最短路径(将军饮马)问题(新)

最短路径（将军饮马）问题与拓展

相关定理或公理：①线段公理：两点之间，线段最短。由此可以推出两边之和大于第三边；

②垂线段性质：垂线段最短。

问题提出：

唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。

如图，将军在观望烽火后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后 再走到B 点的营地。怎样走才能使总的路程最短？

模型【1】一定直线，异侧两定点

已知：直线l 和它异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小

模型【2】一定直线，同侧两定点

已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小

模型【3】两定直线，两定点

已知：∠MON 内部有两点P 、Q ，在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使四边形PQBA 周长最小

模型【4】两定直线，一定点

已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使△PAB 周长最小

A l

A M O N P Q O

N P

模型【5】两定直线，一定点

已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使AB ＋PB 最小

注意：模型4与模型5的联系与区别

变式：线段之差最大问题 模型【6】一定直线，同侧两定点

已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使︱PA －PB ︱最大

模型【7】一定直线，异侧两定点

已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使︱PA －PB ︱最大

造桥选址问题

利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。

原题再现

如图1，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）。（人教版八年级上册第86页）

M O N

P l l

A

B