(精典)磁场中各种边界问题解析
V 0
*
θ θ V 0
A
B
θ V 0 A
V 0
图1 `
图2
图3 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的分析方法
一．找圆心、画轨迹、找角度。
数学模型： ]
（1）已知圆的两条切线，作它们垂线，交点为O ，即为圆心。
（2）已知圆的一条切线，和过圆上的另一点B ，作过圆切线的垂线，再作弦的中垂线。交点即为圆心O 。
（3）偏向角补角的平分线，与另一条半径的交点
直线边界磁场
例1.找到下面题中粒子的圆心，画出轨迹。求从左边界或右边界射出时与竖直方向夹角φ以及粒子在磁场中经历的时间。(第3图作出粒子刚好不从右侧穿出磁场)
练1：已知B 、＋q 、m 、θ、d 、a 、V 0。求从左边界穿出时经历的时间。 "
（1）刚好不从上边界穿出
（2）刚好不从下边界穿出
练3.如图所示，在水平直线MN 上方有一匀强磁场，磁感强度为B ，方向垂直向里。一带电粒子质量为m 、电量为q ，从a 点以与水平线MN 成θ角度射入匀强磁场中，从右侧b 点离开磁场。问： （1）带电粒子带何种电荷
（2）带电粒子在磁场中运动的时间为多少
、
）
A B C
O
V 0
V 0
φ
练习.、CD、EF为三条平行的边界线，AB、CD、相距L1，CD、EF相距L2，如图所示，AB、CD之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B1，CD、EF之间也有垂直纸面向里的匀强磁场，磁惹感强度为B2。现从A点沿A方向垂直磁场射入一带负电的粒子，该粒子质量为m，带电量为-q，重力不计，求：
（1）若粒子运动到CD边时速度方向恰好与CD边垂直，则它从A点射入时速度V0为多少
（2）若已知粒子从A点射入时速度为u（u>V0），则粒子运动到CD边界时，速度方向与CD边的夹角θ为多少
（3）若已知粒子从A点射入时速度为u（u>V0）粒子运动到EF边界时恰好不穿出磁场，则CD、EF之间磁场的磁感强度B2为多少
；
2.如图所示，M、N、P是三个足够长的互相平行的边界，M、N与N、P间距离分别为L1、L2，其间分别有磁感强度为B1、B2的匀强磁场区Ⅰ与区Ⅱ，磁场方向均垂直纸面向里。已知B1≠B2。一个带正电的粒子，质量为m，电量为q，以大小为V0的速度垂直于边界面M射入MN间的磁场区，讨论粒子速度V0应满足什么条件，才可通过这两个磁场区，并从边界面P射出（不计重力）
$
3.（2005江苏）如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，S1、S2为板上正对的小孔，N板右侧有两个宽度均为d的匀强磁场区域，磁感强度大小均为B，方向分别垂直于纸面向外和向里。磁场区域右侧有一个荧光屏，取屏上与S1、S2共线的O点为原点，向上为正方向建立x轴，M板左侧电子枪发射出的热电子经小孔S1进入两板间，电子的质量为m，电荷量为e，初速度可以忽略。
(1)当两金属板电势差为U0时，求从小孔S2射出的电子速度V0
(2)求金属板间电势差U在什么范围内，电子不能穿过磁场区域。
(3)若电子能够穿过磁场区域而打到荧光屏上，试在图上定性画出电子运动的轨迹。
(4)求电子打到荧光屏上的位置坐标x和金属板间电势差U的函数关系。
（
练4.如图所示，abcd是一边长为L的正方形，它是磁感强度为B的匀强磁场横截面的边界线。一带电粒子从ad 边的中点O与ad边成θ=30°角且垂直于磁场方向射入。若该带电粒子所带的电荷量为q，质量为m(重力不计)则该带电粒子在磁场中飞行时间最长是多少若要带则粒子飞行时间最长，带电粒子的速度必须满足什么条件
￥
圆形边界磁场
一．找圆心、画轨迹、找角度。
数学模型：
—
三个结论：
（1）
（2）
（3）
例题1.电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加时，电子束将通过O点打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P。需加磁场，使电子束偏转一已知角度θ。此时磁场的磁感强度B应为多少
、
练1.如图所示，磁感强度B的匀强磁场存在于半径为R的光滑的圆环内部。圆环A处开一小孔，带电粒子经电压为U的电场加速后，沿着半径方向由小孔射入圆环。粒子在环内和圆环发生两次不损失能量的碰撞（碰撞过程中带电粒子电量不变，圆环固定不动）后仍从A孔射出环处，试求带电粒子的荷质比。
—
练2.带电粒子的质量为m，带电量为q，以速度V0从O点处进入磁感强度为B的匀强磁场，从磁场射出经过b点，射出方向与x轴成θ＝30°，试求，
（1）圆形磁场区域的最小半径（带电质点重力可忽略不计）
（2）写出b点的坐标
（3）计算出粒子在磁场中运动的时间。
^
拓展：如图所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行b于ox轴的速度V0从y轴上a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于ox轴的速度V0射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径（带电质点重力可忽略不计）。
[
练3.(2005广东)如图所示，在一圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径为A2A4为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4与A1A3的夹角为60°。一质量为m，带电量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘A1处沿与A1A3成30°角的方向射入磁场，随后该粒子以垂直于A2A4的方向经过圆心O 进入Ⅱ区，最后再从A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为t，求Ⅰ区和Ⅱ区中磁感强度的大小(忽略粒子的重力)。
￥
￥
多方向的带电粒子专题
1.如图所示，在X 轴上方（y 0）存在着垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B 。在原点O 有一离子源向各个方向发射出质量为m 、电量为q 的正离子，速率都是V 0，对那些在xy 平面内运动的离子，在磁场中，可能到达的最大x=__________，最大y=_________.画出粒子能到达的区域图。
2.(2004广东、广西)如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于图中纸面向里，磁感应强度大小B=。磁场内有一块平面感光板ab ，板面与磁场方向平行。在距ab 的距离为L=16cm 处有一个点状的α放射源S ，它向各个方向发射α粒子。α粒子的速度都是v=×106m/s 。已知α粒子的比荷为kg C m
q
7100.5?=。现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，求ab 上α粒子打中的区域的长度。 ：
2．如图所示为一长度足够长，宽度d=8.0cm 的匀强磁场，磁感强度B ＝，磁场方向垂直纸面向里。在磁场边界aa′上有一放射源S ，它可沿纸面向各个方向射出初速度V 0＝×106m/s 的α粒子。已知α粒子的电量q=×10
－19
C ，质量m=×10
－27
Kg ，试求α粒子从磁场的另一边界bb′射出的长度范围。
)
练2.（99年全国高考）如图所示，虚线MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的空间存在一磁感强度为B 的匀强磁场，方向是垂直纸面向外。O 是MN 上的一点，从O 点可以向磁场区域发射电量为＋q ，质量为m ，速度为v 的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向。已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中的P 点相遇，P 到O 的距离为L ，不计重力及粒子间的相互作用，求： （1）所考察的粒子在磁场中的轨道半径。 （2）这两个粒子从O 点射入磁场中的时间间隔。
~
练3.核聚变反应需几百万度高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如右图所示，环状均强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子的只要速度不是很大，都不会穿出磁场外缘，设环状磁场的内半径为R 1=0.5m ，外半径为R 2=1.0m ，磁场的感应强度B=，方向垂直纸面向里，若被束缚带电粒子的荷质比为
m
q
=4×104C/kg ，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度，试计算：（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。 （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
…
（07全国Ⅰ25）两平面荧光屏互相垂直放置于两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x 轴和y 轴，交点O
为原点，如图所示。在y>0,0
.
带电粒子在复合场中运动
例1.(2004全国理综Ⅳ24)空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，一带电量为+q 、质量为m 的粒子，在P 点以某一初速度开始运动，初速度方向（在图中纸面内）如图中P 点箭头所示。该粒子运动到图中Q 点时速度方向与P 点时速度方向垂直，如图中Q 点箭头所示。已知P 、Q 间的距离为L 。若保持粒子在P 点时的速度不变，而将匀强磁场换成匀强电场，电场方向与纸面平行且与粒子在P 点时速度方向垂直。在此电场作用下粒子也由P 点运动到Q 点，不计重力。求： (1)电场强度大小
(2)两种情况中粒子由P 点运动到Q 点所经历的时间之差。
￥
拓展：
1.如图所示，宽度为d=8cm 的匀强磁场和匀强电场共存的区域内，电场方向竖直向下，磁场的方向垂直纸面向里，一带电粒子沿水平方向射入电磁场区域，恰好不发生偏转，若入射时撤去磁场，带电粒子穿过场
区射出时，向上侧移了3.2cm。若入射时撤去电场，求带电粒子穿过场区时射出时的侧移(不计重力)
|
如图，xoy平面内的圆O′与y轴相切于坐标原点O。在该圆形区域内，有与y 轴平行的匀强电场和垂直于圆面的匀强磁场。一个带电粒子(不计重力)从原点为O沿x轴进入场区，恰好作匀速运动，穿过场区的时间为T0。
若撤去磁场，只保留电场，其他条件不变，该带电粒子穿过场区的时间为T0/2。若
撤去电场，只保留磁场，其他条件不变，该带电粒子穿过场区的时间。
-
练2.(2004全国理综Ⅱ24)如图所示，在y>0的空间存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y<0空间中存在匀强磁场，磁场的方向垂直xy平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上y=h处的点P1时速率为V0，方向沿x轴正方向，然后，经过x轴上x=2h处的P2点进入磁场，并经过y 轴上y=-2h处的P3点。不计重力，求
(1)电场强度的大小；
(2)粒子到达P2时速度的大小和方向；
(3)磁感应强度的大小。
练3.如图所示的坐标中，x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。在x轴上方空间的第一、第二象限内，既无电场也无磁场，在第三象限，存在沿y轴正方向的匀强电场和垂直于xy平面(纸面)向里的匀强磁场，在第四象限，存在沿y轴负方向、场强大小与第三象限电场场强相等的匀强电场。一质量为m、电量为q的带电质点，从y轴上y=h处的P1点以一定的的水平初速度沿x轴负方向进入第二象限。然后经过x轴上x=-2h 处的P2点进入第三象限、带电质点恰好能做匀速圆周运动。之后经过y轴上y=-2h处的P3点进入第四象限。已知重力加速度为g。求：
—
(1) 粒子到达P2点的速度大小和方向；
(2) 第三象限空间中电场强度和磁感应强度的大小；
(3) 带电质点在第四象限空间运动过程中最小的速度的大小和方向。
练4.如图所示中，整个空间内有水平向右的匀强电场，以竖直虚线NC 为理想边界，其右侧有垂直纸面向里、磁感强度为B 的匀强磁场。带有极短斜槽的光滑绝缘轨道CD 部分水平，斜槽倾角α=45°。质量为m 、带电量+q 的微粒自A 点从静止开始运动，刚好沿虚线 AC 运动至斜槽上，假设微粒和斜槽发生碰撞时有能量损失，但可以认为碰撞前后微粒的水平分速度保持不变，由于C 处斜槽极短使微粒即以该水平速度进入水平光滑绝缘轨道CD 部分，之后在D 处离开沿图示曲线轨道DP 运动。求 (1)AD 之间的水平距离d ；
(2)微粒离开D 点后继续运动过程中达最大速度时，速度和竖直方向的夹角是多少度(只需写出结果，不需说明原因)。
…
练5.如图所示，在坐标的第Ⅰ象限内有一匀强磁场区域，磁感强度为B ，y
轴是磁场左侧的边界，直线OA 是磁场的右侧边界。在第Ⅱ象限y>0的区域 ，有一束带电量为q 的负粒子(重力不计)垂直y 轴射入磁场，粒子的质量为m ，粒子在各入射点的速度与入射点的y 轴坐标值成正比，即v=by ，(b 是常数，且b>0)。要求粒子穿过磁场区域后，都垂直于x 轴射出，求：直线OA 与x 轴的夹角θ多大(用题中已知物理量符号表示)
$
练6.如图所示，坐标空间中有场强为E 的匀强电场和磁感应强度为B 的匀强磁场，y 轴为两种场的分界面，图中虚线为磁场区域的右边界，现有一质量为m ，电荷量为-q 的带电粒子从电场中坐标位置(-1,0)处，以初速度V 0沿x 轴正方向开始运动。试求：
使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中，磁场宽度d 应满足的条件
—
练7.如图所示，在X 轴的方向上有垂直于XY 平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，在X 轴的下方有沿Y 负方向的电场，场强为E 。一质量为m ，电量为-q 粒子从坐标原点O 沿Y 轴的正方向射出。射出之后，第三次到达X 轴时，它与O 点的距离为L 。求此粒子射出时的速度v 和运动的总路程（重力不计）
·
B
O
Y
X
-L
X
Y
O
V
练8.某空间存在一个变化的电磁场，电场的方向向右，即图中由B到C的方向，电场的大小为图中所示的E－t图，磁感强度为图C所示的B－t图象。在A点从t=1s（即1s末）开始每隔2s有一相同的带电粒子（不计重力）沿AB的方向（垂直于BC）以速度V射出，恰能击中C点。若AC＝2BC，且粒子在AC间运动时间小于1s，求：
（1）图中E0和B0的比值；
（2）磁场的方向
（3）若第一个粒子击中C的时刻已知为（1＋△t）s，那么第二个粒子击中C的时刻是多少
—
带电粒子在磁场中动量变化△P ＝qBd 问题的讨论和应用
带电粒子在磁场中的运动，是电磁学中典型问题之一，除了运用基本的动力学规律和功能关系外，可运用两个基本观点推理论证出较为简便的方法，对分析问题带来方便。 原理：
如图所示，在某一区域内存在磁感应强度为B ，方向垂直纸面向外的匀强磁场，一带电粒子电量为＋q 、质量为m 的粒子在垂直与磁场的平面内从M 点到达N 点时，假设带电粒子只受磁场力的作用，其速度和受力如图（不计其它力和重力）： ？
例1.如图所示，一质量为m ，带电量为q 的带电粒子（重力不能忽略），以速度V 0从上面竖直向下进入宽度为d 的水平向里的匀强磁场区域中，磁感应强度为B ，试求粒子飞出磁场的方向
…
练1.如图所示，当极板足够长的平行板电容器的负极板被一定波长的光所照射时，负极板上有电子从各外方向射出来，电子脱离极板时的速率极小，可以忽略不计，设电容器两极板间的距离为d ，极板间的电势差为U ，两极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，为使这些电子不能到达正极板，磁感强度B 至少多大
)
练2.如图所示，与竖直面垂直的均匀磁场磁感强度为B ，高为d ，一质量为m ，带电量为q 的小颗粒从距离磁场上边缘高为h 处从静止开始自由下落而进入磁场，试求粒子从磁场中出来时的速度大小和方向
练3.如图所示，在竖直向下的足够宽的xoy 平面的下方，存在着许多沿y 方向等宽的区域，每个区区域的宽度为2d ，每个区域又分为两个小区域，上区域内既无电场，又无磁场，宽度为d ，下区域内有垂直xoy 平面的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，有一带电量为+q ，质量为m 的带电粒子从O 点开始从静止开始自由下落。令,mg qE =T B 1.0= ,100.210C q -?=d=10cm ，m=×10-11kg,试求当粒子到第几区域时，带电粒子不能从该区域的下方出来
。
…
速度选择器、流量计、等离子发电机
（1）速度选择器：如图是一个速度选择器的示意图，速率不同的带电粒子水平地进入场区，路径不发生偏转的粒子条件是Eq=Bqv ，即v=B
E
，能通过速度选择器的带电粒子，其速度必
为B
E
，它与带多少电和电性、质量都无关。
、
（2）磁流体发电机：如右图是磁流体发电机，其原理是：等离子气体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生上下偏转而聚集到A 、B 板上，产生电势差，设A 、B 平行金属板的面积为S ，相距为L ，等离子气体的电阻率为p ，喷入气体速度为v ，板间磁场的磁感应强度为B ，板外电阻为R ，当等离子气体匀速通过A 、B 板间时，A 、B 板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，即为电源电动势，此时，离子受力平衡：E 场q=Bqv ，E 场=Bv ，电动势E= E 场L=Blv ，电源内电阻r=p S
L ，故R 中
的电阻
I=r R E +=S
L p
R BLv +=pl
RS BLvS +
（3）电磁流量计：电磁流量计原理可以解释为：如图所示，一圆形导管直径为d ，用非磁性材料制成，其中有可以导电的液体向左流动，导电流体中的自由电荷（正负离子）在洛伦兹力作用下横向偏转，a 、b 间出现电势差。当自由电荷所受电场力和洛伦兹力平衡时，a 、b 间的电势差就保持稳定。 由Bqu=Eq=d
U q 可得v=
Bd
U 流量Q=Sv=42d π·Bd U =B
dU
4π.
例题1. （2003年辽宁综合）如图所示，a 、b 是位于真空平行金属板，a 板带正电，b 板带负电，两板间的电场为匀强电场，电场强为E 。同时在两之间的空间中加匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B 。一束电子以大小为v 0的速度从左边S 处沿图中虚线方向入射，虚线平行于两板，要想使电子两板间能沿虚线运动，则v 0、E 、B 之间的关系应该是
!
=E/B = B/E = E/B = B/E
例题2.（2000全国）如图所示，厚度为h 、宽度为d 的导体板放在垂直于它的磁感强度为B 的均匀磁场中，当电流通过导体板时，在导体板的上侧面A 和下侧面A ′之间会产生电势差这种现象称为霍尔效应，实际表明，当磁场不太强时，电势差U 、电流I 和B 的关系为：d
IB
K
U =，式中的比例系数K 称为霍尔系数。霍尔效应可解释如下；外部磁场的洛伦兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧会出现多余的正电荷，从而形成横向电场，横向电场对电子施加与洛伦兹力方向相反的静
电力。当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差。设电流I 是由电子的定向流动而形成的，电子的平均定向速度为v ，电量为e ，回答下列问题： (
（1）达到稳定状态时，导体板上侧面A 的电势 下侧面A ′的电势（填高于、低于或等于） （2）电子所受的洛伦兹力的大小为 。
（3）当导体板上下两侧之间的电势差为U 时，电子所受静电力的大小为 。 (4）由静电力和洛伦兹力平衡的条件,证明霍欠系数为K=
ne
1
，其中n 代表导体单位体积中电子的个数。
例题3.（2001全国）电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面积的流体的体积），为了简化，假设流量计是如右图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a 、b 、c ，流量计的两端与输送流体的管道相连（图中虚线），图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感应强度B 的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面，当导电流体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R 的电流表的两端连接，I 表示测得的电流值，已知流体的电阻率为p ，不计电流表的内阻，则可求得流量为 A.)(1a c p bR B + B. )(1c
b
p aR B +
C. )(1b a p cR B +
D. )(1a
bc p R B +
例题4.（2002·全国）右图所示是测量带电粒子质量的仪器工作原理示意图，设法使某有机化合的气态分子导入如右图所示的容器A 中，使它受到电子束轰击，失去一个电子变成为正一价的分子离子，分子离子从狭缝S 1以很小的速度进入电压为U 的加速电场区（初速不计），加速后，再通过狭缝S 2，S 3射入磁感应强度为B 的匀强磁场，形成垂直于纸面且平行狭缝S 3的细线，若测得细线到狭缝S 3的距离为d 。 （1）导出分子离子的质量m 的表达式。
（2）根据分子离子的质量数M 可以推测有机化合物的结构简式，若某种含C ，H 和卤素的化合物的质量数M 为48，写出其结构简式。
（3）现有某种含C ，H 和卤素的化合物，测得两个的质量数M 分别为64和66，试说明原因，并写出它们的结构简式。在推测有机化合物的结构时，可能用到的含量较多的同位素的质量数如下表：
元素 H C F C1 Br 含量较多的同位素的质量数
1
12
19
h
A A’
I
B c a
b
例5.（2003年江苏）串列加速器是用来产生高能离子的装置，图中虚线框内为其主体的原理示意图，其中加速管的中部b 处有很高的正电势U，a、c两端均有电极接地（电势为零）。现将速度很低的负一价碳离子从a端输入，当离子到达b处时，可被设在b处的特殊装置将其电子剥离，成为n价正离子，而不改变其速度大小，这些正n价碳离子从c端飞出后进入一与其速度方向垂直
的、磁场应强度为B的匀强磁场中，在磁场中做半径为R的圆周运动。
已知碳离子的质量m=×10-26kg，U=×105V，B=，n=2，基元电荷e=×10-19C，
求R。
例题6.（2004天津）磁流体发电是一种新型发电方式，图1和图2是其工作原理示意图。1中的长方体是发电导管，其中空部分的长、高、宽分别为L、a、b，前后两个侧面是绝缘体，上下两个侧是电阻可略的导体电级，这两个电极与负载电阻R L相连，整个发电导管处于图（2）中磁场线圈产生的匀强磁场里，磁感应强度B，方向如图所示，发电导管内有电阻率为p的高温、高速电离气体沿导管向右流动，并通过专用管道导出。由于运动的电离气体流速随磁场有无而不同。设发电导管内电离气体流速处处相同，且不存在磁场时电离气体流速为v0，电离气体所受摩擦阻力总与流速成正比，发电导管两端的电离气体压强差△p 维持恒定，求：
（1）不存在磁场时电离气体所受的摩擦阻力F多大；
（2）磁流体发电机的电动势E的大小；
（3）磁流体发电机发电导管的输入功率P。
例题7.如图-6所示，虚线上方有场强为E的匀强电场，方向竖直向下，虚线上下有磁感应强度相同的匀强磁场，方向垂直纸面向外，a b是一根长l的绝缘细杆，沿电场线放置在虚线上方的场中，b端在虚线上，将一套在杆上的带正电的小球从a端由静止释放后，小球先作加速运动，后作匀速运动到达b端，已知小球与绝缘杆间的动摩擦系数μ＝，小球重力忽略不计，当小球脱离杆进入虚线下方后，运动轨迹是半圆，圆的半径是l/3，求带电小球从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与电场力所做功的比值。