全等三角形证明过程训练(习题及答案)

全等三角形证明过程训练（习题）

例题示范

例1：已知：如图，在正方形ABCD 中，AB =CB ，∠ABC =90°．E 为正方形内一点，

BE ⊥BF ，BE =BF ，EF 交BC 于点G ． 求证：AE =CF ． 【思路分析】 ① 读题标注：

② 梳理思路：

要证AE =CF ，可以把它们放在两个三角形中证全等．观察发现，放在△ABE 和△CBF 中进行证明．

要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，AB =CB ；BE =BF ；

根据条件∠ABC =90°，BE ⊥BF ，推理可得∠1=∠2． 因此由SAS 可证两三角形全等．

【过程书写】（在演草部分先进行规划，然后书写过程） 证明：如图 ∵BE ⊥BF ∴∠EBF =90° ∴∠2+∠EBC =90° ∵∠ABC =90° ∴∠1+∠EBC =90° ∴∠1=∠2

在△ABE 和△CBF 中

12AB CB BE BF =??

∠=∠??=?

（已知）

（已证）（已知）

∴△ABE ≌△CBF （SAS ）

∴AE =CF （全等三角形对应边相等）

巩固练习

1. 如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为点D ，E ，且PD =PE

，将上述条件标注

21G F

E D

C

B A G

A

B

C D

E

F

在图中，易得___________≌___________，从而AD =__________．

P E

D

B

A

D

C B A

第1题图 第2题图

2. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，如果要使

△ABD ≌△CDB ，那么还需要添加一组条件，

这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．

3. 已知：如图，C 为BD 上一点，AC ⊥CE ，AC =CE ，∠ABC =∠CDE =90°．若AB =4，

DE =2，则BD 的长为______．

E

D C

B

A

4. 已知：如图，点A ，E ，F ，B 在同一条直线上，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点

F ，BC =AD ，AE =BF ． 求证：△CEB ≌△DFA ．

5. 如图，点C ，F 在BE 上，∠1=∠2，BF =EC ，∠A =∠D ．

求证：△ABC ≌△DEF ．

F E D

C B

21

F

D

B

A

6. 已知：如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，且AC =BD ，BE ∥CF 证：△ABE ≌△DCF ．

F

D

C

B

A

7. 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D ，E ，AD 与

CE 相交于点H ，AE =CE ． 求证：AH =CB ．

思考小结

1. 要证明边或者角相等，可以考虑边或者角所在的两个三角形_______；要证

明三角形全等，需要准备_____组条件，其中有一组必须是_______相等． 2. 阅读材料

我们是怎么做几何题的？

例1：已知：如图，AB =AD ，AC =AE ，∠BAE =∠DAC ． 求证：∠B =∠D ．

第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上（请把条件标注在图上） 第二步：分析特征走通思路

① 要求∠B =∠D ，考虑放在两个三角形里面证全等，把∠B 放在△

ABC 中，把∠D 放在△ADE 中，只需要证明这两个三角形全等即可．

② 要证明△ABC ≌△ADE ，需要找三组条件，由已知得AB =AD ，AC =AE ，还

E

D

B

C A

H

E

D

C

B

A

差一组条件，根据∠BAE=∠DAC，同时加上公共角∠CAE，可得∠BAC=∠DAE，利用SAS可得两个三角形全等．

第三步：规划过程

过程分成三块：

①由∠BAE=∠DAC，可得∠BAC=∠DAE；

②由SAS得△ABC≌△ADE；

③由全等得∠B=∠D．

第四步：过程书写

【参考答案】

巩固练习

1.Rt△ADP，Rt△AEP，AE

2.AD=CB，HL

AB=CD，SAS

∠A=∠C，AAS

∠ADB=∠CBD，ASA

3. 6

4.证明：如图，

∵CE⊥AB，DF⊥AB

∴∠CEB=∠DFA=90°

∵AE=BF

∴AE+EF=BF+EF

即AF=BE

在Rt △CEB 和Rt △DFA 中

BC AD BE AF =??

=?

（已知）

（已证） ∴Rt △CEB ≌Rt △DFA （HL ） 5. 证明：如图，

∵BF =EC ∴BF +FC =EC+FC 即BC =EF

在△ABC 和△DEF 中

1 2 A D BC EF =??

=??=?

∠∠（已知）∠∠（已知）（已证） ∴△ABC ≌△DEF （AAS ） 6. 证明：如图，

∵AC =BD ∴AC -BC =BD -BC 即AB =DC ∵BE ∥CF ∴∠1=∠2 ∵∠1+∠3=180° ∠2+∠4=180° ∴∠3=∠4 ∵AE ∥DF ∴∠A =∠D

在△ABE 和△DCF 中

3 4 AB DC A D =??

=??=?

∠∠（已证）（已证）∠∠（已证） ∴△ABE ≌△DCF （ASA ） 7. 证明：如图，

第5题图

4321

A B C

D

F

第6题图

3

1

2

4A

B C

D

E

H

∵AD ⊥BC ∴∠ADC =90° ∴∠1+∠2=90° ∵CE ⊥AB

∴∠AEH =∠CEB =90° ∴∠3+∠4=90° ∵∠2=∠4 ∴∠1=∠3

在△AEH 和△CEB 中

3 1 AEH CEB AE CE =??

=??=?

∠∠（已证）

（已知）

∠∠（已证） ∴△AEH ≌△CEB （ASA ）

∴AH =CB （全等三角形对应边相等）

思考小结

1. 全等；3，边