 证明：，利用乘法原理，得表示的式子一共有个，下面证明这个式子所表 示的互不相同，具体如下： 证明：假设个式子所表示的中存在相同的数，即存在： ， 记满足的第一组系数的下标为， 则， 而 ， 因此，假设不成立，即这个正数互不相等。 ③这个不同的正数（每个均含有）， 由于或等可能出现，因此所有部分的和为零， 4n =n T 212222n n x k k k =+++……0x >1n k ={}121,,,1,1n k k k -∈-……1,1-1n k =-21211212222222220n n n n n x k k k ---=+++-≤+++-=-<…………x 1n k =212222n x k k =+++……21211212222222220n n n n n x k k k ---=++++≥----+=>…………{}121,,,1,1n k k k -∈-……1,1-{}121,,,1,1n k k k -∈-……1,1-x 1 2 n -{}121,,,1,1n k k k -∈-……x 1 2n -1 2 n -x 12n -x 12121121212122222222n n n n n n x k k k x k k k ----'''=++++==++++…………{},1,1i i k k '∈-()1,2,,2,1i i k k i n n '≠=--……m ()()()() 121122112222m m m m m m m m m k k k k k k k k ------''''-=-+-++-……() ()() 1 21122112 22m m m m m m k k k k k k ------'''-+-++-……() 12112222222422m m m m m m m k k --++'≤+++=-<-= (1) 2n -x 1 2 n -x 2n n n k b =1i k =()11,2,,1i n -=-……()1,2,,1i i k b i n =-…… 故集合中所有元素的和实际为所有的和，即。 7. （2019黄浦二模21）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知以为首项的数列满足：（）. （1）当时，且，写出、； （2）若数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围； （3）记为的前项和，当时， ① 给定常数（，），求的最小值； ② 对于数列，当取到最小值时，是否唯一存在满足 （，）的数列？请说明理由. 【答案】（1），；（2）；（3）① 为奇数，最小值， 为偶数，最小值；② 不唯一，，例如0、、0、、0、、0、 和0、1、、1、、1、、均符合 【解析】(1) ，因为，所以． 同理，可求得． (2) 由题意，当时，，此时， 当时，，符合题意． 于是，当时，，即． B 2n n n k b =121 222 n n n --=1a {}n a 1|||1|n n a a +=+* n ∈N 113 a =-10n a -<<2a 3a {||}n a 110n ≤≤* n ∈N 1-1a n S {}n a n 10a =m 4m ≥* m ∈N 1m S -128,,,a a a ???8S 21|||1|j j a a +-=+26j ≤≤*j ∈N {}n a 223a =- 313a =-19a ≤-m 12 m --m 2 2 m -- 84S =-1-1-1-1-2-2-2-1-212|||1|3a a =+= 10n a -<<223 a =-31 3 a =-1,2, ,9n =1|||||1|||1n n n n a a a a +-=+-=-1n a -≤10n =10999|||1|1||1a a a a =+=--=-1,2, ,9n =1||||(1)n a a n =--1(1)n a a n =+- 对于数列，有，由，可得． 因此，的取值范围为． (3) ① 由，得． ， 将代入上式，并化简得． 由于，当为奇数时，的最小值为，此时． 当为偶数时，的最小值为，此时． ② 满足条件的数列存在，但不唯一． 数列可以是，，，，，，，； ，，，，，，，． 8. （2019金山二模21）（本满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 如果数列满足，那么就称为数列的“偏差数列”． （1）若为常数列，且为的“偏差数列”，试判断是否一定为等差数列，并说明理由； （2）若无穷数列是各项均为正整数的等比数列，且为数列的“偏差数列”，求 的值； （3）设为数列的“偏差数列”，且，若对任 意恒成立，求实数的最小值． {}n a 129a a a << <91a -≤19a -≤1a (,9]-∞-1|||1|m m a a -=+222 111(1)21m m m m a a a a ---=+=++22222 2 231211212()1m m m a a a a a a a a a m --+++=+++++++-10a =2 11(1)2 m m S a m -=-+2 0m a ≥m 1m S -1 2 m -- 0m a =m 1m S -22 m --2 1m a =128,,,a a a 128,, ,a a a 01-01-01-01-012-12-12-1-{}{}n n a b 、 * 1()n n n a a b n N +-=∈{}n b {}n a {}n b {}n a {}n a {}n a {}326,n a a b -={}n a 123 1111lim n n b b b b →∞?? ++++ ??? {}1 16,2n n n b b +?? =- ? ?? {}n a 12211,n n a a a -=≤221n n a a +≤n a M ≤* n N ∈M 【答案】（1）不一定（2） 或（3） 【解析】（1）如，则为常数列，但不是等差数列 （2）设数列的公比为，由题意，均为正整数 或 当时，， 当时，， 综上，的值为或 （3）由题意，，因为且， 所以 342329 6 ()1n n a =-2n b ={}n a {}n a q 1,a q ()123213662a a a a q q q =?-=∴-=??=?11 3a q =??=? 13,2a q ==11 132,32n n n n n n a a a b --+=?-=?=1 1132n n b -∴ =?123 1 111123lim 13 12 n n b b b b →∞??∴++++== ???-11,3a q ==11 13,23n n n n n n a a a b --+=-=?=1 1123n n b -∴ =?123 1 111132lim 14 13 n n b b b b →∞??∴++++== ???-123 1111lim n n b b b b →∞??++++ ???342 3 1 1162n n n a a ++?? -=- ? ?? 221n n a a -≤221n n a a +≤221 221212116,622n n n n n n a a a a +-+???? -=--=- ? ? ???? 高三上期末考试数学试题分类汇编 数列 一、填空、选择题 1、（宝山区2019届高三）如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则 公比q = 2、（崇明区2019届高三）已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立. 函数1()|sin ()|n n f x x a n =-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是 3、（奉贤区2019届高三）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 l i m 3n n n n n S a S a →∞-<+，则q 的取值范围 是（ ） A. (0,1) B. (2,)+∞ C. (0,1] (2,)+∞ D. (0,2) 4、（虹口区2019届高三）已知7个实数1、2-、4、a 、b 、c 、d 依次构成等比数列，若成这7 个数中任取2个，则它们的和为正数的概率为 5、（金山区2019届高三）无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是 6、（浦东新区2019届高三）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++= 7、（普陀区2019届高三）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%， 照此推算，此人2019年的年薪为 万元（结果精确到0.1） 8、（青浦区2019届高三）已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则首项1a 的取值范围是 9、（松江区2019届高三）已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++= 10、（徐汇区2019届高三）若数列{} n a 的通项公式为* 2()111n n a n N n n =∈+，则 l i m n n a →∞ =___________. 11、（杨浦区2019届高三）在无穷等比数列{}n a 中，121 lim()2 n n a a a →∞ ++???+= ，则1a 的取值范围 是 12、（长宁区2019届高三） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11 2 n n n a a ++= ，若数列{}n S 收敛于 假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项（高三数学第二阶段复习总第1课时） 科目 高三数学 年级 高三（5）班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握！ 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力； 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点：用递推关系法求数列通项公式 2.难点：（１）递推关系法求数列通项公式（２）由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项（首项）是否满足 若不满足必须写成分段函数形式；若满足 则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题： 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2） 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题：[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 （1）；（2）； 解题方法：观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 （3） 解题方法：观察递推关系的结构特征 联想到"？=？)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1：数列中 求 思路：设 由待定系数法解出常数 专题六 数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 【考点定位】等差中项和等比中项． 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 【浦东卷】 （四）阅读下文，完成第15—20题。（18分） ①任旭，字次龙，临海章安人也。父访，吴南海太守。 ②旭幼孤弱，儿童时勤于学。及长，立操清修，不染流俗，乡曲推而爱之。郡将蒋秀嘉其名，请为功曹。秀居官贪秽，每不奉法，旭正色苦谏。秀既不纳，旭谢去，闭门讲习，养志而已。久之，秀坐．事被收，旭狼狈 ．．营送，秀慨然叹曰：“任功曹真人也。吾违其谠言，以至于此，复何言哉！” ③寻察孝廉，除郎中，州郡仍举为郡中正，固辞归家。永康初，惠帝博求清节俊异之士，太守仇馥荐旭清贞洁素，学识通博，诏下州郡以礼发遣。旭以朝廷多故，志尚隐遁，辞疾不行。寻天下大乱，陈敏作逆，江东名豪并见羁絷，惟旭与贺循守死不回。敏卒不能屈。 ④元帝初镇江东，闻其名，召为参军，手书与旭，欲使必到，旭固辞以疾。后帝进位镇东大将军，复召之；及为左丞相，辟．为祭酒，并不就。中兴建，公车征，会遭母忧。于时司空王导启立学校，选天下明经之士，旭与会稽虞喜俱以隐学被召。事未行，会有王敦之难，寻而帝崩，事遂寝．。明帝即位，又征拜给事中，旭称疾笃，经年不到，尚书以稽留除名，仆射荀崧议以为不可。 ⑤太宁末，明帝复下诏备礼征旭，始下而帝崩。 ⑥咸和二年卒太守冯怀上疏谓宜赠九列值苏峻作乱事竟不行。 ⑦子琚，位至大宗正，终于家。 （节选自《晋书·列传六十四》） 15．写出下列加点词在句中的意思。（2分） （1）久之，秀坐．事被收（2）及为左丞相，辟．为祭酒 16．为下列句中加点词选择释义正确的一项。（2分） 营送（） （1）旭狼狈 ．． A．尴尬 B. 窘迫 C. 急忙 D. 疲惫 （2）寻而帝崩，事遂寝．（） A．耽误 B. 平息 C. 忽略 D. 停止 17．下列句中加点词意义和用法都相同的一项是（）。（2分） A．乡曲推而．爱之勤而．无所，必有悖心 B．州郡仍举为．郡中正为．击破沛公军 C．手书与．旭合从缔交，相与．为一 D．与会稽虞喜俱以．隐学被召少以．父任，兄弟并为郎 18．第⑥段画线部分断句正确的一项是（）。（2分） A．咸和/二年卒/太守冯怀上/疏谓宜赠九列值/苏峻作/乱事竟不行。 B．咸和二年卒/太守冯怀上疏/谓宜赠九列/值苏峻作乱/事竟不行。 C．咸和/二年卒/太守冯怀上疏/谓宜赠九列/值苏峻作/乱事竟不行。 D．咸和二年卒/太守冯怀上/疏谓宜赠九列值/苏峻作乱/事竟不行。 19．把第②段画线句译成现代汉语。（6分） 任功曹真人也。吾违其谠言，以至于此，复何言哉！ 高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()'0f =（ ） A ．62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x 项均取0，则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关；得：412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 （A ） 158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q ≠1，所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-，所以1{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列， 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ，3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ， 321 ,22 a a 成等差数列，则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-，解得2d =， 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n - 2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 上海市各区2017年高考二模语文试卷分类汇编：写作专题宝 山（青浦、长宁、金山）区 27.作文 2016年4月12日，物理学家“大牛”史蒂芬·霍金在新浪网开通微博，并发布了对中国人的第一句问候语。此后不到一天时间，他的粉丝数量突破了200万，评论，转发和点赞达数百万，由此，霍金也成了“网红”。 “霍金也‘网红’”，引发了你怎样的思考？请自拟题目，写一篇不少于800字的文章。 崇明区 27.当今社会有一种现象，人们往往习惯首先用怀疑的眼光看待他人，而不是首先思考需不需要怀疑。 请写一篇文章，谈谈你对这一现象的思考。 要求：（1)自拟题目，自选角度；(2)不少于800字。 奉贤区 29.不只在数学里，人生也处处在做加减法，有人为之所累，有人为之所乐，有人甚至尝到了别样的味道…… 对“人生中的加减法”你有怎样的认识和思考，请自拟题目，写一篇不少于800字的文章。 虹口区 根据以下材料，自选角度，自拟题目，写一篇不少于800字的文章（不要写成诗歌）。 锤子的打击造就了宝剑的锋芒，而溪水的欢歌却使鹅卵石臻于完善。黄浦区 27．随着国门打开，经济发展和文化交流的不断增强，现代生活方式层出不穷；传统生活方式面临种种挑战，人们处于难以抉择的境地。 对“传统生活方式面临种种挑战”的现象谈谈你的看法。 要求：（1）自拟题目；（2）不少于800字。 嘉定区 26.作文。 有人说，中国人之间几乎没有辩论，只有争吵。这是因为“中国式辩论”忽略了辩论的两个最基本要素：事实和逻辑，而专注于姿态与声势。“中国式辩论”中的常见问题如：偏离论点、情绪激烈、攻击对方人品、滥用比喻、使用嘲笑和反问句等等。 对此，你有怎样的思考？请自拟题目，写一篇不少于800宇的文章。 静安区 27.作文 阅读下面的文字，请自拟题目，写一篇不少于800字的文章（不要写成诗歌）。 一位先哲说，人的一生应努力追求这样的境界：为人如山，处事若水。 闵行区 28.阅读下面材料，根据要求作文。 中华老字号是中国商业对民族品牌特有的称谓，它们从形成到发展大都经历了几十年甚至数百年的时间，因此被人们称为“活文物”。但随着网购的迅速普及和扩展，中华老字号受到强大冲击，它们大多前景黯淡，有的甚至倒闭。 请写一篇文章，谈谈你对这种现象的思考。要求：（1）自拟题目；（2）不少于800字。 高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n； 1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 One【2018届上海市西南位育高三英语上学期10月试题】 III. Reading Comprehension Section A Directions: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context. Many people think that listening is a passive business. It is just the ___41___one. Listening well is an active exercise of our attention and hard work. It is because they do not realize this, or because they are not __42____to do the work, that most people do not listen well. Listening well also requires total ____43____upon someone else. An essential part of listening well is the rule known as ‘bracketing’. Bracketing includes the temporary giving up or ___44___your own prejudices and desires, to experience as far as possible someone else’s world from the inside, stepping into his or her shoes. ____45____, since listening well involves bracketing, it also involves a temporary ____46____ of the other person. Sensing this acceptance, the speaker will seem quite willing to____47____up the inner part of his or her mind to the listener. True communication is under way and the energy required for listening well is so great that it can be _____48____ only by the will to extend oneself for mutual growth. Most of the time we____49____ this energy. Even though we may feel in our business dealings or social relationships that we are listening well, what we are usually doing is listening _____50____. Often we have a prepared list in mind and wonder, as we listen, how we can achieve certain_____51_____ results to get the conversation over as quickly as possible or redirected in ways more satisfactory to us. Many of us are far more interested in talking than in to hear. listening, or we simply____52____ to listen to what we don’t want It wasn’t until toward the end of my doctor career that I have found the knowledge that one is being truly listened to is frequently therapeutic. In about a quarter of the patients I saw, ____53_____ improvement was shown during the first few months of psychotherapy, before any of the____54_____of problems had been uncovered or explained. There are several reasons for __55____ that he or she this phenomenon, but chief among them, I believe, was the patient’s __ 新数学《数列》期末复习知识要点 一、选择题 1．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111 n a a a +++L 的值 A ． 1 n n - B ． 1 n n + C ． 1 1n n -+ D ． 1 n n + 【答案】A 【解析】 分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111 n a a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=， 则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ， 所以 1111 (1)1n a n n n n ==--- 所以 231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n -+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21 C ．24 D ．36 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】 因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m . 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2020宝山一模 VI. Guided Writing 76. Directions: Write an English composition in 120?150 words according to the instructions given below in Chinese. 假如你是红星中学高三年级的学生，你的英语老师在作文批阅时经常采用学生自批，学生互批或教师批阅（或集体批阅或面批）的方式。请就此情况通过微信和英语老师沟通一下，谈谈你的看法，你的文章必须包括： *你喜欢哪种方式？为什么？ *提出你认为可以提高作文批阅效率的合理化建议并给出理由。 注意：请勿透露本人真实姓名和学校名称。 2020崇明一模 VI. Guided Writing Directions: Write an English composition in 120-150 words according to the instructions given below in Chinese. 76. 明启中学为了进一步丰富学校艺术节，决定在原有三个专场（分别是：书法专场、器乐专场、歌曲专场）的基础上再增加一个专场，现向广大师生征求意见。假设你是该校学生林平，给负责的王老师写一封电子邮件，表达你的意见。邮件内容须包括： > 增加的专场的名称； > 该专场的具体内容； > 增加该专场的理由。 注：文中不得提及你的真实姓名或学校。 2020奉贤一模 VI. Guided Writing Directions: Write an English composition in 120-150 words according to the instructions given below in Chinese. 随着移动网络的发展，各种手机APP应运而生，给我们的生活带来了极大便利，但许多同学也因此沉迷网络。现学生会发起一项清理手机APP的倡议，如果你只能从以下四个APPs：Wechat，Taobao，E-dictionary，Glory of Kings (mobile game)中保留两个，你会如何选择，并说明理由。上海市2020届高三数学试题分类汇编：数列(含解析)
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