九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式教案新版湘教版

2.3 一元二次方程根的判别式

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一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别 式知识点 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

一元二次方程根的判别式知识点及应用 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac 若△＞0则方程有两个不相等的实数根 若△=0则方程有两个相等的实数根 若△＜0则方程没有实数根 2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理： 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac 若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个相等的实数根，则△=0 若方程没有实数根，则△＜0 特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。 一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。 二、例1、判断下列方程根的情况 三、2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、?已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0有两个实数根？ 三、?证明方程根的性质。 例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 四、?判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 五、?判定二次三项式为完全平方式。 例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是

一元二次方程的根的判别式练习题

一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0 也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+ p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2+ β3=0，求证：p=0,q<0 22、已知方程(x －1)(x －2)=m 2(m 为已知实数，且m ≠0)，不解方程证明： (1)这个方程有两个不相等的实数根；

一元二次方程判别式及韦达定理

一元二次方程判别式及韦达定理 一、选择题 1.（2013湖北黄冈）已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2013四川泸州）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k <且0k ≠ C ． 1k ≥-且0k ≠ D ． 1k >-且0k ≠ 3. （2013四川泸州，）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则 2112 x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 4. （2013福建福州，）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A ．x 2＋3＝0 B ．x 2＋2x ＝0 C ．(x ＋1)2＝0 D ．(x ＋3)(x －1)＝0 5．（2013山东滨州，）对于任意实数k ，关于x 的方程程x 2－2(k +1)x －k 2+2k －1=0的根的情况为 A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定 6．（2013广东广州）若0205<+k ，则关于x 的一元二次方程042=-+k x x 的根的情况是（ ） A .没有实数根 B .有两个相等的实数根 C .有两个不相等的实数根 D .无法判断 7．（2013山东日照）已知一元二次方程032=--x x 的较小根为1x ,则下面对1x 的估计准确的是 A ．121-<<-x B ．231-<<-x C ．321<

一元二次方程根的判别式专题训练

一元二次方程根的判别式专题训练 1. (2010 广西钦州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ． 2. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是____________. 3. (2010 江苏省苏州市) 若一元二次方程()2 220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、，则a b +=_________. 4. (2010 江苏省苏州市) 下列四个说法中，正确的是（ ） A ．一元二次方程22 452 x x ++=有实数根； B. 一元二次方程23 452 x x ++=有实数根； C. 一元二次方程25 453x x ++= 有实数根； D. 一元二次方程()2451x x a a ++=≥有实数根. 5. (2010 湖南省益阳市) 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，则ac b 42 -满足的条件是 Ａ．ac b 42 -＝0 Ｂ．ac b 42-＞0 Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 6. (2010 山东省烟台市) 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）= . 7. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根， 求m 的值及方程的根． 8. 当k 是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k –1)x+72=0有两个不相等的正整数根？ 9. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根. 10. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x

解一元二次方程(根的判别式)

第四课时 解一元二次方程（根的判别式） 学习目标： 1、熟练使用公式法解一元二次方程。 2、会用ac b 42 -的值来判断一元二次方程。 授课内容： 1、用公式法法解下列方程： （1）0222=--x x （2）0122=+-x x （3）0222=+-x x . 2、观察上述方程的根，方程（1）两个实数根________，方程（2）两实数根________， 方程（3）_______________。那么方程根出现不同情况是由什么来判断的呢？ 3,结论：一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的情况可由ac b 42-来判定： 当__________时，方程有两个不相等的实数根； 当__________时，方程有两个相等的实数根； 当__________时，，方程没有实数根。 我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式 说明：（1）可以不解方程求ac b 42 -的值来判别方程的根的情况。 （2）上述结论反过来也成立。 例题讲解 例1、不解方程，判别方程根的情况： （1）0132=-+x x （2）0962 =+-x x （3）04322=+-y y （4）x x 5252=+ 变式：求证：不论x 取何值时，关于x 的一元二次方程012 =--kx x 总有两个不相等的实 数根。

例2、k 取什么值时，关于x 的方程022)2(22=-++-k x k x 有两个相等的实数根？有 两个不等的实数根？无实数根？ 变式1：已知关于0232 =-+-k x x 有实数根，求k 的取值范围。 例3、已知关于x 的方程220kx +-=有两个不相等的实数根．．．．．．．．．，求k 的取值范围。 变式:关于x 的方程．．2 (2)2(1)10k x k x k ---++=有实数根，求k 的取值范围。 课堂练习: 1,已知关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=，K 取什么值时 ○ 1、方程有两个不相等的实数根； ○ 2、方程有两个相等的实数根； ○ 3、方程无实数根； 2,试说明关于x 的方程222(1)2(4)0m x mx m +-++=无实数根。

专题：一元二次方程根的判别式(含答案)

一元二次方程根的判别式 姓名 ◆课前预习 1．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况可用b 2－4ac?来判定，?b 2－4ac?叫做________，通常用符号“△”为表示．（1）b 2－4ac>0?方程_________；（2）b 2－4ac=0?方程_________； （3）b 2－4ac<0?方程_________． 2．使用根的判别式之前应先把方程化为一元二次方程的________形式． ◆互动课堂 【例1】不解方程，判别下列方程根的情况： （1）x 2－5x+3=0； （2）x 2；（3）3x 2+2=4x ； （4）mx 2+（m+n ）x+n=0（m ≠0，m ≠n ）． 【例2】若关于x 的方程（m 2－1）x 2－2（m+2）x+1=0有实数根，求m 的取值范围． 【例3】已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k+1）x+4（k －12 ）=0．（1）求证：无论k 取什么实数 值，这个方程总有实数根；（2）如果等腰△ABC 有一边长a=4，另两条边长b ，c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长． 【例4】已知关于x 的方程x －2（m+1）x+m 2=0．（1）当m 取何值时，方程有两个实数根？ （2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根． ◆跟进课堂 1．方程2x 2+3x －4=0的根的判别式△=________． 2．已知关于x 的一元二次方程mx 2－10x+5=0有实数根，则m 的取值范围是______． 3．如果方程x 2－2x －m+3=0有两个相等的实数根，则m 的值为_______，此时方程的根为________． 4．若关于x 的一元二次方程kx 2+2x －1=0没有实数根，则k 的取值范围是______． 5．若关于x 的一元二次方程mx 2－2（3m －1）x+9m －1=0有两个实数根，则实数m?的取值范围是_______． 6．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）． A ．x 2+2x －1=0 B ．x 2 C ．x 2 D ．－x 2+x+2=0 7．如果方程2x （kx －4）－x 2－6=0有实数根，则k 的最小整数是（ ）．A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 8．下列一元二次方程中，有实数根的方程是（ ）． A ．x 2－x+1=0 B ．x 2－2x+3=0 C ．x 2+x －1=0 D ．x 2+4=0 9．如果关于x 的一元二次方程kx 2－6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）． A ．k<1 B ．k ≠0 C ．k<1且k ≠0 D ．k>1 10．关于x 的方程x 2+（3m －1）x+2m 2－m=0的根的情况是（ ）． A ．有两个实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．没有实数根 ◆课外作业 1.在下列方程中，有实数根的是（ ） （A ）x 2+3x+1=0 （B （C ）x 2+2x+3=0 （D ）1x x -=11 x - 2．关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是 A 、有两个不相等的同号实数根 B 、有两个不相等的异号实数根 C 、有两个相等的实数根 D 、没有实数根 3．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2＋3a －4＝0有一个实数根是x ＝0．则a 的值为（ ）． A 、1或－4 B 、1 C 、－4 D 、－1或4 4．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范围是 ． 5．若0是关于x 的方程（m -2）x 2+3x+m 2-2m -8=0的解，求实数m 的值，并讨论此方程解的情况．

一元二次方程根的判别式练习题

一元二次方程根的判别式练习题 (一)填空 1.方程x2 + 2x-1 + m=0有两个相等实数根，则m= _______ . 2.____________________ a是有理数，b是时，方程2x2 +(a+ 1) x- (2+ b) =0的根也是有理数. 3.____________________________________________ 当kv 1 时，方程 2 (k+1) x2+ 4kx+2k-1=0有 ______________________________ 数根. 5.若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为_________ . 6.方程4mx2-mx+仁0有两个相等的实数根，则m为 __________ . 7 .方程x2-mx + n=0中，m, n均为有理数，且方程有一个根是 2 8.__________________________ —元二次方程ax2 + bx+ c=0 (a^)中，如果a, b, c是有理数且△ =b2 是一个完全平方数，则方程必有 . 9 .若m是非负整数且一元二次方程(1-m2) x2+2 (1-m) x-仁0有两个实数根，贝卩m的值为_________ . 0 .若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是_______ . 1 .已知方程2x2- (+ n) x+m?n=0有两个不相等的实数根，则m, n的取值范围是________ . 2.________ 若方程a (1-x2)+ 2bx + c (1 + x2) =0的两个实数根相等，则a, b, c 的关系式为__ . 3.二次方程(k2-1) x2-6 (3k-1) x+72=0有两个实数根，则k为___. 4.若一元二次方程(1-3k) x2 + 4x-2=0有实数根，则k的取值范围是 ______ . 5.方程(x2 + 3x) 2+9 (x2+3x) + 44=0解的情况是—解. 6.如果方程x2+px+ q=0有相等的实数根，那么方程x2-p (1 + q) x+q3 +

一元二次方程的根的判别式教学案(一)

一元二次方程的根的判别式教学案（一） 一、素质教育目标 （一）知识教学点： 1．了解根的判别式的概念． 2．能用判别式判别根的情况． （二）能力训练点： 1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力． 2．进一步考察学生思维的全面性． （三）德育渗透点： 1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神． 2．进一步渗透转化和分类的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：会用判别式判定根的情况． 2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．” 3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac ＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根． 三、教学步骤 （一）明确目标 在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？

这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况． （二）整体感知 在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题． 在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用． （三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）平方根的性质是什么？ （2）解下列方程： ①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0． 问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用． 2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将 （1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

一元二次方程的求根公式及根的判别式

一元二次方程的求根公式及根的判别式 主讲：黄冈中学高级教师余国琴 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实 根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)；(2)；(3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 解：(1)因为a=1，，c=10 所以

【教案】 一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式 一、教学内容分析 “一元二次方程的根的判别式”一节，在《华师大版》的新教材中是作为阅读材料的。从定理的推导到应用都比较简单。但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。 教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。 教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 二、教学目标 依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是： 知识和技能： 1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法： 1、培养学生的探索、创新精神； 2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。 情感态度价值观： 1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美； 2、加深师生间的交流，增进师生的情感； 3、培养学生的协作精神。 三、教学策略： 本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。具体如下： 序号教师学生 1设置悬念引发兴趣争先恐后，欲解疑团

一元二次方程根的判别式练习题

一元二次方程根的判别式练习题 （一）填空 1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____． 2．a是有理数，b是___，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数． 3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根． 4．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____． 5．方程4mx2 -mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m____． 6．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2 ）x2 +2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为． 7．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____．8．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k___． 9．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____．（二）选择 10．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2 +x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]．11．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]．A2个； B．1个； C．0个； D．不确定． 12．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]． 13．若一元二次方程（1-2k）x2 +8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]．A．2； B．0； C．1； D3． 14．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是[ ]．A．1； B．2； C．-1； D．0．

一元二次方程根的判别式的意义及应用

教学目标 （一）使学生掌握一二次方程的根的判别式。 （二）使学生会运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。教学重点和难点 重点：一元二次方程的根的判别式的运用。 难点：对一元二次方程的根的判别式的结论的理解。 教学过程设计 （1）（一）复习提问，引入新课 1．什么元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式？ 2．公式适用条件是什么？ （二）新课 1． 1．根的判别式念 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，代数b2-4ac起着重要的作用，我们把它叫做根的判别式，通常用记号△表示，即 △=b2-4ac (注意不是△=) 2． 2．根的判别式的应用 （实际上就是定理）用三个定理来表示（我们通常把记号A B表示为A是命题的条件，B是命题的结论）于是有： 定理1ax2+bx+c=0(a≠0)中，△＞0方程有两个不等实数根 定理2ax2+bx+c=0(a≠0)中，△=0方程有两个相等实数根 定理3ax2+bx+c=0(a≠0)中，△＜0方程没有实数根 注意：根据课本P27第8行的“反过来也成立”，得另三个定理，那就是定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根△＞0 定理5ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根△=0 定理6ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根△＜0 显然，定理1与定理4，互为逆定理，定理2与定理5，互为逆定理，定理3与定理6，互为逆定理。 定理1，2，3的作用是用已知方程的系数，来判断根的情况。 定理4，5，6的作用是已知方程根的情况，来确定系数之间的关系，进而求出系数中某些字母的值。 （三）应用举例 例1 不解方程，判别下列方程根的情况。 （1）2x2+3x-4=0; (2)16y2+9=24y; (3)5(x2+1)-7x=0 解：（1）因为△=32-4×2（-4）=9+32>0;所以原方程有两个不相等的实数根。 （注意：①老师的板书及要求学生作业的写法都按照课本的格式。②只

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式 〖教材分析〗 1、地位和作用 本节内容是在一元二次方程的解法的基础上进行教学的，是对公式法的完善与发展。利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况。由于前面已经学习了求根公式，所以教材开门见山，首先直接对求根公式进行讨论，给出根的判别式的意义，进而得出一元二次方程根的判别方法，然后给出了判别方法的逆定理。最后，通过例题及练习，对一元二次方程根的判别方法及其逆定理进行了巩固。一元二次方程根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义。 2、重点和难点 本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。 〖学生情况分析及应对策略〗 学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对一元二次方程根的不同情况已经有了初步认识，对分类讨论的思想方法也不陌生，这为本节内容的教学提供了有利条件。教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。教师应充分调动学生的参与积极性，尽量通过他们自己的探究与思考得出结论，并注意适时引导。

〖设计理念〗 教学活动的设计以学生为主体，先通过练习获得感性认识，然后经过观察、思考、交流、讨论等活动，主动获取知识；强调通过学生积极主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维；在整个教学活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者与引导者。 〖教学准备〗 教具准备：多媒体课件。 学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。 〖教学目标〗 根据课标要求，结合学生的具体情况，确定本节课的教学目标为： 知识与技能：了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。 过程与方法：经历一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。 情感态度与价值观：通过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严谨的治学态度。 〖教学流程〗 一、创设情境，提出问题 1、你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？ 2、能力展示：分组比赛解方程 （1）x2+4=4x ；（2）x2+2x=3 ；（3）x2-x+2=0 。 （待学生做完后，教师点评。（1）x 1= x 2 = 2 ；（2） x 1= 1 ，x 2 = -3 ；（3）无实数根。)

一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别式知识点及应用 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)中，Δ=b24ac 若△＞0则方程有两个不相等的实数根 若△=0则方程有两个相等的实数根 若△＜0则方程没有实数根 2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理： 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac 若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个相等的实数根，则△=0 若方程没有实数根，则△＜0 特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。 3、一元二次方程根的判别式的多种应用： 不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例1、判断下列方程根的情况 2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？ 三、证明方程根的性质。 例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。

五、判定二次三项式为完全平方式。 例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。 六、利用判别式构造一元二次方程。 例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y） 求证：2y=x+z 七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。 例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。 八、与几何知识相联系的问题。 例9、已知方程a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0有两个相等的实数根，a、b、c为一三角形的三条边，求此三角形的形状。 例10、已知a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，求证：关于x的方程 x2-2（a+b）x+c2+ab=0有两个相等的实数根。 九、判断其他类方程根的情况。 例12、分式方程无实数根，求m的取值范围。 例13、a、b、c为一三角形的三条边长，若方程ax-y+bc=0与方程x2-ax-y+b2=0只有一组公共的实数解，求次三角形的形状。 十、解决二次函数的相关问题。 例14、若抛物线y=x2-ax+8的顶点在横轴上，求a值。 例15、求证：无论m为何值，二次函数y= x2-（m+4）x+2（m-1）总与横轴有两个交点。例16、直线y=3x-3与y=x2-x+1有几个交点？ 评析：二次函数与二次方程有密切的联系，抛物线与横轴交点个数由Δ决定，即Δ>0时，有两个交点；Δ=0时，有一个交点（或者说顶点在横轴上）；Δ<0时没有交点（或者说当a>0时函数值恒为正，当a<0时函数值恒为负）。 十一、求最值问题。 例17、已知x为任意实数，求的最值。 十二、巧解方程（组）。 例18、求方程2x2-2xy+y2-2x+1=0的实数解。 最新文件仅供参考已改成word文本。方便更改

一元二次方程的根的判别式

一元二次方程的根的判别式学习指导 一、基本知识点： 1. 根的判别式： 对于任何一个一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其 变形为: (x+b 2a )2=b 2–4ac 4a 2 因为a≠0，所以4a 2＞0，这样一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况可由b 2－4ac 来判定。 我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b 2－4ac 。 一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a≠0)， 当⊿=b 2－4ac ＞0时，有两个不相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac=0时，有两个相等的实数根； 当⊿=b 2－4ac ＜0时，没有实数根。 上述性质反过来也成立。 2. 判别式的应用 (1) 不解方程，判断方程的根的情况； (2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围； (3) 证明方程的根的性质； (4) 运用于解综合题。 二、重点与难点 一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。

三、例题解析 例1 不解方程，判断下列方程根的情况 (1) 2x2－5x+10=0 (2) 16x2－83x+3=0 (3) (3－2)x2－5x+10=0 (4) x2－2kx+4(k－1)=0 (k为常数) (5) 2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m为常数) (6) 4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n为常数) 解：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0 ∴方程没有实数根 (2)⊿=(－83)2－4×16×3=0 ∴方程有两个相等的实数根 (3) ⊿=（－5)2－4(3－2)×10=5－430+85＞0 ∴方程有两个不相等实根 (4) ⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16 =4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0 ∴方程有实数根 (5) ⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1) =16m2－8m+1－8m+8 =16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0 ∴方程有两个不相等实根 (6) ⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5) =4n2－16n2+32n－80 =－12n2+32n－80

一元二次方程跟的判别式

一元二次方程的根的判别式 一、教学目标 （一）知识教学点： 1．了解根的判别式的概念． 2．能用判别式判别根的情况． （二）能力训练点： 1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力． 2．进一步考察学生思维的全面性． （三）德育渗透点： 1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神． 2．进一步渗透转化和分类的思想方法． 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．教学重点：会用判别式判定根的情况． 2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．” 3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac ＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根． 三、教学步骤 （一）明确目标 在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．

（二）整体感知 在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题． 在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用． （三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问 （1）平方根的性质是什么？ （2）解下列方程： ①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0． 问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用． 2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将 （1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

第三讲 一元二次方程的判别式与表达式

第三讲 一元二次方程的判别式与表达式 一元二次方程 一：1一元二次方程22 2240(0),24b b ac ax bx c a a a -++=≠=变形为（x+）利用平方根的意义得到原方程的解，特别地，形如2(0)x a a =≥的方程，可直接利用开平方求解。 2 ：公式法：21,240)x b ac =-≥ 3：因式分解法： 2212()(), 0,ax bx c ex f mx n f n ax bx c x x e m ++=++++==-=-若则的根为 二：判别式2 4b ac ?=-： 00?>→?→?<当方程有两个不相等的实数根，当=0方程有两个相等的实数根当方程无实数根 三：韦达定理 21212120,,b c ax bx c x x x x x x a a ++=+=-=若一元二次方程的两根为，则 例1：2 (1)(1)0x a a x x a a ++--=解关于的方程： 例2：不解方程，判断下列方程的实数根的个数 （1）22310x x -+= （2）24912y y += （3）25(3)60x x +-= 例3：当k 取何值是，方程2 (1)20x k x k --++=有两个相等的实数根，求出这两个根

例4: 当k 取何值是，方程2420x x k -++= ⑴有两个相等的实数根，(2) 有两个不相等的实数根，（3）无实数根。 例5：2780x x αβ-+=已知，是的两根，求下列各式的值 （1）1 1 αβ+ （2）112x x x x -- （3）αβ- （4）βααβ + 作业： 1. 202x x x k ++=-若关于的一元二次方程（k+3）的一个根是， 则另一个根为——————。 2.用适当的方法解下列方程 （1）2 10x x +-= （2）223)4(25)0x x +--=9（2 （3）(2)(2)0x x +-= （4）224)(43)x x -=-（3 3．212,220060x x x x +-=若是方程的两根，试求下列各式的值 （1）2212x x + （2） 12 11x x + （3）12(5)(5)x x -- （4）1x x -

一元二次方程根的判别式练习题

一元二次方程根的判别式 1、解一元二次方程 （1）y 2＋2y －4＝0 （2）y 2＋2y +4＝0； 2、概括：并不是所有一元二次方程都有实数解，满足什么样的条件才会有实数解呢？ 我们在一元二次方程的配方过程中得到 （x ＋a b 2）2＝2244a a c b -. （1） 发现只有当 ≥0时，才能直接开平方，得 22442a ac b a b x -±=+. 也就是说，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）只有当系数a 、b 、c 满足条件 时才有实数根. 观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： ① 当b 2－4ac 0时，方程有两个不相等的实数根； ② 当b 2－4ac 0时，方程有两个相等的实数要 x 1＝x 2＝a b 2-； ③ 当b 2－4a c 0时，方程没有实数根. 这里的 叫做一元二次方程的根的判别式， 通常记作：Δ= 3、用它可以直接判断一个一元二次方程是否有实数根。 例1：判断一元二次方程x 2－x ＋1＝0是否有实数根 由b 2－4ac ＝ 0（填< 、>、 = ） 所以它 （有、没有）实数根。 4、可以应用判别式来确实方程中的待定系数，例如： 例2：m 取什么值时，关于x 的方程 2x 2-(m ＋2)x ＋2m －2＝0 有两个相等的实数根？求出这时方程的根. 解：因为方程有两个相等的实数根，所以Δ 0,即 Δ= = 0

解这个关于m的方程得 练习 1、用判别式直接判断一元二次方程是否有实数根。 （1）y2＋y－4＝0 （2）y2＋y+4＝0； （3）y2－y－4＝0 （4）y2－y+4＝0； 2、m取什么值时，关于x的方程 2x2-4mx＋2m2－m＝0 (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)没有实数根？ 3、m取什么值时，关于x的方程 mx2-(2m-1)x＋m－2＝0 (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)没有实数根？ 还有另外的情况吗？ 一元二次方程根与系数的关系 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？ （1）x2－2x＝0； （2）x2＋3x－4＝0； （3）x2－5x＋6＝0. 探索 一般地，对于关于x的方程x2＋px＋q＝0（p，q为已知常数，p2－4q≥0），用求根公式求出它的两个根x1、x2， 能得出以下结果： 太妙了！我想 知道为什 么？