高中数学选修1-1优质学案：章末复习
章末复习
学习目标
1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.
2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.
3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.
4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．
1．四种命题及其关系(1)四种命题：
(2)四种命题间的逆否关系：
(3)四种命题的真假关系：
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2．充分条件与必要条件
(1)如果p?q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)分类：
①充要条件：p?q且q?p，记作p?q；
②充分不必要条件：p?q且q?p.
③必要不充分条件：p?q且q?p.
④既不充分也不必要条件：p?q且q?p.
3．简单的逻辑联结词
(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q，可得p∧q，p∨q，綈p.
(2)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：
p∧q中p，q有一假即为假，p∨q有一真即为真，p与綈p必定是一真一假．
4．全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称命题：
全称量词用符号“?”表示．
全称命题用符号简记为?x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题：
存在量词用符号“?”表示．
特称命题用符号简记为?x0∈M，p(x0)．
5．含有一个量词的命题的否定
1．命题“若x＞0且y＞0，则x＋y＞0”的否命题是假命题．(√)
2．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．(√)
3．命题“若p，则q”与命题“若綈p，则綈q”的真假性一致．(×)
4．已知命题p：?x0∈R，x0－2＞0，命题q：?x∈R，x2＞x，则命题p∨(綈q)是假命题．(×)
类型一命题及其关系
例1(1)有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”．
其中是真命题的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④
D ．①③
考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 [答案] D
(2)设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A ．p ∨q
B ．p ∧q
C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨(綈q )
考点 “p ∨q ”形式的命题 题点 判断“p ∨q ”形式命题的真假 [答案] A
[解析] 由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．
反思与感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同．
(2)“p 与綈p ”一真一假，“p ∨q ”一真即真，“p ∧q ”一假就假． 跟踪训练1 (1)命题“若x 2>1，则x <－1或x >1”的逆否命题是( ) A ．若x 2>1，则－1≤x ≤1 B ．若－1≤x ≤1，则x 2≤1 C ．若－1
题点 四种命题概念的理解 [答案] B
(2)设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对
称．则下列判断正确的是( )
A．p为真B．q为真
C．p∧q为假D．p∨q为真
考点“p∧q”形式的命题
题点判断“p∧q”形式命题的真假
[答案] C
[解析]由题意知p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
类型二充分条件与必要条件
命题角度1充分条件与必要条件的判断
例2(1)设x∈R，则“x2－3x>0”是“x>4”的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点必要不充分条件的判定
[答案] B
[解析]∵x2－3x>0?x>4，
x>4?x2－3x>0，
故“x2－3x>0”是“x>4”的必要不充分条件．
(2)已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考点充要条件的概念及判断
题点充要条件的判断
[答案] C
[解析]∵a>0且b>0?a＋b>0且ab>0，
∴“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件． 反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q ，若q 则p 的真假．
(2)等价法：利用A ?B 与綈B ?綈A ，B ?A 与綈A ?綈B ，A ?B 与綈B ?綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：若A ?B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．
跟踪训练2 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．112
2
log log 0a b >>
C ．ln a >ln b >0
D ．x a >x b 且x >0.5
考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用 题点 充分不必要条件的判定 [答案] C
[解析] 设条件p 符合条件，则p 是a >b >0的充分条件，但不是a >b >0的必要条件，即有“p ?a >b >0，a >b >0?p ”．
A 选项中，a 2>b 2>0?a >b >0，有可能是a
B 选项中，112
2
log log 0a b >>?0b >0，故B 不符合条件；
C 选项中，ln a >ln b >0?a >b >1?a >b >0，而a >b >0?a >b >1，符合条件；
D 选项中，x a >x b 且0
命题角度2 充分条件与必要条件的应用
例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用
题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围 解 设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a
因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的必要不充分条件．
所以A B ，所以???
a ≤－4，
a <0或?
????
3a ≥－2，a <0，
解得a ≤－4或－2
3
≤a <0.
故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪????－2
3，0. 反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围
(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．
(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．
跟踪训练3 已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：2 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 [答案] (－∞，9] [解析] ∵綈q 是綈p 的必要条件， ∴q 是p 的充分条件， 令f (x )＝2x 2－9x ＋a ， 则????? f (2)≤0，f (3)≤0， 解得a ≤9， ∴实数a 的取值范围是(－∞，9]． 类型三 逻辑联结词与量词的综合应用 例4 已知p ：?x 0∈R ，mx 20＋2≤0.q ：?x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．(－∞，－2] D ．[－1,1] 考点 “p ∨q ”形式的命题 题点 由“p ∨q ”形式命题的真假求参数的范围 [答案] A [解析] 因为p ∨q 为假命题，所以p 和q 都是假命题． 由p ：?x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假，得?x ∈R ，mx 2＋2>0，所以m ≥0.① 由q ：?x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假，得?x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0， 所以Δ＝(－2m )2－4≥0?m 2≥1?m ≤－1或m ≥1.② 由①和②得m ≥1. 反思与感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系，如：p 真与綈p 假等价，p 假与綈p 真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径． 跟踪训练4 已知命题p ：?x 0∈R ，mx 20＋1≤0，命题q ：?x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p ∧q 为 真命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2,0) C ．(－2,0) D ．(0,2) 考点 “p ∧q ”形式的命题 题点 已知p 且q 命题的真假求参数(或其范围) [答案] C [解析]因为p∧q为真命题， 所以命题p和命题q均为真命题， 若p真，则m<0，① 若q真，则Δ＝m2－4<0， 所以－2 所以p∧q为真，由①②知－2 1．下列说法正确的是() A．命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2>1，则x≤1” B．命题“?x0∈R，x20>1”的否定是“?x∈R，x2>1” C．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆否命题为假命题 D．命题“若x＝y，则cos x＝cos y”的逆命题为假命题 考点四种命题的真假判断 题点利用四种命题的关系判断真假 [答案] D [解析]A中，命题“若x2>1，则x>1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，∴A错误．B中，命题“?x0∈R，x20>1”的否定是“?x∈R，x2≤1”，∴B错误． C中，“若x＝y，则cos x＝cos y”为真命题，则其逆否命题也为真命题，∴C错误． D 中，命题“若x ＝y ，则cos x ＝cos y ”的逆命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”为假命题，∴D 正确． 2．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用 题点 充分不必要条件的判定 [答案] A [解析] 当两个平面内的直线相交时，这两个平面有公共点， 即两个平面相交；但当两个平面相交时，两个平面内的直线不一定有交点． 3．命题“?x 0∈R ，f (x 0)<0”的否定是( ) A ．?x 0?R ，f (x 0)≥0 B ．?x ?R ，f (x )≥0 C ．?x ∈R ，f (x )≥0 D ．?x ∈R ，f (x )<0 考点 存在量词的否定 题点 含存在量词的命题的否定 [答案] C 4．已知p ：x 2＋2x －3>0；q ：1 3－x >1.若“(綈q )∧p ”为真命题，求x 的取值范围． 考点 “p ∧q ”形式的命题 题点 已知p 且q 命题的真假求参数(或其范围) 解 因为“(綈q )∧p ”为真，所以q 假p 真． 而当q 为真命题时，有x －2 x －3<0，即2 所以当q 为假命题时有x ≥3或x ≤2； 当p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0， 解得x >1或x <－3， 由????? x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2， 解得x <－3或1 5．已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：|x －3|≤m ，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 考点 充分条件、必要条件和充要条件的综合应用 题点 利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围 解 ∵由x 2－3x －4≤0，得－1≤x ≤4， 若|x －3|≤m 有解， 则m >0(m ＝0时不符合已知条件)， 则－m ≤x －3≤m ， 得3－m ≤x ≤3＋m ， 设A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |3－m ≤x ≤3＋m }． ∵綈q 是綈p 的充分不必要条件， ∴p 是q 的充分不必要条件， ∴p ?q 成立，但q ?p 不成立，即A B ， 则???? ? m >0，3－m ≤－1，3＋m ≥4(等号不同时取到)， 即????? m >0，m ≥4，m ≥1， 得m ≥4， 故m 的取值范围是[4，＋∞)． 1．互为逆否命题的两命题是等价命题． 2．充分条件与必要条件的判定应先找准条件p与结论q，可根据定义及集合法进行判别．3．含有联结词“且”“或”“非”的复合命题的真假判断． p∧q中p，q有一假为假，p∨q有一真为真，p与綈p是一真一假． 4．全称命题与特称命题的否定 先改量词(全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词)再对结论否定.