2017年湖南省怀化市中考数学试卷(解析版)
2017年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．﹣2的倒数是（）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
2．下列运算正确的是（）
A．3m﹣2m=1 B．（m3）2=m6C．（﹣2m）3=﹣2m3D．m2+m2=m4
3．为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，怀化市2016年共扶贫149700人，将149700用科学记数法表示为（）
A．1.497×105B．14.97×104C．0.1497×106D．1.497×106
4．下列说法中，正确的是（）
A．要了解某大洋的海水污染质量情况，宜采用全面调查方式
B．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
C．为了解怀化市6月15日到19日的气温变化情况，应制作折线统计图D．“打开电视，正在播放怀化新闻节目”是必然事件
5．如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（）
A．130°B．50°C．40°D．150°
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（）
A．B．C．D．
7．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1?x2的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣3
8．一次函数y=﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），且与x轴、y轴分别交于点A、B，则△AOB的面积是（）
A．B．C．4 D．8
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（）
A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm
10．如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=
的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是（）
A．6 B．4 C．3 D．2
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11．因式分解：m2﹣m=．
12．计算：=．
13．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5cm，则AD的长是cm．
14．如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，则阴影部分的面积为．
15．如图，AC=DC，BC=EC，请你添加一个适当的条件：，使得△ABC≌△DEC．
16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为cm．
三、解答题（本大题共8小题，共86分.解答应写出文字说l明、证明过程或演算步骤.）
17．计算：|﹣1|+0﹣（）﹣1﹣3tan30°+．
18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数．
20．为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
21．先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中a=+1．22．“端午节”是我国流传了上千年的传统节日，全国各地举行了丰富多彩的纪念活动，为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
（1）用列表或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；
（2）裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
23．如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．
（1）求证：△ACD∽△BAD；
（2）求证：AD是⊙O的切线．
24．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y 轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
2017年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．﹣2的倒数是（）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．
【考点】17：倒数．
【分析】根据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣2得到数是﹣，
故选：C．
2．下列运算正确的是（）
A．3m﹣2m=1 B．（m3）2=m6C．（﹣2m）3=﹣2m3D．m2+m2=m4
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项．
【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方等计算法则进行解答．
【解答】解：A、原式=（3﹣2）m=m，故本选项错误；
B、原式=m3×2=m6，故本选项正确；
C、原式=（﹣2）3?m3=﹣8m3，故本选项错误；
D、原式=（1+1）m2=2m2，故本选项错误；
故选：B．
3．为了贯彻习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，怀化市2016年共扶贫149700人，将149700用科学记数法表示为（）
A．1.497×105B．14.97×104C．0.1497×106D．1.497×106
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【解答】解：将149700用科学记数法表示为1.497×105，
故选：A．
4．下列说法中，正确的是（）
A．要了解某大洋的海水污染质量情况，宜采用全面调查方式
B．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
C．为了解怀化市6月15日到19日的气温变化情况，应制作折线统计图D．“打开电视，正在播放怀化新闻节目”是必然事件
【考点】X1：随机事件；V2：全面调查与抽样调查；VD：折线统计图；W4：中位数．
【分析】根据调查方式，中位数，折线统计图，随机事件，可得答案．
【解答】解：A、要了解某大洋的海水污染质量情况，宜采用抽样调查，故A不符合题意；
B、如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是4.5，故B不符合题意；
C、为了解怀化市6月15日到19日的气温变化情况，应制作折线统计图，故C 符合题意；
D、“打开电视，正在播放怀化新闻节目”是随机事件，故D不符合题意；
故选：C．
5．如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（）
A．130°B．50°C．40°D．150°
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】利用平行线的性质得出∠1=∠3=50°，再利用对顶角的定义得出即可．
【解答】解：如图：∵直线a∥直线b，∠1=50°，
∴∠1=∠3=50°，
∴∠2=∠3=50°．
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（）
A．B．C．D．
【考点】T7：解直角三角形；D5：坐标与图形性质．
【分析】作AB⊥x轴于B，如图，先利用勾股定理计算出OA=5，然后在Rt△AOB 中利用正弦的定义求解．
【解答】解：作AB⊥x轴于B，如图，
∵点A的坐标为（3，4），
∴OB=3，AB=4，
∴OA==5，
在Rt△AOB中，sinα==．
故选C．
7．若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1?x2的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣3
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系，即可得出x1+x2=2、x1?x2=﹣3，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，
∴x1+x2=2，x1?x2=﹣3．
故选D．
8．一次函数y=﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），且与x轴、y轴分别交于点A、B，则△AOB的面积是（）
A．B．C．4 D．8
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先根据待定系数法求得一次函数的解析式，然后计算出与x轴交点，与y轴交点的坐标，再利用三角形的面积公式计算出面积即可．
【解答】解：∵一次函数y=﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），
∴3=4+m，
解得m=﹣1，
∴y=﹣2x﹣1，
∵当x=0时，y=﹣1，
∴与y轴交点B（0，﹣1），
∵当y=0时，x=﹣，
∴与x轴交点A（﹣，0），
∴△AOB的面积：×1×=．
故选B．
9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AC=6cm，则AB的长是（）
A．3cm B．6cm C．10cm D．12cm
【考点】LB：矩形的性质．
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA=OB=OD=OC，由∠AOB=60°，判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD=3，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=3，
故选A．
10．如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=
的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是（）
A．6 B．4 C．3 D．2
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
=S△BOF=k1，S△COE=S△DOF=﹣k2，结合S 【分析】由反比例函数的性质可知S
△AOE
=S△AOE+S△COE和S△BOD=S△DOF+S△BOF可求得k1﹣k2的值．
△AOC
【解答】解：连接OA、OC、OD、OB，如图：
=S△BOF=|k1|=k1，S△COE=S△DOF=|k2|=﹣k2，由反比例函数的性质可知S
△AOE
=S△AOE+S△COE，
∵S
△AOC
∴AC?OE=×2OE=OE=（k1﹣k2）…①，
=S△DOF+S△BOF，
∵S
△BOD
∴BD?OF=×（EF﹣OE）=×（3﹣OE）=﹣OE=（k1﹣k2）…②，
由①②两式解得OE=1，
则k1﹣k2=2．
故选D．
二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
11．因式分解：m2﹣m=m（m﹣1）．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【分析】式子的两项含有公因式m，提取公因式即可分解．
【解答】解：m2﹣m=m（m﹣1）
故答案是：m（m﹣1）．
12．计算：=x+1．
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】本题考查了分式的加减运算．解决本题主要是因式分解，然后化简．
【解答】解：原式=．故答案为x+1．
13．如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE=5cm，则AD的长是10cm．
【考点】L5：平行四边形的性质；KX：三角形中位线定理．
【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD=2OE，继而求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，
∵点E是AB的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴AD=2OE，
∵OE=5cm，
∴AD=10cm．
故答案为：10．
14．如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，则阴影部分的面积为π﹣2．
【考点】MO：扇形面积的计算．
【分析】根据∠AOB=90°，OA=OB可知△OAB是直角三角形，根据S
阴影=S扇形OAB
﹣S △OAB 即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB=90°，OA=OB ， ∴△OAB 是等腰直角三角形． ∵OA=2，
∴S 阴影=S 扇形OAB ﹣S △OAB =﹣×2×2=π﹣2．
故答案为π﹣2．
15．如图，AC=DC ，BC=EC ，请你添加一个适当的条件： CE=BC ，使得△ABC ≌△DEC ．
【考点】KB ：全等三角形的判定．
【分析】本题要判定△ABC ≌△DEC ，已知AC=DC ，BC=EC ，具备了两组边对应相等，利用SSS 即可判定两三角形全等了． 【解答】解：添加条件是：CE=BC ，
在△ABC 与△DEC 中，，
∴△ABC ≌△DEC ．
故答案为：CE=BC ．本题答案不唯一．
16．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC=120°，AB=10cm ，点P 是这个菱形内部或边上的一点．若以P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，A （P ，A 两点不
重合）两点间的最短距离为 10
﹣10 cm ．
【考点】L8：菱形的性质；KH：等腰三角形的性质．
【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PB为底．③若以边PC为底．分别求出PD的最小值，即可判断．
【解答】解：连接BD，在菱形ABCD中，
∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，
∴∠A=∠C=60°，
∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；
②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC 相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当
点P在AC上时，AP最小，最小值为10﹣10；
③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PD的最小值为10﹣10（cm）；
故答案为：10﹣1．
三、解答题（本大题共8小题，共86分.解答应写出文字说l明、证明过程或演算步骤.）
17．计算：|﹣1|+0﹣（）﹣1﹣3tan30°+．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】﹣1是正数，所以它的绝对值是本身，任何不为0的零次幂都是1，
=4，tan30°=，表示8的立方根，是2，分别代入计算可得结果．
【解答】解：|﹣1|+0﹣（）﹣1﹣3tan30°+，
=
﹣1+1﹣4﹣3×+2，
=﹣4﹣+2，
=﹣2．
18．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得x＜3．
解不等式②，得x≥﹣1．
所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜3．
它的解集在数轴上表示出来为：
19．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）求∠AED的度数．
【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．
【分析】（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD，∠ABE=∠DCE=30°，由此即可证明；
（2）只要证明∠EAD=∠ADE=15°，即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形，
∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°，
∴∠ABE=∠ECD=30°，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
（2）∵BA=BE，∠ABE=30°，
∴∠BAE==75°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°，
∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
20．为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，
可得出方程组，解出即可．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．
【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，
由题意得，，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，
由题意得，60a+28（30﹣a）≤1480，
解得：a≤20，
答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
21．先化简，再求值：（2a﹣1）2﹣2（a+1）（a﹣1）﹣a（a﹣2），其中a=+1．【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=4a2﹣4a+1﹣2a2+2﹣a2+2a=a2﹣2a+3，
当a=+1时，原式=3+2﹣2﹣2+3=4．
22．“端午节”是我国流传了上千年的传统节日，全国各地举行了丰富多彩的纪念活动，为了继承传统，减缓学生考前的心理压力，某班学生组织了一次拔河比赛，裁判员让两队队长用“石头、剪刀、布”的手势方式选择场地位置，规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，手势相同则再决胜负．
（1）用列表或画树状图法，列出甲、乙两队手势可能出现的情况；
（2）裁判员的这种做法对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．
【分析】（1）依据题意用列表法或画树状图法分析所有可能的出现结果；
（2）根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．
【解答】解：（1）用列表法得出所有可能的结果如下：
用树状图得出所有可能的结果如下：
（2）裁判员的这种作法对甲、乙双方是公平的．
理由：根据表格得，P（甲获胜）=，P（乙获胜）=．
∵P（甲获胜）=P（乙获胜），
∴裁判员这种作法对甲、乙双方是公平的．
23．如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．
（1）求证：△ACD∽△BAD；
（2）求证：AD是⊙O的切线．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MD：切线的判定．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由
BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D，
∴∠CAD=∠B，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠OAB=∠CAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
24．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
（3）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；
（4）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y 轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法直接抛物线解析式；
（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；
（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；
（4）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y=ax2+bx﹣5上，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为y=x2﹣4x﹣5，
（2）如图1，令x=0，则y=﹣5，
∴C（0，﹣5），
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴AB=6，BC=5，
要使以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，则有或，
①当时，